A posteriori Fehlerschätzer für Sattelpunktsformulierungen nicht-homogener Randwertprobleme

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1 A posteriori Fehlerschätzer für Sattelpunktsformulierungen nicht-homogener Randwertprobleme Dissertation zur rlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften der Fakultät für Mathematik an der Ruhr-Universität Bochum von MARIO KAI LIPINSKI aus Herne Abgabe der Dissertation am: Mündliche Prüfung am: Dekan: Prof Dr L Gerritzen Referent: Prof Dr R Verfürth Korreferent: Prof Dr Bänsch

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3 Inhaltsverzeichnis 1 inleitung 1 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 5 21 Generelle Notationen 5 22 Formulierung und Lösbarkeit des Variationsproblems Starke und schwache Formulierung des Problems indeutige Lösbarkeit 7 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems Simpliziale Zerlegungen Finite lement Räume Konstanten Blasenfunktionen, bubble functions ine Ungleichung vom Poincaré-yp in Spursatz Das diskrete Problem indeutige Lösbarkeit des diskreten Problems Interpolation in H 1/2 () Notationen Konstruktion des Interpolators igenschaften des Interpolators ine inverse Abschätzung A priori Fehlerschätzungen / Konvergenz der F-Lösung in residueller a posteriori Schätzer Normalen und Sprünge Geeignete Darstellung des Residuums Formulierung des Schätzers / Zuverlässigkeit ffizienz des Schätzers in a posteriori Fehlerschätzer basierend auf Hilfsproblemen mit Dirichlet- Randbedingungen Geeignete Finite lement Räume Formulierung des Schätzers / indeutige Lösbarkeit der Hilfsprobleme 52 i

4 Inhaltsverzeichnis 273 Zuverlässigkeit des Schätzers ffizienz des Schätzers 62 3 Die Stokes-Gleichungen mit Gleitrandbedingung auf einem polyhedralen Gebiet Generelle Notationen Gebiet Funktionenräume ensoren Hilfsergebnisse Formulierung und Lösbarkeit des Variationsproblems Starke und schwache Formulierung des Problems indeutige Lösbarkeit Das diskrete Problem Geeignete Finite lement Räume in Interpolationsoperator für G 1 (Ω) in Interpolationsoperator für G 1/2 () indeutige Lösbarkeit des diskreten Problems in residueller a posteriori Fehlerschätzer Geeignete Darstellung des Residuums Formulierung des Schätzers / Zuverlässigkeit ffizienz des Schätzers in a posteriori Schätzer basierend auf lokalen Hilfsproblemen Geeignete Finite lement Räume Formulierung und eindeutige Lösbarkeit der lokalen Hilfsprobleme Definition des Schätzers / Zuverlässigkeit ffizienz des Schätzers 124 ii

5 1 inleitung Finite lement Verfahren stellen in beinahe allen naturwissenschaftlichen Bereichen ein unverzichtbares Werkzeug zur numerischen Behandlung und Simulation von Problemen, die auf partiellen Differentialgleichungen beruhen, dar benso wichtig sind diese Verfahren für die ntwicklung und Forschung im industriellen Sektor Aufgrund der hohen Komplexität, die in aufwändigen Simulationen und realistischen Anwendungen auftritt, sind effiziente Verfahren wünschenswert, die bei möglichst geringem Rechenaufwand eine vorgegebene Genauigkeit garantieren ine Klasse geeigneter Verfahren stellen die sogenannten adaptiven Finite lement Verfahren dar ine Idee für eine adaptive Strategie besteht darin, mit Hilfe eines Indikators solche lemente der riangulierung auszuwählen, die einen zu großen Beitrag zu dem Fehler liefern, und diese lemente wiederum in Kleinere zu zerlegen Als Indikatoren fungieren für gewöhnlich a posteriori Fehlerschätzer, die auch bei der Abschätzung des Gesamtfehlers der Diskretisierung eingesetzt werden in a posteriori Fehlerschätzer sollte sich daher durch die folgenden igenschaften auszeichnen: Berechenbarkeit: Der a posteriori Fehlerschätzer kann allein aus Kenntnis der Daten der Differentialgleichung, der riangulierung und der bereits gewonnenen Näherungslösung berechnet werden Der Aufwand zur Bestimmung des Schätzers sollte vergleichbar sein mit dem Aufwand zum Aufstellen der Steifigkeitsmatrix ffizienz: Der a posteriori Fehlerschätzer bildet eine lokale untere Schranke für den Fehler der Näherungslösung Insbesondere sollte sich der Schätzer aus lokalen Größen berechnen lassen Die ffizienz ist entscheidend für die Funktion als lementindikator bei einem adaptiven Verfahren Zuverlässigkeit: Der a posteriori Fehlerschätzer stellt eine globale obere Schränke für den Fehler der Näherungslösung dar Die Zuverlässigleit stellt sicher, dass auch der Gesamtfehler kontrolliert werden kann Die ersten a posteriori Fehlerschätzer wurden 1978 von Babuška und Rheinboldt ([BR78a] bzw [BR78b]) entwickelt und vorgestellt Im Verlauf der 80er bis in die Mitte der 90er Jahre des 20 Jahrhunderts wurden verschiedene Fehlerschätzer, basierend auf unterschiedlichen Ansätzen, Variationsformulierungen und Diskretisierungen untersucht Weitere ntwicklungen stammen hier ua von Bank und Weiser ([BW85]) sowie von Zienkiewicz und Zhu ([ZZ87] bzw [ZZ88]) inen Überblick über die verschiedenen ypen von 1

6 1 inleitung Fehlerschätzern sowie eine inordnung dieser Schätzer in einen gemeinsamen abstrakten Rahmen lieferte Verfürth 1995/96 in [Ver96] Die in den hier genannten Arbeiten behandelten Fehlerschätzer beziehen sich alle auf primale Finite lement Methoden für elliptische Randwertprobleme Doch gerade in der numerischen Behandlung strömungsmechanischer Probleme ist es oft sinnvoll, Sattelpunktsformulierungen und den damit verbundenen dualen gemischten Finiten lementen den Vorzug zu geben Dies hat zwei Gründe: 1 Gemischte Finite lement Methoden sind häufig numerisch stabiler als entsprechende primale Formulierungen 2 Oftmals ist nicht allein die primale Unbekannte (in der Strömungsmechanik: Geschwindigkeit) von Interesse, sondern auch andere physikalische Größen (zb Druck, Normalspannungen) Berechnet man solche Größen aus der primalen Unbekannten mit Hilfe numerischer Methoden, so ist das rgebnis von schlechterer Approximationsgüte als die primale Lösung Duale Methoden jedoch enthalten solche Größen als eigenständige Variablen Ferner beschränkt man sich bei der Betrachtung von Randwertproblemen aus technischen Gründen üblicherweise auf den Fall homogener Randbedingungen Nicht-homogene Daten werden dann als essentielle Randbedingungen den Ansatzräumen aufgebürdet In dieser Arbeit dagegen beschäftigen wir uns mit Sattelpunktsformulierungen von Randwertproblemen unter expliziter Berücksichtigung der Randdaten, die nicht homogen sein müssen Wir leiten für zwei Modellprobleme jeweils zwei ypen von a posteriori Fehlerschätzern her Der eine yp basiert auf einer Interpretation des Residuums als lement eines geeigneten Dualraumes Der andere yp basiert auf der Lösung von diskreten Hilfsproblemen auf eilgebieten des betrachteten Gebietes Dabei verwendet man Finite lement Räume von höherer Ordnung als bei der ursprünglichen Diskretisierung Die Arbeit gliedert sich in zwei eile Im ersten eil betrachten wir die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Nach einer kurzen Herleitung der Variationsformulierung, untersuchen wir die eindeutige Lösbarkeit dieser Formulierung Anschließend definieren wir geeignete Finite lement Räume, um eine diskrete Formulierung des Problemes zu erhalten Wir zeigen dann die eindeutige Lösbarkeit des diskreten Problemes In Vorwegnahme einiger Probleme, die bei der Konstruktion des a posteriori Fehlerschätzers des ersten ypes auftreten, konstruieren wir einen Interpolator für Funktionen des Spurraumes H 1/2 (), der die Dirichlet-Randdatenfunktionen enthält Die nicht-lokale Natur dieser Funktionen verhindert die Herleitung eines lokal-definierten Schätzers, wenn man mit der natürlichen Norm dieses Raumes arbeitet rsetzen wir jedoch ein gegebenes Datum durch eine geeignete Interpolierende, so stehen uns inverse Abschätzungen zur Verfügung Diese Abschätzungen erlauben uns die Verwendung gewichteter L 2 -Normen, die einerseits leicht berechenbar und andererseits von lokaler Natur sind Um den Interpolator zu konstruieren, werden wir die Ideen von L R Scott und S Zhang aus [SZ90] entsprechend modifizieren Darauf stellen wir einige Betrachtungen zu a priori 2

