94 Kapitel 2. Finite-Elemente-Verfahren. 13 Aspekte der Implementierung

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1 94 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren 3 Aspekte der Implementierung Die Lösung einer (linearen) PDE mit der FEM gliedert sich in folgende Unterpunkte: () Modellierung des Gebietes (z. B. mit CAD) und Erzeugung eines Gitters (mit einem Gittergenerator) (2) Entscheidung für einen FE-Typ (3) Entscheidung für die Äquivalenzrelation unter den Freiheitsgraden (4) Organisation der globalen Freiheitsgrade (5) Assemblierung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors (6) Einarbeiten von Dirichlet-Randbedingungen und evtl. weiterer Bedingungen (z. B. aus der Behandlung von hängenden Freiheitsgraden) 02 (7) Lösen des linearen Gleichungssystems (8) Abschätzung des Fehlers (9) ggf. Gitterverfeinerung und zurück zu (4) (0) Postprocessing und Darstellung der Lösung Verschiedene FE-Bibliotheken setzen diese Schritte sehr unterschiedlich um. Manchmal sind z. B. (2) und (3) untrennbar verbunden, etwa bei Auswahl von Lagrange- Elementen P k oder Q k immer die Standard-P k -Räume bzw. Standard-Q k -Räume verwendet werden, also H -konforme (stetige) globale Basisfunktionen, vgl. Beispiel 2.2. Bei nichtlinearen Aufgaben (PDEs) sind die Schritte (5) (7) noch in eine Newton-Schleife eingeschlossen. Es liege aus Schritt () (4) bereits ein (nicht notwendig konformes) Gitter T und (für die Vereinfachung der folgenden Beschreibung) eine affine Familie {(, P, Σ )} T von Elementen auf Simplex-Zellen vor (z. B. P k -Elemente). Es sei V h ein FE-Raum wie in Definition 2. unter Beachtung von (MAX). 3. Assemblierung der schwachen Form Wir betrachten nun Punkt (5) genauer. Im Fall der Poisson-Gleichung lautet die Steifigkeitsmatrix (vgl. 0) (A) ij = a[ϕ j, ϕ i ] = ϕ j ϕ i dx = ϕ j ϕ i dx, Ω T wobei {ϕ i } M i= die globalen Formfunktionen (Basisfunktionen von V h ) sind. Nach Lemma 2.3 stimmt ϕ i auf jeder Zelle mit genau einer der lokalen Formfunktion p,,..., p,s überein oder ist dort null. Umgekehrt trägt jede lokale Formfunktion p,,..., p,s auf zu genau einer globalen Formfunktion ϕ i bei. Zu welcher, das 02 Dieser Schritt kann auch durch spezielle Vorkehrungen im iterativen Gleichungssystemlöser realisiert werden.

2 3. Aspekte der Implementierung 95 Abbildung 3.. typische Datenstrukturen in FE-Bibliotheken ist in der sogenannten Connectivity-Matrix C der Zelle festgehalten, die in Unterpunkt (4) aufgestellt wird: 03 Es gilt C {0, } M s und C (n global_dof, n dof ) = der lokale Freiheitsgrad/die lokale Formfkt. mit der Nummer n dof auf der Zelle ist der globale Freiheitsgrad/die globale Formfkt. der Nummer n global_dof ϕ nglobal_dof = p ndof. Jede Matrix C hat insgesamt s Einsen und wegen (MAX) in jeder Zeile höchstens eine. Die restlichen Einträge sind null. Beachte: C realisiert die Zuordnung der Freiheitsgrade lokal global, C dagegen global lokal für die Zelle. Es gilt (in Matlab-Notation) σ,i = C (:, i) σ, i =,..., s, }{{} i-te Spalte von C wobei σ [V h ]M der Vektor der globalen Freiheitsgrade ist, und außerdem C C = I R s s C C = diag(d) R M M, 03 Beispiele dazu in der Übung

