Theoretische und numerische Betrachtung partieller Differentialgleichungen mithilfe des nichtkonformen Park-Sheen Elements

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1 Theoretische und numerische Betrachtung partieller Differentialgleichungen mithilfe des nichtkonformen Park-Sheen Elements Diplomarbeit Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik eingereicht von Robert Altmann geb.: am in Berlin Betreuer: Prof. Dr. Carsten Carstensen Berlin, 14. Dezember 2010

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3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Symbole 3 1 Funktionalanalytische Grundlagen Definitionen Spuren Einbettungssätze Allgemeine Abschätzungen Quasiuniformität Poincaré und Friedrichs Ungleichung Spur Ungleichungen Spur Identität Zwei Spur Ungleichungen für Vierecke Interpolationsfehlerabschätzung Finite-Elemente-Methode Schwache Formulierung Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Lösungsansätze Konforme Methoden Beispiele konformer Methoden Nichtkonforme Methoden Beispiele nichtkonformer Methoden Gemischte Methoden Brezzis Splitting Theorem Gemischte Methoden mit Strafterm Park-Sheen Elemente Nichtkonforme P 1 -Elemente auf Vierecksgittern i

4 INHALTSVERZEICHNIS Diagonalregel Nodale Basisfunktion I Nodale Basisfunktion II Kantenwege Basis von PS(T ) Konsistente Dirichlet-Daten Approximationsoperator Abschätzung von w J w H 1 (Q) Fehleranalysis Problemstellung Schwache Formulierung Schwache Formulierung im Diskreten Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen A Priori Fehlerabschätzung Strang Lemma Approximationsfehler Konsistenzfehler Resultat A Posteriori Fehlerschätzer Gemischte Formulierung Inkonsistenz Residuum Gleichgewichts Residuum Resultat Numerische Beispiele Bemerkungen zur Implementierung Beispiel 1: Anisotrope Rechtecke Beispiel 2: Geschichtetes Material Beispiel 3: Kanal mit Hindernis Beispiel 4: Z-Shape Zusammenfassung und Ausblick 83 Literaturverzeichnis 85 ii

5 Einleitung Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen (part. Dgln.) spielen eine große Rolle im Bereich der Naturwissenschaften, da diese Prozesse und Phänomene der Natur, wie die Erhaltungssätze der Physik, beschreiben. So können wir beispielsweise Wärmeleitung modellieren, wobei Randdaten die Temperatur (am Dirichlet-Rand) oder Wärmequellen (am Neumann-Rand) vorgeben. Wir werden uns mit allgemein elliptischen part. Dgln. zweiter Ordnung beschäftigen. Das einfachste Beispiel stellt das Poisson-Problem dar, dem stationären Zustand der Wärmeleitungsgleichung. Part. Dgln. lassen sich nur selten elementar lösen, sodass wir auf numerische Verfahren angewiesen sind. Für elliptische part. Dgln. eignet sich dabei besonders die Methode der finiten Elemente. Ziel dieser Arbeit ist die Verallgemeinerung der Park-Sheen Elemente ([Par03], [PS03]), einer speziellen Form der nichtkonformen Finite-Elemente-Methode. Dabei betrachten wir beliebige Partitionen in Drei- und konvexe Vierecke und stückweise affine Funktionen, die stetig in den Kantenmittelpunkten verbunden sind. Die Verallgemeinerung bietet auch die Möglichkeit von Vierecksgittern auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Diese treten zum Beispiel bei der Modellierung einer Strömung durch einen Kanal mit Hindernis auf ([Gra03], [GHT04]). Die Arbeit setzt sich wie folgt zusammen. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit den Grundlagen der Funktionalanalysis, die zum Verständnis schwacher Lösungen von partiellen Differentialgleichungen und der Finite-Elemente- Methode nötig sind. Im Mittelpunkt stehen die Sobolev-Räume sowie deren Zusammenhänge und Eigenschaften. Die angestrebten Fehlerabschätzungen für Park-Sheen Elemente sind nur möglich, wenn die verwendeten Elemente einer Partition nicht degenerieren. So müssen beispielsweise Innenwinkel beschränkt werden, da diese kritisch in Konstanten auftreten. Kapitel 2 beinhaltet solche Überlegungen und trägt 1

6 grundlegende Abschätzungen zusammen. Neben der Poincaré und Friedrichs Ungleichung stehen vor allem Spur Ungleichungen und die darin enthaltenen Konstanten im Fokus der Betrachtung. Kapitel 3 bietet einen Einstieg in die Methode der finiten Elemente. Diese ist so effektiv und flexibel, da sie auf die Variationsformulierung zugeschnitten ist. So können wir auch part. Dgln. lösen, die gar keine Lösungen im klassischen Sinne, sondern nur schwache Lösungen besitzen. Die Idee der Finite- Elemente-Methode ist, das gegebene Problem so umzuwandeln, dass es ein Computer lösen kann. Dazu ist eine Diskretisierung des Problems von Nöten. Wir werden endlich-dimensionale (Unter-)Räume betrachten und das gegebene Problem schließlich in ein (möglicherweise sehr großes) lineares Gleichungssystem umwandeln. Die bereits oben erwähnten Park-Sheen Elemente stellen wir schließlich in Kapitel 4 vor. Wir werden zeigen, dass für die Verallgemeinerung auf mehrfach zusammenhängende Gebiete, eine neue Art von Basisfunktionen benötigt wird. Mit der Einführung eines Approximationsoperators gehen wir über zum Kapitel der Fehleranalysis. Diesen Operator werden wir sowohl bei den a priori als auch bei den a posteriori Abschätzungen verwenden und muss daher genau analysiert werden. Zum Ende der Arbeit wenden wir die in Kapitel 5 hergeleiteten Fehlerabschätzungen auf einige Beispiele an. Das erste Beispiel beschäftigt sich dabei mit der a priori Abschätzung auf anisotropen Rechtecks-Gittern. Es folgt die Untersuchung des in Kapitel 5 entwickelten Fehlerschätzers. Dazu betrachten wir als Beispiel geschichtetes Material und dessen Homogenisierung für den Grenzfall, wenn die Schichtdicke gegen Null geht. Schließlich betrachten wir noch Anwendungen der Park-Sheen Elemente auf einem mehrfach zusammenhängenden Gebiet, einem Kanal mit Hindernis, sowie einer gemischten Partition aus Drei- und Vierecken, dem Z-Shape. Ich danke Professor Carstensen für seine investierte Zeit und Unterstützung, die frühzeitige Förderung sowie die Möglichkeit, in der Arbeitsgruppe der numerischen Analysis zu arbeiten. Für die Finanzierung meines Studiums danke ich meinen Eltern sowie der KKGS-Stiftung, die mich seit Januar 2010 fördert. Weiterhin danke ich dem ERASMUS Programm, dem DAAD, der Yonsei Universität und vor allem der BMS, die mir die Auslandsaufenthalte in Bordeaux, Seoul und Hanoi ermöglichten. 2

7 Symbole Du (schwache) Ableitung von u u (schwacher) Gradient von u NC u stückweiser Gradient von u div u Divergenz von u γu Spur von u supp(u) Träger von u, supp(u) = {x R n u(x) 0} ffl conv{a, B} konvexe Hülle von A und B u dx Integralmittel von u, Ω Ω diam(m) Durchmesser von M Betrag, Lebesgue-Maß oder Mächtigkeit I C I NC J nodaler Interpolationsoperator nichtkonformer Interpolationsoperator Approximationsoperator für Park-Sheen Elemente Ω beschränktes Gebiet, meist in R 2 Ω Rand von Ω Γ D Dirichlet-Rand Γ N Neumann-Rand ω z Knotenpatch, Träger der Hutfunktion ϕ z ω E Kantenpatch, Vereinigung der beiden angrenzenden Elemente Elementpatch, Vereinigung angrenzender Elemente ω T T T 4 (z) N N(M) E E(M) E D E(z) reguläre Partition Menge der Vierecke mit Knoten z Knoten einer Partition T Knoten einer Partition T, die in der Menge M liegen Kanten einer Partition T Kanten einer Partition T, die in der Menge M liegen Kanten des Dirichlet-Randes Kanten mit Endpunkt z 3

8 h E h T h max h ν ν E τ W k,p (Ω) H k (Ω) HD 1 (Ω) H0 1(Ω) H(div; Ω) C(Ω) Cc (Ω) P k (T ) Q k (T ) P 1 Q 1 (T ) CR 1 (T ) CRD 1 (T ) PS(T ) PS 0 (T ) Länge einer Kante E E Durchmesser eines Elementes T T maximaler Durchmesser aller Elemente einer Partition T L -Funktion mit lokalen Netzweiten, h T = h T äußerer Normaleneinheitsvektor Normaleneinheitsvektor zur Kante E Tangenteneinheitsvektor Sobolev-Raum der Ordnung k, p Sobolev-Raum k-ter Ordnung, H k (Ω) := W k,2 (Ω) Sobolev-Raum erster Ordnung mit Nullrandbedingung auf Γ D Sobolev-Raum erster Ordnung mit Nullrandbedingung auf Ω Raum der L 2 -Funktionen in mehreren Komponenten, deren Divergenz in L 2 liegt. Raum der stetigen Funktionen auf Ω Raum der glatten Funktionen mit kompakten Träger in Ω Raum der elementweisen Polynome vom Grad k bzgl. T Raum der elementweisen Polynome vom part. Grad k bzgl. T Raum der global stetigen und lokal linear bzw. bilinearen Funktionen. Raum der Crouzeix-Raviart Elemente bzgl. T Raum der Crouzeix-Raviart Elemente bzgl. T mit Nullrandbedingung bei mid(e(γ D )) Raum der Park-Sheen Elemente bzgl. T Raum der Park-Sheen Elemente bzgl. T mit Nullrandbedingung bei mid(e( Ω)) L 2 (Ω) L 2 -Norm auf Ω H 1 (Ω) H 1 -Halbnorm auf Ω, H 1 (Ω) := L 2 (Ω) NC gebrochene H 1 -Halbnorm := a(, ) 1/2 NC := a NC (, ) 1/2 Res Residuum η Fehlerschätzer h.o.t. Terme höherer Ordnung osc(f) elementweise Oszillationen von f bzgl. T osc(f, {ω z }) Oszillationen von f bzgl. {ω z } C(α) positive Konstante, C(α) 2 = 1/4+2/π2 1 cos α 4

9 Kapitel 1 Funktionalanalytische Grundlagen Um partielle Differentialgleichungen mithilfe der Finite-Elemente-Methode zu lösen, benötigt man die sogenannte schwache Formulierung des Problems. Als Vorbereitung für die folgenden Kapitel betrachten wir in diesem Abschnitt Begriffe wie die schwache Ableitung und führen die Sobolev-Räume ein. Die Betrachtung von Sobolev-Räumen auf Rändern eines Gebietes und die Einbettungssätze von Sobolev, Rellich und Kondrachov werden diesen Abschnitt abschließen. Grundlage des Kapitels bilden die Bücher von Alt [Alt92] und Evans [Eva98]. 1.1 Definitionen Dieser Abschnitt trägt Definitionen und Eigenschaften von Sobolev-Räumen zusammen. Motiviert durch die Formel der partiellen Integration für Funktionen in C 1 (Ω), definieren wir mithilfe von Testfunktionen die schwache Ableitung. Definition 1.1 (schwache Ableitung) Sei Ω R n, u L 1 loc (Ω) und α ein Multiindex, α Nn. Dann heißt v L 1 loc (Ω) die α-schwache Ableitung von u, geschrieben als falls für alle Testfunktionen ϕ C c (Ω). ˆ Ω D α u = v, ud α ϕ dx = ( 1) α ˆ 5 Ω vϕ dx

10 KAPITEL 1. FUNKTIONALANALYTISCHE GRUNDLAGEN Bemerkung 1.2 Existiert die α-schwache Ableitung von u, so ist diese bis auf Lebesgue- Nullmengen eindeutig bestimmt. Existiert sogar die klassische Ableitung, so stimmt diese mit der schwachen überein. Definition 1.3 (Sobolev-Raum) Zu 1 p, k N und Ω R n ist der Sobolev-Raum W k,p (Ω) definiert als der Raum der lokal integrierbaren Funktionen u : Ω R mit der Eigenschaft, dass für jeden Multiindex α N n mit α k, die schwache Ableitung D α u existiert und in L p (Ω) liegt. Zu u W k,p (Ω), p <, gehört die Norm u W k,p (Ω) := 1/p ˆ D α u p dx. Für p = gilt entsprechend α k u W k, (Ω) := ess sup Ω D α u. α k Bemerkung 1.4 (Kapitel 5 in [Eva98]) (a) Den Raum W k,p (Ω) kann man auch über den Abschluss von C (Ω) bezüglich der Norm W k,p (Ω) definieren. Demnach liegt C (Ω) dicht in W k,p (Ω). Ist Ω in C 1, so liegt sogar C (Ω) dicht in W k,p (Ω). (b) Für alle 1 p und k N ist W k,p (Ω) ein Banachraum. (c) Für den Fall p = 2 schreiben wir auch Ω H k (Ω) := W k,2 (Ω). Die Bezeichnung resultiert aus der Eigenschaft, dass es sich bei H k (Ω) um Hilberträume handelt. Definition 1.5 (Sobolev-Halbnorm) Zu Ω R n und k N, k > 0, sei H k (Ω) die Halbnorm H k (Ω) := 1/2 ˆ D α 2 dx = D k L 2 (Ω). α =k Ω Definition 1.6 (H(div; Ω)) H(div; Ω) definiert den Raum der L 2 -Funktionen auf Ω R n in n Komponenten, deren Divergenz auch wieder in L 2 (Ω) liegt, H(div; Ω) := {v [L 2 (Ω)] n div v L 2 (Ω)}. 6

11 1.2. SPUREN Bemerkung 1.7 (Aufgabe II.5.14 in [Bra07]) Sei Ω R n. Eine stückweise polynomiale Funktion v [L 2 (Ω)] n liegt genau dann in H(div; Ω), wenn die Komponente in Richtung der Normalen v ν an allen Elementgrenzen stetig ist. 1.2 Spuren In diesem Abschnitt geht es um die Frage, wann der Begriff des Randwertes sinnvoll ist. Dies ist wichtig, um die partielle Integration für schwach differenzierbare Funktionen zu definieren. Funktionen in C(Ω) besitzen beispielsweise Randdaten im klassischen Sinne, L 2 Funktionen dagegen sind nur bis auf Nullmengen definiert, sodass es keinen Sinn macht von Randwerten zu sprechen. Satz 1.8 (Spuroperator) Sei Ω ein beschränktes Lipschitz-Gebiet. Dann gibt es genau eine stetige lineare Abbildung γ : W 1,p (Ω) L p ( Ω), sodass für Funktionen u W 1,p (Ω) C(Ω), γu = u Ω gilt. Beweis. Siehe Anhang 5 in [Alt92]. Bemerkung 1.9 (a) Integrieren wir im Folgenden eine Funktion u W 1,p (Ω) über den Rand Ω, so wird eigentlich γu integriert. (b) Die Spur einer H 1 (Ω)-Funktion besitzt sogar mehr Regularität als L 2 ( Ω). Den Raum der Spuren von H 1 (Ω)-Funktionen bezeichnet man auch als H 1/2 ( Ω). Eine allgemeine Definition von Sobolev-Räumen gebrochener Ordnung, das heißt k / N, findet man in Kapitel 7 von [AF03]. (c) Da γ eine stetige lineare Abbildung ist, existiert eine Konstante C spur mit für alle u H 1 (Ω). γu L 2 ( Ω) C spur u H 1 (Ω) Mit dem Spuroperator können wir nun Sobolev-Räume mit Randwerten definieren. Diese sind immer im Sinne der Spur und nicht punktweise zu verstehen. 7

12 KAPITEL 1. FUNKTIONALANALYTISCHE GRUNDLAGEN Definition 1.10 (H 1 D (Ω), H1 0 (Ω)) Zum Dirichlet-Rand Γ D Ω mit positiven Lebesgue-Maß sei H 1 D(Ω) := {v H 1 (Ω) v ΓD = 0}. Im Fall Γ D = Ω schreibt man auch H 1 0 (Ω). Bemerkung 1.11 (a) Im Fall Γ D > 0, d.h. der Dirichlet-Rand hat positives Lebesgue-Maß, ist H 1 D (Ω) ein abgeschlossener Unterraum von H1 (Ω). (b) Man kann H 1 0(Ω) auch als Abschluss von C c (Ω) mit entsprechender Norm definieren. Definition 1.12 (H 1 (Ω)) Den Dualraum zu H0 1(Ω) bezeichnet man als H 1 (Ω). Die dazugehörige Norm ist definiert durch f H 1 (Ω) := f, v sup v H0 1(Ω)\{0} v H 1 (Ω) := sup v H 1 0 (Ω)\{0} fv dx. Ω v H 1 (Ω) Satz 1.13 (partielle Integration) Für Funktionen u, v H 1 (Ω) mit beschränktem Lipschitz-Gebiet Ω R n und äußerem Normaleneinheitsvektor ν = (ν 1,...,ν n ) t gilt ˆ ˆ ˆ ( j u)v dx = u( j v) dx + uvν j dx. Ω Ω Ω 1.3 Einbettungssätze Wir beschäftigen uns nun mit Einbettungen zwischen verschiedenen Sobolev- Räumen und Einbettungen der Sobolev-Räume in den Raum der stetigen Funktionen. Definition 1.14 (kompakte Einbettung) Eine Einbettung vom Raum X in den Raum Y heißt kompakt, falls das Bild jeder schwach konvergierenden Folge in X stark in Y konvergiert. Wir betrachten nun jeweils für uns ausreichende Spezialfälle der Sätze von Sobolev, Rellich und Kondrachov. Zuerst stellen wir uns die Frage, wann Funktionen u W k,p (Ω) stetig sind. 8

13 1.3. EINBETTUNGSSÄTZE Satz 1.15 (Sobolev) Sei Ω R n ein beschränktes Lipschitz-Gebiet. Gilt pk > n, so ist die Einbettung W k,p (Ω) C(Ω) kompakt. Beweis. Siehe Kapitel 5.6 in [Eva98]. Bemerkung 1.16 Im Grenzfall pk = n kann in manchen Fällen zumindest noch eine stetige Einbettung gelten. So gilt beispielsweise für n = 1 die stetige Einbettung W 1,1 (Ω) C(Ω). Im Gegensatz dazu ist H 1 (Ω) in zwei Dimensionen nicht stetig eingebettet in C(Ω), H 1 -Funktionen sind im zweidimensionalen Fall also nicht stetig. Als zweites betrachten wir Einbettungen zwischen Sobolev-Räumen nach Rellich und Kondrachov. Einen Beweis findet man in Anhang 5 in [Alt92]. Satz 1.17 (Rellich, Kondrachov) Sei Ω R n ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, k N und p <. Dann ist die Einbettung W k,p (Ω) W k 1,p (Ω) kompakt. 9

