Numerik II Finite Elemente. R. Verfürth

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1 Numerik II Finite lemente Vorlesungsskriptum Sommersemester 16 R Verfürth Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

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3 Inhaltsverzeichnis Motivation 5 apitel I Analytische Grundlagen 15 I1 Abstrakte Variationsprobleme 15 I Sobolev-Räume I3 Schwache Lösungen 8 apitel II Theoretische Aspekte 35 II1 Finite lement Räume 35 II Approximationseigenschaften 4 II3 A priori Fehlerabschätzungen 5 apitel III Praktische Aspekte 59 III1 Randapproximation und numerische Integration 59 III Lösung der diskreten Probleme 63 III3 A posteriori Fehlerabschätzungen 78 III4 Adaptivität 91 III5 Implementierung 1 apitel IV rgänzungen 19 IV1 Nicht-konforme Finite lemente 19 IV Gemischte Finite lemente 116 IV3 Discontinuous Galerkin Methoden 19 IV4 Finite Volumen Methoden 134 Literaturverzeichnis 143 Index 145 3

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5 Motivation Zur Motivation betrachten wir die Finite lement Diskretisierung des eindimensionalen Sturm-Liouville Problems (1) (P u ) + Qu = F in (, 1), u() = u(1) = Im Vergleich zu der Differenzendiskretisierung aus [16, II4] machen wir hier die schwächeren Annahmen F L ([, 1], R), Q C([, 1], R), P C([, 1], R), min Q(t), t 1 min P (t) = p > t 1 Dennoch erhalten wir allgemeinere und bessere Fehlerabschätzungen Die Finite lement Diskretisierung beruht auf einer geeigneten Variationsformulierung von (1) Zu deren Motivation multiplizieren wir (1) mit einer Funktion v C ((, 1), R), integrieren das rgebnis von bis 1 und benutzen partielle Integration für die Ableitungsterme Dies liefert F v = (P u ) v + Quv = P u v (P u )v + Quv = 1 (P u )v + 1 Quv Daher hat eine mögliche Variationsformulierung von (1) die Struktur: Finde eine Funktion u in einem geeigneten Funktionenraum X, so dass für alle Funktionen v in X der erste und der letzte Term in obiger Gleichungskette übereinstimmen Um diesen Ansatz in eine mathematisch fundierte Form zu bringen, müssen wir zuerst den Raum X sauber definieren ine Mindestanforderung ist dabei natürlich, dass die entsprechenden Integrale endlich sind Wegen unserer Annahmen an F, P und Q und der Cauchy- Schwarzschen Ungleichung bedeutet dies, dass die Funktionen in X quadrat-integrierbar mit quadrat-integrierbarer Ableitung sein müssen Außerdem müssen die Randbedingungen u() = u(1) = in einem geeigneten Sinn erfüllt sein Die folgende Definition präzisiert diese Vorstellungen 5

6 6 MOTIVATION Definition 1 (Absolut stetige Funktion; Sobolev-Raum) (1) ine Funktion ϕ : [a, b] R heißt absolut stetig auf [a, b], wenn es zu jedem ε > ein δ > gibt, so dass für jedes endliche System von Intervallen [a i, b i ] mit n a a 1 < b 1 a < b a n < b n b und (b i a i ) < δ gilt n ϕ(b i ) ϕ(a i ) < ε i=1 () Für m N ist der Sobolev-Raum H m (a, b) definiert durch H m (a, b) = { ϕ C m 1 ([a, b], R) : ϕ (m 1) ist absolut stetig, r wird versehen mit der Norm { m ϕ m = ϕ k mit k= { b ϕ = ϕ = i=1 ϕ (m) existiert fast überall und ϕ (m) L ([a, b], R) } a } 1 ϕ } 1, { b ϕ k = } 1 ϕ (k), k N (3) H 1 (a, b) = {ϕ H 1 (a, b) : ϕ(a) = ϕ(b) = } a Bemerkung (1) Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig Die Umkehrung gilt ia nicht () H m (a, b) ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarproduktt m b (ϕ, ψ) m = ϕ (k) ψ (k) (3) H 1 (a, b) ist die Vervollständigung von C ((a, b), R) bzgl 1 k= Für den Nachweis, dass die Variationsformulierung von (1) eine eindeutige Lösung besitzt, und für die Fehlerabschätzungen der Finite lement Diskretisierung benötigen wir das folgende Hilfsresultat Lemma 3 (Friedrichsche Ungleichungen) (1) Zu u H 1 (a, b) gebe es ein t [a, b] mit u(t ) = Dann gilt max u(t)) (b a) 1 u 1, u (b a) u 1 a t b a

7 MOTIVATION 7 () Für alle u H 1 (a, b) gilt { 1 + (b a) } 1 u 1 u 1 u 1 Beweis ad (1): Für t [a, b] folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung u(t) = u(t) u(t ) t = u (s)ds t b a t t 1 χ [min(t,t ),max(t,t )](s) u (s) ds { b = t t 1 u 1 a (b a) 1 u 1 } 1 u (s) ds Wegen u (b a) 1 max u(t) a t b folgt hieraus die Behauptung ad (): Die Ungleichung u 1 u 1 ist offensichtlich Aus Teil (1) folgt u 1 = { u + u 1 } 1 {(b a) + 1} 1 u 1 Nach diesen Vorbereitungen können wir jetzt die gesuchte Variationsformulierung angeben und den Begriff einer schwachen Lösung von (1) einführen Definition 4 (Schwache Lösung) ine Funktion u H(, 1 1) heißt schwache Lösung von (1), wenn für alle v H(, 1 1) gilt () 1 {P u v + Quv} = 1 F v Unsere Überlegungen zu Beginn dieses Abschnittes zeigen die folgende fundamentale Beziehung zwischen schwachen und klassischen Lösungen von (1) Satz 5 (Schwache und klassische Lösung) Jede klassische Lösung von (1) ist auch eine schwache Lösung Umgekehrt ist jede zweimal stetig differenzierbare schwache Lösung von (1) auch eine klassische Lösung Bemerkung 6 (Regularität) Satz 5 zeigt, dass in geeignetem Sinne die Probleme (1) und () äquivalent sind ine Aussage der Form

8 8 MOTIVATION Jede schwache Lösung von (1) ist aus C (und damit klassische Lösung) nennt man einen Regularitätssatz Für Sturm-Liouville Probleme kann man derartige Sätze aus dem Regularitätssatz [16, Satz I116] für gewöhnliche Differentialgleichungen ableiten Für partielle Differentialgleichungen ist der Beweis von Regularitätssätzen wesentlich aufwändiger und erfordert zusätzliche Annahmen an das Gebiet, vgl [16, Beispiel III11] Der folgende Satz zeigt, dass (1) eine eindeutige schwache Lösung besitzt Satz 7 (Schwache Lösbarkeit des Sturm-Liouville Problems) Problem (1) besitzt eine eindeutige schwache Lösung Diese ist das eindeutige Minimum des Funktionals H 1 (, 1) u 1 1 {P u + Qu } 1 F u Beweis Wir wenden den Satz von Lax-Milgram, Satz I11 (S 15), an mit X = H(, 1 1), X = 1 und B(u, v) = 1 {P u v + Quv}, l(v) = 1 F v Die Symmetrie und Bilinearität von B und die Linearität von l sind offensichtlich Die Stetigkeit von B und l folgt aus unseren Annahmen an P, Q und F, der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und Lemma 3 Die oerzivität von B schließlich folgt aus B(u, u) 1 P u p u 1 Für die Diskretisierung von Problem (1) ersetzen wir in () den Raum H(, 1 1) durch einen endlich dimensionalen Unterraum X T Das Céa-Lemma, Satz I1 (S 17), zeigt dann, dass das diskrete Problem eine eindeutige Lösung u T hat und dass der Fehler u u T 1 durch die Approximationsgüte inf u v T v T X 1 bestimmt wird Der Satz von T Aubin-Nitsche, Satz I15 (S 18), mit H = L (, 1) schließlich liefert für die L -Norm des Fehlers eine (hoffentlich) verbesserte Abschätzung Die Funktionen in X T sollen stückweise Polynome sein Die Forderung X T H(, 1 1) und die Definition 1 von H(, 1 1) implizieren, dass diese Funktionen stetig sein müssen Dieser Ansatz führt auf folgende Definition Definition 8 (Finite lement Räume) Sei T = {I j : j n} mit I j = [t j, t j+1 ] und = t < t 1 < < t n+1 = 1 eine Unterteilung von [, 1] in n + 1 Teilintervalle Setze h j = t j+1 t j, j n, und h = max j n h j