7 Fehlerabschätzungen für das Problem an Wir werden dann den residuellen Schätzer mit Hilfe der zuvor definierten Interpolierenden konstruieren Anschließend weisen wir nach, dass der so gewonnene Schätzer zuverlässig und effizient im oben dargestellten Sinne ist Auch hier begegnen wir wieder der nicht-lokalen Natur der Spurfunktionen, da im Gegensatz zu den rgebnissen, die man bei homogenen Randdaten erhält, hier stets globale Fehlerterme auftreten Um den Schätzer basierend auf Hilfsproblemen konstruieren zu können, führen wir dann Finite lement Räume ein, die von höherer Ordnung als die bei der Diskretisierung verwendeten sind In diesen Räumen stellen wir dann die Hilfsprobleme und beweisen die eindeutige Lösbarkeit dieser Probleme Insbesondere versehen wir den Raum, der der Randbedingung entspricht, nicht mit der natürlichen Norm Stattdessen wählen wir eine Norm, die von der riangulierung abhängt Damit vermeiden wir ähnliche Probleme, wie sie bei dem residuellen Schätzer auftraten Die Zuverlässigkeit und ffizienz des Hilfsproblemschätzers weisen wir dann durch Vergleich mit dem residuellen Schätzer nach Im zweiten eil der Arbeit beschäftigen wir uns mit den Stokes-Gleichungen mit Gleitrandbedingung Die Gleitrandbedingung ist das geeignete physikalische Modell für Probleme der Strömungsmechanik mit freien Rändern (zb Beschichtungs-Probleme [MPS84, SS81, Sol83]), Strömungen längs chemisch reaktiver Wände [BJ67] und für Strömungen mit steilem Angriffswinkel bzw hohen Mach- und Reynoldszahlen (zb Wiedereintritt von Raumfähren) ine geeignete Variationsformulierung und Diskretisierung für glatt berandete Gebiete findet sich bei Verfürth in [Ver87] Weitere numerische Aspekte der Stokes- bzw Navier-Stokes-Gleichungen mit Gleitrandbedingung wurden ua von Bänsch und Höhn [BH00] sowie Bänsch und Deckelnick [BD99] behandelt In dieser Arbeit leiten wir zunächst eine geeignete Variationsformulierung für die Stokes- Gleichungen mit Gleitrandbedingung auf polyhedralen Gebieten her Dazu definieren wir Funktionenräume, die eine stückweise Betrachtung auf dem Rand zulassen Insbesondere fordern wir, dass die der Geschwindigkeit entsprechenden Lösungen auf den Rändern der Polygone, die den Rand des Gebietes bilden, in einem schwachen Sinne verschwinden Dies erlaubt uns die Anwendung der echniken des Poisson-Falls Verzichteten wir auf diese Forderung, so träten Probleme mit der Fortsetzung der Randdaten auf Diese Fortsetzungen bilden aber das entscheidende technische Hilfsmittel zum Beweis der inversen Abschätzung Nachdem wir dann die eindeutige Lösbarkeit dieser angepassten Variationsformulierung gezeigt haben, wenden wir uns der Diskretisierung zu Insbesondere konstruieren wir Interpolationsoperatoren für den Geschwindigkeitsraum und für die Spuren der Funktionen dieses Raumes Diese Interpolierenden benötigen wir für die Analyse der eindeutigen Lösbarkeit des diskreten Problemes und die Definition des residuellen Schätzers Beide Interpolatoren sind abermals vom Scott-Zhang-yp Mit den gleichen echniken wie im ersten eil der Arbeit leiten wir dann einen effizienten und zuverlässigen residuellen Schätzer her benso erfolgt die Konstruktion eines Hilfsproblemschätzers völlig analog zum Poisson-Fall Auch dieser Schätzer ist zuverlässig und effizient 3

8 1 inleitung Die vorliegende Arbeit wurde unter der Betreuung von Prof Dr R Verfürth durchgeführt, dem ich an dieser Stelle meinen herzlichen Dank ausspreche für die vielen Anregungen und Verbesserungsvorschläge Herrn Prof Dr Bänsch danke ich für die Übernahme des Korreferats sowie die Möglichkeit, eile meiner Arbeit einem wissenschaftlichen Publikum vorstellen zu dürfen Meinen Kollegen Dr Gunar Matthies und Dr Marco Lonsing möchte ich für viele hilfreiche Diskussionen und Anregungen danken Meiner Kollegin Brigitte Richter danke ich vorallem für die moralische Unterstützung in ganz besonderer Dank gilt meinen ltern, meiner Oma und meiner Schwester Sie gaben mir den nötigen Halt, den man für das Schreiben einer Dissertation benötigt, und hatten stets ein geduldiges Ohr für meine Probleme und Problemchen 4

9 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 21 Generelle Notationen s sei Ω R d, d = 2, 3, ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz-Rand Wir bezeichnen mit H k (Ω), k N, und L 2 (Ω) = H 0 (Ω) die üblichen Sobolev- bzw Lebesgue-Räume (vgl [Ada75]), die mit der Norm: ϕ k,ω := α k Ω D α ϕ 2 versehen werden Weiterhin werden wir folgende Seminormen verwenden: ϕ k,ω := α =k Ω D α ϕ 2 Mit tr bezeichnen wir den üblichen Spuroperator (vgl [Ada75]) Die Bezeichnung H 1 0(Ω) verwenden wir für den Raum der Funktionen aus H 1 (Ω), die auf im Sinne einer Spur verschwinden Mit H k 1/2 (), 1 k <, bezeichnen wir den Spurraum von H k (Ω)-Funktionen (vgl [Ada75]), der mit der Spurnorm: ϕ k 1/2, := inf { ϕ k,ω : ϕ H k (Ω), tr ϕ = ϕ } versehen wird Insbesondere werden wir mit H 1/2 () den Dualraum von H 1/2 () bezeichnen Für die duale Paarung mit diesen Räumen verwenden wir folgende Integralnotation (ψ H 1/2 (), ϕ H 1/2 ()): ψ ϕ Diese Bezeichnung ist insofern sinnvoll, da (bei geeigneter Identifikation) L 2 () H 1/2 () gilt und vermöge des Lemmas von Riesz für ψ L 2 () die duale Paarung mit dem Wert 1/2 1/2 5

10 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen des Integrals übereinstimmt Der Raum H 1/2 () wird mit der üblichen Operatornorm versehen: ψ 1/2, := sup ψ ϕ ϕ H 1/2 () ϕ 1/2, =1 22 Formulierung und Lösbarkeit des Variationsproblems 221 Starke und schwache Formulierung des Problems s seien g H 1/2 () und f L 2 (Ω) Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen lautet: (21) u = f in Ω, u = g auf Um eine schwache Formulierung des Problems zu gewinnen, multiplizieren wir zunächst Gleichung (21) mit einer Funktion v H 1 (Ω) und benutzen den Satz von Gauß: f v = ( u) v Ω Ω = u v u n v, Ω wobei n die äußere inheitsnormale an Ω bezeichnet Wir wollen dann die Normalenableitung u n im Sinne eines gemischten Problems als eigenständige Variable betrachten Dabei interpretieren wir u n als lement des Raumes H 1/2 () Die Randbedingung fordern wir in dem Sinne schwach, dass die duale Paarung der Lösung mit allen Funktionen aus H 1/2 () mit den entsprechenden Paarungen des Datums übereinstimmen Dies führt auf die folgende schwache Formulierung der obigen Gleichung: Finde u H 1 (Ω) und γ H 1/2 () mit u v γ v = f v v H 1 (Ω), Ω Ω τ u = τ g τ H 1/2 () Diese Formulierung bezeichnen wir als das Problem (P ) 6