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15 Kapitel 2 Allgemeine Abschätzungen Im weiteren Verlauf, vor allem in Kapitel 5, werden viele Abschätzungen benötigt, die wir hier zusammentragen. Kapitel 2.2 beschäftigt sich dabei mit der Frage, wann man die L 2 -Norm einer Funktion u mit der L 2 -Norm von u abschätzen kann. Es folgen spezielle Spur Ungleichungen auf Dreiund Vierecken sowie eine Interpolationsfehlerabschätzung für den nodalen Interpolationsoperator. Zuvor müssen wir uns allerdings mit der Form der zugrunde liegenden Elemente beschäftigen. Konvention 2.1 (, ) Wir schreiben A B, falls eine von lokalen Netzweiten unabhängige Konstante 0 < c < existiert mit A cb Gilt A B und B A, so schreiben wir auch A B. Neben der Cauchy-Schwarz Ungleichung werden wir auch die Young Ungleichung verwenden, ohne dies explizit zu erwähnen. Letztere sei hier noch einmal aufgeführt. Lemma 2.2 (Young Ungleichung) Für zwei reelle Zahlen a, b R und λ R, λ > 0 gilt 2ab a 2 /λ + λb 2. Beweis. Die Behauptung folgt direkt aus (a/ λ b λ)

16 2.1 Quasiuniformität KAPITEL 2. ALLGEMEINE ABSCHÄTZUNGEN Da wir uns mit Partitionen in Drei- und konvexe Vierecke beschäftigen werden, beschränken wir uns im Folgenden auf diese speziellen Gebiete. Die Konstanten von Abschätzungen hängen teilweise kritisch von der Form des Gebietes ab, sodass wir diese restringieren müssen. Für Partitionen in Dreiecke reicht es die Innenwinkel gleichmäßig von π weg zu beschränken, Partitionen in Vierecke hingegen benötigen weitere Einschränkungen. Min-Winkel Bedingung: Wir fordern, dass alle Innenwinkel ω die Eigenschaft ω ω min für einen Winkel ω min > 0 erfüllen. ω 0 ω 0 ω 0 β Abbildung 2.1: Winkel Bedingungen: Für alle Innenwinkel gilt ω ω 0, obwohl der größte Innenwinkel β nicht gleichmäßig von π weg beschränkt ist. Max-Winkel Bedingung: Im Gegensatz zu Partitionen in Dreiecke, impliziert die Min-Winkel Bedingung bei Vierecken nicht die Max-Winkel Bedingung, siehe Abbildung 2.1. Daher fordern wir die Existenz eines Winkels ω max < π mit ω ω max für alle Innenwinkel ω einer Partition. Um die beiden Bedingungen zu verbinden, definieren wir ω 0 := min{ω min, π ω max }. Min-Max-Kanten-Quotient: Für Partitionen in Vierecke benötigen wir sogar noch eine dritte Bedingung, um Degeneriertheit auszuschließen. Man denke dabei an ein langgezogenes Rechteck, welches die beiden oberen Bedingungen mit ω 0 = π/2 erfüllt. Daher führen wir eine obere Schranke für den Quotienten der längsten und kürzesten Seite eines Vierecks ein. Es existiere also ein positives κ mit für alle Vierecke Q. längste Kante von Q kürzeste Kante von Q κ Diagonalen Bedingung: Mit θ 0 werden wir die untere Schranke von Winkeln zwischen Diagonalen aller Vierecke bezeichnen. Degeneriert θ 0, so degeneriert auch ω 0 oder κ, sodass die Existenz von θ 0 keine neue Bedingung darstellt. Allerdings vereinfacht dies die Struktur von Konstanten. 12

17 2.2. POINCARÉ UND FRIEDRICHS UNGLEICHUNG 2.2 Poincaré und Friedrichs Ungleichung Wie bereits erwähnt, wollen wir die L 2 -Norm einer Funktion durch dessen H 1 -Halbnorm abschätzen. Offensichtlich ist dies nicht immer möglich: Jede auf Ω konstante Funktion u erfüllt u H 1 (Ω) = 0 und kann somit keine obere Schranke der L 2 -Norm darstellen. Satz 2.3 (Poincaré-Friedrichs Abschätzung) Sei Ω R n ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und s : H 1 (Ω) R eine H 1 -stetige Halbnorm mit 1 s > 0. Dann gilt, H 1 (Ω) H 1 (Ω) + s. Beweis. Die Abschätzung für ist trivial, da beide Halbnormen auf der rechten Seite H 1 -stetig sind. Angenommen, es existiert eine Folge (v j ) H 1 (Ω) mit v j H 1 (Ω) = 1 und v j H 1 (Ω) + v j s 1/j. Die Folge (v j ) ist beschränkt in H 1 (Ω) und besitzt daher eine schwach konvergierende Teilfolge (v jk ). Nach Satz 1.17 konvergiert diese stark in L 2 (Ω), d.h. es existiert ein v H 1 (Ω) mit (v jk ) v in L 2 (Ω) und (v jk ) v in H 1 (Ω). Es gilt sogar starke Konvergenz in H 1 (Ω), da (v jk ) eine Cauchy-Folge in L 2 (Ω) ist und zusätzlich v jk v jl H 1 (Ω) < 1/k + 1/l gilt. Aus (v jk ) 0 folgt somit v = 0, also ist v fast überall konstant auf Ω. Die H 1 -Stetigkeit der Halbnorm s ergibt zusätzlich v jk s v s und damit v s = 0. Somit gilt v = 0 und steht im Widerspruch zu v L 2 (Ω) = 1. Aus Satz 2.3 folgen nun, mit geeigneter Wahl der Halbnorm s, sowohl die Poincaré als auch die Friedrichs Ungleichung. Folgerung 2.4 (Poincaré Ungleichung) Es sei u H 1 (Ω) und u das Integralmittel von u, d.h. u = ffl u dx. Dann Ω gilt u u L 2 (Ω) u L 2 (Ω) = u H 1 (Ω). 13

18 KAPITEL 2. ALLGEMEINE ABSCHÄTZUNGEN Beweis. Mit der Halbnorm s := dx ergibt sich nach Satz 2.3, Ω ˆ H 1 (Ω) H 1 (Ω) + dx. Aus u u dx = 0 folgt die Behauptung. Ω Folgerung 2.5 (Friedrichs Ungleichung) Es sei u H0 1 (Ω). Dann gilt u L 2 (Ω) u L 2 (Ω) = u H 1 (Ω). Ω Beweis. In diesem Fall sei s := L 2 ( Ω). Nach Bemerkung 1.9.(c) ist dies eine H 1 -stetige Halbnorm und somit gilt die Behauptung. Bemerkung 2.6 (a) Die Friedrichs Ungleichung gilt auch, wenn die Funktion nur auf Teilen des Randes verschwindet, solange dieser Teil ein positives Lebesgue-Maß besitzt. (b) Betrachten wir eine Partition des Gebietes Ω und eine stückweise H 1 - Funktion mit entsprechenden Randbedingungen, dann gilt eine diskrete Friedrichs Ungleichung, siehe Satz 3.21 Die tatsächlichen Konstanten aus den vorherigen Folgerungen sind nur in Spezialfällen bekannt. Im Fall der Poincaré Ungleichung nutzen wir das optimale Resultat für konvexe Gebiete nach Payne und Weinberger. Satz 2.7 (Payne Weinberger für konvexe Gebiete, [PW60]) Es sei Ω R 2 ein beschränktes und konvexes Lipschitz-Gebiet mit Durchmesser diam(ω). Dann gilt für alle u H 1 (Ω) mit Integralmittel u die Abschätzung u u L 2 (Ω) diam(ω) u L π 2 (Ω). (2.1) Folgerung 2.8 (1D Friedrichs Ungleichung) Sei (a, b) R ein Intervall und u H0 1 (a, b). Dann gilt u L 2 (a,b) b a π u L 2 (a,b). 14

19 2.3. SPUR UNGLEICHUNGEN Beweis. Durch Vertauschung und Spiegelung konstruiert man eine Funktion g H 1 (a, b) mit g L 2 (a,b) = u L 2 (a,b), g L 2 (a,b) = u L 2 (a,b) sowie b g ds = 0. Die Behauptung folgt dann mit Satz 2.7 a 2.3 Spur Ungleichungen Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Abschätzungen von Integralen über den Rand eines Gebiets. Aus Bemerkung 1.9.(c) ist die Existenz einer Abschätzung der Form γu L 2 ( Ω) u L 2 (Ω) bereits bekannt. In Hinblick auf die a priori Fehlerabschätzung in Kapitel 5, sind wir nun an der involvierten Konstante interessiert Spur Identität Die Grundlage vieler Spur Ungleichungen bildet die Spur Identität auf Dreiecken. Lemma 2.9 (Spur Identität, [Car09]) Sei T = conv{p, E} ein Dreieck mit Knoten P und gegenüberliegender Kante E. Dann gilt für alle f W 1,1 (T) die Identität E f ds = T f dx T (x P) f dx (2.2) Beweis. Mit Normaleneinheitsvektor ν folgt aus dem Divergenzsatz ˆ ˆ ˆ ˆ (x P) νf ds = div[(x P)f] dx = 2 f dx + (x P) f dx. T T Dabei steht (x P) senkrecht auf ν für x T \E. Auf E gilt (x P) ν = ρ E, wobei ρ E die Höhe des Dreiecks auf E bezeichnet. Division durch 2 T = ρ E E ergibt die Behauptung. Folgerung 2.10 (Spur Ungleichung, Dreieck) Sei E eine Kante des Dreiecks T und f H 1 (T). Dann gilt f 2 L 2 (E) E T f ( ) L 2 (T) f L 2 (T) + h T f L 2 (T). (2.3) T T 15

20 KAPITEL 2. ALLGEMEINE ABSCHÄTZUNGEN Beweis. Die Behauptung folgt direkt aus Lemma 2.9 mit ˆf = f 2 W 1,1 (T) Zwei Spur Ungleichungen für Vierecke Wir gehen nun über zu Vierecken und beschäftigen uns mit zwei speziellen Spur Ungleichungen, die in Kapitel 5 benötigt werden. Lemma 2.11 (Spur Ungleichung I) Sei Q ein konvexes Viereck mit Durchmesser h Q und Konstanten ω 0, κ aus Kapitel 2.1. Ferner sei es, wie in Abbildung 2.2 zu sehen, durch die Diagonalen in vier Dreiecke unterteilt. Dann gilt für f H 1 (T E ) mit ffl T E f dx = 0, wobei T E das Dreieck mit der Kante E bezeichnet, die Abschätzung f 2 L 2 (E) 8κ π + 1 h sin ω 0 π 2 Q f 2 L 2 (T E ). (2.4) P B T E E α A Abbildung 2.2: Unterteilung eines Viereckes Q in vier Dreiecke. T E bezeichnet das Dreieck mit Kante E. Beweis. Mit Folgerung 2.10 angewandt auf T E, gilt zusammen mit der Poincaré Ungleichung nach Payne-Weinberger (Satz 2.7), f 2 L 2 (E) E T E f L 2 (T E )( f L 2 (T E ) + h TE f L 2 (T E )) E ( 1 T E h2 T E π + 1 ) f 2 2 L π 2 (T E ). O.B.d.A. sei AP BP und damit 2 AP h TE. Die Bedingungen der Quasiuniformität ergeben für den Winkel α := PAB die Abschätzung sin α sin ω 0 2κ. 16

21 2.4. INTERPOLATIONSFEHLERABSCHÄTZUNG Mit 2 T E = E AP sinα folgt dann die Behauptung. Lemma 2.12 (Spur Ungleichung II) Sei wieder Q ein konvexes Viereck mit Konstanten h Q, ω 0 und κ. Dann gilt für eine affine Funktion w P 1 (Q) und m L 2 ( Ω), m E := ffl w ds, die E Abschätzung w m 2 L 2 ( Q) κ 3 sinω 0 h Q w 2 L 2 (Q). Beweis. Da w auf Q konstant ist, gilt w m 2 L 2 ( Q) = ˆ ( ) 2 w x mid(e) 2 ds E E(Q) E s = h 2 ˆ ( ) 2 E w ds 12 s E E(Q) 1 12 max E E(Q) h2 E w 2 L 2 ( Q) = 1 12 max E E(Q) h2 E E Q Q w 2 L 2 (Q). Es seien a, b, c, d die Kantenlängen von Q, e max = max E E(Q) h E deren Maximum und e min deren Minimum. Dann folgt 4κ e max Q = e max (a + b + c + d) κ e min (a + b + c + d) Q. sinω Interpolationsfehlerabschätzung Viele Fehlerabschätzungen nutzen Approximationsoperatoren und benötigen daher eine Abschätzung des dabei entstehenden Fehlers. Wir betrachten nun den nodalen Interpolationsoperator I C aus Definition Lemma 2.13 Sei T = conv{p 1, P 2, P 3 } ein Dreieck mit größtem Innenwinkel α, w H 2 (T) und I C w dessen nodale Interpolation, d.h. I C w ist affin mit I C w(p i ) = w(p i ) für i = 1, 2, 3. Dann gelten mit Durchmesser h T und Konstante ( ) 1/4 + 2/π 2 1/2 C(α) := 1 cosα 17

22 KAPITEL 2. ALLGEMEINE ABSCHÄTZUNGEN die Abschätzungen (w I C w) L 2 (T) C(α)h T D 2 w L 2 (T), (2.5) w I C w L 2 (T) 5/3 C(α)h 2 T D2 w L 2 (T). (2.6) Beweis. Den Beweis der Abschätzung (2.5) findet man in [Car08] auf Seite 85. Für die L 2 -Abschätzung sei e := w I C w. Mit der Spur Identität (2.2) zu einer Kante E von T und der Young Ungleichung ergibt sich e 2 L 2 (T) T E e 2 L 2 (E) + h T e L 2 (T) e L 2 (T) T E e 2 L 2 (E) e 2 L 2 (T) + h2 T 2 e 2 L 2 (T). Da e an den Endpunkten von E verschwindt, ist die Friedrichs Ungleichung in einer Dimension aus Folgerung 2.8 verwendbar. Gefolgt von der Spur Ungleichung (2.3) gilt T T E E e 2 L 2 (E) π 2 e s 2 L 2 (E) h2 T π 2 e 2 L 2 (T) + h3 T π 2 e L 2 (T) D 2 e L 2 (T). Die beiden Rechnungen sowie die erste Behauptung (2.5) ergeben 1 2 e 2 L 2 (T) h2 T π 2 e 2 L 2 (T) + h3 T π e 2 L 2 (T) D 2 w L 2 (T) + h2 T 2 e 2 L 2 (T) ( C(α) 2 + C(α) ) + C(α)2 h 4 π 2 π 2 T D 2 w 2 L 2 2 (T). Die Konstante C(α) erfüllt die Eigenschaft 2/π C(α) und somit C(α) 2 π 2 + C(α) π 2 + C(α)2 2 C(α)2 π 2 + C(α)2 2π + C(α)2 2 5C(α)

23 Kapitel 3 Finite-Elemente-Methode Diese Einführung in die Finite-Elemente-Methode beschreibt den Übergang von der klassischen Formulierung einer elliptischen Differentialgleichung zur schwachen Formulierung und beschäftigt sich mit möglichen Lösungsansätzen. Die schwache Formulierung, auch Variationsformulierung genannt, hat dabei die Form a(u, v) = F(v). Dabei suchen wir zu einem Funktionenraum V ein Element u V, sodass die Gleichung für alle v V erfüllt ist. Für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen werden wir Verallgemeinerungen des Rieszschen Darstellungssatzes betrachten. Um numerische Lösungen zu berechnen, konstruieren wir neue Probleme ähnlicher Form auf endlich-dimensionalen Räumen V h. Hier stellen wir konkrete konforme und nichtkonforme Ansätze vor. Schließlich betrachten wir noch den Ansatz der gemischten Finite-Elemente-Methode, die es ermöglicht, Nebenbedingungen zu involvieren. Da es sich um eine Einführung handelt, beschränken wir uns am Dirichlet- Rand auf Nullrandbedingungen. Allgemeine Dirichlet-Randbedingungen betrachten wir dann in Kapitel 5. Grundlage des Kapitels bilden die Bücher von Braess [Bra07] und Brenner, Scott [BS08]. 3.1 Schwache Formulierung Als einführendes Beispiel betrachten wir die Poisson-Gleichung mit gemischten Randdaten. Dazu sei Ω R 2 ein beschränktes Lipschitz-Gebiet mit polygonalem Rand. Ferner sei Ω zusammengesetzt aus dem Dirichlet-Rand Γ D, wobei Γ D > 0 gilt, und dem Neumann-Rand Γ N := Ω \ Γ D. Zu gegebenen 19

24 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE und hinreichend glatten Daten f und g lautet das Randwertproblem div( u) = f in Ω, u = 0 auf Γ D, u ν = g auf Γ N. (3.1) Dabei bezeichnet ν den äußeren Normaleneinheitsvektor. Diese Darstellung wird auch klassische Formulierung genannt und Lösungen von (3.1) sind notwendigerweise zweimal differenzierbar. Für den Übergang zur schwachen Formulierung (Variationsformulierung) multiplizieren wir die erste Gleichung in (3.1) mit einer beliebigen Testfunktion v HD 1 (Ω). Anschließend wird über Ω integriert und die Formel der partiellen Integration nach Satz 1.13 angewandt, ˆ ˆ fv dx = div( u)v dx Ω ˆ Ω ˆ = u v dx Ω gv ds. Γ N Mit der Bilinearform a : HD 1 (Ω) H1 D (Ω) R, definiert durch ˆ a(u, v) := u v dx, (3.2) Ω und der linearen Abbildung F : HD 1 (Ω) R, ˆ ˆ F(v) := fv dx + gv dx (3.3) Ω Γ N erhalten wir die schwache Formulierung von (3.1): Finde zu f L 2 (Ω) und g L 2 (Γ N ) ein u H 1 D (Ω), sodass für alle v H1 D (Ω) gilt. a(u, v) = F(v) Bemerkung 3.1 Im Gegensatz zur starken Formulierung, wo die Randdaten punktweise gelten, sind die Randwerte in der schwachen Formulierung nur im Sinne der Spur zu verstehen. Die Dirichlet-Daten sind durch die Wahl des Raumes H 1 D (Ω) festgelegt. 20