9 Für k N und m N sei { S k, 1 (T ) = ϕ : [, 1] R : ϕ Ij S k,m (T ) = S k, 1 (T ) C m ([, 1], R), MOTIVATION 9 } P k j n, S k, (T ) = { ϕ S k, (T ) : ϕ() = ϕ(1) = } Dabei bezeichnet P k den Raum der Polynome vom Grad k Bemerkung 9 (1) S,m (T ) = R für alle m N () S k,m (T ) H m+1 (, 1) für alle k N, m N (3) dim S k, (T ) = (n+1)(k 1)+n+, dim S k, (T ) = (n+1)(k 1)+n (4) Die Funktionen in S k,m (T ) heißen (eindimensionale) Finite lemente Ist speziell m = k 1, so spricht man auch von Splines, vgl [15, I3] Nach Wahl eines Polynomgrades k N lautet die Finite lement Diskretisierung von (1): (3) Finde u T S k, (T ), so dass für alle v T S k, (T ) gilt 1 {P u T v T + Qu T v T } = 1 F v T Problem (3) ist ein lineares Gleichungssystem mit (n + 1)(k 1) + n Gleichungen und Unbekannten Die Matrix dieses LGS, die sog Systemsteifigkeitsmatrix oder kurz Steifigkeitsmatrix, ist wegen der Symmetrie und oerzivität der Bilinearform B symmetrisch positiv definit Das LGS kann daher mit einer Cholesky Zerlegung [15, Algorithmus IV7] oder, insbesondere für große n, mit einem CG-Verfahren [15, Algorithmus IV77] gelöst werden t i t i 1 t i t i+1 t i+ t j 1 t j t j+1 t j+ Abbildung 1 Die Basisfunktionen v i und w j ist mit Beispiel 1 (Lineare und quadratische Basisfunktionen) (1) s S 1, (T ) = span{v 1,, v n } für t t i 1 oder t t i+1 t t v i (t) = i 1 h i 1 für t i 1 t t i t+t i+1 h i für t i t t i+1

10 1 MOTIVATION (vgl Abbildung 1) Dann ist (3) äquivalent zu ti+1 t i 1 F v i = ti+1 t i 1 Qv i u + 1 (u h i u i 1 ) i (u h i+1 u i ) i Approximiert man die Integrale durch ti+1 ti P t i 1 ti+1 t i P 1 i n t i 1 F v i 1 (h i 1 + h i )F i (Trapezregel) ti+1 t i 1 Qv i u 1 (h i 1 + h i )Q i u i (Trapezregel) ti µ+1 t i µ P h i µ P i µ+ 1 (µ =, 1) (Mittelpunktsregel) und wählt man h i = h = 1 für alle 1 i n, so erhält man bis auf n+1 Skalierung mit dem Faktor h die Differenzendiskretisierung aus [16, II4] () s ist S, (T ) = span{v 1,, v n, w,, w n } mit v 1,, v n wie in Teil (1) und w i (x) = { für t ti oder t t i+1 4 (t t i)(t i+1 t) h i für t i t t i+1 (vgl Abbildung 1) Die Matrix des LGS (3) hat nun die Form ( ) AL A A Q = LQ, A T LQ A QQ wobei A L die Matrix von (3) zu S 1, (T ) ist und A QQ diagonal ist Spaltet man den Lösungsvektor und die rechte Seite entsprechend auf, hat (3) die Form ( ) ( ) ( ) AL A LQ ul fl = u Q f Q A T LQ und ist somit äquivalent zu A QQ [A L A LQ A 1 QQ AT LQ]u L = f L A LQ A 1 QQ F Q u Q = A 1 QQ [f Q A T LQu L ] Man muss also wie in Teil (1) effektiv nur ein LGS der Größe n n lösen, wobei die Matrix wieder symmetrisch, positiv definit und tridiagonal ist

11 MOTIVATION 11 Als nächstes schätzen wir die Approximationsgüte von S k, (T ) in H 1 (, 1) ab Satz 11 (Approximationsfehler) Sei u H k+1 (, 1) H 1 (, 1) mit k N Dann gilt inf v T S k, (T ) u v T 1 h k u k+1 Beweis Für i n sei L k,i das Lagrangesche Interpolationspolynom von u zu den noten t i + j k h i, j k Setze v T (t) = L k,i (t) t I i, i n Dann ist vt Sk, (T ) Aus dem Satz von Rolle folgt für i n und µ k, dass (u vt )(µ) in I i mindestens k + 1 µ Nullstellen hat Wegen Lemma 3 ist daher u v T µ,ii h i u v T µ+1,ii i n, µ k Da (v T )(k+1) auf jedem I i verschwindet, folgt hieraus durch Induktion und damit die Behauptung u v T 1,Ii h k i u k+1,ii i n Satz 11 liefert zusammen mit den abstrakten Sätzen I1 (S 17) und I15 (S 18) folgende Fehlerabschätzung für die Diskretisierung (3) von Problem (1) Satz 1 (A priori Abschätzung) Seien u H(, 1 1) die eindeutige schwache Lösung von (1) und u T S k, (T ) die eindeutige Lösung von (3) Weiter sei u H k+1 (, 1) Dann gilt max a t b u(t) u T (t) u u T 1 c 1 h k u k+1 mit c 1 = p 1 max{ P C, Q C } Besitzt zusätzlich (1) für jede rechte Seite ϕ L ([, 1], R) eine eindeutige schwache Lösung u ϕ H 1 (, 1) H (, 1) mit so gilt weiter u ϕ c ϕ, u u T c 3 h k+1 u k+1 mit c 3 = 4c p 1 max{ P C, Q C } Bemerkung 13 (1) Im Vergleich mit [16, Satz II4] kommt Satz 1 mit wesentlich schwächeren Regularitätsannahmen aus Dies ist für die Übertragung auf partielle Differentialgleichungen ein großer Vorteil () Die onstante c kann grob abgeschätzt werden durch 3p max{1, P C 1, Q C }

12 1 MOTIVATION Satz 1 liefert keine Aussage über die tatsächliche Größe des Fehlers und seine Verteilung Dies leisten nur sog a posteriori Fehlerabschätzungen, die zusammen mit adaptiven Gitterverfeinerungen für die effiziente Diskretisierung partieller Differentialgleichungen unabdingbar sind Satz 14 (A posteriori Abschätzung) Seien u H(, 1 1) die eindeutige schwache Lösung von (1) und u T S k, (T ) die eindeutige Lösung von (3) Dann gilt mit u u T 1 p 1 { n j= η j } 1 η j = h j F + (P u T ) Qu T,Ij Beweis Wir benutzen die Bezeichnungen des Beweises von Satz 7 und setzen zur Abkürzung e = u u T Bezeichne mit I T : H(, 1 1) S 1, (T ) den Operator, der jeder Funktion ihre stetige, stückweise lineare Interpolierende in den Punkten t,, t n+1 zuordnet insetzen von v = I T e in () und von v T = I T e in (3) und Subtraktion der resultierenden Gleichungen liefert dann die sog Galerkin Orthogonalität Daher ist B(e, I T e) = p e 1 B(e, e) = B(e, e I T e) = l(e I T e) B(u T, e I T e) Hieraus folgt durch partielle Integration auf den Teilintervallen I j, j n, wegen (e I T e)(t i ) = für alle i n + 1 l(e I T e) B(u T, e I T e) n = {F (e I T e) P u T (e I T e) Qu T (e I T e)} j= I j n = {F + (P u T ) Qu T }(e I T e) I j j= Aus dem Beweis von Satz 11 ergibt sich für jedes Teilintervall I j e I T e,ij h j e 1,Ij Hieraus folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung n n p e 1 {F + (P u T ) Qu T }(e I T e) η j e 1,Ij j= I j j= { n } 1 e 1 j= η j