11 22 Formulierung und Lösbarkeit des Variationsproblems Bemerkung 221 Wie man leicht nachrechnet, ist jede hinreichend oft differenzierbare Lösung des Problems (P ) auch eine Lösung der Poisson-Gleichung im starken Sinne Bemerkung 222 Beim Problem (P ) handelt es sich um eine Sattelpunktsformulierung, dh, die Lösung wird als Sattelpunkt des Lagrange-Funktionals: L(u, γ) = 1 u 2 f u γ (u g) 2 gesucht Ω Um die Übersichtlichkeit zu erhöhen, führen wir folgende Notationen ein: Wir setzen X := H 1 (Ω) und M := H 1/2 () Ferner definieren wir zwei Bilinearformen a L 2 (X X, R) und b L 2 (X M, R) via: a(u, v) := u v bzw b(u, γ) := γ u, für u, v X und γ M Ω Das Problem (P ) lässt sich dann wie folgt schreiben: Finde u X und γ M mit: a(u, v) + b(v, γ) = f v v X, Ω b(u, τ) = τ g τ M 222 indeutige Lösbarkeit Für Sattelpunktsprobleme wurde von Babuška und Brezzi unabhhängig voneinander ein abstrakter Rahmen geschaffen (vgl [Bab73], [Bre74]) Der folgende Satz zeigt, dass das Problem (P ) in diesen abstrakten Rahmen passt Insbesondere besitzt das Problem (P ) damit eine eindeutige Lösung Satz 223 Der Raum V := {u X : b(u, τ) = 0, τ M} ist nicht trivial Die Bilinearform a ist symmetrisch und V -elliptisch, dh α > 0, so dass a(u, u) α u 2 1,Ω u V, und die Bilinearform b erfüllt eine inf-sup-bedingung, dh β > 0, so dass inf 0 γ M sup 0 u X Ω b(u, γ) u 1,Ω γ 1/2, β 7

12 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Beweis Offensichtlich ist H 1 0(Ω) V Sei jetzt u V beliebig Dann ist die Spur von u auf eine L 2 -Funktion und (bei geeigneter Identifizierung) ein lement des Raumes M Aus der Definition von V folgt damit: und daher u H 1 0(Ω) Insgesamt erhalten wir: u 2 = 0, V = H 1 0(Ω) Die Symmetrie von a ist offensichtlich Mit der Friedrichschen Ungleichung folgt für u V : a(u, u) = u 2 = u 2 0,Ω = u 2 1,Ω c 1 u 2 1,Ω, mit einer Konstanten c 1, die nur von Ω abhängt Mithin folgt die V -lliptizität von a Ω Um die inf-sup-bedingung nachzuweisen, wählen wir ein beliebiges, aber festes, γ H 1/2 () mit γ 1/2, = 1 Dann existiert ein ˆγ H 1/2 () mit ˆγ 1/2, = 1 und γ ˆγ 1 2 Nach dem inversen Spursatz ([Ada75], 756) gibt es ein v H 1 (Ω) mit tr v = ˆγ und ˆγ 1/2, c 2 v 1,Ω, wobei die Konstante c 2 nur von Ω abhängt Damit erhalten wir: b(v, γ) = γ v = γ ˆγ 1 2 = 1 2 γ 1/2, ˆγ 1/2, 1 2 c 2 γ 1/2, v 1,Ω Mit einem Homogenitätsargument folgt aus dieser Ungleichung die inf-sup-bedingung für die Bilinearform b 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems Im Folgenden sei Ω zusätzlich stets polyhedral Wir werden uns auf simpliziale Zerlegungen von Ω beschränken ine Übertragung der Resultate auf affin äquivalente, quadrilaterale Zerlegungen ist jedoch ohne weiteres möglich 8

13 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems 231 Simpliziale Zerlegungen Mit h bezeichnen wir eine Familie von Zerlegungen von Ω in Simplizes, die folgende Regularitätsannahmen erfüllen sollen: 1 Jeder ckpunkt von Ω ist ein ckpunkt eines h 2 Jedes h hat mindestens einen ckpunkt im Inneren von Ω 3 Je zwei, h haben höchstens einen ckpunkt, eine Kante bzw eine Seitenfläche gemeinsam 4 ( shape regularity ) s gibt eine Konstante c, so dass unabhängig von h folgende Ungleichung gilt: Dabei seien für h : und h := diam h c sup h ρ ρ := sup {diam B : B ist ein Ball in } Die durch h induzierte Unterteilung des Randes bezeichnen wir mit O h s sei h die Menge aller (d 1)-dimensionalen Seitenflächen der Simplizes h Weiterhin bezeichne dann h,ω := h \ O h die Menge aller inneren (d 1)-dimensionalen Seitenflächen Für h seien ( ) und N ( ) die Menge aller h mit bzw die Menge aller ckpunkte von Analog bezeichnen wir für h mit N () die Menge der ckpunkte von Für O h sei der eindeutige Simplex mit ( ) Analog zur Größe h definieren wir für h : s sei: h := diam h := max h {h } Ferner definieren wir die Menge aller ckpunkte: G h := N ( ) h 9

14 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Wiederholt werden wir lemente aus h zu so genannten Patches zusammenfassen: Für h, h und x G h definieren wir: ω x :=, ω :=, ω :=, h x N ( ) ω := h ( ) ( ) h ( ), ω := h h x Abbildung 21: (von links oben nach rechts unten) Die Patches ω x, ω, ω, ω, ω 232 Finite lement Räume Ist N R d, d = 2, 3, eine beliebige Menge, so bezeichne P k (N), k N, den Raum aller Polynome auf N mit Gesamtgrad k in Polynom in P k (N) kann stets als Restriktion eines Polynoms aus P k (R d ) auf N verstanden werden In diesem Sinne definieren wir kanonische Fortsetzungen von Polynomen in P k (N) s seien dann: S k, 1 h := { ϕ : Ω R : ϕ P k ( ), h } S k,α h := S k, 1 h die üblichen Finite lement Räume C α (Ω) 10

15 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems 233 Konstanten Im weiteren Verlauf werden wir immer wieder nummerierte Konstanten c 1, c 2, verwenden Diese Konstanten sind stets unabhängig vom Parameter h, können aber kontextbezogen von verschiedenen Größen abhängen 234 Blasenfunktionen, bubble functions Mit jedem h und h assoziieren wir die folgenden Funktionen (vgl auch [Ver96], [Ver87]): Für h sei x i N ( ), 0 i d, eine beliebige Nummerierung der ckpunkte Mit λ i, 0 i d, bezeichnen wir die zugehörigen Schwerpunktskoordinaten von Wir definieren: ψ (x) := { (d + 1) d+1 d i=0 λ i(x) x, 0 sonst Für h,ω ist ω die Vereinigung zweier Simplizes 1, 2 h s seien x 1,i bzw x 2,i, 0 i d, Nummerierungen der ckpunkte von 1 bzw 2 derart, dass die ckpunkte auf zuerst gezählt werden Mit λ 1,i bzw λ 2,i, 0 i d, bezeichnen wir die zugehörigen Schwerpunktskoordinaten von 1 bzw 2 Wir definieren: { d d d 1 i=0 ψ (x) := λ j,i(x) x j, 0 sonst Für O h wird ψ mit den offensichtlichen Modifikationen wie oben konstruiert Die wichtigsten igenschaften der Funktionen ψ und ψ sind in folgendem Lemma zusammengefasst: Lemma 231 Für jedes h und O h gilt: supp ψ =, 0 ψ (x) 1 x, max (x) = 1, x supp ψ = ω, 0 ψ (x) 1 x ω, max (x) = 1 x 11