25 3.2. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT VON LÖSUNGEN 3.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Wir betrachten nun eine allgemeine Variationsformulierung mit Bilinearform a : V V R und linearer Abbildung F : V R zu einem Funktionenraum V. Gesucht ist ein u V, sodass für alle v V a(u, v) = F(v) (3.4) gilt. Eine Antwort auf die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Variationsproblems gibt das Lax-Milgram Lemma. Satz 3.2 (Lax-Milgram) Sei V ein Hilbertraum mit Norm V. Sei außerdem a eine stetige und elliptische Bilinearform, d.h. es existieren positive Konstanten α und C, sodass für alle u, v V a(u, v) C u V v V und α u 2 V a(u, u) gilt. Dann existiert zu jedem stetigen linearen Funktional F V genau ein u V, sodass für alle v V, a(u, v) = F(v). Beweis. Siehe Kapitel 2 in [BS08]. Beispiel 3.3 Die Bilinearform a aus (3.2) für die Poisson-Gleichung erfüllt die Bedingungen des Satzes von Lax-Milgram zu V = H 1 D (Ω), falls Γ D > 0. Die Stetigkeit mit C = 1 gilt nach Cauchy-Schwarz Ungleichung, die Elliptizität folgt aus der Friedrichs Ungleichung, siehe Folgerung 2.5. Dass F aus (3.3) in V liegt, folgt mithilfe einer Spur Ungleichung. Der Satz von Lax-Milgram gilt auch in allgemeinerer Form, ohne die Elliptizität der Bilinearform a und mit unterschiedlichen Hilberträumen X und Y. Stattdessen muss eine sogenannte inf-sup Bedingung gelten. Satz 3.4 (Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen) Seien X und Y zwei Hilberträume und a eine stetige Bilinearform a : X Y R, die die inf-sup Bedingung α = inf sup x X\{0} y Y \{0} 21 a(x, y) x X y Y

26 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE für ein α > 0 erfüllt. Zusätzlich sei a nicht-degeneriert, d.h. y Y, y 0 x X : a(x, y) 0. Dann liefert die Abbildung A : X Y, definiert durch A(x) := a(x, ), einen Isomorphismus. Zu jedem F Y existiert demnach genau ein x X mit a(x, y) = F(y) für alle y Y. Beweis. Siehe Kapitel 4 in [Car09]. 3.3 Lösungsansätze Die Finite-Elemente-Methode löst (3.4) im Allgemeinen nicht exakt in V, sondern in einem endlich-dimensionalen Raum V h. Dadurch reduziert sich das Problem auf das Lösen eines (möglicherweise großen) Gleichungssystems. Handelt es sich bei V h um einen Teilraum von V, so nennen wir es eine konforme Methode. Andernfalls nennen wir sie nichtkonform. Im nichtkonformen Fall ist nicht gewährleistet, dass die Bilinearform a auf V h überhaupt definiert ist. Das Variationsproblem (3.4) wird durch das diskrete Problem ersetzt: Finde zur Bilinearform a h und dem Funktional F h ein u h V h, sodass für alle v h V h gilt a h (u h, v h ) = F h (v h ). (3.5) Die erhaltene Lösung u h nennen wir diskrete Lösung. Zudem nehmen wir im Folgenden an, dass sowohl a h als auch F h auf V definiert sind. Definition 3.5 (Steifigkeitsmatrix) Sei N = dim(v h ) und (ϕ 1,...,ϕ N ) eine Basis von V h. Dann ist die Steifigkeitsmatrix A R N N gegeben durch die Einträge A i,j := a(ϕ i, ϕ j ) für alle i, j = 1,..., N. A ist demnach die zur Bilinearform a gehörige Matrix bzgl. (ϕ 1,...,ϕ N ). Weiter sei der Vektor b R N definiert durch b i := F(ϕ i ) für alle i = 1,..., N. Dieser wird auch als rechte Seite bezeichnet. 22

27 3.3. LÖSUNGSANSÄTZE Erfüllen a h und F h die Voraussetzungen von Satz 3.2 auf dem Raum V h, dann ist (3.5) eindeutig lösbar und die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch und positiv definit (und damit regulär). Die Lösung des Gleichungssystems Ax = b liefert dann die diskrete Lösung durch u h = N x i ϕ i. i=1 Bemerkung 3.6 Ist das entstandene Gleichungssystem sehr groß, so sind wir beim Lösen auf Iterationsverfahren angewiesen. Da A symmetrisch ist, eignet sich das cg- Verfahren, siehe Kapitel 9 in [AK08]. Die Genauigkeit der Näherungslösung hängt dabei kritisch von der Konditionszahl der Matrix ab. Außerdem sollte die Steifigkeitsmatrix dünn besetzt sein. Dies werden wir erreichen, indem wir Basisfunktionen (ϕ 1,...,ϕ N ) wählen, die nur lokale Träger besitzen. Grundlage für den Raum V h wird stets eine Triangulierung bzw. Partition des Gebietes Ω sein. Wir wollen unter anderem hängende Knoten ausschließen und folgen der Definition von P. Ciarlet, siehe Kapitel 2 in [Cia78]. Definition 3.7 (reguläre Triangulierung/Partition) Sei Ω R 2 ein beschränktes Lipschitz-Gebiet mit polygonalem Rand und sei Γ D der abgeschlossene Dirichlet-Rand. Eine Unterteilung T von Ω in endlich viele Drei- und konvexe Vierecke heißt reguläre Triangulierung/Partition von Ω, falls a) T := K T K = Ω, b) für alle K T ist K abgeschlossen und int(k) nicht leer, c) für K 1, K 2 T, K 1 K 2 gilt int(k 1 ) int(k 2 ) =, d) jede Kante eines Elementes K T ist entweder eine Teilmenge von Ω oder eine Kante eines anderen Elementes aus T, e) für alle K T ist K Γ D leer, ein Knoten oder eine Kante. Bemerkung 3.8 Wir werden meist den Begriff der Partition verwenden. Den Begriff der Triangulierung benutzen wir nur, wenn alle verwendeten Elemente Dreiecke sind. 23

28 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE Definition 3.9 (N, E, E D, freie Knoten) N bezeichnet die Menge aller Knoten einer Partition T, E die Menge aller Kanten. Des Weiteren seien N(M) und E(M), zu einer offenen oder abgeschlossenen Menge M mit M 0, definiert durch N(M) := N M, E(M) := E M. Die Menge der Dirichlet-Kanten wird definiert durch E D := E(Γ D ), die Knoten in N \ N(Γ D ) heißen freie Knoten Konforme Methoden Wir beschäftigen uns nun mit dem Fall, dass der diskrete Raum V h eine Teilmenge von V bildet. Die resultierende konforme Finite-Elemente-Methode ist eine spezielle Galerkin Methode. Wir erhalten die Galerkin-Orthogonalität, welche das wesentliche Werkzeug für Fehlerabschätzungen darstellt. Lemma 3.10 (Galerkin-Orthogonalität) Sei u V die Lösung des Variationsproblems (3.4) und u h V h die diskrete Lösung von (3.5). Dann steht der Fehler e := u u h bezüglich a senkrecht auf V h, d.h. für alle v h V h gilt a(e, v h ) := a(u u h, v h ) = 0. (3.6) Beweis. Da V h V, F = F h und a = a h, gilt mit (3.4) und (3.5) a(e, v h ) = a(u, v h ) a(u h, v h ) = F(v h ) F(v h ) = 0. Häufig schätzt man den Fehler e bezüglich := a(, ) 1/2 ab. Handelt es sich bei um eine Norm, so nennt man diese Energienorm. Mithilfe der Elliptizität von a erhalten wir daraus eine Abschätzung in der V -Norm. Satz 3.11 (Céa-Lemma) Sei wieder u V die exakte und u h V h die diskrete Lösung des Variationsproblems. Erfüllt die Bilinearform a die Voraussetzungen von Satz 3.2, dann gilt für den Fehler u u h die quasioptimale Abschätzung u u h V C α inf v h V h u v h V. 24

29 3.3. LÖSUNGSANSÄTZE Beweis. Für ein beliebiges v h V h gilt mit der Elliptizität bzgl. V, der Galerkin-Orthogonalität sowie der Stetigkeit von a, α e 2 V a(e, e) = a(e, u v h) C e V u v h V. Division durch α e V und das Bilden des Infimums liefert die Behauptung. Ist die Bilinearform a nicht elliptisch, erfüllt jedoch eine inf-sup Bedingung wie in Satz 3.4, so erhalten wir eine analoge Abschätzung. Satz 3.12 (Fehlerabschätzung) Seien u V und u h V h die exakte und diskrete Lösung von (3.4) bzw. (3.5). Erfüllt a die Voraussetzungen von Satz 3.4 mit X = Y = V h, so gilt u u h V ( 1 + C ) inf u v h V. α v h V h Beweis. Siehe Seite 215 in [Car09] Beispiele konformer Methoden Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit speziellen Ansätzen für den Raum V h zu V = H 1 D (Ω). Oft wählt man hier stückweise Polynome, wobei stückweise bezüglich einer Partition zu verstehen ist. Dadurch erreicht man das Ziel der lokalen Träger, siehe Bemerkung 3.6. Der erste Schritt besteht daher in der Wahl einer regulären Partition zum beschränkten Lipschitz-Gebiet Ω nach Definition 3.7. Definition 3.13 (stückweise Polynomräume P k, Q k ) Zu einer regulären Partition T sei der Raum der stückweisen Polynome k-ten Grades definiert durch P k (T ) := {v L 2 (Ω) K T : v K ist Polynom k-ten Grades}. Analog wird der Raum der stückweisen Polynome mit partiellem Grad k definiert, Q k (T ) := {v L 2 (Ω) K T : v K ist homogenes Polynom k-ten Grades}. 25

30 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE Das Céa Lemma besagt, wie wichtig die Wahl von V h ist. Daher liegt die Vermutung nahe, bessere Approximationen durch Erhöhung des Polynomgrads zu erreichen. Da die zu approximierende exakte Lösung u im Allgemeinen Regularität zum Rand hin verliert, ist dies nicht immer der richtige Weg. Daher werden wir nur die Räume P 1 (T ) und Q 1 (T ) betrachten. Bessere Approximationen werden dann durch Verfeinerung der Partition erzielt. Zu gegebener Partition T = T 3 T 4 in Dreiecke (T 3 genannt) und konvexe Vierecke (T 4 genannt), definieren wir nun den Raum der global stetigen und lokal linear bzw. bilinearen Funktionen V h := P 1 Q 1 (T ) := [P 1 (T 3 ) Q 1 (T 4 )] V. (3.7) Der Grund für die unterschiedliche Wahl der Polynomart auf Drei- und Vierecken liegt in der resultierenden einfachen Struktur der Basis von V h. Funktionen v h V h sind stets linear auf Kanten und eindeutig bestimmt durch die Werte an den Knoten der Partition. Eine Basis bilden die sogenannten Hutfunktionen (nodale Basisfunktionen). Definition 3.14 (Hutfunktion, nodale Basisfunktion) Sei T eine reguläre Partition und z N ein Knoten. Dann ist die nodale Basisfunktion ϕ z zum Knoten z eindeutig bestimmt durch ϕ z V h, d.h. ϕ z ist stückweise linear bzw. bilinear, und den Knotenwerten { 1 falls x = z, ϕ z (x) = 0 falls x N \ {z}. Bemerkung 3.15 (a) Die Menge {ϕ z } z N bildet eine Zerlegung der 1 auf Ω. (b) Die nodalen Basisfunktionen der freien Knoten z N \ N(Γ D ) bilden eine Basis von V h. Definition 3.16 (Interpolationsoperator I C ) Zu einer regulären Partition T in Drei- und Vierecke und V h wie in (3.7), definiert I C für stetige Funktionen u den Interpolationsoperator I C : C(Ω) V h durch I C u(z) := u(z) für alle Knoten z N. Zu einer hinreichend glatten Lösung u und diskreter Lösung u h V h im Finite-Elemente-Raum nach (3.7), erhalten wir mithilfe des Interpolations- 26

31 3.3. LÖSUNGSANSÄTZE operators I C die a priori Abschätzungen u u h H 1 (Ω) h max D 2 u L 2 (Ω) und u u h L 2 (Ω) h 2 max D2 u L 2 (Ω). Dabei bezeichnet h max den maximalen Durchmesser aller Elemente der Partition T und liefert somit Konvergenz der diskreten Lösung für h max 0. Einen Beweis findet man beispielsweise in Kapitel 4 in [BC04]. Bemerkung 3.17 In manchen Anwendungen benötigt man C 1 -Elemente, also Finite-Elemente- Räume mit V h C 1 (Ω). Hier sei das Argyris-Element genannt, welches lokal 21 Freiheitsgrade besitzt. Siehe dazu Kapitel 3 in [BS08] Nichtkonforme Methoden Im nichtkonformen Fall, also V h V, ist die Konvergenz der diskreten Lösung keine Selbstverständlichkeit. Dafür sind nichtkonforme Ansätze flexibler und bieten zum Beispiel Vorteile bei Problemen mit Nebenbedingungen. Für Fehlerbetrachtungen benötigen wir eine sogenannte gitterabhängige Norm h, da die Norm V möglicherweise nicht auf V h definiert ist. Diese hat zum Beispiel die Form v h := v 2 V,K. K T Für V = H m (Ω) gilt dann v h = v V für alle Funktionen v V. Wir betrachten nun die Verallgemeinerung von Satz Die im nichtkonformen Fall fehlende Galerkin-Orthogonalität führt auf einen zusätzlichen Konsistenzfehler. Satz 3.18 (Strang, [Bra07]) Sei F h eine lineare stetige Abbildung auf V h und a h eine stetige und V h - elliptische Bilinearform auf V h + V bzgl. h, d.h. es existieren positive Konstanten C und α, sodass für alle Funktionen v, u V h + V, und für alle v V h, a h (u, v) C u h v h α v 2 h a h (v, v) gilt. Dann gilt mit exakter Lösung u V und diskreter Lösung u h V h die Abschätzung ( u u h h 1 + C ) inf u v h h + 1 α v h V h α sup a h (u, w h ) F h (w h ). w h V h w h h 27

32 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE Beweis. Die V h -Elliptizität ergibt für ein beliebiges v h V h α u h v h 2 h a h(u h v h, u h v h ) = a h (u v h, u h v h ) + a h (u h u, u h v h ) C u v h h u h v h h + F h (u h v h ) a h (u, u h v h ). Division durch α u h v h h und Dreiecksungleichung liefert u u h h ( 1 + C ) u v h h + 1 a h (u, u h v h ) F h (u h v h ). α α u h v h h Das Bilden des Infimums über V h und die Einführung von w h := u h v h liefern schließlich die Behauptung Beispiele nichtkonformer Methoden Das einfachste Beispiel der nichtkonformen Finite-Elemente-Methode bildet das Crouzeix-Raviart-Element und geht auf [CR73] zurück. Dabei betrachten wir eine Triangulierung T in Dreiecke und stückweise affine Funktionen, die nur stetig in den Mittelpunkten der Kanten sind. Definition 3.19 (Crouzeix-Raviart Elemente nach [CR73]) Sei T eine reguläre Triangulierung von Ω in Dreiecke und Γ D der Dirichlet- Rand. Mit der Bezeichnung mid(e) für den Mittelpunkt einer Kante E, definiert man CR 1 (T ) := P 1 (T ) C(mid(E) E E). Mögliche Randbedingungen am Dirichlet-Rand sind nur auf die Mittelpunkte von Dirichlet-Kanten zu beziehen, CR 1 D(T ) := {v CR 1 (T ) E E D : v(mid(e)) = 0}. Im Fall Ω = Γ D schreibt man auch CR 1 0(T ). Bemerkung 3.20 Im Gegensatz zum konformen Ansatz mit den nodalen Basisfunktionen aus Definition 3.14, bei dem es einen Freiheitsgrad pro freien Knoten gab, sind Crouzeix-Raviart Elemente kantenorientiert. Zu jeder freien Kante in E \ E D gibt es also genau einen Freiheitsgrad. 28

33 3.3. LÖSUNGSANSÄTZE Für das Poisson Beispiel von oben mit V = HD 1 (Ω) gilt offensichtlich CR 1 D (T ) V = H1 D (Ω). Funktionen in CRD 1 (T ) besitzen demnach nicht notwendigerweise eine schwache Ableitung, sodass die Bilinearform a aus (3.2) nicht auf CRD 1 (T ) definiert ist. Allerdings sind solche Funktionen stückweise in H 1 und erlauben mit dem stückweisen Gradienten NC die Definition ˆ a h (u h, v h ) := NC u h NC v h dx := ˆ u h v h dx. Ω T T T In Beispiel 3.3 diskutierten wir Stetigkeit und Elliptizität der Bilinearform a aus (3.2) für den konformen Fall. Statt der verwendeten Friedrichs Ungleichung nutzten wir hier eine diskrete Friedrichs Ungleichung, um die Elliptizität von a h zu beweisen. Satz 3.21 (diskrete Friedrichs Ungleichung) Sei T eine reguläre Triangulierung des beschränkten Lipschitz-Gebiets Ω. Dann existiert eine von der Netzweite und T unabhängige Konstante C Fr mit v h L 2 (Ω) C Fr NC v h L 2 (Ω) für alle v h CR0 1 (T ). Beweis. Siehe Seite 144 in [Car09]. Definition 3.22 (nichtkonformer Interpolationsoperator I NC ) Zu einer regulären Triangulierung T in Dreiecke sei der nichtkonforme Interpolationsoperator I NC : HD 1 (Ω) CR1 D (T ) durch I NC u(mid(e)) := E u ds, für alle Kanten E E, definiert. Bemerkung 3.23 Für alle Funktionen u H 1 (Ω) und alle Dreiecke T T erfüllt der nichtkonforme Interpolationsoperator ˆ ˆ ˆ ˆ Du dx = u ν ds = (I NC u) ν ds = D(I NC u) dx. T T T 29 T

34 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE Eine Möglichkeit von a priori Abschätzungen für Crouzeix-Raviart-Elemente bietet Satz Der Approximationsfehler kann dabei mithilfe des nichtkonformen Interpolationsoperators abgeschätzt werden. Der Konsistenzfehler führt nach partieller Integration auf Sprünge über alle inneren Kanten. Insgesamt erhalten wir für u H 2 (Ω), mit der stückweisen H 1 -Halbnorm h, die Abschätzung u u h h h max D 2 u L 2 (Ω). Für einen Beweis siehe Kapitel 7 in [BC04]. Bemerkung 3.24 Der nichtkonforme Ansatz der Crouzeix-Raviart-Elemente ist auch für Vierecksgitter möglich. Diese Elemente wurden von Park und Sheen eingeführt und stehen im Mittelpunkt dieser Arbeit, siehe Kapitel Gemischte Methoden Bei den gemischten Methoden verwenden wir mehrere Bilinearformen. Ihr Ursprung liegt im Bereich der Sattelpunktprobleme, wie der Stokes-Gleichung, bei der die Nebenbedingung div u = 0 für inkompressible Flüssigkeiten einzuhalten ist. Sie ist jedoch auch für Variationsprobleme ohne Nebenbedingung wie dem Poisson-Problem anwendbar. Die Theorie der gemischten Methoden ist geprägt von der inf-sup-bedingung (auch Ladyzenskaya-Babuska-Brezzi Bedingung), wie sie bereits in Satz 3.4 auftrat Brezzis Splitting Theorem Seien X und Y zwei Hilberträume. Dazu betrachten wir die zwei stetigen Bilinearformen a : X X R und b : X Y R mit a(v, v) 0 für alle v X. Zu F X und G Y wird nun ein Paar (u, p) X Y gesucht mit a(u, v) + b(v, p) = F(v) für v X b(u, q) = G(q) für q Y. (3.8) Die Struktur des Problems beruht auf der klassischen Theorie für Extremwertaufgaben von Lagrange, wie sie bei der Minimierung des Funktionals J(v) = 1 a(v, v) F(v) 2 30