13 MOTIVATION 13 Bemerkung 15 (1) Mit etwas technischem Mehraufwand kann man zeigen, dass gilt η j u u T 1,Ij + HOT, j n, wobei HOT für einen explizit berechenbaren Term höherer Ordnung bzgl η j steht () Die Größe η j nennt man einen residuellen Fehlerindikator Sie kann bei bekanntem u T explizit berechnet werden und gibt somit eine leicht berechenbare Schranke für den Fehler (3) Man kann die Größen η j wie folgt zur automatischen Gitteranpassung benutzen: (i) Wähle ein grobes Gitter T = {I () j : j n } Setze m = (ii) Löse das diskrete Problem zu T m und berechne damit die entsprechenden Fehlerindikatoren η (m) j, j n m Setze η (m) = max η (m) j j n m (iii) Falls η (m) ε ist, beende das Verfahren Andernfalls gehe zu (iv) (iv) Falls η (m) j γη (m) ist, halbiere das Intervall I (m) j Andernfalls lasse es unverändert Dies bestimmt das nächste Gitter T m+1 rsetze m durch m + 1 und gehe nach (ii) zurück Dabei ist in (iii) ε eine gegebene Toleranz und in (iv) γ (, 1) ein gegebener Parameter; typischerweise ist γ = 1 In den folgenden vier apiteln behandeln wir Finite lement Verfahren für lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung In apitel I betrachten wir zunächst abstrakte Variationsprobleme und ihre Diskretisierung, führen dann die Sobolev-Räume ein und geben ihre wichtigsten igenschaften an und nutzen schließlich diese rgebnisse für die Herleitung schwacher Formulierungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung In apitel II führen wir die Finite lement Räume ein, beweisen ihre Approximationseigenschaften und leiten so a priori Fehlerabschätzungen für die Finite lement Diskretisierung elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung her apitel III befasst sich mit praktischen Aspekten der Finite lement Methode: Behandlung gekrümmter Ränder, Berechnung der auftretenden Integrale, effiziente Lösung der diskreten Probleme, a posteriori Fehlerabschätzungen, adaptive Gitterverfeinerung und erforderliche Datenstrukturen In apitel IV schließlich behandeln wir kurz nichtkonforme und gemischte Finite lement Diskretisierungen für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung inige der behandelten Methoden sind für den zweidimensionalen Fall, dh Differentialgleichungen in R, und lineare Dreiecks- und bilineare Viereckselemente als Java-Demonstrationsapplet ALF bzw für lineare Dreieckselemente als Scilab-Funktionsbibliothek AFM realisiert

14 14 MOTIVATION Beide stehen zusammen mit einer kurzen englischen Bedienungsanleitung unter der Adresse zur Verfügung

15 APITL I Analytische Grundlagen In diesem apitel betrachten wir zunächst abstrakte Variationsprobleme und deren Diskretisierung Danach führen wir die Sobolev- Räume ein und geben einige ihrer wichtigsten igenschaften an Anschließend leiten wir schwache Formulierungen elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung her und zeigen einige ihrer wichtigsten igenschaften I1 Abstrakte Variationsprobleme Motiviert durch das einführende apitel und die schwache Formulierung, Definition 4 (S 7), des Sturm-Liouville Problems (1) (S 5), betrachten wir in diesem Paragraphen abstrakte Variationsprobleme der Form: Finde ein u X, so dass für alle v X gilt B(u, v) = l(v) Dabei ist X ein Banach-Raum, B eine Bilinearform auf X und l ein lineares Funktional auf X Der folgende Satz sichert unter geeigneten Voraussetzungen die eindeutige Lösbarkeit derartiger Probleme und charakterisiert ihre Lösungen Satz I11 (Satz von Lax-Milgram) Seien (X, X ) ein Banach- Raum, l L(X, R) ein stetiges lineares Funktional und B L (X, R) eine stetige Bilinearform Zusätzlich sei B symmetrisch, dh B(u, v) = B(v, u) u, v X, und koerziv, dh, es gibt ein β > mit B(u, u) β u X u X Dann besitzt das Funktional J C (X, R) mit J(u) = 1 B(u, u) l(u) ein eindeutiges Minimum u in X Dieses ist die eindeutige Lösung von (I11) B(u, v) = l(v) v X Beweis 1 Schritt: Offensichtlich ist J C (X, R) mit DJ(u)v = B(u, v) l(v) u, v X 15

16 16 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Also ist jeder kritische Punkt von J eine Lösung von (I11) Schritt: Seien u 1, u X zwei Lösungen von (I11) Dann folgt B(u 1 u, v) = und wegen der oerzivität von B v X β u 1 u X B(u 1 u, u 1 u ) = Also besitzt (I11) höchstens eine Lösung 3 Schritt: Für alle u X gilt wegen der oerzivität von B und der Stetigkeit von l J(u) β u X l L(X,R) u X β 4 u X 1 β l L(X,R) 1 β l L(X,R) Also ist J nach unten beschränkt Sei ρ = inf u X J(u) R und (u n ) n N eine Minimalfolge, dh ρ = lim n J(u n ) Dann folgt für n, m N wegen der oerzivität, Symmetrie und Bilinearität von B und der Linearität von l β u n u m X B(u n u m, u n u m ) = B(u n, u n ) B(u n, u m ) + B(u m, u m ) = B(u n, u n ) + B(u m, u m ) B(u n + u m, u n + u m ) = B(u n, u n ) 4l(u n ) + B(u m, u m ) 4l(u m ) ( 1 4B (u n + u m ), 1 ) ( ) 1 (u n + u m ) + 8l (u n + u m ) { 1 = 8 J(u n) + 1 ( )} 1 J(u m) J (u n + u m ) { 1 8 J(u n) + 1 } J(u m) ρ n,m Also ist (u n ) n N eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein u X mit J(u ) = ρ Also besitzt J mindestens ein Minimum Zusammen mit den Schritten 1 und folgt hieraus die Behauptung Motiviert durch die eindimensionalen Finite lemente des einführenden apitels betrachten wir abstrakte diskrete Probleme der Form: Finde ein u T X T, so dass für alle v T X T gilt B(u T, v T ) = l(v T )

17 I1 ABSTRAT VARIATIONSPROBLM 17 Dabei ist X T ein geeigneter endlich dimensionaler Unterraum von X Die diversen Finite lement Diskretisierungen unterscheiden sich dann ua in der Wahl der diskreten Räume X T Satz I11 angewandt auf einen solchen Raum X T liefert sofort die eindeutige Lösbarkeit des diskreten Problems und führt es auf ein äquivalentes endlich dimensionales System linearer Gleichungen zurück Der folgende Satz zeigt, dass der Fehler zwischen den Lösungen der Variationsprobleme in X und in X T bestimmt ist durch die Approximationsgüte des Raumes X T X Diese Größe ist unabhängig von den Formen B und l und damit von der speziellen Differentialgleichung Daher erhalten wir mit dem folgenden Satz Fehlerabschätzungen für eine ganze lasse von Differentialgleichungen und Diskretisierungen Satz I1 (Céa-Lemma) Die Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in Satz I11 Setze zur Abkürzung B = B L (X,R) Sei X T X ein endlich dimensionaler Unterraum von X Bezeichne mit u X und u T X T das eindeutige Minimum von J in X bzw X T Dann gilt (I1) u u T X B β inf v T X T u v T X Beweis Wegen Satz I11 besitzt J ein eindeutiges Minimum u T in X T Dieses ist charakterisiert durch (I13) B(u T, v T ) = l(v T ) v T X T Aus (I11) und (I13) folgt wegen der Bilinearität von B die sog Galerkin Orthogonalität (I14) B(u u T, v T ) = v T X T Hieraus ergibt sich für jedes v T X T β u u T X B(u u T, u u T ) wegen der oerzivität von B = B(u u T, u v T ) + B(u u T, v T u T ) = B(u u T, u v T ) B u u T X u v T X Da v T beliebig war, folgt hieraus die Behauptung Wie bei dem Sturm-Liouville Problem wird bei den Anwendungen der folgenden Abschnitte X in der Regel die H 1 -Norm oder eine ähnliche Norm sein Wie bei dem eindimensionalen Problem wollen wir aber häufig auch Fehlerabschätzungen in der L -Norm oder einer vergleichbaren Norm herleiten Dazu benötigen wir den Begriff der stetigen inbettung