16 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Sind v P k ( ) und w P k (), k N, so gelten die folgenden Abschätzungen: { } 1/2 c 1 v 0, ψ v 2 v 0,, c 2 h 1 ψ v 0, ψ v 1, c 3 h 1 ψ v 0,, { } 1/2 c 4 w 0, ψ w 2 w 0,, c 5 h 1 ψ w 0,ω ψ w 1,ω c 6 h 1 ψ w 0,ω, ψ w 0,ω c 7 h 1/2 w 0,, ψ w 1,ω c 8 h 1/2 w 0,, und k abhängen Das Polynom w wird ka- wobei die Konstanten c 1,, c 8 nur von c nonisch auf ganz R d fortgesetzt Beweis Der Beweis erfolgt durch Standardskalierungsargumente (vgl zb [Ver96], Lemma 13) 235 ine Ungleichung vom Poincaré-yp Die folgende Ungleichung wird sich beim Beweis der eindeutigen Lösbarkeit des diskreten Problems als hilfreich erweisen Lemma 232 s gibt eine Konstante c > 0, die nur von Ω abhängt, so dass u 1,Ω c { u 2 1,Ω + u 2 0,} 1/2 u H 1 (Ω) Beweis Wir nehmen an, eine solche Konstante c existiere nicht Dann existiert eine Folge (u n ) n N H 1 (Ω) mit u n 1,Ω = 1 und Daraus folgt: 1 = u n 1,Ω n { u n 2 1,Ω + u n 2 0,} 1/2 (22) lim n { u n 2 1,Ω + u n 2 0,} 1/2 = 0 und insbesondere (23) lim n u n 1,Ω = 0 Da (u n ) n N in H 1 (Ω) beschränkt ist und der Raum H 1 (Ω) kompakt in L 2 (Ω) eingebettet ist, existiert eine eilfolge (u nk ) nk N von (u n ) n N, so dass diese eilfolge stark in L 2 (Ω) konvergiert, dh es existiert u L 2 (Ω) mit lim u u n k 0,Ω = 0 k 12

17 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems Wegen (23) konvergiert (u nk ) nk N sogar in H 1 (Ω) stark Insbesondere ist also: u 1,Ω = 1 Aus (22) folgt aber: Widerspruch u = in Spursatz Wir werden folgenden Spursatz von Verfürth im weiteren Verlauf einige Male verwenden: Satz 233 s seien h, ( ) und v H 1 ( ) beliebig Dann gilt: { } v 0, c h 1/2 v 0, + v 1/2 0, v 1/2 1, Die Konstante c hängt nur von der Regularitätskonstanten c Beweis Lemma 31 in [Ver98] ab 237 Das diskrete Problem Wir setzen: X h := S k,0 h, wobei k 1 gelte Offensichtlich ist: Xh H 1 (Ω) Ferner sei: M h := { } σ : R : σ P l (), O h mit l 0 s ist: M h H 1/2 () Im abstrakten Rahmen von Babuška und Brezzi muss der Raum X h den influss des Lagrange-Multiplikators in gewisser Weise ausgleichen Dies spiegelt sich darin wider, dass geeignete diskrete Räume eine im Parameter h gleichmäßige inf-sup-bedingung wie in Satz 223 erfüllen müssen Dazu ist der Raum X h im allgemeinen zu klein Dies lässt sich aber durch eine Anreicherung mit Blasenfunktionen beheben Wir definieren daher den Raum: B h := span {ψ σ : σ P m ( ), O h }, wobei m l gelten soll Wir setzen: X h := X h + B h 13

18 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Bemerkung 234 Ist k l + d, so ist B h X h Der Raum X h fällt dann mit dem Raum X h zusammen Für die in Abschnitt 221 definierten Bilineraformen a und b gilt: a L 2 (X h X h, R) und b L 2 (X h M h, R) Damit lässt sich das diskrete Problem (P h ) wie folgt definieren: Finde u h X h und γ h M h, so dass: a(u h, v h ) + b(v h, γ h ) = f v h v h X h, Ω b(u h, τ h ) = τ h g τ h M h 238 indeutige Lösbarkeit des diskreten Problems Der Nachweis der eindeutigen Lösbarkeit des Problems (P h ) erfolgt genau wie in Abschnitt 222 Der Übersichtlichkeit halber werden wir den Beweis in zwei getrennten Sätzen führen Satz 235 Der Raum V h := {u h X h : b(u h, τ h ) = 0, τ h M h } ist nicht trivial Die Bilinearform a ist symmetrisch und es existiert ein von h unabhängiges α > 0, so dass a(u h, u h ) α u h 2 1,Ω u h V h Beweis Offensichtlich enthält V h diejenigen Funktionen aus X h, die auf dem Rand verschwinden benso ist a augenscheinlich symmetrisch Sein nun u h V h beliebig Wegen (24) a(u h, u h ) = u h 2 1,Ω und Lemma 232 reicht es, eine Abschätzung der Form: u h 0, c u h 1,Ω zu beweisen Wir nehmen jetzt o an, dass u h 0 auf sei Die obige Ungleichung ist sonst trivial Dann definieren wir die stückweise konstante Funktion τ h via: τ h := { } 1 χ, O h u h 14

19 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems wobei das d-dimensionale Maß von und χ die charakteristische Funktion von bzgl Ω ist Offensichtlich gilt: τ h M h Aus der Definition des Raumes V h folgt daher: τ h u h = 0 Daher ist: u h 2 0, = u 2 h = u h (u h τ h ), und mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir: u h 2 0, = u h (u h τ h ) = u h (u h τ h ) O h O h u h 0, u h τ h 0, Mit Satz 233, und unter Ausnutzung der Regularität der Unterteilung (h c h ), erhalten wir für beliebiges O h : { } u h τ h 0, c 1 h 1/2 u h τ h 0, + u h τ h 1/2 0, u h τ h 1/2 1, Aus der Definition von τ h folgt: Die Poincarésche Ungleichung liefert daher: u h τ h = 0 u h τ h 0, c 2 h u h τ h 1, Da τ h = const auf und da die Unterteilung regulär ist, gilt: Wir erhalten dann: u h τ h 0, c 3 h u h 1, u h τ h 0, c 1 {h 1/2 u h τ h 0, + u h τ h 1/2 c 4 h 1/2 u h 1, 1, }{{ } } = u h 1/2 1,, da τ h konst 0, u h τ h 1/2 15

20 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen s folgt, wobei d die Länge der längsten in enthaltenen Strecke bezeichnet: u h 0, u h τ h 0, c 4 u h 0, h 1/2 u h 1, O h O h c 4 { O h u h 2 0, } 1/2 c 4 d 1/2 u h 0, u h 1,Ω Durch Division mit u h 0, erhalten wir mit: u h 0, c 4 d 1/2 u h 1,Ω O h h }{{} d die gewünschte Abschätzung Kombinieren wir diese Ungleichung mit Lemma 232, so ergibt sich: Setzen wir: u h 2 1,Ω c 2 5 { u h 2 1,Ω + u h 2 0,} c 2 5 (1 + c 2 4 d ) u h 2 1,Ω α := 1 c 2 5 (1 + c 2 4d ), so folgt aus obiger Ungleichung und (24) sofort die Behauptung Bemerkung 236 Im allgemeinen gilt: wobei V wie in Satz 223 definiert ist V h V, Wir beweisen nun die diskrete inf-sup-bedingung: Satz 237 s existiert eine von h unabhängige Konstante β > 0, so dass inf 0 γ h M h b(u h, γ h ) sup 0 u h X h u h 1,Ω γ h β 1/2, u h 2 1, Beweis s sei γ h M h mit γ h 1/2, = 1 beliebig, aber fest, gewählt Die Funktion γ h lässt sich auf Rand-Simplizes kanonisch fortsetzen Diese Fortsetzung wird im weiteren Verlauf auch mit γ h bezeichnet, da sich die Bedeutung stets aus dem Kontext erschließt Der Beweis erfolgt durch Nachweis der folgenden Behauptungen: 1/2 16