35 3.4. GEMISCHTE METHODEN unter den Nebenbedingungen b(v, q) = G(q) für alle q Y auftritt. Die Frage ist nun, wann die durch (3.8) definierte Abbildung L : X Y X Y (u, p) (F, G) (3.9) einen Isomorphismus definiert. Schreiben wir das Problem mit der Bilinearform A : (X Y ) (X Y ) R ((u, p), (v, q)) a(u, v) + b(v, p) + b(u, q) so können wir die Theorie aus Kapitel 3.2 benutzen. Man kann aber auch die Bilinearformen a und b getrennt betrachten, wie der folgende Satz zeigt. Satz 3.25 (Brezzis Splitting Theorem) Seien a und b zwei Bilinearformen wie zuvor und Z := {x X b(x, y) = 0 für alle y Y }. Ist a zusätzlich symmetrisch und Z-elliptisch und erfüllt b die inf-sup Bedingung b(v, q) β = inf sup q Y \{0} v X q Y v X\{0} für ein β > 0, so erklärt die Abbildung L aus (3.9) einen Isomorphismus. Beweis. Siehe Kapitel 4, Satz 4.3 in [Bra07]. Bemerkung 3.26 Ähnlich wie beim Lax-Milgram Lemma, lässt sich auch Satz 3.25 verallgemeinern. Anstatt Symmetrie und Elliptizität von a genügt die Erfüllung einer inf-sup Bedingung auf Z sowie einer Nicht-Degeneriertheits-Bedingung, siehe [Car09] auf Seite 203. Eine dritte Möglichkeit findet man auf Seite 41 in [BF91], wo Symmetrie und Elliptizität von a durch zwei inf-sup Bedingungen auf Z ersetzt werden Gemischte Methoden mit Strafterm Wir betrachten nun das Problem (3.8) mit einer zusätzlichen Bilinearform c, dem möglichen Strafterm. Dieser bietet zum Beispiel die Möglichkeit des 31

36 KAPITEL 3. FINITE-ELEMENTE-METHODE Übergangs der Stokes-Gleichung zur linearen Elastizitätstheorie. Wir definieren die Bilinearform c : Y Y R. Das dazugehörige Problem lautet: Finde zu F X und G Y ein Paar (u, p) X Y, sodass a(u, v) + b(v, p) = F(v) für v X b(u, q) c(p, q) = G(q) für q Y. (3.10) Die Existenz und Eindeutigkeit solch einer Lösung ergibt sich mit nur wenigen zusätzlichen Voraussetzungen an die Bilinearform c. Satz 3.27 (Existenz und Eindeutigkeit) Die Bilinearformen a und b erfüllen die Voraussetzungen von Satz 3.25 oder die Verallgemeinerung nach Bemerkung Zusätzlich sei die Bilinearform c stetig und es gelte c(q, q) 0 für alle q Y. Dann wird durch (3.10) ein Isomorphismus L : X Y X Y erklärt. Beweis. Siehe Kapitel 4, Satz 4.11 in [Bra07]. 32

37 Kapitel 4 Park-Sheen Elemente Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Park-Sheen Elementen und dessen Verallgemeinerung auf beliebige Partitionen in Drei- und konvexe Vierecke. Dabei handelt es sich, wie bei den Crouzeix-Raviart Elementen in Definition 3.19, um stückweise lineare Funktionen, die stetig in den Kantenmittelpunkten sind. Eingeführt wurden diese Elemente 2003 in [PS03] bzw.[par03]. In dieser Arbeit sind Vierecke stets abgeschlossen und konvex mit Innenwinkeln echt kleiner als π. Zusätzlich seien alle Gebiete Ω polygonal berandet und Partitionen regulär nach Definition 3.7. Definition 4.1 (Kanten-Nachbar, R k, Kanten-zusammenhängend) Zwei Elemente A und B einer Partition T heißen Kanten-Nachbarn, bzw. es gilt ARB, falls sie eine gemeinsame Kante besitzen, also E(A) E(B) E. Es gilt AR k B für k 1 falls ARB oder Elemente C 1,...,C m T, m k 1, existieren mit ARC 1, C 1 RC 2,...,C m RB. Zwei Elemente A und B heißen Kanten-zusammenhängend, falls AR B. Bemerkung 4.2 (Kanten-Zusammenhangskomponente) Die Relation R ist eine Äquivalenzrelation und definiert Äquivalenzklassen, die Kanten-Zusammenhangskomponenten genannt werden. Die Definition der Park-Sheen Elemente ist identisch zu den Crouzeix-Raviart- Elementen aus Definition 3.19, mit der Ausnahme, dass nun auch Vierecke erlaubt sind. Definition 4.3 (Park-Sheen Elemente) Zu einer Kanten-zusammenhängenden Partition T in Drei- und Vierecke wird der nichtkonforme Finite-Elemente-Raum der Park-Sheen Elemente de- 33

38 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE finiert durch PS(T ) := P 1 (T ) C(mid(E) E E). 4.1 Nichtkonforme P 1 -Elemente auf Vierecksgittern Wie bei den nichtkonformen Elementen auf Dreiecken, werden wir auch hier nur die Werte an Kantenmittelpunkten vorgeben. Dass es genau so viele Freiheitsgrade gibt wie Kanten, können wir allerdings nicht erwarten, da ein Viereck aus vier Kanten besteht, eine affine Funktion f(x, y) = a + bx + cy dagegen nur über drei Freiheitsgrade verfügt. Im ersten Teil betrachten wir nur Kanten-zusammenhängende Partitionen T in Vierecke eines einfach zusammenhängenden Gebiets Ω. Um zu verdeutlichen, dass eine Partition nur aus Vierecken besteht, schreiben wir T 4. Wie zuvor bezeichnen E und N die Menge der Kanten bzw. Knoten von T 4. Definition 4.4 (E(z)) Zu einer Partition T und einem Knoten z N, bezeichnet E(z) die Menge aller Kanten mit Endpunkt z, Diagonalregel E(z) := {E E z N(E)}. Gegeben sei ein Viereck Q und vier Werte an den Kantenmittelpunkten m 1,...,m 4. Die Frage ist, wann man eine affine Funktion durch diese Werte legen kann. Entscheidend dafür ist die Eigenschaft, dass die vier Kantenmittelpunkte eines konvexen Vierecks stets ein Parallelogramm bilden. Lemma 4.5 (Diagonalregel, [PS03]) Zu gegebenen Werten u j an den Kantenmittelpunkten m j, 1 j 4, existiert genau dann eine affine Funktion u P 1 (Q) mit u(m j ) = u j, falls u 1 + u 3 = u 2 + u 4. Beweis. Es seien z 1,...,z 4 die Knoten von Q und u P 1 (Q). Dann gilt u(m 1 ) + u(m 3 ) = u(z 4) + u(z 1 ) 2 + u(z 2) + u(z 3 ) 2 = u(m 2 ) + u(m 4 ). 34

39 4.1. NICHTKONFORME P 1 -ELEMENTE AUF VIERECKSGITTERN z 4 m 4 z 3 m 1 m 3 m 2 z 1 z 2 Abbildung 4.1: Die Mittelpunkte eines konvexen Viereckes bilden stets ein Parallelogramm. Seien nun u j gegeben mit u 1 + u 3 = u 2 + u 4 und u P 1 (Q) die eindeutig bestimmte affine Funktion mit u(m 1 ) = u 1, u(m 2 ) = u 2 und u(m 3 ) = u 3. Mit der Rechnung oben folgt dann auch u(m 4 ) = u Nodale Basisfunktion I Obwohl Funktionen in PS(T ) durch die Werte in den Kantenmittelpunkten definiert werden, sind die Basisfunktionen knotenorientiert. Wir sprechen daher auch hier von nodalen Basisfunktionen. Definition 4.6 (nodale Basisfunktion I) Zu einer Kanten-zusammenhängenden Partition T 4 eines Lipschitz-Gebiets ist die nodale Basisfunktion ϕ z zum Knoten z N eindeutig bestimmt durch ϕ z PS(T 4 ) und { 1 falls E E(z), ϕ z (mid(e)) = (4.1) 0 falls E E \ E(z), für alle Kanten E E. Bemerkung 4.7 (a) Die Funktion ϕ z erfüllt alle Diagonalregeln, da die von Null verschiedenen Werte an Kantenmittelpunkten an benachbarten Kanten auftreten. Somit ist ϕ z PS(T 4 ) wohldefiniert. (b) Mit einer Aufzählung E = {E 1,..., E E } lässt sich u PS(T 4 ) repräsentieren durch den Vektor x u R E, definiert durch x u (j) := u(mid(e j )) für alle j = 1,..., E. 35

40 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE Dieser enthält alle Funktionswerte an den Kantenmittelpunkten, wo u stetig ist. Seien E j1,...,e j4 die vier Kanten eines Vierecks Q j T 4 und M { 1, 0, 1} T 4 E die Matrix, gegeben durch 1 falls k = j 1 oder k = j 3, M jk = 1 falls k = j 2 oder k = j 4, 0 sonst, für j = 1,..., T 4, k = 1,..., E. Diese kodiert alle T 4 Diagonalregeln, d.h. für u PS(T 4 ) gilt dann Mx u = 0. Sei umgekehrt v C(Ω) mit Vektor x v wie oben. Dann impliziert Mx v = 0 die eindeutige Existenz einer diskreten Funktion v PS PS(T 4 ) mit v(mid(e j )) = v PS (mid(e j )) für alle j = 1,..., E. Eine Basis des Finite-Elemente-Raums der Park-Sheen Elemente für Partitionen in Vierecke einfach zusammenhängender Gebiete liefert der nachfolgende Satz. Den Beweis findet man in Kapitel 2.3 von [PS03]. Die Verallgemeinerung auf beliebige Partitionen werden wir in Kapitel 4.3 vorstellen. Satz 4.8 (Park und Sheen, 2003, [PS03]) Sei T 4 eine Kanten-zusammenhängende Partition des einfach zusammenhängenden Lipschitz-Gebiets Ω R 2 in konvexe Vierecke und {ϕ i } i=1,..., N die Menge der nodalen Basisfunktionen aus Definition 4.6. Dann hat PS(T 4 ) die Dimension E T 4 = N 1 und für jedes j 0 {1,..., N } ist (ϕ 1,..., ϕ j0,..., ϕ N ) := (ϕ 1,...,ϕ j0 1, ϕ j0 +1,...,ϕ N ) eine Basis von PS(T 4 ). Bemerkung 4.9 Der Satz besagt unter anderem, dass alle Diagonalregeln, im Sinne der Matrix M aus Bemerkung 4.7(b), voneinander linear unabhängig sind. Die Matrix M hat also vollen Rang Nodale Basisfunktion II Obwohl wir bei Ω von einem Lipschitz-Gebiet ausgehen, müssen wir im Folgenden auch nicht-lipschitz-gebiete in Betracht ziehen. Dies ist nötig, da später, bei Partitionen in Drei- und Vierecke, jede Kanten-Zusammenhangskomponente von Vierecken einzeln betrachtet wird. Dass so eine Kanten- Zusammenhangskomponente keine Partition eines Lipschitz-Gebiets sein muss, 36

41 4.2. KANTENWEGE sieht man in Abbildung 4.3 (Die Löcher wären in der Ausgangspartition mit je zwei Dreiecken besetzt). In solch einem Fall erlauben wir mehrere nodale Basisfunktionen pro Knoten. Zu einem Knoten z n N betrachten wir die Menge benachbarter Vierecke T 4 (z n ) := {Q T 4 z n N(Q)} und deren Unterteilung in M n paarweise disjunkte Kanten-Zusammenhangskomponenten C n,1,...,c n,mn, T 4 (z n ) = C n,1 C n,2... C n,mn. (4.2) Als Beispiel betrachte man Abbildung 4.2. Man beachte, dass für Lipschitz- Gebiete M 1 = M 2 = = M N = 1 gilt. Q 3 Q 2 Q 5 z 1 z 2 Q 1 Q 4 Abbildung 4.2: Zwei Beispiele zu (4.2): (links) T 4 (z 1 ) = C 1,1 = {Q 1, Q 2, Q 3 } mit M 1 = 1 und (rechts) T 4 (z 2 ) = C 2,1 C 2,2 mit C 2,1 = {Q 4 }, C 2,2 = {Q 5 } mit M 2 = 2. Definition 4.10 (nodale Basisfunktion II) Zu einem Knoten z n N, mit benachbarten Vierecken T 4 (z n ) und deren Zerlegung T 4 (z n ) = C n,1... C n,mn, werden M n nodale Basisfunktionen ϕ n,1,...,ϕ n,mn PS(T 4 ) auf folgende Weise definiert: Zu gegebener Partition C n,m wird die nodale Basisfunktion ϕ PS(C n,m ) bzgl. z n aus Definition 4.6 durch Null zu einer Funktion ϕ n,m PS(T 4 ) fortgesetzt. 4.2 Kantenwege Für die Verallgemeinerung von Satz 4.8 beschäftigen wir uns nun mit mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Dabei werden wir feststellen, dass eine neue Form von Basisfunktionen von Nöten ist. Definition 4.11 (mehrfach zusammenhängend) Ein beschränktes Gebiet Ω R 2 heißt k-fach zusammenhängend, falls Ω 37

42 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE aus genau k paarweise disjunkten Zusammenhangskomponenten besteht, Ω = Γ 0 Γ 1... Γ k 1. Dabei ist Γ 0 der Rand der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von R 2 \ Ω. Γ 0 Γ 1 Γ 0 Γ 1 Γ 0 Γ 0 Abbildung 4.3: Beispiel eines (links) einfach- und (rechts) zweifachzusammenhängenden nicht-lipschitz-gebietes. Beispiel 4.12 (Bedarf neuer Basisfunktionen) Sei T 4 die Partition des Gebiets Ω = ( 1, 2) 2 \[0, 1] 2 in 8 Quadrate der Größe 1, wie in Abbildung 4.4 dargestellt. Die linke Seite zeigt die nodalen Basisfunktionen ϕ 1, +ϕ 2,..., ϕ 16. Dabei sind ϕ 1,...,ϕ 15 linear unabhängig und PS(T 4 ) ist von Dimension 15. Offensichtlich gilt ϕ 16 = ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 14 + ϕ 15 und somit ϕ 16 span{ϕ 1,..., ϕ 15 }. Die rechte Seite von Abbildung 4.4 definiert die Funktion ψ PS(T 4 ) \ span{ϕ 1,...,ϕ 15 }. Dass ψ nicht von den nodalen Basisfunktionen erzeugt werden kann, zeigt das lineare Funktional l : PS(T 4 ) R v v(1/2, 0) + v(1/2, 1) v(0, 1/2) v(1, 1/2) und die Rechnung l(ϕ 1 ) = = l(ϕ 15 ) = 0 1 = l(ψ). 38

43 4.2. KANTENWEGE +ϕ 13 ϕ 14 +ϕ 15 ϕ 16 ϕ 9 +ϕ 10 ϕ 11 +ϕ 12 +ϕ 5 ϕ 6 +ϕ 7 ϕ ψ ϕ 1 +ϕ 2 ϕ 3 +ϕ 4 Abbildung 4.4: Nodale Basisfunktionen ϕ 1,...,ϕ 16 aus Definition 4.6 (links) sind linear abhängig, beinhalten aber nicht die Funktion ψ PS(T 4 ) (rechts), wie Beispiel 4.12 zeigt. Bemerkung 4.13 Der Aufbau des linearen Funktionals in Beispiel 4.12 zeigt den Grund, warum in diesem Beispiel nodale Basisfunktionen nicht ausreichen. Jede dieser Funktionen erfüllt automatisch auch die Diagonalregel des Quadrats, welches aus ( 1, 2) 2 ausgeschnitten wurde. Funktionen vom Typ ψ, wie in Beispiel 4.12, verbinden in gewisser Art die verschiedenen Zusammenhangskomponenten von R 2 \ Ω und werden nun näher betrachtet. Definition 4.14 (Kantenweg) Sei T 4 eine Kanten-zusammenhängende Partition in Vierecke eines k-fach zusammenhängenden Gebiets Ω R 2 mit k 2. Ferner seien Γ a und Γ b zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten von Ω. Zu einer Subpartition {Q 1,...,Q J } T 4, die (in sich) Kanten-zusammenhängend ist, E(Q 1 ) E(Γ a ) und E(Q J ) E(Γ b ) sowie E j+1 := E(Q j ) E(Q j+1 ) E, j = 1,..., J 1 erfüllt, wähle man Kanten E 1 E(Q 1 ) E(Γ a ) und E J+1 E(Q J ) E(Γ b ). 39

44 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE Dann ist ein Kantenweg ψ PS(T 4 ) definiert durch 1 falls m = mid(e 1 ), ψ(m) := ±1 falls m = mid(e j ) für j = 2,..., J, 0 für alle anderen Kantenmittelpunkte. (4.3) Dabei sind die Vorzeichen eindeutig durch die Diagonalregeln bestimmt. Genauer gilt für j = 1,...,J 1, ψ(mid(e j+1 )) = ψ(mid(e j )), falls E j E j+1 und ψ(mid(e j+1 )) = ψ(mid(e j )), falls E j E j+1 =. Γ a Q Γ b Abbildung 4.5: Illustration von ψ aus Definition Da E(Γ a ) E(Q 1 ) zwei Kanten beinhaltet, existieren mehrere Möglichkeiten für die Wahl von ψ. Bemerkung 4.15 (a) Nach Definition gilt supp ψ = Q 1 Q J. (b) Die Wahl von E 1 und E J ist nicht eindeutig, siehe Abbildung 4.5. Auch die Wahl der Subpartition {Q 1,...,Q J } und somit supp ψ ist nicht eindeutig, sodass es es für ψ viele Möglichkeiten gibt. 4.3 Basis von PS(T ) Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Basis des Finite-Elemente-Raums P S(T ) für beliebige Partitionen in Drei- und Vierecke und verallgemeinert damit Satz 4.8. Dabei betrachten wir zunächst Partitionen mehrfach zusammenhängender Gebiete in Kanten-zusammenhängende Vierecke. Der allgemeine Fall ergibt sich dann als Folgerung. Satz 4.16 (Basis für mehrfach zusammenhängende Gebiete) Sei T 4 eine reguläre Partition eines k-fach zusammenhängenden Gebiets 40