18 18 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Definition I13 (Stetige inbettung) Seien (X, X ) und (Y, Y ) zwei normierte Vektorräume Dann heißt X stetig eingebettet in Y, kurz X Y, wenn X Y und die kanonische Injektion i : X Y stetig ist Bemerkung I14 (Normvergleich bei stetiger inbettung) Gilt X Y, so folgt aus der Definition der Stetigkeit für lineare Operatoren, dass es eine onstante c > gibt mit ϕ Y c ϕ X für alle ϕ X Der folgende Satz zeigt, dass wir unter bestimmten Bedingungen die Abschätzung von Satz I1 verbessern können Satz I15 (Satz von Aubin-Nitsche) Zusätzlich zu den Voraussetzungen der Sätze I11 und I1 sei H ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (, ) H und Norm H derart, dass X H und bzgl H dicht ist in H Für jedes ϕ H bezeichne u ϕ X die eindeutige Lösung von (I15) B(v, u ϕ ) = (ϕ, v) H v X Dann gilt (I16) u u T H B u u T X sup ϕ H; ϕ H =1 inf u ϕ v T X v T X T Beweis Wegen X H definiert jedes ϕ H durch v (ϕ, v) H ein stetiges lineares Funktional auf X Wegen Satz I11 besitzt somit (I15) eine eindeutige Lösung u ϕ X Aus (I15) und (I14) folgt für beliebiges ϕ H und beliebiges v T X T (u u T, ϕ) H = B(u u T, u ϕ ) Da wegen der Dichtheit von X in H u u T H = = B(u u T, u ϕ v T ) ist, folgt hieraus die Fehlerabschätzung B u u T X u ϕ v T X sup (u u T, ϕ) H ϕ H; ϕ H =1 In den nächsten Paragraphen werden wir ua onvektions-diffusionsgleichungen betrachten Deren Variationsformulierung und Finite lement Diskretisierung passt nicht in den Rahmen der Sätze I11, I1 und I15, da die zugehörige Bilinearform B nicht mehr symmetrisch ist Der folgende Satz zeigt, dass die analytischen Probleme (I11) und (I15) und das diskrete Problem (I13) nach wie vor eindeutig lösbar sind und dass die Fehlerabschätzungen (I1) und (I16) gültig bleiben Allerdings können wir wegen der fehlenden Symmetrie von B die Lösungen von (I11) und (I13) nicht mehr als Minimum

19 I1 ABSTRAT VARIATIONSPROBLM 19 des Funktionals J charakterisieren Zudem brauchen wir eine zusätzliche Bedingung an den Raum X und müssen für die eindeutige Lösbarkeit der analytischen Probleme (I11) und (I15) deutlich schärferes funktionalanalytisches Geschütz auffahren Satz I16 (oerzive, nicht symmetrische Bilinearform) Die Voraussetzungen der Sätze I11, I1 und I15 seien bis auf die Symmetrie der Bilinearform B erfüllt Zudem sei X reflexiv Dann besitzen die Probleme (I11), (I13) und (I15) für jedes l L(X, R) bzw ϕ H eine eindeutige Lösung u X, u T X T und u ϕ X und es gelten die Fehlerabschätzungen (I1) und (I16) Beweis Im Beweis der Sätze I1 und I15 haben wir die oerzivität von B, nicht aber die Symmetrie ausgenutzt Daher müssen wir nur die eindeutige Lösbarkeit der Probleme (I11), (I13) und (I15) zeigen Betrachte zunächst das diskrete Problem (I13) Dieses ist ein endlich dimensionales lineares Gleichungssystem mit genauso vielen Gleichungen wie Unbekannten Wegen der oerzivität von B besitzt das zugehörige homogene Problem nur die triviale Lösung Daher ist (I13) für alle l L(X, R) eindeutig lösbar Betrachte als nächstes das analytische Problem (I11) Wegen der oerzivität von B besitzt (I11) höchstens eine Lösung Weiter definiert B durch die Vorschrift (Lu)(v) = B(u, v) eine lineare Abbildung von X in seinen Dualraum X = L(X, R), die wegen der Stetigkeit von B ebenfalls stetig ist Wegen der oerzivität von B gilt β u X Lu X für alle u X Daher ist L injektiv und das Bild R von L ein abgeschlossener Unterraum von X Wäre R X gäbe es wegen des Satzes von Hahn-Banach [17, orollar III18] und der Reflexivität von X ein lement v X mit (Lu)(v ) = B(u, v ) = für alle u X 1 Dies ist ein Widerspruch zur oerzivität von B Also ist L auch surjektiv und damit (I11) eindeutig lösbar Die eindeutige Lösbarkeit von Problem (I15) schließlich folgt ganz analog mit dem adjungierten Operator L mit (L u)(v) = B(v, u) an Stelle von L Bemerkung I17 (inf-sup Bedingung) Die oerzivität der Bilinearform B kann zu der sog inf-sup Bedingung < β inf abgeschwächt werden Wegen l X = sup u X\{} v X\{} l(v) sup v X\{} v X B(u, v) u X v X l X 1 Für einen Hilbert-Raum ist v = w P R w mit w X \R und der orthogonalen Projektion P R auf R

20 I ANALYTISCH GRUNDLAGN impliziert sie nämlich für obigen Operator L β u X Lu X u X Hieraus folgt dann wieder die Injektivität von L und die Abgeschlossenheit seines Bildes Die inf-sup Bedingung ist für sog Sattelpunktsprobleme von besonderer Bedeutung (vgl IV (S 116)) Bemerkung I18 (Allgemeine Diskretisierungsverfahren) Wir betrachten allgemeine Diskretisierungsverfahren L h u h = f h für abstrakte lineare Probleme Lu = f wie in [16, III] Dabei ist L : X Y eine nicht notwendig stetige lineare Abbildung zwischen zwei Banach- Räumen (X, X ) und (Y, Y ) und L h : X h Y h eine automatisch stetige lineare Abbildung zwischen zwei endlich dimensionalen Banach- Räumen (X h, Xh ) und (Y h, Yh ) Die unendlich dimensionalen und die endlich dimensionalen Räume sind durch Restriktionsabbildungen R Xh : X X h und R Yh : Y Y h verknüpft Zusätzlich wird ein Fortsetzungsoperator I Xh : X h X in einen Banach-Raum ( X, X) mit einer schwächeren Topologie als X und X X betrachtet, der Fehlerabschätzungen in der h-unabhängigen Norm X erlaubt Die Variationsprobleme dieses Abschnittes und ihre Diskretisierungen passen wie folgt in diesen Rahmen s ist Y = X der Dualraum von X, L ist wie im Beweis von Satz I16 definiert durch (Lu)(v) = B(u, v), Y h = Xh ist der Dualraum von X h = X T und L h ist die Restriktion von L definiert durch (L h u h )(v h ) = B(u h, v h ) für alle u h, v h X h Wegen X T X kann für I Xh die kanonische Injektion gewählt und R Yh als die kanonische Restriktion (R Yh l)(v h ) = l(v h ) definiert werden; R Xh hängt vom Diskretisierungverfahren ab und ist in der Regel ein Interpolationsoder Quasi-Interpolationsoperator (vgl (II1) (S 41) und Definition III31 (S 8)) Üblicherweise ist X der Raum H aus dem Satz von Aubin-Nitsche I15 Aus der oerzivität von B bzw der inf-sup Bedingung aus Bemerkung I17 folgt die Stabilität L 1 h L(Yh,X h ) β 1 Aus der Stetigkeit der Bilinearform B folgt die onsistenzfehlerabschätzung L h R Xh u R Yh Lu Yh B R Xh u u X I Sobolev-Räume Im Folgenden bezeichnet R d, d 1, stets eine offene, beschränkte Menge, p [1, ) einen Lebesgue-xponenten mit dualem xponenten p (1, ], = 1, und α N d einen Multiindex mit p p α = α α d und D α ϕ = α x α 1 1 x α ϕ d d ϕ C α () Da beschränkt ist, gilt L p () L 1 (), und die kanonische Injektion ist stetig Aus dem Gaußschen Integralsatz folgt für alle ϕ, ψ C ()

