Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 4.4 Anfangsrandwertprobleme Die Diskretisierung von zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen mit der Linienmethode führt auf Systeme gewöhnlicher Dgl mit speziellen Eigenschaften. Gegeben sei ein Gebiet (eine offene, zusammenhängende Menge) R d mit Rand Γ =. Wir betrachten als Beispiel: Gesucht ist eine Funktion 1 u : [0, T ] R, die die Gleichung u t = 2 u u + f(x, t) x 2 1 x 2 d in (0, T ) (4.23a) mit Randbed. u(x, t) = g(x, t) auf Γ (0, T ) (4.23b) und Anfangsbed. u(x, 0) = u 0 (x) in (4.23c) erfüllt. Das Anfangsrandwertproblem (4.23) ist ein vereinfachtes Modellproblem für verschiedene physikalische Vorgänge, z.b. Wärmeausbreitung und andere Diffusionsvorgänge. Es ist eine partielle Dgl zweiter Ordnung, die als sogenannte parabolische Dgl klassifiziert wird. Unter geeigneten Voraussetzungen an das Gebiet und die Daten u 0 und g existiert eine eindeutige (klassische) Lösung. Zum Beispiel müssen die Anfangsbedingungen (AB) und Randbedingungen (RB) kompatibel sein. Mehr dazu in den Vorlesungen Analysis partieller Differentialgleichungen und Numerik partieller Differentialgleichungen. Idee: Diskretisiere in der Gleichung (4.23a) nur die Ableitungen in die Ortsrichtungen x i. Dies führt auf die sogenannte vertikale Linienmethode. 1 Bei partiellen Differentialgleichungen heißt die gesuchte Funktion häufig u.

2 Zur Demonstration der vertikalen Linienmethode sei zur Vereinfachung = (0, 1) d sowie g(t, x) 0 und u 0 (x) 0. Achtung: In diesem Abschnitt ist h eine Ortsgitterweite. Eine evtl. auftretende Zeitschrittweite wird mit τ bezeichnet. Beispiel 4.25 (Finite Differenzen) Die Diskretisierung erfolgt mittels finiter Differenzen (Differenzenquotienten). (1D) = (0, 1). Wir definieren Stützstellen x i := i h, i = 0,..., N mit Gitterweite h := 1/N. Wir stellen die Funktion u(x, t) durch ihre Werte in den Stützstellen x i dar und setzen u i (t) := u(x i, t) und analog f i (t) := f(x i, t). Wir approximieren die Ortsableitung durch 2 u x (x i, ) u i 1 2u i + u i+1 2 unter Beachtung von u 0 (t) = u N (t) = 0 aufgrund der Randbedingung. Es ergibt sich das AWP für u(t) := [u i (t)] i=1,...,n 1 u (t) = A 1D u(t) + f(t) in [0, T ] u(0) = 0 mit f(t) := [f i (t)] i=1,...,n 1 und der Matrix A 1D := R (N 1) (N 1) (2D) Nun ist = (0, 1) 2. Wir definieren Stützstellen x i,j := (i h, j h), i, j = 0,..., N zur Gitterweite h := 1/N.

3 Wie oben setzen wir u i,j (t) := u(x i,j, t). Wir verwenden als Differenzenapproximation 2 u + 2 u (x x 2 1 x 2 i, ) u i 1,j 2u i,j + u i+1,j + u i,j 1 2u i,j + u i,j+1. 2 Dies kann auch mit Hilfe eines Differenzensterns notiert werden: 2 x x Durch geeignete Sortierung, hier zeilenweise: u(t) := [ [u i,j (t)] i=1,...,n 1 ]j=1,...,n 1 und analog für f(t), ergibt sich das AWP (wieder werden nur innere Knoten aufgenommen) u (t) = A 2D u(t) + f(t) in [0, T ] mit der Matrix K A 2D := 1 u(0) = 0 I I K I I K I I K I I K R (N 1)2 (N 1) 2 und Blöcken K = R (N 1) (N 1)