45 4.3. BASIS VON PS(T ) Ω R 2 in Kanten-zusammenhängende Vierecke. Dann hat PS(T 4 ) die von k unabhängige Dimension dim(ps(t 4 )) = E T 4. Für n = 1,..., N, m = 1,..., M n seien ϕ n,m die nodalen Basisfunktionen aus Definition 4.10 und (für k 2) ψ 1,...,ψ k 1 Kantenwege aus Definition Dabei verbindet jeder Kantenweg zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten von Ω, sodass jede Randkomponente zumindest einmal auftritt. Dann ist für jedes Paar (n 0, m 0 ), n 0 {1,..., N }, m 0 {1,..., M n0 }, (ψ 1,...,ψ k 1, ϕ 1,1,...,ϕ 1,M1, ϕ 2,1,..., ϕ n0,m 0,...,ϕ N,M N ) (4.4) eine Basis von PS(T 4 ). Beweis. Die Argumente für den Beweis von dim(ps(t 4 )) E T 4 auf Seite 632 in [PS03] gelten auch für den Fall von mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Es bleibt zu zeigen, dass es sich bei (4.4) um E T 4 linear unabhängige Funktionen handelt. Der Beweis nutzt vollständige Induktion über die Anzahl der Elemente in T 4. Der Induktionsanfang, T 4 = 1, folgt aus Satz 4.8. Es gelte die Behauptung für Partitionen in n Vierecke. Es sei nun T 4 eine beliebige Partition in n Kanten-zusammenhängende Vierecke. Wähle ein Viereck Q T 4 mit E(Q) E( Ω), sodass auch die Partition S 4 := T 4 \ {Q} Kanten-zusammenhängend ist. Die Induktionsvoraussetzung liefert dann eine Basis von PS(S 4 ). Es ergeben sich vier Fälle: 1. Fall: E(Q) E(S 4 ) = 1 (siehe Abbildung 4.6). Man betrachtet zunächst alle Basisfunktionen von PS(S 4 ), die im Punkt M 1 verschwinden. Solche Funktionen werden trivial mit Null fortgesetzt. Alle anderen Basisfunktionen ϕ werden mit ϕ(m 4 ) := ϕ(m 1 ) und ansonsten Null fortgesetzt, sodass die Diagonalregel auf Q erfüllt ist. Alle so fortgesetzten Funktionen bleiben linear unabhängig in PS(T 4 ). Zusammen mit den nodalen Basisfunktionen der Knoten A und B, ergibt das ( E 3) S = ( E 3) ( T 4 1) + 2 = E T 4 linear unabhängige Funktionen. Letztere sind aufgrund ihrer Funktionswerte in M 3 linear unabhängig. 41

46 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE 2. Fall: E(Q) E(S 4 ) besteht aus genau zwei benachbarten Kanten (siehe Abbildung 4.6). Wie zuvor werden alle Basisfunktionen ϕ von PS(S 4 ) durch ϕ(m 4 ) := ϕ(m 1 ) ϕ(m 2 ) und ϕ(m 3 ) := 0 fortgesetzt, sodass die Diagonalregel auf Q erfüllt ist. Die nodale Basisfunktion im Knoten A ist aufgrund des Funktionswertes in M 3 linear unabhängig. Damit sind es insgesamt linear unabhängige Funktionen. ( E 2) S = E T 4 A M 3 B A M 3 Q Q M 4 M 4 M 2 M 1 M 1 S 4 l S 4 l Abbildung 4.6: Situation des (links) ersten und (rechts) zweiten Falls im Beweis von Satz Fall: E(Q) E(S 4 ) besteht aus genau zwei gegenüberliegenden Kanten (siehe Abbildung 4.7). Alle Basisfunktionen von PS(S 4 ) werden so fortgesetzt, dass die Diagonalregel auf Q erfüllt ist und sie in M 1 verschwinden. Anders als bisher wird in diesem Fall die Topologie verändert: Eine Randkomponente wird geteilt, sodass ein Kantenweg nach Definition 4.14 eingefügt werden muss. Dieser ist definiert durch die Werte 1 bei M 1, 1 bei M 3 und Null an allen anderen Kantenmittelpunkten. Offensichtlich sind diese Funktionen linear unabhängig. Zudem ist mithilfe der Induktionsvoraussetzung sichergestellt, dass zu jeder Randkomponente ein Kantenweg existiert. Die gleiche Rechnung wie im zweiten Fall zeigt die Behauptung. M 3 M 3 Q Q M 4 M 2 S 4 l M 1 S 4 l S 4 l Abbildung 4.7: Situation des (links) dritten und (rechts) vierten Falls im Beweis von Satz

47 4.3. BASIS VON PS(T ) 4. Fall: E(Q) E(S 4 ) = 3 (siehe Abbildung 4.7). Da ( E 1) S 4 = E T 4, müssen die Basisfunktionen von PS(S 4 ) lediglich der Diagonalregel entsprechend fortgesetzt werden. Die so konstruierte Basis von PS(T 4 ) stimmt möglicherweise nicht vollständig mit (4.4) überein. Eine entsprechende Wahl der Basis von PS(S 4 ) und einfache Linearkombinationen (vor allem mit den neu hinzugefügten Basisfunktionen) führen zur Behauptung. Bemerkung 4.17 Sei B die ( E T 4 ) E Matrix, bei der B αβ dem Funktionswert der α-ten Basisfunktion von (4.4) am Mittelpunkt der β-ten Kante gleicht. Die Matrix M bezeichne wieder die Matrix, die alle Diagonalregeln beinhaltet, wie in Bemerkung 4.7.(b). Satz 4.16 besagt nun, dass ein Vektor x, genau dann Mx = 0 erfüllt, wenn x eine Linearkombination der Zeilen von B ist. Dann repräsentiert der Vektor x die Funktion in P S(T ) mit den entsprechenden Werten in den E Kantenmittelpunkten. Der folgende Satz liefert schließlich eine Basis für den Raum der Park-Sheen Elemente auf beliebigen Partitionen in Drei- und Vierecke. Satz 4.18 (Basis von PS(T )) Sei T = T 3 T 4 eine reguläre Partition eines beschränkten Lipschitz-Gebiets Ω in Drei- (T 3 ) und konvexe Vierecke (T 4 ). Zudem sei T 4 in disjunkte Kanten-Zusammenhangskomponenten zerlegt, T 4 = C 1 C 2... C K. Zu jeder Zusammenhangskomponente C k, k = 1,...,K, sei (f k,1,..., f k, Bk ) eine Basis von PS(C k ) nach Satz F k,j PS(T ) bezeichnet die Fortsetzung von f k,j, die auf allen Mittelpunkten von Kanten in E \E(C k ) verschwindet, k = 1,...,K, j = 1,..., B k. Zu einer Aufzählung E(T 3 ) \ E(T 4 ) = {E 1,...,E L } bezeichne ferner φ E die Crouzeix-Raviart Basisfunktion zur Kante E, d.h. φ E hat den Wert 1 bei mid(e) und den Wert 0 an den Mittelpunkten von E \ {E}. Dann ist eine Basis von PS(T ). (F 1,1,...,F 1, B1, F 2,1,..., F K, BK, φ E1,...,φ EL ) (4.5) Beweis. Betrachtet wird zunächst eine Linearkombination der Funktionen in (4.5), die an allen Kantenmittelpunkten verschwindet. Da an den Mittelpunkten von E(T 3 ) \ E(T 4 ) jeweils nur eine Funktion von (4.5) ungleich 43

48 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE Null ist, müssen die Koeffizienten von {φ Ej } j=1,...,l Null sein. Die Komponenten C k sind nicht Kanten-zusammenhängend und können daher separat betrachtet werden. Da mit B k jeweils eine Basis gegeben ist, folgt die lineare Unabhängigkeit von (4.5). Sei nun u PS PS(T ) beliebig. Offensichtlich spannen die Funktionen in (4.5) den Raum PS(T 4 ) auf, sodass die Werte von u PS an den Mittelpunkten von E(T 4 ) konstruiert werden können. Für jede verbleibende Kante existiert eine Crouzeix-Raviart Basisfunktion. Bemerkung 4.19 Für beliebige Partitionen in Drei- und Vierecke gilt dim(ps(t )) = E T Konsistente Dirichlet-Daten Bisher haben wir auf jegliche Randbedingungen verzichtet. Dies ändern wir nun, indem wir Funktionswerte an den Mittelpunkten von Randkanten vorgeben. Bei Partitionen in Dreiecke, also im Fall von Crouzeix-Raviart Elementen, ist dies ohne Einschränkungen möglich. Bei Vierecken ist die Forderung nach konsistenten Randdaten nicht trivial. Man denke beispielsweise an ein einzelnes Viereck, wo wir aufgrund der Diagonalregel nicht vier beliebige Werte vorgeben können. Definition 4.20 (konsistente Randdaten) Dirichlet-Daten, d.h. vorgegebene Werte an den Mittelpunkten von E(Γ D ), heißen konsistent, falls eine Linearkombination von Funktionen in P S(T ) existiert, die die gegebenen Randwerte annimmt. Beispiel 4.21 Für jede Kanten-zusammenhängende Partition eines einfach zusammenhängenden Gebiets in Vierecke existieren inkonsistente Randdaten. E 1 x ϕ A -x ϕ B Abbildung 4.8: Inkonsistente Dirichlet-Daten. 44

49 4.4. KONSISTENTE DIRICHLET-DATEN Beweis. Da das zugrunde liegende Gebiet einfach zusammenhängend ist, gibt es eine gerade Anzahl von Randkanten.Die Randbedingungen sind gegeben durch den Wert 1 an einer Randkante E 1 = conv{a, B} und 0 sonst. Nur die Funktionen ϕ A und ϕ B sind ungleich Null bei mid(e 1 ). Der Ansatz x mal ϕ A und sukzessive ±x mal die entsprechende nodale Basisfunktion, um die 0-Randdaten zu erzeugen, führt (wegen der geraden Anzahl von Randkanten) auf x mal ϕ B. Folglich ergibt sich der Wert x x = 0 im Mittelpunkt der Kante E 1 und somit ein Widerspruch Bemerkung 4.22 Inkonsistente Randdaten auf PS(T ) sind immer von der Form wie in Beispiel 4.21 beschrieben. Zu gegebenen inkonsistenten Randdaten können wir also eine Linearkombination von Basisfunktionen addieren, sodass genau eine Kante existiert mit einem von Null verschiedenen Wert. Der folgende Satz gibt Aufschluss, wie man einer Partition ansehen kann, ob inkonsistente Daten möglich sind. Satz 4.23 Seien Γ 0,...,Γ k 1 die Zusammenhangskomponenten von Ω und T eine Kanten-zusammenhängende Partition von Ω in Drei- und Vierecke. Dann sind jegliche Randdaten konsistent genau dann, wenn eine Komponente Γ j0 existiert, die eine Kante eines Dreiecks beinhaltet oder aus einer ungeraden Anzahl von Kanten besteht. Beweis. Bestehen alle Randkomponenten aus einer geraden Anzahl von Viereckskanten, so können inkonsistente Daten analog zu Beispiel 4.21 konstruiert werden. Für die andere Richtung konstruiert man die Randdaten mit dem Wert 1 an einer beliebigen Kante E und 0 sonst. Aufgrund der Kantenwege, die alle Randkomponenten miteinander verbinden, reicht es Kanten auf Γ j0 zu betrachten. Auf Kanten von Dreiecken ist nichts zu zeigen, sei also E = conv{a, B} Kante eine Vierecks. Der Ansatz mit 1/2 mal ϕ A und 1/2 mal ϕ B und entsprechend ±1/2 mal die restlichen nodalen Basisfunktionen am Rand führt zum Ziel. Ein Widerspruch kann aufgrund der Voraussetzung nicht auftreten. Sei B die Matrix aus Bemerkung 4.17, d.h. B αβ ist gleich dem Wert der α-ten Basisfunktion von P S(T ) am Mittelpunkt der β-ten Kante. Zu einer Aufzählung der Dirichlet-Kanten E D = {E 1,...,E ED } E bezeichne b D 45

50 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE R E D den Vektor der Dirichlet-Daten und, in Matlab-Notation, B D := B(:, E D ) eine Teilmatrix von B. Dann lässt dich die Dirichlet-Randbedingung schreiben als B t Dx = b D, wobei x den Koeffizientenvektor zur Basis von P S(T ) bezeichnet. Existiert solch ein x R dim(ps(t )), so sind die gegebenen Randdaten konsistent. Allerdings kann es mehrere Lösungen geben, siehe zum Beispiel die nicht triviale Darstellung von Null-Randdaten ϕ 7 ϕ 6 +ϕ 10 ϕ 11 auf der linken Seite von Abbildung 4.4. Bemerkung 4.24 Konsistente Randdaten sind notwendig für die Existenz diskreter Lösungen. Hinreichende Bedingungen betrachten wir in Satz 5.5. Es bleibt die Frage, wie man mit inkonsistenten Dirichlet-Daten umgeht. Hier haben wir zwei Möglichkeiten: Abändern der Partition: Satz 4.23 besagt, dass die Aufteilung eines Vierecks am Rand in zwei Dreiecke zu konsistenten Randdaten führt. Abändern der Daten: Statt b D betrachtet man dessen Projektion b con D in den Raum der konsistenten Daten. Dieser bildet einen E D 1 dimensionalen Unterraum von R E D. Im folgenden Abschnitt stellen wir einen Operator vor, der in den Raum der Park-Sheen Elemente abbildet. Diese Eigenschaft garantiert dann auch konsistente Randdaten. 4.5 Approximationsoperator Für Crouzeix-Raviart Elemente (siehe Kapitel 3.3.4) definierten wir einen nichtkonformen Interpolationsoperator I NC : H 1 (Ω) CR 1 (T 3 ) = PS(T 3 ), der auf allen Dreiecken T T 3 die Eigenschaft ˆ ˆ Du dx = D(I NC u) dx (4.6) T T erfüllt. Dies führt zu guten Approximationsergebnissen, sodass wir einen Operator mit der gleichen Eigenschaft für den Raum der nichtkonformen 46

51 4.5. APPROXIMATIONSOPERATOR Park-Sheen Elemente suchen. Da wir für jedes Viereck die Diagonalregel (Lemma 4.5) erfüllen müssen, können wir den obigen Ansatz nicht verwenden. Stattdessen benutzen wir den nichtkonformen Interpolationsoperator aus [PS03]. Definition 4.25 (Approximationsoperator J ) Es bezeichne J : C(Ω) P S(T ) den Approximationsoperator mit J ϕ(m) := 1 2 (ϕ(v 1) + ϕ(v 2 )), für eine stetige Funktion ϕ und alle Kantenmittelpunkte m mid(e). Dabei bezeichnen v 1 und v 2 die Endpunkte der Kante mit Mittelpunkt m. Bemerkung 4.26 Es ist leicht zu sehen, dass J ϕ in PS(T ) liegt (also alle Diagonalregeln erfüllt) und eindeutig durch die Werte an den Kantenmittelpunkten definiert ist. Somit ist J wohldefiniert. Bemerkung 4.27 (nodale Interpolation auf Dreiecken) Sei T ein Dreieck mit Knoten v 1, v 2, v 3 und ϕ H 2 (T). Dann liefert der Approximationsoperator J die durch J ϕ(m j ) = (ϕ(v j ) + ϕ(v j+1 ))/2, j = 1, 2, 3, eindeutig definierte affine Funktion. Der nodale Interpolationsoperator I C hat die gleiche Eigenschaft, sodass auf Dreiecken J = I C gilt. Bemerkung 4.28 Da der Approximationsoperator J an den Knoten interpoliert, ist das Bild von J stets knotenorientiert. Dadurch kann beispielsweise der Kantenweg ψ aus Abbildung 4.4 nicht durch J erzeugt werden Abschätzung von w J w H1 (Q) In Vorbereitung auf die a priori Fehlerabschätzung in Kapitel 5.3, wollen wir nun für eine H 2 -Funktion w die L 2 -Norm sowie die H 1 -Halbnorm von w J w abschätzen. Wir beschränken uns dabei auf ein konvexes Viereck Q mit Voraussetzungen wie in Kapitel 2.1 sowie Konstanten ω 0 und θ 0. Der Beweis der Abschätzung nutzt die bekannten Interpolationsfehlerabschätzungen aus Lemma Satz 4.29 Sei Q ein konvexes Viereck mit Konstanten ω 0 und θ 0. Ferner bezeichne C(α) 47

52 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE zu einem Winkel α die Konstante ( ) 1/4 + 2/π 2 1/2 C(α) =. 1 cosα Dann gelten für eine Funktion w H 2 (Q) die Abschätzungen (w J w) L 2 (Q) C(θ 0 ) h Q D 2 w L 2 (Q), (4.7) w J w L 2 (Q) (2C(ω 0 ) + C(θ 0 )/2) h 2 Q D2 w L 2 (Q). (4.8) P 3 m 2 T 1 T 2 F θ T b m 1 E T a P 2 P 4 P 1 Abbildung 4.9: Unterteilung des Vierecks Q in jeweils zwei Dreiecke durch die Diagonalen, wie in Satz Beweis. Sei E = conv{p 1, P 3 } die Diagonale, die das Viereck Q in die beiden Dreiecke T 1 = conv{p 2, E} und T 2 = conv{p 4, E} teilt. τ 1 := (P 3 P 1 )/ P 3 P 1 bezeichne den Tangenteneinheitsvektor zu E. Mit Kantenmittelpunkten m 1 und m 2 (siehe Abbildung 4.9) gilt J w(p 3 ) J w(p 1 ) = 2J w(m 2 ) 2J w(m 1 ) = w(p 3 ) w(p 1 ). Mit e := w J w und f := e τ 1 folgt ffl f ds = 0. Die Spur Identität (2.2), E angewendet auf T 1, zeigt f dx = 1 (x P 2 ) f dx T1 2 T1 1 2 T 1 x P 2 L 2 (T 1 ) f L 2 (T 1 ) h T 1 8 T1 f L 2 (T 1 ). 48

53 4.5. APPROXIMATIONSOPERATOR Mit dem Satz des Pythagoras, f := fflt 1 f dx und der Poincaré Abschätzung nach Payne-Weinberger (2.1) ergibt sich somit f 2 L 2 (T 1 ) = f f 2 + ( L 2 (T 1 f 2 1 ) L 2 (T 1 ) h2 T 1 π + 1 ) f 2 2 L 8 2 (T 1 ). Gleiches gilt auch auf T 2. Ersetzt man τ 1 durch τ 2, den Tangenteneinheitsvektor zur Diagonale F = conv{p 2, P 4 }, so ergibt sich die gleiche Rechnung auch auf den Dreiecken T a und T b. Auf Seite 83 in [Car08] wird gezeigt, dass alle a R 2 die Ungleichung a 2 (a τ 1) 2 + (a τ 2 ) 2 1 τ 1 τ 2 erfüllen. Die Auswertung für a := e(x), anschließende Integration über x Q sowie die Identität τ 1 τ 2 = cos(θ 0 ) zeigen e 2 L 2 (Q) e τ 1 2 L 2 (T 1 ) + e τ 1 2 L 2 (T 2 ) + e τ 2 2 L 2 (T a) + e τ 2 L 2 (T b ) 1 cosθ 0 und schließlich die erste Behauptung (4.7). Die L 2 -Norm von w J w wird mithilfe der Dreiecksungleichung und des nodalen Interpolationsoperators I C aus Definition 3.16 zerlegt. Dieser wird bezüglich der Dreiecke T 1 und T 2 betrachtet. Der Fehler w I C w L 2 (Q) wurde bereits in (2.6) abgeschätzt, daher bleibt nur noch g := I C w J w abzuschätzen. Auf T 1 verschwindet g entlang m 1 m 2, sodass zu jedem Punkt y T 1 ein Punkt x auf m 1 m 2 existiert mit g(y) = g(x) + g T1 (y x) = g T1 (y x). Gleiches gilt auf T 2 und es folgt g 2 L 2 (Q) = g 2 L 2 (T 1 ) + g 2 L 2 (T 2 ) h2 Q 4 ˆT1 g(y) 2 dx + h2 Q 4 = h 2 Q/4 g 2 L 2 (Q). ˆ T 2 g(y) 2 dx Um den Gradienten von g abzuschätzen, verwendet man (4.7) und die Interpolationsfehlerabschätzung (2.5). Die darin enthaltene Konstante enthält den größten Innenwinkel von T 1 bzw. T 2. Da diese jeweils zwischen ω 0 und π ω 0 liegen, ist die auftretende Konstante kleiner oder gleich C(ω 0 ). Daher gilt g L 2 (Q) (I C w w) L 2 (Q) + (w J w) L 2 (Q) (C(ω 0 ) + C(θ 0 ))h Q D 2 w L 2 (Q) 49