21 und alle α N d (I1) I SOBOLV-RÄUM 1 ϕd α ψ = ( 1) α ψd α ϕ Gleichung (I1) motiviert die folgende Definition der schwachen Ableitung Dieser Begriff verallgemeinert denjenigen der klassischen Ableitung Definition I1 (Schwache Ableitung) Seien ϕ, ψ L 1 () und α N d Dann heißt ψ die α-te schwache Ableitung von ϕ, kurz ψ = D α ϕ, wenn für alle ρ C () gilt ϕd α ρ = ( 1) α ψρ Bemerkung I (igenschaften schwacher Ableitungen) (1) Die α-te schwache Ableitung ist, sofern sie existiert, eindeutig im Sinne von L 1 -Funktionen () Ist ϕ C α (), so stimmen die α-te schwache Ableitung und die klassische α-te Ableitung überein Beweis ad (1): Seien ϕ, ψ 1, ψ L 1 () mit ( 1) α ψ 1 ρ = ϕd α ρ = ( 1) α ψ ρ Dann gilt (ψ 1 ψ )ρ = ρ C () ρ C () Da C () dicht ist in L 1 (), folgt ψ 1 = ψ fast überall ad (): Folgt aus dem Gaußschen Integralsatz (vgl (I1)) Beispiel I3 (Schwach, aber nicht klassisch differenzierbare Funktion) Sei = ( 1, 1) und ϕ(x) = x Dann ist ϕ im Sinne von Definition I1 differenzierbar und die Ableitung ist { 1 für 1 < x <, ψ(x) = 1 für < x < 1 Denn für alle ρ C () gilt 1 1 da ρ(±1) = ist ϕρ = 1 ϕρ + 1 ϕρ = ϕ()ρ() ϕ( 1)ρ( 1) + ϕ()ρ() + ϕ(1)ρ(1) 1 = ψρ, ρ ρ

22 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Mit Hilfe der schwachen Ableitung definieren wir die Sobolev-Räume Sie verallgemeinern die klassischen C k ()-Räume und sind ein unverzichtbares Hilfsmittel für die Variationsrechnung (vgl I3), auf der die Finite lement Methoden aufbauen Definition I4 (Sobolev-Räume W k,p ()) (1) Für k N und p [1, ) definieren wir den Sobolev-Raum W k,p () und seine Norm k,p durch mit W k,p () = {ϕ L p () : D α ϕ L p () α k}, 1/p ϕ k,p = D α ϕ p p α k { } 1 ψ p = ψ p () Für k N definieren wir durch ϕ k,p = D α ϕ p p α =k eine Semi-Norm auf W k,p () und setzen zur Abkürzung = (3) Ist speziell p =, so schreiben wir H k () statt W k, () und lassen den Index p = bei der Norm und Semi-Norm weg Beispiel I5 (Unbeschränkte Sobolev-Funktionen) (1) Seien ϕ und wie in Beispiel I3 Dann gilt ϕ W 1,p () für alle p [1, ) () Seien d, = B(, 1 ) und ϕ(x) = x s mit s R, wobei die euklidische Norm in R d bezeichnet Dann gilt p D α ϕ(x) x s α 1 p und D α ϕ p 1 p(s α ) + d 1 > 1 r (s α )p r d 1 dr < s > α d p (3) Sei d =, = B(, 1 ) und ϕ(x) = ln ln( x ) Offensichtlich ist ϕ L () Für x und i {1, } ist ϕ x i = x i x ln( x )

23 Hieraus folgt ϕ x i i=1 I SOBOLV-RÄUM 3 1 = π [ 1 rdr = π lim 1 ] r= 1 r (ln r) ε ln r r=ε = π ln Also ist ϕ H 1 () Man beachte, dass ϕ(x) für x gilt Somit zeigt dieses Beispiel, dass für Raumdimensionen d Funktionen in H 1 im allgemeinen keine Punktwerte besitzen Satz I6 (igenschaften der Sobolev-Räume) (1) (W k,p (), k,p ) ist ein Banach-Raum () C () ist dicht in W k,p () (3) H k () ist ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (ϕ, ψ) k = D α ϕd α ψ α k Beweis ad (1): Sei n k,d = #{α N d : α k} Dann können wir W k,p () vermittels der Abbildung i : ϕ (D α ϕ) α k mit L p (; R n k,d ) identifizieren Insbesondere ist dann ϕ k,p = i(ϕ) L p (;R nk,d ) Hieraus folgt sofort die Normeigenschaft von k,p Sei nun (ϕ n ) n N W k,p () eine Cauchy-Folge Dann ist (i(ϕ n )) n N L p (; R n k,d ) ebenfalls eine Cauchy-Folge und damit konvergent Daher gibt es zu jedem α N d mit α k ein ψ α L p (), so dass D α ϕ n in L p () gegen ψ α konvergiert Insbesondere konvergiert D α ϕ n punktweise fü gegen ψ α Für jedes ρ C () gilt andererseits (I) ϕ n D α ρ = ( 1) α D α ϕ n ρ Wegen des Lebesgueschen onvergenzsatzes können wir in (I) den Grenzübergang n durchführen und erhalten ψ D α ρ = lim ϕ n D ω n α ρ = lim ( 1) α D n α ϕ n ρ = ( 1) α ψ α ρ Also ist ψ α die α-te schwache Ableitung von ψ, und (ϕ n ) n N konvergiert in W k,p () gegen ψ ad (): opiere den Beweis von C () ist dicht in L p () ad (3): Offensichtlich ist (, ) k bilinear und ϕ k = (ϕ, ϕ) k Damit folgt die Behauptung aus Teil (1) Im Folgenden werden wir häufig Funktionen begegnen, die stückweise glatt sind Der folgende Satz gibt uns ein riterium, wann solche Funktionen in W k,p () sind

24 4 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Σ 1 n Abbildung I1 Zerlegung von in Teilgebiete Satz I7 (Stückweise glatte Funktionen) Seien 1, zwei nicht leere, offene, beschränkte und disjunkte Teilmengen von mit stückweise glattem Rand und = 1 Weiter sei ϕ L p () so, dass ϕ i C k ( i ) ist für i {1, } und k 1 Dann ist ϕ W k,p () genau dann, wenn ϕ C k 1 () ist Beweis s reicht, den Fall k = 1 zu betrachten Der allgemeine Fall folgt dann durch Induktion Sei n die äußere Normale an 1 und J Σ (ϕ) der Sprung von ϕ über Σ = 1 in Richtung n, dh J Σ (ϕ)(x) = lim t + ϕ(x + tn) lim t + ϕ(x tn) x Σ Seien ρ C () und i {1,, d} beliebig Dann folgt aus dem Gaußschen Integralsatz ϕ ρ = ϕ ρ ϕ ρ x i 1 x i x i ϕ ϕ = ρ ϕρn i + ρ + ϕρn i 1 x i 1 x i ϕ = ρ + J Σ (ϕ)ρn i x i Ist also ϕ W 1,p (), so folgt J Σ (ϕ)ρn i = Σ Σ ρ C (), i {1,, d} Also ist J Σ (ϕ) = fü auf Σ, dh aber ϕ C() Ist umgekehrt ϕ C(), so verschwindet J Σ (ϕ) auf Σ, und aus obiger Identität folgt ϕ W 1,p () Bemerkung I8 (C () nicht dicht in H 1 ()) Gemäß Satz I6 () ist der Raum C () dicht in W k,p () Für C () gilt dies aber ia nicht Betrachte zb d = 1, = (, 1) und ϕ(x) = x Sei ρ C () beliebig Wegen ϕ() = ρ() = ρ(1) = folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung 1 = ϕ(1) ρ(1) [ϕ() ρ()] = ϕ ρ 1 Also kann C () nicht dicht in H 1 () sein 1 [ϕ (t) ρ (t)]dt