21 23 Formulierung und Lösbarkeit des diskreten Problems (i) Die Bilinearform b erfüllt eine inf-sup-bedingung bzgl der gitterabhängigen Norm: { } 1/2 h := h 2 0, O h (ii) s gibt Konstanten c 1, c 2 > 0, so dass die Abschätzung: gilt b(u h, γ h ) sup 0 u h u h 1,Ω c 1 c 2 γ h h Die Behauptung des Satzes können wir dann aus (i) und (ii) folgern Um (i) zu zeigen, definieren wir die Funktion v h B h via v h := O h h γ h ψ Die Funktion v h kann durch 0 auf ganz Ω fortgesetzt werden Aus dem Lemma 231 folgt: b(v h, γ h ) = γ h v h = γh 2 ψ O h h c 3 O h h γ h 2 0, = c 3 γ h 2 h, wobei c 3 nur von der Regularitätskonstanten c und dem stückweisen Polynomgrad von γ h abhängt Die fortgesetzte Funktion v h ist lement eines endlichdimensionalen Raumes und verschwindet auf den inneren Rändern der Simplizes Daher existiert eine Konstante c 4, die nur vom stückweisen Polynomgrad von γ h und Ω abhängt, so dass: Daher gilt wegen Lemma 231: v h 2 1,Ω c 4 v h 2 1,Ω v h 2 1,Ω c 4 v h 2 1,Ω = c 4 c 5 h 2 γ h ψ 2 1, O h O h h γ h 2 0, = c 5 γ h 2 h 17

22 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Insgesamt ergibt sich damit eine inf-sup-bedingung für b bzgl h : wobei c 6 := c 3 c5 b(u h, γ h ) sup b(v h, γ h ) c 6 γ h h, 0 u h u h 1,Ω v h 1,Ω Wir beweisen jetzt die Behauptung (ii) Aus der Definition der Operatornorm auf H 1/2 () folgt, dass es ein ˆγ H 1/2 () gibt, so dass ˆγ 1/2, = 1 und γ h ˆγ 1 2 Sei ũ H 1 (Ω) die eindeutige Lösung des schwachen Problems (P ) zu der folgenden Poisson-Gleichung: ũ = 0 in Ω, ũ = ˆγ auf Der abstrakte Rahmen von Babuška und Brezzi liefert folgende Stabilitätsabschätzung: ũ 1,Ω c 7 ˆγ 1/2, = c 7 Sei ũ h die Clément-Interpolierende im Sinne von [Clé75] in X h zu ũ Dann gilt für jedes O h die Interpolationsfehlerabschätzung: ũ ũ h 0, c 8 h 1/2 ũ 1, ω, und wir erhalten: b(ũ h, γ h ) = γ h ũ h = γ h ũ γ h (ũ h ũ) = γ h ˆγ γ h (ũ h ũ) { O h O h γ h 0, ũ h ũ 0, h γ h 2 0, O h { 1 2 c 8 γ h h } 1/2 O h ũ 2 1, ω { O h h 1 ũ h ũ 2 0, } 1/2 } {{ } c 9 ũ 1,Ω c 9 c 7 } 1/2 18

23 24 Interpolation in H 1/2 () 1 2 c 10 γ h h Aus den Interpolationseigenschaften von ũ h folgt: s ist dann: wobei c 1 := 1 2c 11 c 7 und c 2 := c 10 Aus (i) und (ii) erhalten wir dann: ũ h 1,Ω c 11 ũ 1,Ω c 11 c 7 b(u h, γ h ) sup b(ũ h, γ h ) c 1 c 2 γ h h, 0 u h u h 1,Ω ũ h 1,Ω c 11 c 7 b(u h, γ h ) sup max {c 6 γ h h, c 1 c 2 γ h h } 0 u h u h 1,Ω min η 0 max{c 6 η, c 1 c 2 η} c 1 c 6 c 6 + c 2 > 0 Zusammen mit einem Homogenitätsargument folgt hieraus die Behauptung 24 Interpolation in H 1/2 () Wie sich später herausstellen wird, enthält der mit den üblichen echniken hergeleitete residuelle a posteriori Schätzer den erm: u h g 1/2, Dieser erm ist in zweierlei Hinsicht problematisch: 1 Um die 1/2, -Norm wenigstens abschätzen zu können, benötigen wir die explizite Kenntnis einer Fortsetzung von g Die Berechnung einer solchen Fortsetzung entspricht aber gerade dem betrachteten Problem 2 Aufgrund der nicht-lokalen Natur der Spurnorm, ist der Fehlerschätzer nicht lokal definiert Diese igenschaft ist aber unerlässlich für adaptive Strategien Wir werden diese Probleme umgehen, indem wir g durch eine Interpolierende g h ersetzen Wir handeln uns dadurch zwar einen Datenfehler-erm ein, können aber mit Hilfe inverser Abschätzungen obige Spurnorm in eine gewichtete L 2 -Norm überführen Ziel dieses Abschnitts wird es also sein, einen Interpolator für Funktionen aus H 1/2 () zu konstruieren Wir verwenden dazu einen Interpolator vom Scott-Zhang-yp (vgl [SZ90]), da er ohne explizite Kenntnisse von Fortsetzungen der zu interpolierenden Funktionen auskommt 19

24 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 241 Notationen s sei k N, k 1, im Folgenden fest gewählt s bezeichne Σ h das nodale Gitter der Freiheitsgrade des Finite lement Raums S k,0 h Dann lässt sich Σ h wie folgt disjunkt zerlegen: Σ h = Σ h,ω Σ h,, wobei Σ h, := {x Σ h : x } Für z Σ h definieren wir die nodale Basisfunktion v z S k,0 h durch und v z (z) = 1 v z (x) = 0 x Σ h \ {z} Ferner benutzen wir die Bezeichnung: { } S k,0 h () := ϕ : ϕ S k,0 h s ist S k,0 h () H1/2 () Da ia S k,0 h H 2 (Ω), ist die obige Inklusion die Bestmögliche 242 Konstruktion des Interpolators Die grundlegende Idee für unseren Interpolator besteht darin, den klassischen Scott- Zhang-Interpolator auf den Rand einzuschränken Insbesondere können wir dann die rgebnisse aus [SZ90] für die Analyse unseres Interpolators verwenden Wir skizzieren daher kurz auch die Konstruktion des klassischen Scott-Zhang-Interpolators Dazu assoziieren wir mit jedem z Σ h ein S z h bzw S z h nach folgenden Regeln: 1 h mit z : Setze S z := Dh: liegt z im Inneren eines Simplex, so wähle diesen Simplex 2 h mit z : Setze S z := Dh: liegt z im Inneren einer (d 1)-dimensionalen Seitenfläche, so wähle diese Seitenfläche 20

25 24 Interpolation in H 1/2 () 3 h,ω mit z und z / : Setze S z := (Diese Wahl ist nicht eindeutig) Dh: liegt z nicht auf, aber auf dem Rand einer inneren (d 1)-dimensionalen Seitenfläche, so wähle diese Seitenfläche 4 O h mit z : Setze S z := (Diese Wahl ist nicht eindeutig) Dh: liegt z auf und dem Rand einer (d 1)-dimensionalen Seitenfläche, so wähle diese Seitenfläche Die Regeln (3) und (4) stellen insbesondere sicher, dass jedem z Σ h, ein O h zugeordnet wird Ist {z i : i = 1,, N} eine beliebige Aufzählung der lemente von Σ h, so gibt es gemäß [SZ90] zu jedem z i Σ h ein w zi L 2 (S zi ) mit S zi w zi v zj = δ ij, wobei δ ij das Kronecker-Delta bezeichnet Die w zi sind lemente gewisser L 2 -Dualbasen zu den nodalen Basisfunktionen Der klassische Scott-Zhang-Interpolator Π h : H 1 (Ω) S k,0 h ist dann durch: Π h u(x) := } w z u v z (x), u H z Σ {S 1 (Ω), z h definiert Wir definieren jetzt unseren Interpolator Π h, : H 1/2 () S k,0 h () durch: Π h, g(x) := { } w z g v z (x), g H 1/2 (), x S z z Σ h, Die spezielle Zuordnung z S z stellt sicher, dass wir Π h, g rein aus der Kenntnis von g berechnen können 243 igenschaften des Interpolators Im folgenden Lemma fassen wir wichtige igenschaften des Operators Π h zusammen, die uns zur Analyse des Interpolators Π h, dienen werden: Lemma 241 s seien l 1, l N, und u H l (Ω) Dann gilt für beliebiges h und l m N: 21