54 KAPITEL 4. PARK-SHEEN ELEMENTE und somit w J w L 2 (Q) w I C w L 2 (Q) + g L 2 (Q) 5/3 C(ω 0 )h 2 Q D2 w L 2 (Q) + C(ω 0) + C(θ 0 ) h 2 Q 2 D2 w L 2 (Q) (2C(ω 0 ) + C(θ 0 )/2)h 2 Q D2 w L 2 (Q). 50

55 Kapitel 5 Fehleranalysis Wir betrachten die allgemein elliptische partielle Differentialgleichung mit reinem Dirichlet-Rand. Ziel ist es, den Fehler abzuschätzen, der beim Lösen des diskreten Problems im Vergleich zur exakten Lösung auftritt. Die diskrete Lösung liegt dabei im Raum der Park-Sheen Elemente aus Kapitel 4. Wir unterscheiden zwei Arten von Fehlerabschätzungen: A priori: Hierbei handelt es sich um eine Abschätzung des Fehlers in Abhängigkeit der exakten Lösung. Dabei werden nur die Eigenschaften der verwendeten Partition und des Problems verwendet, wie zum Beispiel Quasiuniformitäts-, Stetigkeits-, Elliptizitäts- oder infsup-konstanten. Die diskrete Lösung wird dazu nicht berechnet. A posteriori: Im Gegensatz zur a priori Abschätzung verwenden wir hier die Park-Sheen Approximation, um eine berechenbare Abschätzung des Fehlers zu erhalten. An den daraus resultierenden Fehlerschätzer hat man die Anforderung der Zuverlässigkeit und der Effizienz. Zuverlässigkeit bedeutet, dass der tatsächliche Fehler (bis auf Terme höherer Ordnung und multiplikative Konstanten) wirklich überschätzt wird. Effizienz besagt wiederum, dass man den Fehlerschätzer durch den echten Fehler abschätzen kann. Definition 5.1 (h.o.t.) Die Abkürzung h.o.t. (higher order terms) bezeichnet Terme höherer Ordnung. Dabei bezieht sich die Ordnung auf die Netzweite. Demnach sind h.o.t.- Terme für hinreichend feine Partitionen zu vernachlässigen. 51

56 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS 5.1 Problemstellung Zu einem beschränkten Lipschitz-Gebiet Ω, rechter Seite f L 2 (Ω) und u D H 2 (Ω) betrachten wir das elliptische Randwertproblem div(a u) + b u + γu = f in Ω, u = u D auf Ω. (5.1) Für die Elliptizität fordern wir, dass die Matrix A [L (Ω)] 2 2 beschränkt, symmetrisch und gleichmäßig positiv definit ist. Es existieren also positive Konstanten α min, α max mit 0 < α min ξ 2 ξ t A(x)ξ α max ξ 2 < für alle ξ R 2 und fast alle x Ω. Ferner seien b H(div; Ω) [L (Ω)] 2 und γ L (Ω) fast überall durch Konstanten β max := b L (Ω) bzw. γ max := γ L (Ω) beschränkt. Zusätzlich gelte fast überall divb 2γ. (5.2) Die stückweise konstante Funktion h L (Ω) ist für alle Q T definiert durch h Q = h Q = diam(q) Schwache Formulierung Wir definieren die nicht symmetrische Bilinearform a(u, v) := (A u, v) L 2 (Ω) + (b u + γu, v) L 2 (Ω) für Funktionen u, v H 1 (Ω). Mit dem auf H0 1 (Ω) definierten linearen Funktional F := f a(u D, ) ergibt sich die schwache Formulierung: Finde u 0 H 1 0(Ω), sodass a(u 0, v) = F(v) (5.3) für alle v H0 1 (Ω). Dann setzt sich die schwache Lösung zusammen aus u = u 0 + u D. 52

57 5.2. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT VON LÖSUNGEN Schwache Formulierung im Diskreten Sei T eine reguläre Partition von Ω in Kanten-zusammenhängende Vierecke. Wir verzichten hier auf Dreiecke, da a priori Abschätzungen und deren Konstanten für Crouzeix-Raviart Elemente wohlbekannt sind. Das diskrete Problem beinhaltet die Restriktion a Q der Bilinearform a auf ein Viereck, a Q (u, v) := (A u, v) L 2 (Q) + (b u + γu, v) L 2 (Q) und die Bilinearform a NC (u, v) := Q T a Q (u, v) für Funktionen u, v PS(T ) + H 1 (Ω). Den Raum der Park-Sheen Elemente mit Nullrandbedingung bezeichnen wir mit PS 0 (T ) := {v PS PS(T ) E E( Ω) : v PS (mid(e)) = 0}. Mit der diskreten Bilinearform a NC definieren wir für stückweise H 1 -Funktionen NC := a NC (, ) 1/2 sowie die Linearform F NC := f a NC (u D, ). Das diskrete Problem liest sich dann: Finde u 0 PS PS 0(T ) mit a NC (u 0 PS, v PS ) = F NC (v PS ) (5.4) für alle v PS PS 0 (T ). Als Approximation der exakten Lösung u ergibt sich dann u PS := u 0 PS + J u D PS(T ) mit dem Approximationsoperator J aus Kapitel Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Wir zeigen nun, dass sowohl für (5.3) als auch für (5.4) eindeutige Lösungen existieren. Dafür nutzen wir den Satz von Lax-Milgram (Satz 3.2) und zeigen entsprechende Eigenschaften der Bilinearformen a und a NC. Definition 5.2 (Sprung, Mittel) Es sei E eine innere Kante und Q 1, Q 2 die zwei Elemente einer Partition mit E = E(Q 1 ) E(Q 2 ). Dann ist der Sprung entlang E definiert als [v] E (x) := v Q1 (x) v Q2 (x). Im Gegensatz dazu bezeichnet E das Mittel entlang einer Kante E, d.h. für x E. 2 v E (x) := v Q1 (x) + v Q2 (x). 53

58 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Bemerkung 5.3 Man beachte, dass der Sprung für stetige Funktionen verschwindet. Satz 5.4 (Existenz einer eindeutigen Lösung) Mit den obigen Voraussetzungen existiert eine eindeutige schwache Lösung u 0 H0 1 (Ω) zu (5.3). Beweis. Um den Satz von Lax-Milgram anwenden zu können ist Beschränktheit und Elliptizität der Bilinearform a zu zeigen. Offensichtlich ist a aufgrund der Beschränktheit von A,b und γ beschränkt. H0 1 (Ω)-Elliptizität erhalten wir durch partielle Integration, Eigenschaft (5.2) und der Friedrichs Ungleichung aus Folgerung 2.5, siehe auch [CLT05]. Für das diskrete Problem erhalten wir keine globale Elliptizität, sodass wir uns im Fall b 0 auf hinreichend feine Netzweiten einschränken müssen. Satz 5.5 (Existenz einer eindeutigen diskreten Lösung) Sei zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen b stückweise konstant bezüglich der Partition T. Dann existiert zu hinreichend kleinen Netzweiten, h max := h L (Ω) 3α min sin ω 0 2κβ max, (5.5) eine eindeutige Lösung u 0 PS PS 0(T ) von (5.4). Beweis. Die Beschränktheit ist trivial. Zu zeigen bleibt die Elliptizität der Bilinearform a NC bezüglich der gebrochenen H 1 -Norm H 1 (Ω),NC := ( 2 L 2 (Ω) + 2 NC) 1/2 mit 2 NC = Q T 2 L 2 (Q). Nach Bemerkung 1.7 ist b ν E E = b ν E konstant und der Sprung [b ν E ] E verschwindet auf E. Partielle Integration, Eigenschaft (5.2) und die Zerlegung des Sprungs E E( Ω) u 2 PS E E(Ω) [u 2 PS ] E Abbildung 5.1: Funktion u 2 PS (links) an einer Randkante und Sprung [u2 PS ] E (rechts) an einer inneren Kante, wie im Beweis von Satz

59 5.2. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT VON LÖSUNGEN [ab] E = [a] E b E + a E [b] E. ergeben a NC (u 0 PS, u0 PS ) α min u 0 PS 2 NC + 1 ˆ b ν (u 0 PS 2 )2 ds Q T Q α min u 0 PS 2 NC 1 2 b ν Eˆ [(u 0 PS )2 ] E ds E E(Ω) E 1 2 b ν Eˆ (u 0 PS )2 ds E E E( Ω) Sei zunächst E E( Ω) eine Randkante mit angrenzendem Viereck Q. Da u 0 PS affin ist und im Mittelpunkt verschwindet (siehe Abbildung 5.1), gilt ˆ (u 0 PS) 2 ds = h3 E u 0 2 PS 12 s h3 E 12 Q u0 PS 2 L 2 (Q) h Eκ u 0 12 sinω PS 2 L 2 (Q). 0 E Sei E = E(Q 1 ) E(Q 2 ) nun eine innere Kante und m E := mid(e) dessen Mittelpunkt. Mit der Produktregel und der Eigenschaft, dass [u 0 PS ] E im Integralmittel über E verschwindet, folgt ˆ ˆ ˆ [(u 0 PS )2 ] E ds = 2 [u 0 PS ] E u 0 PS E ds = 2 [u 0 PS ] E( u 0 PS E u 0 PS (m E))ds. E E Die Funktionen [u 0 PS ] E und u 0 PS E u 0 PS (m E) sind jeweils affin und verschwinden in m E. Somit gilt ˆ 2 [u 0 PS ] E( u 0 PS E u 0 PS (m E))ds h3 ( E u 0 E 6 PS Q1 2 + u 0 PS Q 2 2) h Eκ NC u 0 PS 6 sin ω 2 L 2 (Q 1 Q 2 ). 0 Für Park-Sheen Funktionen gilt die diskrete Friedrichs Ungleichung analog zu Satz 3.21, u 0 PS L 2 (Ω) C Fr NC u 0 PS L 2 (Ω) = C Fr u 0 PS NC. Zusammen mit den Abschätzungen auf inneren und äußeren Kanten zeigt das a NC (u 0 PS, u 0 PS) α min u 0 PS 2 NC h maxβ max κ u 0 3 sin ω PS 2 NC C 2 Fr E ( α min h maxβ max κ 3 sinω 0 55 ) u 0 PS 2 H 1 (Ω),NC.

60 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Für hinreichend kleine Netzweiten nach (5.5) ergibt sich somit die Elliptizität mit Konstante α min /(2 + 2C 2 Fr ). 5.3 A Priori Fehlerabschätzung Wir wenden uns nun der ersten Fehlerabschätzung für Park-Sheen Elemente zu. Ziel ist eine a priori Abschätzung mit konkreten Konstanten der Form u u PS NC hd 2 u L 2 (Ω). Deshalb fordern wir für die exakte Lösung u = u 0 + u D von (5.1), dass u D H 2 (Ω) sowie u 0 H 2 (Ω) H0 1 (Ω) gilt. Die Finite-Elemente Approximation im Raum der Park-Sheen Elemente setzt sich zusammen aus u PS = u 0 PS + J u D. Dabei ist u 0 PS PS 0(T ) die diskrete Lösung von (5.4) und J u D PS(T ) die Approximation der Dirichlet-Daten mit Approximationsoperator J aus Kapitel 4.5. Ferner sei b H(div; Ω) stückweise konstant und h max hinreichend klein nach (5.5) Strang Lemma Wir betrachten zunächst den Fehler u 0 u 0 PS NC. In Kapitel haben wir bereits festgestellt, dass bei nichtkonformen Elementen zusätzlich zum Approximationsfehler auch ein Konsistenzfehler auftritt. Mit Bedingung (5.5) folgt aus Satz 5.5, α min 2 2 NC 2 NC. (5.6) Wir verwenden nun Satz 3.18 nach Strang. Die darin auftretenden Konstanten sind trivial und mit (5.6) können wir w PS NC im Nenner des Konsistenzfehlers durch die gebrochene H 1 -Seminorm w PS NC ersetzen. Für hinreichend feine Partitionen gilt also u 0 u 0 PS NC 2 inf v PS PS 0 (T ) ( 2 + α min u 0 v PS NC ) 1/2 a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) sup. w PS PS 0 (T ) w PS NC (5.7) Die nachfolgenden Abschnitte beschäftigen sich separat mit dem Approximations- und Konsistenzfehler. 56

61 5.3. A PRIORI FEHLERABSCHÄTZUNG Approximationsfehler Wir befassen uns mit dem Approximationsfehler inf u 0 v PS NC v PS PS 0 (T ) und wollen diesen in Abhängigkeit von der Netzweite h und D 2 u 0 L 2 (Ω) abschätzen. Da J u 0 PS 0 (T ), ist die Energienorm von u 0 J u 0 eine obere Schranke des Approximationsfehlers. Weiter gilt u 0 J u 0 2 NC = Q u 0 J u 0 2 Q mit 2 Q := a Q(, ). Mit e := u 0 J u 0 folgt aus Satz 4.29 und den darin enthaltenen Abschätzungen (4.7) und (4.8), ˆ ˆ e 2 Q = A e e dx + (b e + γe)e dx Q Q α max e 2 L 2 (Q) + β max e L 2 (Q) e L 2 (Q) + γ max e 2 L 2 (Q) α max C(θ 0 ) 2 h 2 Q D2 u 0 2 L 2 (Q) + β maxc(θ 0 )(2C(ω 0 ) + C(θ 0 )/2)h 3 Q D2 u 0 2 L 2 (Q) + γ max (2C(ω 0 ) + C(θ 0 )/2) 2 h 4 Q D2 u 0 2 L 2 (Q) = α max C(θ 0 ) 2 hd 2 u 0 2 L 2 (Q) + h.o.t.. Dabei bezeichnen C(ω 0 ) und C(θ 0 ) die Konstanten aus Satz Die Rechnung liefert auch Konstanten für die Terme höherer Ordnung. Aus Gründen der Übersicht werden wir diese jedoch nicht vollständig ausschreiben. Somit ergibt sich als obere Schranke des Approximationsfehlers u 0 Ju 0 NC α max C(θ 0 ) hd 2 u 0 L 2 (Ω) + h.o.t.. (5.8) Konsistenzfehler Dieser Abschnitt basiert auf der Rechnung aus Kapitel 3 in [PS03] und benutzt die zwei Spur Ungleichungen aus Lemma 2.11 und Lemma Der erste Teil führt eine Projektion von H 2 (Ω) in den Raum der stückweise konstanten Funktionen auf Kanten der Partition T ein. Am Ende werden wir den Konsistenzfehler abschätzen können durch a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) sup w PS PS 0 (T ) w PS NC 8κ αmax 3sin ω0 ( 1 + π π 2 ) 1/2 hd 2 u L2(Ω). (5.9) Dabei bezeichnen κ und ω 0 die Quasiuniformitätskonstanten aus Kapitel 2.1. Zu einer Aufzählung T = {Q 1,..., Q T } bezeichnet v j im Folgenden die Restriktion von v auf das Viereck Q j und dementsprechend ν j := ν Qj. 57

62 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Projektion R 0 Es bezeichne γ j,k die Kante E( Q j ) E( Q k ) für Kanten-zusammenhängende Vierecke Q j, Q k und P 0 (S) die Menge der Konstanten Funktionen auf S. Damit definieren wir den Raum Λ(T ) := {λ Π j,k P 0 (γ j,k ) Π E E( Ω) P 0 (E) λ γj,k + λ γk,j = 0}. Die Projektion R 0 ist dann gegeben durch mit R 0 : H 2 (Ω) Λ(T ) v R 0 (v) (A v j ) ν j R 0 v j, z γ = 0 für alle z P 0 (γ). Dabei ist γ entweder eine innere Kante γ j,k oder eine Randkante. Bemerkung 5.6 Damit R 0 wohldefiniert ist, muss A v H(div, Ω) L 2+ε (Ω) für ein ε > 0 gelten. Aus der Regularitätstheorie folgt diese Eigenschaft für die exakte Lösung u. Die Konventionen (R 0 u) γj,k := (R 0 u j ) γj,k und (R 0 u) γk,j := (R 0 u k ) γk,j, welche die Orientierung beinhalten, sowie A u H(div, Ω) L 2+ε (Ω) führen auf (R 0 u) γj,k := = γ j,k (A u j ) ν j ds γ j,k (A u k ) ν j ds = γ k,j (A u k ) ν k ds =: (R 0 u) γk,j (5.10) und somit R 0 u Λ(T ). Für w PS PS(T ) und benachbarte Vierecke Q j, Q k gilt die wichtige Orthogonalität ˆ (5.10) R 0 u j, w PS Qj γj,k + R 0 u k, w PS Qk γk,j = R 0 u j w PS Qj R 0 u j w PS Qk ds γ j,k 58 = (R 0 u j ) γj,kˆγ j,k [w PS ] γj,k ds = 0. (5.11)

63 5.3. A PRIORI FEHLERABSCHÄTZUNG Der letzte Schritt folgt aus der Linearität von w PS auf jedem Viereck und der Stetigkeit im Mittelpunkt von γ j,k Abschätzung von A u Q ν Q R 0 u Q L 2 ( Q) Zu einem Viereck Q verwenden wir die Abkürzungen g Q := A u Q ν Q L 2 ( Ω) und g E := A u Q ν E, Da R 0 u Q das stückweise Integralmittel von g Q auf dem Rand von Q ist, werden wir die Poincaré Ungleichung nutzen können. Dazu müssen wir das Integral aufspalten und betrachten die Unterteilung von Q in vier Dreiecke durch die Diagonalen, wie in Abbildung 2.2. Diese Unterteilung ist nötig, da g Q H 1 (Q) aber (da ν E konstant entlang E) g E H 1 (T E ). Dabei bezeichnet T E das Teildreieck von Q mit Kante E. Mit g E bezeichnen wir das Integralmittel von g E über T E. Aus dem Satz des Pythagoras folgt g Q R 0 u Q L 2 (E) g Q g E L 2 (E) und somit ergibt sich mit Lemma 2.11, g Q R 0 u Q 2 L 2 ( Q) g E g E 2 L 2 (E) E Q C spur h Q E Q g E 2 L 2 (T E ) C spur α 2 max h Q D 2 u 2 L 2 (Q). (5.12) Dabei bezeichnet C spur die Konstante 8κ(π + 1)/(π 2 sin ω 0 ) aus Lemma Abschätzung von a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) Sei nun w PS eine beliebige Funktion in PS 0 (T ). Weiterhin bezeichnet u j die Restriktion von u auf das Viereck Q j. Mit partieller Integration und der partiellen Differentialgleichung (5.1) ergibt sich a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) = ˆ ˆ ˆ A u w PS dx + (b u + γu)w PS dx j Q j Q j (5.1) = ˆ A u ν w PS ds j Q j (5.11) = j A u j ν j R 0 u j, w PS Qj Qj. Ω fw PS dx 59