25 I SOBOLV-RÄUM 5 Bemerkung I8 führt auf folgende Definition Definition I9 (Sobolev-Räume W k,p ()) W k,p (), k 1, ist die Vervollständigung von C () bzgl k,p ; H k () = W k, () Wie wir aus [16, III1] wissen, spielt der Rand von eine wesentliche Rolle für die Regularität der Lösungen partieller Differentialgleichungen Dies gilt auch für das Randverhalten von Funktionen in W k,p -Räumen Die folgenden Definition und Bemerkung präzisieren diesen Sachverhalt Abbildung I links: Lipschitz-Gebiet mit egel ; rechts: nicht Lipschitz-Gebiet Definition I1 (Lipschitz-Rand) hat einen Lipschitz-Rand bzw ist ein Lipschitz-Gebiet, wenn es ein N N und offene Mengen U 1,, U N R d mit folgenden igenschaften gibt: (1) 1 i N U i, () Für jedes 1 i N ist U i darstellbar als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion Bemerkung I11 (inheitsnormalenfeld; egelbedingung) (1) sei ein Lipschitz-Gebiet Dann existiert fast überall auf das äußere inheitsnormalenfeld n zu () habe einen stückweise glatten Rand Zudem gebe es zu jedem x einen nicht trivialen egel mit Basis x und R d \ (egelbedingung) Dann ist ein Lipschitz-Gebiet Der folgende Satz charakterisiert die Spuren von W k,p -Funktionen, dh ihre inschränkungen auf den Rand von Satz I1 (Spursatz) Seien ein Lipschitz-Gebiet und k N, l {,, k 1} Dann gibt es eine stetige lineare Abbildung γ l : W k,p () L p ( ) mit der igenschaft γ l (ϕ) = l ϕ n l ϕ C k () Beweisidee ([1], [, A57, A514]) Man zeigt zunächst, dass die Restriktionen von C (R d )-Funktionen auf dicht sind in W k,p () Dann führt man eine Überdeckung von wie in Definition I1 ein und rechnet die igenschaft von γ l auf den arten U i für C (R d )- Funktionen nach

26 6 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Bemerkung I13 (W k l 1 p,p ( )-Räume) Die Bezeichnungen und Voraussetzungen seien wie in Satz I1 Wegen des Satzes vom abgeschlossenen Bild (engl closed range theorem) [17, Theorem IV51] ist γ l (W k,p ()) ein abgeschlossener Unterraum von L p ( ) Dieser wird üblicherweise mit W k l 1 p,p ( ) bezeichnet Für unsere Anwendungen sind die Fälle l = und l = 1 besonders wichtig Für eine alternative Charakterisierung der Räume W k l 1 p,p ( ) analog zu Definition I4 mit ersetzt durch verweisen wir auf [1] Der folgende Satz charakterisiert W k,p -Funktionen als die W k,p - Funktionen, die auf dem Rand von in einem geeigneten Sinne verschwinden Satz I14 (ern des Spuroperators) W k,p () = {ϕ W k,p () : γ l (ϕ) = l k 1} Beweisidee ([1], [, A57, A514]) Da die Abbildungen γ l stetig sind, ist l k 1 ker γ l ein abgeschlossener Unterraum von W k,p (), der C () enthält Hieraus folgt mit Definition I9 die Behauptung Der folgende Satz ist ein wichtiges Hilfsmittel Satz I15 (Friedrichsche Ungleichung) k,p und k,p sind äquivalente Normen auf W k,p () Beweis Offensichtlich gilt ϕ k,p ϕ k,p für alle ϕ W k,p () Für die umgekehrte Abschätzung wähle R R + so, dass in dem Würfel B (, R) enthalten ist Dabei bezeichnet die Maximum- Norm auf R d Sei α N d mit α = k 1 und ϕ C (), ψ = D α ϕ Dann ist ψ C () Wegen B (, R) folgt für beliebiges x mit der Hölderschen Ungleichung x p ψ(x) p = ψ (y, x,, x d )dy R x 1 R p (R) p 1 ψ (y, x,, x d ) x 1 dy Integration über liefert ψ p p = ψ(x) p R (R) p 1 = (R) p R B (,R) R B (,R) B (,R) p ψ x 1 ψ(x) p ψ (y, x,, x d ) x 1 p = (R) p ψ x 1 p p dydx

27 I SOBOLV-RÄUM 7 Summation über alle Multiindizes α N d mit α k 1 ergibt ϕ p k 1,p c k 1 ϕ p k,p mit c k 1 = (R) p (k+d )! Hieraus folgt d!(k 1)! k 1 ϕ p k,p = ϕ p k,p + k 1 ϕ p l,p ϕ p k,p + c l ϕ p l+1,p l= l= {1 + c k 1 + c k 1 c k + + c k 1 c 1 c } ϕ p k,p Dies beweist die Behauptung, da C () dicht ist in W k,p () Bemerkung I16 Aus Satz I15 folgt ϕ k,p c k () ϕ k,p für alle ϕ W k,p () Die onstante c k () hängt nur von k und dem Durchmesser von ab ine analoge Abschätzung gilt für alle Funktionen, die auf einem Teil des Randes verschwinden, der positives (d 1)- dimensionales Maß hat Als nächstes wollen wir Teilmengenbeziehungen zwischen W k,p - und L q -Räumen untersuchen Dazu benötigen wir neben dem Begriff der stetigen inbettung, Definition I13 (S 18), auch denjenigen der kompakten inbettung Definition I17 (ompakte inbettung) Seien (X, X ) und (Y, Y ) zwei normierte Vektorräume Dann heißt X kompakt eingebettet in Y, kurz X c Y, wenn die inheitskugel B X (, 1) bzgl der Norm X eine kompakte Teilmenge von Y ist bzgl der Norm Y Bemerkung I18 (igenschaften kompakter inbettungen) (1) Aus X c Y folgt X Y () Ist X c Y und (ϕ n ) n N X eine beschränkte Folge bzgl der Norm X, so besitzt (ϕ n ) n N eine in Y bzgl der Norm Y konvergente Teilfolge Satz I19 (Sobolevscher inbettungssatz) (1) Sei p < d Dann gilt W k,p () W k 1,q () für alle q [1, pd ] und W k,p () c d p W k 1,q () für alle q [1, pd ) d p () Sei p = d Dann gilt W k,p () c W k 1,q () für alle q [1, ) (3) Sei k > d Dann gilt W k,p () c C l () für alle l N mit l < p k d p Beweis [1], [, A 51, A54, A8] Bemerkung I (1) Sei d =, p = und = B(; 1 ) Dann zeigt Beispiel I5 (3), dass die Schranke an q in Satz I19 () scharf ist () Sei d 3, p = und = B(; 1 ) Dann zeigt Beispiel I5 (), dass die Schranke an q in Satz I19 (1) scharf ist

28 8 I ANALYTISCH GRUNDLAGN (3) Sei p = und d = Dann ist H 1 () c L q () für jedes q [1, ) (4) Sei p = und d = 3 Dann ist H 1 () c L q () für jedes q [1, 6) und H 1 () L 6 () (5) Sei p = und d {, 3} Dann ist H () C () Für H 1 ()- Funktionen sind Punktwerte dagegen nicht definiert (vgl Beispiel I5 (3)) Der folgende Satz ist ein Analogon der Friedrichschen Ungleichung Satz I1 (Poincarésche Ungleichung) 1 und 1 sind äquivalente Normen auf V = {ϕ H 1 () : ϕ = } Beweis Wie im Beweis von Satz I15 müssen wir nur zeigen, dass es eine onstante C > gibt mit (I3) ϕ 1 C ϕ 1 ϕ V Wir nehmen an, eine solche onstante existiere nicht Dann gibt es eine Folge (ϕ n ) n N V mit (I4) ϕ n 1 = 1 n N und (I5) lim ϕ n n 1 = Wegen Satz I19 und Bemerkung I18 () gibt es eine Teilfolge (ϕ nk ) k N von (ϕ n ) n N und eine Funktion ϕ L () mit lim ϕ n k ϕ = k Wegen (I5) konvergiert (ϕ nk ) k N sogar in H 1 () Mithin ist ϕ H 1 () und ϕ 1 = Daher ist ϕ konstant Da V ein abgeschlossener Unterraum von H 1 () ist, gilt aber ϕ = Also ist ϕ = im Widerspruch zu (I4) Bemerkung I (1) Satz I1 kann für H 1 () nicht gelten, da die rechte Seite von (I3) für die konstante Funktion ϕ = 1 verschwindet () Der Beweis von Satz I1 ist nicht konstruktiv Mit anderen Techniken kann man zeigen, dass die onstante C in (I3) proportional zum Durchmesser diam() = sup x,y x y von ist Ist insbesondere konvex, ergibt sich C 1 diam() [14, 34] π (3) Analoge Aussagen zu Satz I1 gelten für W 1,p () und {ϕ W 1,p () : ϕ = } mit p (1, ) [14, 34] I3 Schwache Lösungen Im Folgenden ist R d, d eine offene beschränkte Menge mit Lipschitz-Rand Γ = und äußerem inheitsnormalenfeld n Wir betrachten skalare, lineare, elliptische Differentialgleichungen Ordnung