26 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 1 (Stabilität) Π h u m, c 1 l i=0 h i m u i, ω 2 (Approximationseigenschaft) Ist 0 m l k + 1, so ist: u Π h u m, c 2 h l m u l, ω Die Konstanten c 1, c 2 hängen dabei von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad k und der Regularitätskonstanten c ab Beweis [SZ90]: heorem 31, heorem 41 Das folgende Lemma ist zwar aufgrund der Konstruktion von Π h, trivial, liefert aber eine einfache Beweismethode zum Nachweis der Approximationseigenschaften von Π h, : Lemma 242 Für alle u H 1 (Ω) gilt: Π h, (tr u) = tr (Π h u) Wir erhalten folgendes Resultat für den Interpolator Π h, : Lemma 243 s seien l N und g H l 1/2 () 1 Für 1 l k + 1 gilt: g Π h, g 1/2, c 1 h l 1 g l 1/2, 2 Ist O h beliebig und 1 l k + 1, so gilt: Insbesondere gilt: { g Π h, g 0, c 2 h l 1/2 g l 1/2, O h h 1 2l g Π h, g 2 0,} 1/2 c 3 g l 1/2, Die Konstanten c 1,, c 3 hängen dabei von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad k und der Regularitätskonstanten c ab 22

27 24 Interpolation in H 1/2 () Beweis ad(1): Sei ε > 0 beliebig Gemäß der Definition der Spurnorm existiert eine Funktion u H l (Ω) mit und tr u = g u l,ω (1 + ε) g l 1/2, Wegen Lemma 242 ist dann Π h u eine H 1 (Ω)-Fortsetzung von Π h, g und aus der Definition der Spurnorm folgt weiter: g Π h, g 1/2, u Π h u 1,Ω { } 1/2 = u Π h u 2 1, h Wenden wir Lemma 241 (2) an, so erhalten wir: g Π h, g 1/2, c 4 { h h 2l 2 u 2 l, ω } 1/2 c 4 h l 1 { h u 2 l, ω } 1/2 c 6 h l 1 u l,ω } {{ } c 5 u l,ω c 6 h l 1 (1 + ε) g l 1/2, Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung ad(2): Die Funktion u sei zu einem beliebigen ε > 0 wie oben definiert Durch Anwendung von Lemma 233, und wegen der Regularität der Unterteilung, erhalten wir: g Π h, g 0, = u Π h u 0, c 8 { h 1/2 u Π h u 0, + u Π h u 1/2 0, u Π h u 1/2 1, } Das Lemma 241 liefert dann: g Π h, g 0, c 9 h l 1/2 u l, ω }{{} u l,ω c 9 h l 1/2 (1 + ε) g l 1/2, 23

28 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt die erste Aussage Die zweite Aussage folgt aus obiger Ungleichungskette und der verbesserten Abschätzung: { } 1/2 c 10 u l,ω O h u 2 l, ω 244 ine inverse Abschätzung Ziel dieses Abschnittes ist es, für g h S k,0 () eine Abschätzung der Form: { (25) g h 1/2, c h 1 g h 2 0, O h h zu gewinnen Wie in der inleitung dieses Abschnittes erläutert, wird es uns diese Abschätzung ermöglichen, einen leicht berechenbaren, lokal definierten a posteriori Schätzer zu konstruieren Um (25) zu beweisen, werden wir wie folgt vorgehen: } 1/2 Wir definieren Fortsetzungen von Funktionen aus S k,0 h () auf Sk,0 h, welche Skalierungsargumenten leicht zugänglich sind Aufgrund der Definition der 1/2, -Norm, liefern Abschätzungen der H 1 -Norm dieser Fortsetzungen auch Abschätzungen für die ursprüngliche Funktion (vgl Beweistechniken des letzten Abschnittes) Wir definieren daher folgenden Prolongationsoperator, der die nodalen Basisfunktionen zu inneren Knoten mit 0 gewichtet: Definition 244 s sei g h S k,0 h () Wir definieren P g h S k,0 h P g h := z Σ h a z v z, via: wobei { g h (z), falls z Σ h, a z := 0, sonst Das folgende Lemma liefert uns die entscheidenden Skalierungseigenschaften dieser Fortsetzungen: 24

29 24 Interpolation in H 1/2 () 1 2 = 1 F 1 1 ^ ^ 2 2 F 2 ^ ^ Abbildung 22: Die Mengen Σ h, (, ) (Kreise), die Mengen ˆΣ h, (, ) (Quadrate), sowie die lemente für 2 verschiedene Fälle Lemma 245 s seien g h S k,0 h () und h mit Dann gibt es ein O h mit, so dass: P g h 1, c h 1/2 g h 0, Die Konstante c hängt dabei nur von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad k und der Regularitätskonstanten c ab Beweis s sei wie in der Vorgabe beliebig, aber fest Wir wählen ein O h, so dass die Menge der nodalen Gitterpunkte, die auf und liegen: Σ h, (, ) := {x Σ h, : x } maximale Kardinalität besitzt Ferner setzen wir zur Abkürzung: v h := P g h 25

30 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Der Wert von v h auf hängt aufgrund der Definition des Prolongationsoperators nur von den Werten in den Punkten von Σ h, (, ) ab Ferner gibt es ein ( ), so dass Σ h, (, ) s sei F : ˆ eine affine ransformation, die den Referenzsimplex ˆ in den betrachteten Simplex überführt Mit Ê bezeichnen wir das lement von ( ˆ ), das durch F in überführt wird Wir definieren dann: ˆΣ h, (, ) := F 1 (Σ h,(, )), ˆv h := v h F Aufgrund der Definition von Ê, ist ˆΣ h, (, ) Ê Weiterhin sei F : Ê eine affine ransformation, die Ê in überführt und für die gilt: F (ẑ) = F (ẑ), ẑ ˆΣ h, (, ) Wir definieren dann noch: Dann gilt für alle ẑ ˆΣ h, (, ): ĝ h := g h F ĝ h (ẑ) = ˆv h (ẑ) Aus der Kettenregel folgt unter Ausnutzung der atsache, dass DF 1 v h 2 1, = D(ˆv h F 1 ) 2 L DF 1 2 L (Dˆv h ) F 1 ) 2 L konstant ist: Wenden wir den ransformationssatz an, so erhalten wir: (26) v h 2 1, DF 1 2 L det DF Dˆv h 2 L ˆ = DF 1 2 L det DF ˆv h 2 1, ˆ Der Wert von ˆv h hängt nur von den Werten in den Punkten von ˆΣ h, (, ) ab Daher wird durch: 1/2 ˆv h ˆΣ := ˆv h (ẑ) 2 ẑ ˆΣ h, (,) eine Norm auf den Raum der auf ˆ transformierten und eingeschränkten Fortsetzungen definiert 26

31 24 Interpolation in H 1/2 () Ferner ist ˆΣ mindestens eine Seminorm auf dem Raum P k (Ê) Daher gibt es zwei Konstanten c 1, c 2 die nur von der Raumdimension d und dem Polynomgrad k abhängen, so dass: und ˆv h 1, ˆ c 1 ˆv h ˆΣ ĝ h ˆΣ c 2 ĝ h 0, Ê Da die Funktionen ĝ h und ˆv h in den Punkten von ˆΣ h, (, ) übereinstimmen, erhalten wir: ĝ h ˆΣ = ˆv h ˆΣ Insgesamt folgt also: ˆv h 1, ˆ c 1 c 2 }{{} =:c 3 ĝ h 0, Ê Setzen wir dieses rgebnis in die Ungleichung (26) ein, so erhalten wir mit der ransformationsformel: (27) v h 2 1, DF 1 2 L det DF ˆv h 2 1, ˆ c 2 3 DF 1 2 L det DF ĝ h 2 0,Ê = c 2 3 DF 1 2 L det DF ĝ h 2 = c 2 3 DF 1 = c 2 3 DF 1 Ê 2 L det DF det DF 1 g h 2 2 L det DF det DF 1 g h 2 0, Mit Hilfe der Regularität der Unterteilung folgen die Abschätzungen: DF 1 L c 4 h 1, det DF c 5 h d, det DF 1 c 6 h d+1, wobei c 4, c 5, c 6 von der Regularitätskonstanten c abhängen Da nicht notwendigerweise ein lement von ( ) ist, wurde insbesondere ausgenutzt, dass eine reguläre Unterteilung lokal quasiuniform ist ( ω ) insetzen in (27) und Wurzelziehen liefert die Behauptung Wir können jetzt das Hauptresultat dieses Abschnittes beweisen: 27