3 96 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren mit d nglobal_dof = {, falls n global_dof auf der Zelle vertreten ist 0 sonst. Die Wahl anderer Einträge als eins in C ermöglicht eine Skalierung. Bei der Assemblierung berechnet man die lokale Steifigkeitsmatrix oder Elementsteifigkeitsmatrix A auf jeder Zelle A = (a k,l ) s k,l= = p l p k dx (3.) und addiert das Ergebnis zur globalen Steifigkeitsmatrix: 04 A = T C A C. (3.2) Analog gilt für den lokalen Lastvektor (Elementlastvektor) F F = (f k ) s k= = f p k dx, (3.3) den man zum globalen Lastvektor addiert: F = C F. (3.4) T Bemerkung 3. (Alternative Form der Connectivity-Matrix) Eine alternative Form der Organisation der Freiheitsgrade verwendet nur eine einzige Connectivity-Matrix Ĉ Ns N cells für das gesamte Gitter: der lokale Freiheitsgrad/die lokale Formfkt. Ĉ(n dof, n cell ) = i mit der Nummer n dof auf der Zelle n cell ist der globale Freiheitsgrad/die globale Formfkt. der Nummer i ϕ i ncell = p ncell,n dof. (3.5) Die Matrix Ĉ ist vollbesetzt. Die elementweisen Beiträge auf der Zelle = n cell werden in diesem Fall wie folgt zur globalen Steifigkeitsmatrix bzw. zum globalen Lastvektor addiert: AĈ(k,ncell ),Ĉ(l,n cell) := A Ĉ(k,n cell ),Ĉ(l,n cell) + a k,l, k, l =,..., s FĈ(k,ncell ) := F Ĉ(k,n cell ) + f k, k =,..., s. Frage: Wie berechnet man die elementweisen Beiträge (3.) und (3.3)? Es sei T : x B x + b wieder eine bijektive affine Abbildung. Aufgrund der Substitutionsregel gilt g(x) dx = g(t ( x)) det T ( x) d x = det B g(t ( x)) d x (3.6) 04 Dies kann in Matlab elegant mit dem sparse-befehl realisiert werden. Es gilt weiterhin: diag(a) = T C diag(a ) C.

4 3. Aspekte der Implementierung 97 für integrierbare Funktionen g. Die Anwendung auf (3.) ergibt 05 p l (x) p k (x) dx = ( p l T )(x) ( p k T )(x) dx onstruktion der p k [ = B p l (T (x))] [B p k (T (x))] dx ettenregel [ = det B B p l ( x) ] [B p k ( x) ] d x Substitutionsregel. Der besseren Unterscheidung wegen bezeichnen wir den Gradienten einer Funktion auf der Referenzzelle mit. Die Transformationsmatrix B auf das Einheitssimplex wird für jede (Simplex-)Zelle wie folgt bestimmt: Ist = conv{a 0, a,..., a d } R d, a i R d dann gilt B = [ a a 0, a 2 a 0,..., a d a 0 ] R d d, b = a 0 R d. Aufgrund der (häufig anzutreffenden) Polynomeigenschaft von p k kann das obige Integral exakt berechnet werden. Bei Operatoren mit nicht-konstanten oeffizienten, etwa a[u, v] = v(x) A(x) u(x) dx, ( ) Ω ist das aber i. d. R. nicht möglich. Deshalb setzt man eine Quadraturformel (Q- Formel) q ĝ( x) d x ω,m ĝ(ξ,m ) m= auf ein mit Gewichten ω,m und Stützstellen ξ,m. Die Ordnung r N der Formel ist der maximale Grad, sodass für alle Polynome ĝ P r ( ) Gleichheit gilt (analog für Randintegrale). 05 Beachte: Die Ableitung (Jacobimatrix) ist J( p k T )(x) = J( p k)(t (x)) B. Der Gradient ist die Transposition davon.