4 (3D) Der Übergang zu 3D geht analog. Beachte: Wir erhalten jeweils ein (AWP) für ein lineares ODE-System. Funktionswerte am Rand Γ wurden entfernt, da direkt die Randbedingung u(x, t) = 0 für x Γ eingesetzt wurde. Einige Eigenschaften der Systemmatrizen A 1D, A 2D etc.: (a) groß, symmetrisch, dünn besetzt: eine feste, kleine Anzahl von Nicht-Null- Einträgen pro Zeile (1D drei, 2D fünf, 3D sieben), in 1D sogar tridiagonal (b) diagonal dominant (c) alle Eigenwerte reell und negativ (d) schlecht konditioniert. Dim. d 1D 2D 3D Größe n = N 1 = O(h 1 ) n = (N 1) 2 = O(h 2 ) n = (N 1) 3 = O(h 3 ) nnz(zeile) λ min λ max 4 sin 2 π h 0 π 2 8 sin 2 π 4 sin 2 (N 1)π = O(h 2 ) h 0 2π 2 12 sin 2 π 8 sin 2 (N 1)π = O(h 2 ) h 0 3π 2 12 sin 2 (N 1)π = O(h 2 ) SQ = λmax λ min O(h 2 ) = O(n 2 ) O(h 2 ) = O(n) O(h 2 ) = O(n 2/3 ) Eigenwerte und Eigenvektoren werden üblicherweise in der Vorlesung Numerik ausgerechnet. Beachte: Das entstehende ODE-System ist steif mit SQ = O(h 2 ). Bei der Behandlung z.b. mit dem expliziten Euler-Verfahren ergibt sich die bekannte Schrittweitenbegrenzung (vgl ) τ 2 λ max = O(h2 ). Wir behandeln noch eine andere Technik der Ortsdiskretisierung, die ebenfalls auf ein großes ODE-System führt.

5 Beispiel 4.26 (Finite Elemente) Um die Linienmethode anzuwenden, gehen wir zur Variationsformulierung bzgl. des Ortes über. Dazu multiplizieren wir (4.23a) mit einer (stationären) Testfunktion v und integrieren über das Gebiet : u(x, t) v(x) dx = t ( u(x, t) + f(x, t)) v(x) dx = ( u(x, t) v(x)) dx + Γ u(x, t) v(x) ds + f(x) v(x) dx n (partielle Integration). Die Randbedingungen verankern wir im Raum für die Testfunktion v: und analog im Raum für u: V := {v H 1 () : v(x) = 0 für x Γ} = H 1 0() V t := {u(x, t) : t u(, t) C 1 ([0, T ]; V )}. Beachte: V besteht hier aus verallgemeinert differenzierbaren Funktionen aus dem Sobolev-Raum H 1 (), daher spricht man bei der Variationsformulierung genauer von einer schwachen Formulierung. Aufgrund der Null-Randbedingungen verschwindet der Randintegral-Term, und wir erhalten die schwache Formulierung: Finde u V t, für das gilt: u t v dx = ( u v) dx + f v dx v V t [0, T ]. (4.24) Die Ortsdiskretisierung findet statt, indem man V durch einen endlichdimensionalen Teilraum V h von V ersetzt, analog in der Definition für V t. Typisch für eine Finite-Elemente-Diskretisierung ist: V h besteht aus Funktionen, die auf jedem Element K (Zelle) eines Gitters polynomial sind und insgesamt stetig in, z.b. V h = {v K P 1 (K), v C 0 ()} V.

6 Es sei {ϕ i } n i=1 eine Basis des Unterraumes V h. Wir stellen u Vh t des zeitabhängigen Koeffizientenvektors: n u(x, t) = u j (t) ϕ j (x). j=1 dar mit Hilfe Wir setzen dies in (4.24) ein und setzen nacheinander v = ϕ i. Es ergibt sich das Dgl-System M u = A u + f(t). (4.25) mit AB u(0) = 0. Dabei sind [ ] M = ϕ j (x) ϕ i (x) dx [ ] A = ϕ j (x) ϕ i (x) dx [ ] f(t) = f(x, t) ϕ i dx i=1,...,n i,j=1,...,n i,j=1,...,n Massenmatrix Steifigkeitsmatrix Lastvektor. Die Eigenschaften der FE-Matrizen A und M hängen von der Wahl des Funktionenraumes V h (der Wahl der Elemente) und der Wahl seiner Basis ab. Typisch sind aber folgende Eigenschaften: (a) groß, symmetrisch, dünn besetzt (b) diagonal dominant (c) alle Eigenwerte vom M und A reell und positiv (d) M gut konditioniert, A schlecht konditioniert Es ergibt sich eine Steifheit in gleichem Ausmaß wie bei der Diskretisierung mittels finiter Differenzen (Beispiel 4.25). Eine Herleitung von Schranken für die Eigenwerte von A und M findet man z.b. in Elman et al. [2005]. Zur numerischen Behandlung sind also bevorzugt implizite ESV oder MSV zu verwenden. Man kann (4.25) noch mit M 1 durchmultiplizieren oder aber stehenlassen und wie bei DAE-Systemen vorgehen (vgl. (4.18)). In jedem Fall erfordert jeder Schritt eines MSV bzw. jede Stufe eines RKV die Lösung eines LGS mit der Massenmatrix M. Literatur Howard C. Elman, David J. Silvester, and Andrew J. Wathen. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford University Press, New York, 2005.