29 Ihre allgemeine Form lautet [16, III1] (I31) 1 i,j d I3 SCHWACH LÖSUNGN 9 x i ( ) u A ij + x j d i=1 a i u x i + αu = f in Dabei ist f L (), α C(, R + ), a = (a 1,, a d ) C 1 (, R d ) und A = (A ij ) 1 i,j d C 1 (, R d d ) mit A ij (x) = A ji (x) für alle x, 1 i, j d und λ = inf x z T A(x)z inf z R d \{} z T z > Später werden wir die Glattheitsbedingungen an die oeffizienten α, a und A abschwächen Zur Vereinfachung der Notation sprechen wir im Folgenden von einer onvektions-diffusionsgleichung, wenn α, a und A beliebig sind, einer Reaktions-Diffusionsgleichung, wenn a = ist, einer Membrangleichung, wenn α = und a = ist, einer Poissongleichung, wenn α =, a = und A = I ist Die partielle Differentialgleichung (I31) muss mit Randbedingungen versehen werden Wir betrachten drei Typen von Randbedingungen (homogene) Dirichlet-Randbedingungen: u = auf Γ, (inhomogene) Neumann-Randbedingungen: n A u = g auf Γ, gemischte Dirichlet-Neumann-Randbedingungen: u = auf Γ D und n A u = g auf Γ N Dabei ist g L (Γ), Γ D Γ N = und Γ = Γ D Γ N Wir werden bei gemischten Randbedingungen stets fordern, dass Γ D ein positives (d 1)-dimensionales Maß hat Die Beschränkung auf homogene Dirichlet- Randdaten ist nicht wesentlich, vereinfacht aber die Darstellung Sei nun u C () eine Lösung von (I31) mit homogenen Dirichlet- Randbedingungen und v C () Multiplikation von (I31) mit v, Integration über und Anwenden des Gaußschen Integralsatzes liefert (I3) fv = + 1 i,j d d i=1 = = 1 i,j d x i a i u x i v + ( A ij u x j A ij u x j v x i + αuv ) v d i=1 { u A v + (a u) v + αuv} u a i v + αuv x i

30 3 I ANALYTISCH GRUNDLAGN Da C () dicht ist in H() 1 folgt, dass u H() 1 die Gleichung (I33) { u A v + (a u) v + αuv} = fv für alle v H() 1 erfüllt Umgekehrt folgt aus (I3), dass eine Lösung von (I33) die Differentialgleichung (I31) erfüllt, sofern sie hinreichend glatt, dh in C () ist In diesem Sinne ist (I33) zur onvektions- Diffusionsgleichung (I31) mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen äquivalent Betrachten wir in obigem Argument Funktionen v C (), so treten in (I3) zusätzlich Randterme n A uv auf rfüllt u Γ Neumann-Randbedingungen, so gilt für diesen Randterm n A uv = gv Γ Wir werden daher in diesem Fall (I33) durch den zusätzlichen Term gv auf der rechten Seite modifizieren Diese Überlegungen führen auf Γ folgende Definition Definition I31 (Schwache Lösung) (1) u H() 1 heißt schwache Lösung der onvektions-diffusionsgleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen, wenn für alle v H() 1 gilt { u A v + (a u) v + αuv} = fv () u HD 1 () = {ϕ H1 () : ϕ = auf Γ D } heißt schwache Lösung der onvektions-diffusionsgleichung mit gemischten Randbedingungen, wenn für alle v HD 1 () gilt { u A v + (a u) v + αuv} = fv + gv Γ N (3) u H 1 () heißt schwache Lösung der onvektions-diffusionsgleichung mit Neumann-Randbedingungen, wenn für alle v H 1 () gilt { u A v + (a u) v + αuv} = fv + gv Bemerkung I3 (igenschaften schwacher Lösungen) (1) Jede klassische Lösung von (I31) ist auch eine schwache Lösung Jede schwache Lösung, die zweimal stetig differenzierbar ist, ist eine klassische Lösung von (I31) () Für schwache Lösungen benötigen wir für die oeffizienten nur die Regularitätsvoraussetzungen α L (), α, a L (, R d ), A L (, R d d ) (3) Bei inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen u = u D auf Γ bzw Γ D muss in Definition I31 die Bedingung u H() 1 bzw u HD 1 () durch u u D + H() 1 bzw u u D + HD 1 () ersetzt werden Γ Γ

31 I3 SCHWACH LÖSUNGN 31 Satz I33 (xistenz- und indeutigkeitssatz für schwache Lösungen) (1) Ist 1 div a + α, so besitzt die onvektions-diffusionsgleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen eine eindeutige schwache Lösung () Ist 1 div a+α und a n auf Γ N, so besitzt die onvektions- Diffusionsgleichung mit gemischten Randbedingungen eine eindeutige schwache Lösung (3) Ist 1 div a + α α > und a n auf Γ, so besitzt die onvektions-diffusionsgleichung mit Neumann-Randbedingungen eine eindeutig schwache Lösung (4) Ist α =, div a = und a n = auf Γ sowie f + g =, so Γ besitzt die onvektions-diffusionsgleichung mit Neumann-Randbedingungen eine eindeutige schwache Lösung u mit u = Beweis Wir wenden jeweils Satz I16 (S 19) an In allen Fällen ist X ein abgeschlossener Unterraum von H 1 () und damit reflexiv und l(v) = fv + gv Γ N B(u, v) = { u A v + (a u)v + αuv} mit der offensichtlichen Modifikation für Γ N = Die Linearität von l und die Bilinearität von B sind offensichtlich Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und dem Spursatz, Satz I1 (S 5), folgt l(v) f v + g ΓN v ΓN { f + c g ΓN } v 1 B(u, v) A u 1 v 1 + a u 1 v + α u v max { A, a, α } u 1 v 1 und damit die Stetigkeit von l und B Daher müssen wir nur noch die oerzivität von B nachweisen Partielle Integration des onvektionstermes in B(u, u) ergibt für alle u H 1 () (a u)u = 1 a (u ) = 1 (div a)u + und damit B(u, u) { = u A u + (α 1 ) } div a u + (I34) Γ {α(x) 1 } div a(x) u + λ u 1 + inf x Γ 1 n au 1 n au Γ 1 n au Daher müssen wir in allen vier Fällen nur noch die rechte Seite von (I34) geeignet abschätzen

32 3 I ANALYTISCH GRUNDLAGN ad (1): In diesem Fall ist X = H 1 () Damit folgt aus (I34) für alle u X (I35) B(u, u) λ u 1 Zusammen mit der Friedrichschen Ungleichung, Satz I15 (S 6), beweist dies die oerzivität von B ad (): Jetzt ist X = H 1 D () Wegen a n auf Γ N folgt aus (I34) wieder (I35) und wegen der Friedrichschen Ungleichung die oerzivität von B ad (3): Nun ist X = H 1 () Wegen α α > und a n auf Γ folgt aus (I34) B(u, u) λ u 1 + α u min{λ, α } u 1 und damit die oerzivität von B ad (4): Alle Größen sind wie in (3) Wegen α =, div a = und n a = auf Γ folgt aus (I34) wieder (I35) Hieraus und aus der Poincaréschen Ungleichung, Satz I1 (S 8), folgt die oerzivität von B auf dem abgeschlossenen Unterraum V = {ϕ H 1 () : ϕ = } von X Damit liefert Satz I16 (S 19) die xistenz einer eindeutigen Lösung u V von B(u, v) = l(v) v V Wir müssen noch zeigen, dass diese Gleichung sogar für alle v X gilt Sei dazu v X beliebig Setze m v = 1 v und v = v m v Dann ist v V und daher B(u, v) l(v) = B(u, v) l(v) + B(u, m v ) l(m v ) = B(u, m v ) l(m v ) Wegen der ompatibilitätsbedingung an l ist l(m v ) = Mit dem Gaußschen Integralsatz folgt B(u, m v ) = (a u )m v = (div a)u m v + a nu m v = Also ist u eine schwache Lösung der onvektios-diffusionsgleichung Bemerkung I34 (1) Im Fall der Reaktions-Diffusionsgleichung, dh a =, reduzieren sich die Voraussetzung von Satz I33 auf α α > bei Teil (3) und auf α =, f + g = bei Teil (4) Γ () Gelegentlich treten auch sog Robin-Randbedingungen βu + n A u = g R auf Γ R Γ auf In diesem Fall muss l duch Γ R g R v und B durch Γ R βuv ergänzt werden Die oerzivität von B bleibt erhalten, wenn entweder β und Γ D oder β β > ist Γ