32 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Satz 246 s sei g h S k,0 () Dann gilt: h g h 1/2, c { O h h 1 g h 2 0,} 1/2, mit einer Konstanten c, die nur von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad k, dem Gebiet Ω und der Regularitätskonstanten c abhängt Beweis Da P g h S k,0 h in mindestens einem inneren Knoten verschwindet, gibt es eine Konstante c 1, die von Ω und dem stückweisen Polynomgrad k abhängt, so dass: P g h 1,Ω c 1 P g h 1,Ω Da P g h eine zulässige Fortsetzung von g h ist, folgt aus der Definition der 1/2, -Norm: g h 1/2, P g h 1,Ω c 1 P g h 1,Ω Weiterhin erhalten wir dann mit der Definition des Fortsetzungsoperators und Lemma 245: 1/2 P g h 1,Ω = P g h 2 1, Insgesamt folgt die Behauptung h c 2 { O h h 1 g h 2 0,} 1/2 25 A priori Fehlerschätzungen / Konvergenz der F-Lösung Der abstrakte Rahmen von Babuška und Brezzi liefert die folgende a priori Abschätzung für den Fehler zwischen den Lösungen der Probleme (P ) und (P h ): Satz 251 s seien [u, γ] bzw [u h, γ h ] die eindeutigen Lösungen der Probleme (P ) bzw (P h ) Dann gilt: { } u u h 1,Ω + γ γ h 1/2, c inf u v h 1,Ω + inf γ τ h 1/2, v h X h τ h M h 28

33 25 A priori Fehlerschätzungen / Konvergenz der F-Lösung Der Fehler verhält sich also wie die Bestapproximation der Lösung des Problemes (P ) Ferner haben wir das folgende Korollar aus Satz 251, welches ein einfaches Konvergenzkriterium für die diskrete Lösung zum Gegenstand hat: Korollar 252 s gebe dichte eilmengen X von X und M von M Ferner gebe es lineare Operatoren r h : X X h und ρ h : M M h, so dass: lim hv v 1,Ω = 0 h 0 v X, lim hτ τ 1/2, = 0 h 0 τ M Dann gilt für die eindeutigen Lösungen [u, γ] bzw [u h, γ h ] der Probleme (P ) bzw (P h ): { } u uh 1,Ω + γ γ h 1/2, = 0 lim h 0 Da H 2 (Ω) H 1 (Ω) dicht liegt und da H 1/2 () L 2 () H 1/2 () einen Gelfand- Dreier bilden ([LM72]), und somit insbesondere L 2 () in H 1/2 () dicht liegt, wählen wir in unserem Fall: X := H 2 (Ω), M := L 2 () Da H 2 (Ω) stetig in C(Ω) eingebettet ist, wählen wir als Operator r h die nodale Interpolation in den Punkten aus G h Das folgende Lemma zeigt, dass die L 2 -Projektion auf die stückweise konstanten Funktionen eine geeignete Wahl für den Operator ρ h ist: Lemma 253 s sei τ L 2 () beliebig und τ h M h sei die stückweise konstante Funktion, die durch: τ h := { } 1 τ χ O h definiert wird, wobei das (d 1)-dimensionale Maß von und χ die charakteristische Funktion von bzgl bezeichnen Dann gilt: τ τ h 1/2, c { O h h τ 2 0, } 1/2 Die Konstante c hängt dabei von der Regularitätskonstanten c ab Beweis Wir bezeichnen mit: S 0, 1 h () := { } u h : u h S 0, 1 h 29

34 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen die bzgl der Unterteilung O h stückweise konstanten Funktionen Da τ h die L 2 -Projektion von τ auf S 0, 1 h () ist, erhalten wir: (28) (τ τ h ) σ h = 0 σ h S 0, 1 (), und wir haben die Abschätzung: (29) τ τ h 0, c 1 τ 0, s sei jetzt ε > 0 beliebig Aus der Definition der 1/2, -Norm folgt dann, dass es ein σ ε H 1/2 () mit σ ε 1/2, = 1 gibt, so dass: (210) τ τ h 1/2, (1 + ε) (τ τ h ) σ ε Wiederum aus der Definition der 1/2, -Norm folgt, dass es eine Fortsetzung σ ε H 1 (Ω) von σ ε gibt, mit: σ ε 1,Ω 1 + ε Wegen (28) können wir in (210) eine stückweise konstante Funktion einführen, ohne die Ungleichung zu verändern Wir definieren daher die Funktion σ ε,h durch: σ ε,h := { } 1 σ ε χ, O h dabei ist das d-dimensionale Maß von und χ von bzgl Ω Dann ist: σ ε,h S 0, 1 h () Ferner erhalten wir wegen: h ist die charakteristische Funktion σ ε σ ε,h = 0 aus der Poincaré-Ungleichung und der Regularität der Unterteilung die Abschätzung: (211) σ ε σ ε,h 0, Wir können daher folgern: (τ τ h ) σ ε = (τ τ h ) ( σ ε σ ε,h ) = (τ τ h ) ( σ ε σ ε,h ) O h c 2 h σ ε 1, c 2 h σ ε 1, O h τ τ h 0, σ ε σ ε,h 0, 30

35 25 A priori Fehlerschätzungen / Konvergenz der F-Lösung Aus (29) und Satz 233 folgt dann: (τ τ h ) σ ε c 3 O h τ 0, { h 1/2 σ ε σ ε,h 0, + σ ε σ ε,h 1/2 0, σ ε σ ε,h 1/2 1, } Ausnutzung von σ ε,h = const auf und (211) liefern: (τ τ h ) σ ε c 4 τ 0, h 1/2 σ ε 1, O h Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir: (τ τ h ) σ ε c 4 { c 4 (1 + ε) O h h τ 2 0, { } 1/2 O h h τ 2 0, insetzen dieser Ungleichung in (210) liefert: { τ τ h 1/2, c 4 (1 + ε) 2 { Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung Wir erhalten dann den folgenden Satz: } 1/2 σ ε 2 1, O } h {{} σ ε 1,Ω 1+ε } 1/2 O h h τ 2 0, } 1/2 Satz 254 s seien [u, γ] bzw [u h, γ h ] die eindeutigen Lösungen der Probleme (P ) bzw (P h ) 1 s gilt: { } lim u uh 1,Ω + γ γ h 1/2, = 0 h 0 2 Gibt es ein m N, so dass u H m+1 (Ω) und γ H m 1/2 (), so folgt: u u h 1,Ω + γ γ h 1/2, c { h min{k,m} u min{k,m}+1,ω + h min{l+1,m} γ min{l+1,m} 1/2, }, wobei k der stückweise Polynomgrad in X h und l der stückweise Polynomgrad in M h ist 31

36 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Beweis ad (1): Folgt wegen obiger Überlegungen mit Hilfe von Korollar 252 aus den Approximationseigenschaften der nodalen Interpolation und aus Lemma 253 ad (2): Wegen Satz 251 müssen wir Abschätzungen für den Bestapproximationsfehler herleiten Wir beginnen mit der Bestapproximation von u in X h Setzen wir w h := Π h u, wobei Π h den Scott-Zhang-Interpolator auf Xh bezeichnet, so folgt aus Satz 241: inf u v h 1,Ω v h X h { h u w h 2 1, } 1/2 c 1 { h h 2 min{k,m} u 2 min{k,m}+1, ω } 1/2 c 1 h min{k,m} { h u 2 min{k,m}+1, ω } 1/2 c 2 h min{k,m} u min{k,m}+1,ω, wobei im letzten Schritt die Regularität der Unterteilung ausgenutzt wurde Wir wenden uns jetzt der Bestapproximation von γ in M h zu Wir werden, wie oben, geeignete Interpolierende benutzen Diese Interpolierenden werden so aufgebaut sein, dass sie mit Hilfe einer L 2 -Projektion zunächst die Norm 1/2, auf eine gewichtete L 2 -Norm liften und dann eine L 2 - Fehlerabschätzung der gewünschten Form liefern Dazu machen wir zunächst die Fallunterscheidung: a Die Funktionen in M h sind stückweise konstant, dh l = 0 b s ist l 1 zu a: Da die 1/2, -Norm auf der 1,Ω -Norm basiert, und man mit stückweise konstanten Funktionen ϕ h höchstens Abschätzungen der Form: ϕ ϕ h 0,Ω c ϕ 1,Ω erwarten kann, betrachten wir nur γ H 1/2 () Wir werden nun eine Interpolierende σ h M h von der Form: σ h := σ h,1 + σ h,2 32