64 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Mit der Orthogonalität (5.11) konnten wir R 0 u j bei inneren Kanten hinzufügen. Bei den Randkanten nutzen wir dafür die Randbedingung von w PS. Man beachte, dass nun die Funktion u und nicht mehr u 0 auftritt. Mit der Projektion R 0 (und der daraus resultierenden Integralmittel Eigenschaft) können beliebige stückweise (bzgl. Kanten) konstante Funktionen m j zu w PS addiert werden: a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) = j A u j ν j R 0 u j, w PS Qj m j Qj. Für m j wählen wir das Integralmittel entlang der entsprechenden Kante, d.h. zu einer Kante E von Q j setzen wir m j E := E w PS Qj ds = w PS (mid(e)). Die Cauchy-Schwarz Ungleichung für Integrale und Summen ergibt dann für den absoluten Betrag a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) h 1/2 Q j A u j ν j R 0 u j L 2 ( Q j ) h 1/2 Q j w PS Qj m j L 2 ( Q j ) j ( ) 1/2( ) h Qj A u j ν j R 0 u j 2 L 2 ( Q j ) h 1 Q j w PS m j 2 L 2 ( Q j ) j }{{} 1 Der erste Teil wird direkt mit (5.12) abgeschätzt, 2 j 1 8κ α2 max sin ω 0 π + 1 π 2 hd 2 u 2 L 2 (Ω). j }{{} 2 Für den zweiten Teil nutzen wir Lemma 2.12, die Spur Ungleichung für affine Funktionen auf Vierecken. Es ergibt sich die obere Schranke κ κ w PS L 3 sinω 2 (Q j ) = w PS 2 NC 0 3 sin ω 0 mit der gebrochenen H 1 -Halbnorm NC. Insgesamt gilt demnach ( ) 1/2 8κ αmax π + 1 a NC (u 0, w PS ) F NC (w PS ) hd 2 u L2(Ω) w PS NC. 3sin ω0 π 2 Da w PS PS 0 (T ) beliebig gewählt war, folgt die behauptete Abschätzung (5.9) des Konsistenzfehlers. 60 1/2.

65 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER Resultat Für stückweise konstantes b und kleine Netzweiten im Sinne von (5.5) ergibt sich mit dem Strang Lemma (5.7), dem Approximationsfehler (5.8) und dem Konsistenzfehler (5.9) die a priori Abschätzung u 0 u 0 PS NC 2 α max C(θ 0 ) hd 2 u 0 L 2 (Ω) + C kon hd 2 u L 2 (Ω) + h.o.t.. (5.13) Dabei sind die Konstanten gegeben durch ( ) 1/4 + 2/π 2 1/2 C(θ 0 ) = und C kon = 1 cosθ 0 ( ) 1/2 4κ α max π αmin sin ω 0 π 2 Sofern a(u D J u D, u D J u D ) positiv ist, kann man den Approximationsfehler der Randdaten u D J u D NC wie in Kapitel abschätzen durch u D J u D NC α max C(θ 0 ) hd 2 u D L 2 (Ω) + h.o.t.. Im Fall b = 0 entfällt die Bedingung an die Netzweite und NC erfüllt die Dreiecksungleichung. Somit ist NC eine Norm auf H 1 0 (Ω) PS 0(T ) und eine Halbnorm auf H 1 (Ω) PS(T ). In diesem Fall gilt u u PS NC u 0 u 0 PS NC + u D J u D NC 2 α max C(θ 0 ) hd 2 u 0 L 2 (Ω) + C kon hd 2 u L 2 (Ω) + α max C(θ 0 ) hd 2 u D L 2 (Ω) + h.o.t.. Beispiel 5.7 (Poisson-Gleichung) Für das Poisson-Problem u = f in Ω = (0, 1) 2, u = 0 auf Ω, und einer uniformen Partition in Quadrate, also κ = 1 und ω 0 = θ 0 = π/2, ergibt sich somit die a priori Abschätzung u u PS NC 2,85 hd 2 u L 2 (Ω). 5.4 A Posteriori Fehlerschätzer Berechenbare obere Schranken des Fehlers dienen als Abbruchkriterium für numerische Verfahren. Zudem bildet es die Grundlage adaptiver Algorithmen, 61

66 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS bei denen Fehler gezielt reduziert werden und somit Freiheitsgrade gegenüber der uniformen Verfeinerung eingespart werden. In [Gra03, GHT04] wird ein dual gewichteter a posteriori Fehlerschätzer vorgestellt. Wir verfolgen hier den Residuen-basierten Ansatz und werden Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers zeigen. Dazu werden weitere Einschränkungen an der Partition sowie am Diffusionskoeffizienten A nötig sein Gemischte Formulierung Für den Residuen-basierten Ansatz aus [Car05, CH07] benötigen wir die gemischten Methoden aus Kapitel 3.4. Wie zuvor betrachten wir die elliptische part. Dgl. (5.1) mit Voraussetzungen wie in Kapitel 5.1. u = u 0 + u D mit u 0 H 1 0 (Ω), u D H 2 (Ω) bezeichnet die exakte Lösung, u PS = u 0 PS + J u D mit u 0 PS PS 0(T ) die diskrete Lösung. Bemerkung 5.8 Es sei erinnert, dass die Park-Sheen Approximation u 0 PS PS 0(T ) nach (5.4) die Gleichheit ˆ A NC u 0 PS NCv PS + b NC u 0 PS v PS + γu 0 PS v PS dx Ω ˆ ˆ = fv PS dx A u D NC v PS + b u D v PS + γu D v PS dx, Ω Ω (5.14) für alle v PS PS 0 (T ) erfüllt. Dabei bezeichnet NC den stückweisen Gradienten. Zusätzlich fordern wir in diesem Kapitel, dass der Diffusionskoeffizient A bzgl. der Partition T stückweise konstant ist, d.h. A [P 0 (T )] 2 2. Später werden wir uns zudem auf Partitionen aus Drei- und Rechtecken einschränken müssen. Wir definieren die zwei Hilberträume sowie die drei Bilinearformen X := [L 2 (Ω)] 2 und Y := H 1 0 (Ω), a : X X R, b : X Y R, c : Y Y R, 62

67 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER durch ˆ a(p, q) := (A 1 p) q dx Ωˆ b(p, v) := p v dx ˆ Ω c(u, v) := (b u + γu)v dx. Ω Dann lässt sich die schwache Form von (5.1) schreiben als: Finde ein Paar (p, u 0 ) X Y, sodass a(p, q) + b(q, u 0 ) = 0 für alle q X, b(p, v) c(u 0, v) = G(v) für alle v Y. (5.15) Dabei bezeichnet G das lineare Funktional ˆ ˆ G(v) := fv dx + A u D v + (b u D + γu D )v dx, Ω Ω welches auch die Dirichlet-Randdaten beinhaltet. Für die Existenz schwacher Lösungen zeigen wir die Nicht-Degeneriertheit (Lemma 5.9) sowie die Erfüllung der inf-sup Bedingung (Lemma 5.10) der Bilinearform B : (X Y ) (X Y ) R, B((p, u), (q, v)) = a(p, q) + b(q, u) + b(p, v). (5.16) Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung folgt dann aus Satz 3.27, da die Bilinearform c stetig und positiv semidefinit ist. Letzteres folgt aus der Beschränktheit von b und γ sowie (5.2). Lemma 5.9 (Nicht-Degeneriertheit) Die Bilinearform B aus (5.16) ist nicht-degeneriert. Beweis. Es ist zu zeigen, dass zu jedem Paar (q, v) X Y, (q, v) 0 ein Paar (p, u) X Y existiert mit B((p, u), (q, v)) 0. Sei zunächst q 0. Die Wahl p := q und u := v führt mit der positiven Definitheit von A auf ˆ B((p, u), (q, v)) = B((q, v), (q, v)) = (A 1 q) q dx > 0. Im Fall q = 0 muss v 0 gelten und p := v X zeigt die Behauptung. Ω 63

68 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Lemma 5.10 (Inf-sup Bedingung) Sei ᾱ := (αmin 2 + 1)/α2 min. Dann erfüllt die Bilinearform B aus (5.16) die inf-sup Bedingung 0 < β = inf (p,u) X Y sup (q,v) X Y B((p, u), (q, v)) (p, u) (q, v) mit (p, u) 2 := p 2 L 2 (Ω) + u 2 H 1 (Ω) und β 1/(α maxᾱ + 2). Beweis. Mit der speziellen Wahl v := α max ᾱu und q := α max ᾱp 2 u sowie der Young Ungleichung zum Parameter 1/α min, ergibt sich B((p, u), (q, v)) = α max ᾱa(p, p) 2a(p, u) 2b( u, u) ᾱ p 2 L 2 (Ω) 2 α min p L 2 (Ω) u L 2 (Ω) + 2 u 2 L 2 (Ω) (ᾱ 1/α 2 min ) p 2 L 2 (Ω) + u 2 L 2 (Ω) Die Rechnung = (p, u) 2. (q, v) 2 = α max ᾱp 2 u 2 + α 2 maxᾱ2 u 2 L 2 (Ω) (α maxᾱ + 2) 2 (p, u) 2 zeigt schließlich, dass zu jedem Paar (p, u) ein Paar (q, v) existiert mit 1 (p, u) (q, v) B((p, u), (q, v)). α max ᾱ + 2 Als Konsequenz handelt es sich bei der Abbildung um einen Isomorphismus und es gilt L : X Y X Y (p, u 0 ) (0, G) u 0 u l Y + p p l X 0 a(p l, ) b(, u l ) X + G b(p l, )+c(u l, ) Y für jede Approximation (u l, p l ) X Y von (u 0, p). Den ersten Teil der rechten Seite nennen wir Inkonsistenz Residuum, den zweiten Gleichgewichts Residuum. Wir wollen den Energiefehler A( u NC u PS ) L 2 (Ω) abschätzen, müssen aber beachten, dass die diskrete Lösung u PS nicht in H 1 0(Ω) = Y liegt. Somit können wir diese nicht in u l einsetzen. Stattdessen werden wir eine stetige und stückweise affine Approximation von u PS konstruieren, siehe Kapitel

69 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER Für p l können wir direkt mit dem stückweisen Gradienten der diskreten Lösung arbeiten und definieren p l := A NC u PS A u D X = [L 2 (Ω)] 2. (5.17) Unter Verwendung der gemischten Formulierung (5.15) erhalten wir damit A( u NC u PS ) L 2 (Ω) = A( u 0 ) p l L 2 (Ω) = p p l X. Daher kann der Energiefehler durch die beiden Residuen abgeschätzt werden Inkonsistenz Residuum Um das Inkonsistenz Residuum zu berechnen, konstruieren wir eine Näherung zur diskreten Lösung u 0 PS, die in Y = H1 0 (Ω) liegt. Diese nennen wir u l und erhalten mit dem Rieszschen Darstellungssatz und (5.17), ˆ 0 a(p l, ) b(, u l ) X = Ω ( u l A 1 p l ) dx X = u l NC u PS + u D L 2 (Ω) NC (u l u 0 PS) L 2 (Ω) + NC (u D J u D ) L 2 (Ω) =: η T + η D. (5.18) Motiviert durch [CM10], definieren wir eine Verfeinerung T der Partition T auf folgende Weise, vergleiche Abbildung 5.2: teile jedes Dreieck aus T in vier Teildreiecke durch Verbindung der Kantenmittelpunkte, teile jedes Viereck aus T in vier Dreiecke und ein Parallelogramm durch Verbindung der Mittelpunkte benachbarter Kanten. Auf der neuen Partition T definieren wir u l P 1 (T ) C(Ω) H 1 0(Ω) durch Vorgabe von Werten an den Knoten N(T ) = N(T ) mid(e(t )). An den neu entstandenen Knoten z mid(e(t )) setzen wir u l (z) = u 0 PS (z). Dies ist wohldefiniert, da u 0 PS stetig in diesen Punkten ist, und stellt sicher, dass die Diagonalregeln der Parallelogramme erfüllt ist. Für Randknoten z N( Ω) wird u l = 0 gefordert, um die Nullranddaten zu gewährleisten. 65

70 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS T z Abbildung 5.2: Aus T verfeinerte Partition T um u l H0(Ω) 1 als Näherung von u 0 PS zu konstruieren. An allen anderen Knoten z N(T ) \ N( Ω) lösen wir ein lokales Problem, d.h. wir setzen u l (z) so, dass ˆ ω z u l ϕ z dx =ˆ ω z u 0 PS ϕ z dx erfüllt ist. Dabei bezeichnet ϕ z P 1(T ) C(Ω) die Hutfunktion zum Knoten z bzgl. T und ωz den Knotenpatch der verfeinerten Partition, ω z := supp(ϕ z). Gelöst wird also ein Poisson-Problem mit einem Freiheitsgrad, dessen Randwerte durch u 0 PS an den Kantenmittelpunkten gegeben sind Gleichgewichts Residuum Im zweiten Schritt suchen wir eine Abschätzung der Dualnorm des Gleichgewichts Residuums. Dieses ist definiert durch Res(v) := G(v) + b(p l, v) c(u l, v) ˆ = (fv p l v b u l v γu l v) dx Ω ˆ A u D v + b u D v + γu D v dx. Ω (5.19) Auf dem diskreten Raum P S(T ) definieren wir Res entsprechend mit dem stückweisen Gradienten. Nach [CH07] werden zwei Approximationsoperatoren benötigt. 66

71 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER Konformer Approximationsoperator Als ersten Approximationsoperator betrachten wir eine Abbildung I von H0 1 (Ω) in den konformen Finite-Elemente-Raum der global stetigen und lokal linearen (auf Dreiecken) bzw. bilinearen (auf Vierecken) Funktionen aus Kapitel Dabei sollen die Nullranddaten erhalten werden. Dazu sei (P 1 Q 1 ) 0 (T ) := {v C(Ω) T T, T Dreieck : v T P 1 (T), Q T, Q Viereck : v Q Q 1 (Q), v(n( Ω)) = 0}. Der Approximationsoperator ist dann von der Form I : H 1 0 (Ω) (P 1Q 1 ) 0 (T ). Bemerkung 5.11 Da Funktionen in H0 1 (Ω) im Allgemeinen nicht stetig sind, können wir für I nicht den nodalen Interpolationsoperator aus Definition 3.16 benutzen. Eine mögliche Wahl wäre der Oswald Operator, der die Knotenwerte durch das Integralmittel über den Knotenpatch definiert. Der Knotenpatch bezeichnet die Vereinigung aller anliegenden Elemente. Für spätere Rechnungen haben wir zwei Anforderungen an den Operator I. Sei dazu v eine beliebige Funktion in H 1 0 (Ω). Approximationseigenschaft und H 1 -Stabilität: Für jedes Element T T und Elementpatch gilt ω T := {K T N(K) N(T) }. h 1 T v Iv L 2 (T) + h 1/2 T v Iv L 2 ( T) + (Iv) L 2 (T) v L 2 (ω T ). (5.20) Quasiorthogonalität: Für jede Funktion f L 2 (Ω) gilt ˆ (v Iv)f dx v L 2 (Ω) diam(ω z ) 2 f f 2 L 2 (Ω z) Ω z N(Ω) =: v L 2 (Ω) osc(f, {Ω z }). (5.21) Dabei bezeichnet Ω z Ω eine lokales Gebiet um den Knoten z N, welches zumindest den Knotenpatch ω z = {T T z N(T)} beinhaltet. 67 1/2

72 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Tatsächlich werden Ω z und ω z für Knoten übereinstimmen, die weit im Inneren des Gebietes Ω liegen. Ferner ist f das stückweise Integralmittel bzgl. der Gebiete Ω z. Man beachte, das die Oszillationen von f im Falle von f H 1 (Ω) nach Poincaré Ungleichung von höherer Ordnung sind. Ein Approximationsoperator, der alle oben genannten Eigenschaften erfüllt, ist der gewichtete Approximationsoperator aus Definition 2.2 in [Car97]. Da wir nur die Existenz eines solchen Operators verwenden, gehen wir nicht weiter auf diesen ein. Auch für eine genaue Definition der Mengen Ω z sei auf [Car97] verwiesen Nichtkonformer Approximationsoperator Der zweite Approximationsoperator soll eine Abbildung des konformen Finite- Elemente-Raums (P 1 Q 1 ) 0 (T ) in den Raum der Park-Sheen Elemente darstellen. Da P 1 Q 1 (T ) C(Ω) gilt, eignet sich dazu der nichtkonforme Approximationsoperator J aus Kapitel 4.5. Spezielle Eigenschaften für den auf (P 1 Q 1 ) 0 (T ) eingeschränkten Operator J sind im folgenden Lemma zusammengefasst. Dabei müssen wir uns auf Partitionen T in Drei- und Rechtecke beschränken. Lemma 5.12 (Eigenschaften von J ) Sei T eine reguläre Partition des beschränkten Lipschitz-Gebietes Ω in Dreiund Rechtecke. J : (P 1 Q 1 ) 0 (T ) PS 0 (T ) bezeichne den nichtkonformen Approximationsoperator aus Definition 4.25, eingeschränkt auf Funktionen in (P 1 Q 1 ) 0 (T ). Dann gelten für eine beliebige Funktion v h (P 1 Q 1 ) 0 (T ) und alle Elemente K T die Eigenschaften (a) J v h L 2 (K) v h L 2 (K), ˆ ˆ (b) J v h dx = v h dx, K Kˆ (c) p h [P 0 (T )] 2 : p h (v h J v h ) dx = 0, (d) h 1 K v h J v h L 2 (K) v h L 2 (K). K Beweis. Teil (a) und (b) folgen durch Nachrechnen der Eigenschaft auf Rechtecken für die vier Basisfunktionen von (P 1 Q 1 )(K). Auf Dreiecken gilt v h = J v h. Teil (c) folgt mit dem Gaußschen Integralsatz aus der Eigenschaft, dass auf jeder Kante E E(K) die Identität ˆ ˆ v h ds = v h (mid(e)) = J v h (mid(e)) = J v h ds E 68 E