33 I3 SCHWACH LÖSUNGN 33 Das folgende Beispiel aus [16, III1] zeigt, dass wir eine Regularitätsaussage der Form u H () für schwache Lösungen nur unter zusätzlichen Annahmen an den Rand Γ erwarten können Beispiel I35 (inspringende cken) Sei < α < π und α das reissegment α = {x R : x = (r cos ϕ, r sin ϕ), < r < 1, < ϕ < α} Definiere die Funktion v : α R durch v(x) = r π α sin( π ϕ) für α x = (r cos ϕ, r sin ϕ) Dann gilt für jedes x α v(x) = 1 ( r v ) + 1 v r r r r ϕ = Sei w C (R, R) mit supp w B(, ) und w = 1 auf B(, 1) 3 3 Definiere u = wv und f = [(1 w)v] Dann gilt u = f in α u = auf α Offensichtlich ist (1 w)v C (R, R) und somit f C ( α ) benso ist u C ( α ) Wegen u = v in B(, 1) gilt aber u / 3 C ( α ) Wie man leicht nachrechnet gilt für k 1 u C k ( α ) genau dann, wenn < α π ist, und für k k Dk u L ( α ) genau dann, wenn < α < π ist Wir können also bei gegebenem α ia keine Abschätzung der k 1 Form u C k+ ( c α) k f C k ( oder u α) k+1; α c k f k; α erwarten, wie sie für gewöhnliche Differentialgleichungen gelten würde Satz I36 (Regularitätssatz) Sei Γ eine C 1 -Mannigfaltigkeit oder konvex und f L () Bei gemischten oder Neumann-Randbedingungen gebe es eine Funktion u g in H () mit g = γ (u g ) = u g ΓN Dann gilt für die schwache Lösung u der onvektions-diffusionsgleichung mit homogenen Dirichlet- oder gemischten oder Neumann-Randbedingungen die Regularitätsaussage u H () und die a priori Abschätzung u c { f + u g } Die onstante c hängt nur von und den oeffizienten α, a und A ab Beweis [5, 9], [9, 11]

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35 APITL II Theoretische Aspekte In diesem apitel führen wir die Finite lement Räume ein, beweisen ihre Approximationseigenschaften und leiten daraus a priori Fehlerabschätzungen für die Finite lement Diskretisierung elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung ab Dabei ist stets R d mit d {, 3} ein offenes, beschränktes, zusammenhängendes Polyedergebiet, dh, der Rand Γ von besteht stückweise aus Hyperebenen II1 Finite lement Räume Die Finite lement Methode basiert auf folgender Grundidee: Unterteile in Teilgebiete 1,, mt mit einfacher geometrischer Struktur Approximiere die Sobolev-Räume W k,p () durch endlich dimensionale Räume X T, so dass jedes v X T eingeschränkt auf ein beliebiges lement i eine einfache Struktur hat onstruiere eine Basis von X T, so dass jede Basisfunktion eine einfache Struktur und einen kleinen Träger hat Die geforderte einfache geometrische Struktur der lemente lässt sich wie folgt konkretisieren: s gibt ein Referenzelement R d, so dass jedes zu diffeomorph ist und dass der entsprechende Diffeomorphismus F : eine einfache Gestalt hat Wie in der Praxis üblich, werden wir zwei Typen von Referenzelementen betrachten: den Referenz d-simplex = S = { x R d : x x d 1, x i, 1 i d} und den Referenz d-würfel = W = [, 1] d Wir beschränken uns im Folgenden auf affin äquivalente Finite lemente, dh jedes lement ist das Bild des Referenz-Simplex oder Referenz-Würfels unter einer affinen Transformation F, dh die Jacobi-Matrix DF ist konstant Ist der Referenz-Simplex, so ist ein allgemeiner d-simplex Ist dagegen der Referenz-Würfel, so ist ein d-piped, dh ein Parallelogramm für d = bzw ein Parallelepiped für d = 3 Wenn der Referenz-Würfel ist, werden in der Praxis auch sog isoparametrische lemente betrachtet, bei denen die Diffeomorphismen F Polynome höheren Grades sind Wir beschränken uns auf affin äquivalente lemente, weil dies den technischen Aufwand bei Fehlerabschätzungen erheblich reduziert 35

36 36 II THORTISCH ASPT Sei also T = { i : 1 i m T } eine Unterteilung von, die folgende Bedingungen erfüllt: Affine Äquivalenz: Zu jedem T gibt es einen affinen Diffeomorphismus F des Referenz-Simplexes oder -Würfels auf Zulässigkeit: Je zwei lemente 1, T sind entweder disjunkt oder haben einen ckpunkt, oder eine ante oder, falls d = 3 ist, eine Seitenfläche gemeinsam (vgl Abbildung II11) Regularität: Der Quotient h ρ ist durch eine onstante C T, die nicht von oder h abhängt, nach oben beschränkt Dabei ist h der Durchmesser von und ρ der Durchmesser des größten, in eingeschriebenen d-balles Abbildung II11 Zulässige lementpaare (links und Mitte) und nicht zulässiges lementpaar (rechts) Wir bezeichnen mit N die Menge aller ckpunkte und mit die Menge aller anten (d = ) bzw Seitenflächen (d = 3) aller T N und sind die Mengen aller ckpunkte bzw anten oder Seitenflächen im Innern von Für ein lement T bezeichnen schließlich N und die Menge aller ckpunkte von und die Menge aller anten bzw Seitenflächen von Definition II11 ( Σ k, Σ k, G, R k, R k ) (1) Bezeichne die ckpunkte des Referenz-Simplexes mit ẑ 1 = e 1,, ẑ d = e d und ẑ d+1 = Dann ist für k N { d+1 { Σ k = x = µ i ẑ i : µ i, 1 k,, k 1 } } d+1 k, 1, µ i = 1, i=1 falls der Referenz-Simplex ist, und {( µ1 Σ k = k,, µ ) } d : µ i {, 1,, k}, k falls der Referenz-Würfel ist () Für = F ( ) T und k N ist Σ k = Σ k () = F ( Σ k ) (3) Setze G = T Σ k() und G = G (4) Setze Q = P = R und definiere für k N Q k = span{x α : α N d, max 1 i d α i k} i=1 P k = span{x α : α N d, α α d k}

37 mit x α = x α 1 1 x α d d Setze { und R k = R k ( ) = II1 FINIT LMNT RÄUM 37 Q k P k R k = R k () = falls der Referenz-Würfel, falls der Referenz-Simplex { p F 1 : p R k } Bemerkung II1 (1) Sei ein allgemeiner Simplex Bezeichne die ckpunkte von mit z 1,, z d+1 Dann ist { d+1 { Σ k () = µ i z i : µ i, 1 k,, k 1 } } d+1 k, 1, µ i = 1 i=1 Analog kann man für ein allgemeines piped die Punkte von Σ k () bestimmen, indem man die anten von äquidistant unterteilt und die so entstandenen Punkte miteinander verbindet (vgl Abbildung II1) () Die Menge G heißt auch Gitter Die Punkte von G werden auch noten genannt (3) Da die F affin sind, beschreiben die Transformationen ϕ ϕ F und ψ ψ F 1 Isomorphismen von C() auf C( ) bzw von C( ) auf C(), die für jedes k N den Polynomraum R k in R k bzw den Polynomraum R k in R k abbilden Abbildung II1 Die Mengen Σ und Σ 3 für ein Dreieck und ein Parallelogramm i=1 Satz II13 (Unisolvenz von Σ k und Σ k ) Sei k N Dann ist jedes p R k und jedes p R k () mit T eindeutig bestimmt durch seine Werte auf Σ k bzw auf Σ k () Beweis Wegen der Definition von Σ k () und Bemerkung II1 (3) reicht es, die Behauptung für Σ k zu zeigen ine leichte Rechnung zeigt, dass dim R k = # Σ k ist Daher reicht es, eine der folgenden Aussagen (a) oder (b) zu zeigen: (a) Zu jedem Vektor (b z ) z Σk existiert ein ϕ R k mit ϕ(z) = b z für alle z Σ k (b) Ist ϕ R k und ϕ(z) = für alle z Σ k, so ist ϕ =