37 25 A priori Fehlerschätzungen / Konvergenz der F-Lösung konstruieren, wobei die Abschätzungen: { (γ σ h,1 ) σ h,2 1/2, c 3 { O h h γ σ h,1 2 0, } 1/2 c 4 h γ 1/2, gelten sollen Wir beginnen mit der Konstruktion von σ h,1 s seien jetzt ε > 0 beliebig und v H 1 (Ω) derart, dass: und Wir definieren ferner die Funktion: tr v = γ v 1,Ω (1 + ε) γ 1/2, v h := O h O h h γ σ h,1 2 0, { } 1 v χ, } 1/2, wobei das d-dimensionale Maß von und χ bzgl Ω bezeichnen Wir setzen: σ h,1 := v h Wie im Beweis von Lemma 253 folgt dann: die charakteristische Funktion von (212) γ σ h,1 0, = v v h 0, c 5 h 1/2 v 1, Wir definieren nun σ h,2 als die L 2 -Projektion von γ σ h,1 auf die stückweise konstanten Funktionen bzgl O h : σ h,2 := { } 1 γ σ h,1 χ, O h wobei das (d 1)-dimensionale Maß von und χ die charakteristische Funktion von bzgl bezeichnen Aus Lemma 253 folgt dann: (γ σ h,1 ) σ h,2 1/2, c 3 { O h h γ σ h,1 2 0, } 1/2 33

38 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Insgesamt erhalten wir mit dieser Abschätzung und der Ungleichung (212): γ σ h 1/2, c 3 { Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt: und somit O h h γ σ h,1 2 0, c 3 c 5 { c 3 c 5 h h 2 v 2 1, O h { O h v 2 1, } 1/2 } 1/2 } 1/2 }{{} v 1,Ω (1+ε) γ 1/2, c 3 c 5 }{{} =:c 4 h (1 + ε) γ 1/2, γ σ h 1/2, c 4 h γ 1/2,, inf γ τ h c 4 h γ 1/2, τ h M h zu b: Wir gehen wie im Fall a vor Da nun insbesondere S l,0 h () M h gilt, wählen wir: σ h,1 := Π h, γ, wobei Π h, den Interpolator auf S l,0 h () aus dem Abschnitt 24 bezeichnet Das Lemma 243 liefert dann sofort die Abschätzung: { 1/2 h 1 2 min{l+1,m} γ σ h,1 0,} 2 c 6 γ min{l+1,m} 1/2, O h Die Funktion σ h,2 sei genau wie in Fall a definiert Dann folgt: γ σ h 1/2, c 7 { O h h γ σ h,1 2 0, c 7 h min{l+1,m} { } 1/2 γ σ h,1 2 0, O h h 1 2 min{l+1,m} c 7 c 6 }{{} =:c 8 h min{l+1,m} γ min{l+1,m} 1/2,, } 1/2 34

39 26 in residueller a posteriori Schätzer und somit Insgesamt folgt die Behauptung inf γ τ h c 8 h min{l+1,m} γ min{l+1,m} 1/2, τ h M h Bemerkung 255 eil (b) des vorhergenden Satzes legt nahe, den stückweisen Polynomgrad in M h genau um eins kleiner als in X h zu wählen 26 in residueller a posteriori Schätzer 261 Normalen und Sprünge Mit jedem h assoziieren wir einen euklidischen Normalenvektor n Die Wahl von n ist dabei nicht eindeutig Lediglich für O h fordern wir, dass n mit der äußeren inheitsnormalen an Ω übereinstimmt Ist ϕ eine Funktion, die auf ω definiert ist, so definieren wir die folgende Größe: [ϕ] (x) := lim t 0 ϕ(x + t n ) ϕ(x t n ) x und bezeichnen sie als Sprung von ϕ über Offensichtlich hängt [] von der Orientierung von n ab Dies ist aber für [ n ] nicht der Fall 262 Geeignete Darstellung des Residuums Residuelle a posteriori Schätzer basieren auf der Stabilität des ursprünglichen Variationsproblems Um diese nachzuweisen, definieren wir folgende Bilinearform, deren wichtigste igenschaften wir gleich mitanführen: Definition und Lemma Durch wird eine Norm auf X M definiert [u, γ] := { u 2 1,Ω + γ 2 1/2, 2 Für [u, γ], [v, τ] X M definieren wir: } 1/2 B([u, γ], [v, τ]) := a(u, v) + b(v, γ) + b(u, τ) Die Bilinearform B ist bzgl [, ] stetig Beweis ad(1): trivial ad(2): Folgt sofort aus der Stetigkeit der Bilinearformen a und b, sowie der Definition von [, ] 35

40 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen Die folgende inf-sup-bedingung an B entspricht der Stabilität des Variationsproblems und ist die Grundlage für unseren Schätzer: Lemma 262 s gibt eine Konstante β B, die von den Konstanten α und β aus Satz 223 abhängt, so dass für alle [u, γ] X M gilt: sup B([u, γ], [v, τ]) β B [u, γ] [v,τ] X M [v,τ] =1 Beweis Völlig analog zu Lemma 210 in [Lon02] Für die eindeutigen Lösungen [u, γ] X M bzw [u h, γ h ] X h M h der Probleme (P ) bzw (P h ) erhalten wir nämlich mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung: (213) u u h 1,Ω + γ γ h 1/2, 2 β B sup B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) [v,τ] X M [v,τ] =1 Vermöge der Bilinearform B können wir also den Fehler mit einem lement des Dualraumes von X M identifizieren und ihn durch die Operatornorm von B([u u h, γ γ h ], [, ]) abschätzen Um diese Abschätzung zu gewinnen, verwenden wir die folgende Darstellung des Operators: Lemma 263 s seien [u, γ] bzw [u h, γ h ] die eindeutigen Lösungen der Probleme (P ) bzw (P h ) Dann gilt für alle [v, τ] X M: B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) = h h,ω + O h (f + u h ) v [ u h n ] v (γ h u h n ) v τ (g u h ) 36

41 26 in residueller a posteriori Schätzer Beweis Da [u, γ] die eindeutige Lösung des Problems (P ) ist, erhalten wir: B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) = (u u h ) v (γ γ h ) v Ω = f v τ g Ω u h v + γ h v + τ u h Ω = { } f v u h v h + γ h v τ (g u h ) τ (u u h ) Verwenden wir den Satz von Gauß, wobei ñ die äußere Normale von bzgl bezeichnet, so erhalten wir: B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) = { f v + u h v h + γ h v τ (g u h ) = (f + u h ) v h h,ω + O h [ u h n ] v (γ h u h n ) v τ (g u h ) u h ñ v } 263 Formulierung des Schätzers / Zuverlässigkeit Wir schätzen nun die Operatornorm von B([u u h, γ γ h ], [, ]) ab: Lemma 264 s seien [u, γ] bzw [u h, γ h ] die eindeutigen Lösungen der Probleme (P ) 37

42 2 Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen bzw (P h ) Dann gilt: sup B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) c [v,τ] X M [v,τ] =1 { h h 2 f + u h 2 0, + h,ω h [ u h n ] 2 0, + O h h γ h u h n 2 0, + g u h 2 1/2,} 1/2 Die Konstante c hängt dabei von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad von u h und der Regularitätskonstanten c ab Beweis s sei [v, τ] X M mit [v, τ] = 1 beliebig Ferner sei v h eine Clément- Interpolierende [Clé75] von v mit v h X h Dann gilt aufgrund der Galerkin-Orthogonalität: benso gelten die Fehlerabschätzungen: B([u u h, γ γ h ], [v h, 0]) = 0 v v h 0, c 1 h v 1, ω h, v v h 0, c 2 h 1/2 v 1, ω h, wobei c 1, c 2 von der Raumdimension d, dem stückweisen Polynomgrad in X h und der Regularitätskonstanten c abhängen Wir erhalten somit aus Lemma 263: B([u u h, γ γ h ], [v, τ]) = B([u u h, γ γ h ], [v v h, τ]) = (f + u h ) (v v h ) h h,ω + O h [ u h n ] (v v h ) (γ h u h n ) (v v h ) τ (g u h ) 38