73 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER gilt. Bei Teil (d) handelt es sich um eine direkte Folgerung aus (a), (b) und der Poincaré Ungleichung (2.1) Residuum auf PS 0 (T ) Die wichtigste Eigenschaft eines Residuums ist eigentlich, dass der Finite- Elemente-Raum Teil seines Kerns ist. Dies gilt allerdings nicht für das Gleichgewichts Residuum in (5.19) und den Raum PS 0 (T ). Stattdessen erhalten wir für ein v PS PS 0 (T ) und p l aus (5.17), da u 0 PS als diskrete Lösung (5.14) erfüllt, ˆ Res(v PS ) = A NC u 0 PS NC v PS + b NC u 0 PSv PS + γu 0 PSv PS dx Ω ˆ p l NC v PS + b u l v PS + γu l v PS dx Ω ˆ = A NC (u D J u D ) NC v PS dx Ω ˆ + b NC (u 0 PS u l)v PS dx + γ(u 0 PS u l)v PS dx Ω η D NC v PS L 2 (Ω) + η T v PS L 2 (Ω). Dabei bezeichnen η D und η T die Fehlerschätzer aus (5.18). Der letzte Schritt folgt aus der Beschränktheit von A, b und γ sowie einer Knotenpatch-weise angewandten Friedrichs Ungleichung. Wir sind nun an Funktionen der Form J Iv für v H0 1 (Ω) interessiert. Mit der Friedrichs Ungleichung, der Approximationseigenschaft (5.20) und Lemma 5.12(d) folgt J Iv L 2 (Ω) v L 2 (Ω) + v Iv L 2 (Ω) + Iv J Iv L 2 (Ω) v L 2 (Ω) + h v L 2 (Ω) + h v L 2 (Ω). Dabei bezeichnet h L (Ω) wieder die Funktion mit h T = h T für alle T T. Setzen wir J Iv PS 0 (T ) in das Residuum ein, so erhalten wir mit der Rechnung oben und den Approximationseigenschaften Res(J Iv) η D v L 2 (Ω) + η T v L 2 (Ω) + h.o.t.. (5.22) Abschätzung der Dualnorm Im letzten Schritt der a posteriori Fehlerabschätzung wollen wir Res(v) für v H 1 0 (Ω) in Abhängigkeit der H1 -Seminorm von v abschätzen. Dazu nutzen 69

74 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS wir die oben zusammengetragenen Eigenschaften der beiden Approximationsoperatoren und (5.22). Zunächst berechnen wir Res(v J Iv) (5.23) ˆ ˆ = (f b u l γu l )(v Iv) dx+ (f b u l γu l )(Iv JIv) dx Ω Ω }{{}}{{} 1 ˆ ˆ A NC u PS NC (v JIv) dx (b u D + γu D )(v JIv) dx. Ω Ω }{{}}{{} 3 Wir betrachten nun die vier Terme separat. Für die Abschätzung des ersten Terms nutzen wir die Quasiorthogonalität (5.21) und erhalten direkt 1 (osc(f, {Ω z }) + osc(b u l, {Ω z }) + osc(γu l, {Ω z })) v L 2 (Ω). (5.24) Dabei können, für geeignete Daten f, b und γ, die Oszillationen von höherer Ordnung sein. Dies ist der Fall, wenn die Voraussetzungen der Poincaré Ungleichung erfüllt sind. Für den zweiten Term nutzen wir Lemma 5.12(b), d.h. die stückweise Integralmittel Eigenschaft von Iv J Iv, mit der wir stückweise konstante Funktionen (wie das Integralmittel) addieren können. Gefolgt von der Cauchy-Schwarz Ungleichung, Lemma 5.12(d) und (5.20) gilt dann 2 = ˆ Ω ˆ (f f)(iv JIv) dx (b u l b u l )(Iv JIv) dx ˆ Ω (γu l γu l )(Iv JIv) dx Ω ( h(f f) L 2 (Ω) + h(b u l b u l ) L 2 (Ω) + h(γu l γu l ) L 2 (Ω)) h 1 (Iv JIv) L 2 (Ω) (osc(f) + osc(b u l ) + osc(γu l )) v L 2 (Ω). (5.25) Man beachte, dass die Oszillationen in (5.25) durch elementweise Integralmittel entstanden sind und daher kleiner sind als die Oszillationen in (5.24). Zur Abschätzung des dritten Terms verwenden wir zunächst Lemma 5.12(c), um v J Iv auf v Iv zu reduzieren. Anschließend integrieren wir partiell und nutzen den Fakt, dass A NC u PS elementweise konstant ist. Es gilt also div(a NC u PS ) = 0. Mit Cauchy-Schwarz und der H 1 -Approximationseigen

75 5.4. A POSTERIORI FEHLERSCHÄTZER schaft (5.20) führt das auf ˆ ˆ 3 = A NC u PS (v Iv) dx + A NC u PS NC (Iv JIv) dx Ω Ω = ˆ [A u PS ] E ν E (v Iv) ds E E(Ω) E E(Ω) E E(Ω) E h 1/2 E [A u PS] E ν E L 2 (E) h 1/2 (v Iv) L 2 (E) h E [A u PS ] E ν E 2 L 2 (E) E 1/2 v L 2 (Ω) =: η E v L 2 (Ω). (5.26) Dabei bezeichnet ν E den Normaleneinheitsvektor und [ ] E den Sprung entlang einer Kante E E. Der letzte Term liefert wieder Oszillationen. Dazu nutzen wir die gleichen Techniken wie schon bei den ersten beiden Termen, 4 (osc(b u D, {Ω z }) + osc(γu D, {Ω z })) v L 2 (Ω). (5.27) Insgesamt erhalten wir für das Gleichgewichts Residuum mit der Zerlegung (5.23), den Abschätzungen (5.24)-(5.27) und Eigenschaft (5.22) die obere Schranke Res Y = sup v H 1 0 (Ω)\{0} Resultat Res(v) v H 1 (Ω) Res(v J Iv) + (η T + η D ) v L2(Ω) sup + h.o.t. v H0 1(Ω)\{0} v H 1 (Ω) η T + η E + η D + osc(f, {Ω z }) + osc(b u l, {Ω z }) + osc(γu l, {Ω z }) + osc(b u D, {Ω z }) + osc(γu D, {Ω z }) + h.o.t.. (5.28) Mit den Abschätzungen (5.18) und (5.28) erhalten wir für den Energiefehler eine obere Schranke der Form A( u NC u PS ) L 2 (Ω) = p p l X η T + η E + η D + osc(f, {Ω z }) + osc(b u l, {Ω z }) + osc(γu l, {Ω z }) + osc(b u D, {Ω z }) + osc(γu D, {Ω z }) + h.o.t.. 71

76 KAPITEL 5. FEHLERANALYSIS Diese Schranke ist eine berechenbare Größe und stellt damit einen zuverlässigen Fehlerschätzer dar. Wie schon bei der a priori Abschätzung betrachten wir als Beispiel das Poisson-Problem mit homogenen Nullranddaten. Beispiel 5.13 (Poisson-Gleichung) Für das Poisson-Problem mit rechter Seite f 1, d.h., u = 1 in Ω = (0, 1) 2, u = 0 auf Ω, erhalten wir als zuverlässigen Fehlerschätzer u NC u PS L 2 (Ω) η T + η E + h.o.t., da sowohl der Approximationsfehler der Randdaten η D als auch die Oszillationen verschwinden. Zur Berechnung von η T = NC (u l u PS ) L 2 (Ω) müssen wir zusätzlich die stetige Approximation u l, wie in Kapitel beschrieben, konstruieren. Der zweite Fehlerterm beinhaltet die Kantensprünge in Normalenrichtung. 72

77 Kapitel 6 Numerische Beispiele In diesem letzten Kapitel betrachten wir vier Beispiele zu Park-Sheen Elementen. Dabei sollen die Fehlerabschätzungen aus Kapitel 5 genauer untersucht werden. Das erste Beispiel beschäftigt sich mit der Konstante der a priori Abschätzung bei langgezogenen Rechtecken, also mit großem Parameter κ. Es folgt ein Beispiel aus der Homogenisierung, welches den a posteriori Fehlerschätzer testet. Zum Abschluss nutzen wir die Verallgemeinerung der Park-Sheen Elemente durch Verwendung einer Partition mit Loch sowie einer Partition aus Drei- und Vierecken. 6.1 Bemerkungen zur Implementierung Die in Kapitel 4 vorgestellte Basis des Raums der Park-Sheen Elemente sowie der Fehlerschätzer aus Kapitel 5.4 wurden in Matlab implementiert. Dies ermöglicht das Lösen elliptischer part. Dgln. mit entsprechenden Voraussetzungen mithilfe der nichtkonformen Finite-Elemente-Methode auf Partitionen in Drei- und Vierecke mit stückweise affinen Funktionen. Grundlage der Implementierung bildete dabei das AFEM Software Paket, welches in der Arbeitsgruppe von Prof. Carstensen entstanden ist, siehe [CGK + 10]. Dementsprechend wurde weitestgehend die dort verwendete Datenstruktur übernommen und auf Vierecke erweitert. Die Geometrie und dessen Partition werden auf folgende Weise verwaltet: c4n (coordinates for nodes) ist eine N 2 Matrix, in der jede Zeile einen Knoten repräsentiert. Eine Zeile enthält jeweils die x- und y-koordinate eines Knotens. n4e (nodes for elemens) ist eine T 4 Matrix, die die Partition beschreibt. Jede Zeile repräsentiert dabei genau ein Viereck bzw. Dreieck, indem es die 73

78 KAPITEL 6. NUMERISCHE BEISPIELE Knotennummern der Eckpunkte speichert. Im Falle eines Dreiecks stimmen der erste und letzte Eintrag überein. Die Knoten werden stets gegen den Uhrzeigersinn aufgelistet. n4db (nodes for Dirichlet boundary) ist eine E D 2 Matrix, die die Endpunkte der Dirichlet-Kanten speichert. Dabei werden auch hier die Knotennummern gegen den Uhrzeigersinn angeordnet. 6.2 Beispiel 1: Anisotrope Rechtecke Wir beginnen mit einem Experiment zur a priori Fehlerabschätzung aus Kapitel 5.3. Für die Berechnung von (5.13) gingen wir vom allgemeinsten Fall aus. Somit ist zu erwarten, dass der Energiefehler auf einfachen Gebieten stark überschätzt wird. Wir wollen nun speziell die Rolle des κ, dem maximalen Quotienten längste Kante von Q kürzeste Kante von Q aller Elemente Q einer Partition T untersuchen, siehe Kapitel 2.1. Abbildung 6.1: Partitionen von Ω = (0, 1) 2 für N = 8 mit (links oben) β = 1, κ = 1, (rechts oben) β = 1,5, κ = 4,1, (links unten) β = 2, κ = 15 bzw. (rechts unten) β = 3, κ =

79 6.2. BEISPIEL 1: ANISOTROPE RECHTECKE β κ a priori Schranke exakter Fehler 1,0 1 1,2 0,0110 1,5 4,6 2,9 0,0043 2, ,4 0,0051 2,5 73,2 40,2 0,0067 3, ,0 0,0086 Tabelle 6.1: Vergleich zwischen exaktem Fehler u u PS NC und der Fehlerabschätzung (6.2) (bis auf Quadraturfehler) bei steigenden β und konstanten N = 10. Zu A = 2I, b = (1, 1) und γ = 0 betrachten wir das elliptische Randwertproblem aus Kapitel 5, 2 u + x u + y u = f in Ω = (0, 1) 2, u = 0 auf Ω (6.1) mit exakter Lösung u(x, y) = (1 x) 4 (1 y) 4 sin(πx) cos(πy π/2). Die rechte Seite f wird dementsprechend gewählt. Mit diskreter Lösung u PS PS 0 (T ) erhalten wir aus (5.13), mit der dort definierten Konstante C(θ 0 ), eine obere Schranke für den Energiefehler, ( 8C(θ0 u u PS NC ) + 8κ ) (π + 1) 1/2 hd 2 u L 6π 2 (Ω). (6.2) Abbildung 6.2: Diskrete Lösung auf der Partition zu Parametern N = 30 und β = 1,7. Der Fehler in der Energienorm liegt bei 0,0005. Um die Lösung stärker bei der Ecke (0, 0) aufzulösen, nutzen wir graduierte Netze, siehe Abbildung 6.1. Dazu betrachten wir zu einem Parameter 75

80 KAPITEL 6. NUMERISCHE BEISPIELE β R, β 1 die Funktion x β und deren Funktionswerte bei 0, 1 N, 2 N,...,1. Zeichnet man diese Werte bei den Randkanten ein und verbindet man Gegenüberliegende, so erhält man eine Partition von Ω = (0, 1) 2. Allerdings entstehen dadurch stark verformte Rechtecke, κ wird also groß und (6.2) liefert kein brauchbares Ergebnis mehr. Es bleibt die Frage, ob u PS trotzdem eine gute Näherung zu u ist. Tabelle 6.1 zeigt, dass u PS schon bei einem sehr groben Netz eine gute Approximation liefert. Der Parameter κ tritt demnach in diesem Beispiel nicht kritisch im Energiefehler auf. Die Tabelle zeigt außerdem, dass für β Werte um 1,5 sinnvoll sind. Abbildung 6.2 zeigt die diskrete Lösung zu β = 1,7 und N = Beispiel 2: Geschichtetes Material In diesem Abschnitt betrachten wir ein zweidimensionales Beispiel der Homogenisierung. Dabei werden wir den in Kapitel 5.4 hergeleiteten Fehlerschätzer verwenden. Sei Ω = (0, 1) 2 das Einheitsquadrat, welches geschichtetes Material repräsentiert. Wir betrachten nur Materialveränderung in x-richtung und suchen das effektive Verhalten der partiellen Differentialgleichung div(a ε u ε ) = f in Ω, u ε = 0 auf Ω (6.3) für ε 0. Dabei gilt A ε (x, y) = a ε (x)i mit der Einheitsmatrix I und, für Konstanten A und B, { A falls x/ε (mod 1) 1/2, a ε (x) = B sonst. Bevor wir uns mit der speziellen Wahl der rechten Seite f beschäftigen, befassen wir uns mit dem effektiven Verhalten des Materials, welches durch den effektiven Diffusionskoeffizienten beschrieben wird. Gesucht ist also eine Matrix A eff, sodass die Lösungen u ε von (6.3) für ε 0 schwach gegen die Lösung des Problems div(a eff u) = f in Ω, u = 0 auf Ω (6.4) konvergieren. Die Berechnung von A eff ist Teil der Homogenisierung und kann beispielsweise mit dem Konzept der Γ-Konvergenz analysiert werden, siehe [Bra02]. Wir nutzten hier das Ergebnis von Seite 193 aus [PS08], welches besagt, dass A eff die Form ( ) 2(A A eff = 1 + B 1 ) (A + B)/2 76

81 6.3. BEISPIEL 2: GESCHICHTETES MATERIAL Abbildung 6.3: Diskrete Lösung u PS der Differentialgleichung (6.3) mit A = 1, B = 15, rechter Seite f aus (6.5) sowie (links oben) ε = 0, 5, (rechts oben) ε = bzw. (links unten) ε = Das Bild rechts unten zeigt die diskrete Lösung des homogenisierten Problems (6.4). hat. Im weiteren Verlauf beschränken wir uns auf den Fall mit A = 1 und B = 15, siehe Abbildung 6.3. Wir betrachten nun das homogenisierte System (6.4) mit rechter Seite ( ) 15π 2 f(x, y) = 8 (y2 y 3 ) + 48y 16 sin(πx). (6.5) Damit ergibt sich für die exakte Lösung u(x, y) = y 2 (1 y) sin(πx). Mithilfe der Park-Sheen Elemente wollen wir die Lösung des homogenisierten Problems approximieren. Dazu erzeugen wir diskrete Lösungen auf uniform verfeinerten Gittern und berechnen den a posteriori Fehlerschätzer aus Kapitel In diesem Fall sind die Oszillationen von f von höherer Ordnung, sodass sich der Fehlerschätzer nur aus η T und η E zusammensetzt. Dabei bezeichnet η T den Fehler aus Kapitel 5.4.2, der bei der Konstruktion der stetigen Approximation der diskreten Lösung auftritt, η E beinhaltet die Kantensprünge von A eff u PS in Normalenrichtung. 77

82 KAPITEL 6. NUMERISCHE BEISPIELE 10 1 approximierter Fehler exakter Fehler Energiefehler Anzahl der Freiheitsgrade Abbildung 6.4: Vergleich zwischen exaktem Fehler und dem Fehlerschätzer bei der Lösung des homogenisierten Problems (6.4). Interessant ist nun der Vergleich zwischen dem Fehlerschätzer und dem (bis auf Quadraturfehler) exakten Fehler A eff ( u NC u PS ) L 2 (Ω). Dazu betrachten wir diese beiden Größen in Abhängigkeit der Freiheitsgrade auf einer logarithmischen Skala, siehe Abbildung 6.4. Darin gut zu erkennen ist die Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers, da der exakte Fehler stets überschätzt wird. Man erkennt aber auch, dass der Fehlerschätzer nicht effizient ist, da der exakte Fehler viel schneller gegen 0 konvergiert. Genauer erhalten wir mit positiven Konstanten α und c eine Korrelation der Form e = c N(Ω) α log( e ) = α log( N(Ω) ) + log(c), wobei e den exakten bzw. geschätzten Fehler darstellt. Aus dem Experiment erhalten wir eine Konvergenzrate von α 1 mit c 1,5 für den exakten Fehler. Der Fehlerschätzer dagegen erreicht nur eine Rate von α 0,5 mit c 1, Beispiel 3: Kanal mit Hindernis In diesem Beispiel benutzen wir die in Kapitel 4 vorgestellte Basis der Park- Sheen Elemente für mehrfach zusammenhängende Gebiete. Konkret betrachten wir das Beispiel eines quadratischen Hindernisses in einem Kanal wie in Kapitel 3 in [GHT04]. Wir betrachten also das Poisson-Problem u = f in Ω = int([0, 2] [0, 1]) \ [0,4, 0,6] 2, u = u D auf Ω. (6.6) 78

83 6.4. BEISPIEL 3: KANAL MIT HINDERNIS Dabei wählen wir die rechte Seite f und die Dirichlet-Daten u D so, dass sich als exakte Lösung ergibt. u(x, y) = x(x 1)(1 y)y 2 sin(x + 2y) Abbildung 6.5: Diskrete Lösung u PS der Differentialgleichung (6.6) mit (oben) 180, (mitte) 776 und (unten) 3216 Freiheitsgraden. Anstatt die a priori oder a posteriori Fehlerabschätzungen zu benutzen, folgen wir [GHT04] und messen den Fehler im Punkt (0,35, 0,5). Dabei ist zu beachten, dass dieser Punkt nach der ersten uniformen Verfeinerung ein Knoten der Partition darstellt. Da wir nichtkonforme Elemente verwenden, gibt es mehrere Funktionswerte an einem Knoten. Für den Vergleich mit dem 79