5 98 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren Die Anwendung auf ( ) ergibt: p l (x) A(x) p k (x) dx = [ = det B B det B q m= p l ( x) ] A(T ( x)) [ B p k ( x) ] d x [ ω,m B p l (ξ,m ) ] A(T (ξ,m )) [ B p k (ξ,m ) ]. schwache Form lokale Beiträge der Zelle q [ ϕ j A(x) ϕ i dx det(b ) ω,m B p l (ξ,m ) ] A(T (ξ,m )) [ B p k (ξ,m ) ] Ω Ω Ω Ω ϕ j β(x) ϕ i dx det(b ) ϕ j c 0 (x) ϕ i dx det(b ) f(x) ϕ i dx det(b ) Beachte: Es gilt m= q m= ω,m [ B p l (ξ,m ) ] β(t (ξ,m )) p k (ξ,m ) q ω,m p l (ξ,m ) c 0 (T (ξ,m )) p k (ξ,m ) m= q ω,m f(t (ξ,m )) p k (ξ,m ) m= det(b ) =, denn dx = Folgende Daten können tabelliert (vorberechnet) werden: det(b ) d x. (3.7) Transformationsmatrix B und Vektor b für jede Zelle sowie B und evtl. det B (gehören zum Gitter) Speicheraufwand: N cells (2d + ) Vektoren des R d Rd d die Funktionswerte p k (ξ,m ) und p k (ξ,m ) der lokalen Formfunktionen auf der Referenzzelle, k =,..., s und m =,..., q (gehört zum FE bzw. zur Q-Formel) Speicheraufwand: q s Skalare und q s Vektoren des R d Beachte: Es bietet sich nicht an, B p k (ξ,m ) zu speichern, denn dies sind N cells q s Vektoren des R d! (Ersparnisse ergeben sich nur, wenn viele Zellen nur Translate voneinander sind.) Die Randintegrale in der schwachen Formulierung werden analog berechnet. Wir betrachten als Beispiel ϕ j (s) α(s) ϕ i (s) ds = ϕ j (s) α(s) ϕ i (s) ds. Γ T Γ

6 3. Aspekte der Implementierung 99 r q oordinaten Anzahl Gewichte ( 3, 3, 3 ) 2 3 ( 2, 2, 0) ( 3, 3, 3 ) ( 2, 2, 0) (, 0, 0) Tabelle 3.. Quadraturformeln auf Dreiecken mit baryzentrischen oordinaten. Bei Anzahlen > ergeben sich die oordinaten der weiteren Quadraturpunkte durch zyklische Vertauschung. r q oordinaten Anzahl Gewichte ( 2, 2, 0) F j 3 2 ( , 2 6 3, 0) ( 2 6 3, , 0) F 2 j F 2 j 5 3 ( ( 2 2 3, , , 0) 5 3, 0) 5 ( 2, 2, 0) 5 F 8 j 5 F 8 j 8 F 8 j Tabelle 3.2. Quadraturformeln auf Dreieckskanten mit baryzentrischen oordinaten. Formeln für die anderen anten entstehen jeweils durch zyklisches Vertauschen der oordinaten. Man berechnet wieder die lokalen Beiträge auf der Zelle 06 (a k,l ) s k,l= = p l (s) α(s) p k (s) ds. Γ 06 Man könnte hier auch facettenweise vorgehen.

7 00 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren Beachte: Γ ist entweder oder besteht aus einer (oder mehreren) Facetten F j von. Dies muss ebenfalls in einer zum Gitter gehörenden Datenstruktur festgehalten werden. Man transformiert das Integral (z. B. mittels T ) auf eine Facette des Referenzelements und setzt eine Q-Formel 07 ein: p l (s) α(s) p k (s) ds = F j F j F p l (ŝ) α(t (ŝ)) p k (ŝ) dŝ j F j F j F j q m= ω Fj,m p l(ξ Fj,m ) α(t (ξ Fj,m )) p k(ξ Fj,m ), wobei F j bzw. F j die (d )-dimensionalen Volumina der Facetten bezeichnen. schwache Form ϕ j α(s) ϕ i ds Γ g(s) ϕ i ds Γ lokale Beiträge der Zelle F j F j F j F j q m= q m= ω Fj,m p l(ξ Fj,m ) α(t (s)) p k (ξ Fj,m ) ω Fj,m g(t (s)) p k (ξ Fj,m ) Wie bereits in 0 gesehen, führt die Assemblierung auf ein LGS 08 mit A u = F (3.8) A = ( a[ϕ j, ϕ i ] ) M, i,j= F = F (ϕi ) M ohne Q-Fehler i= A = ( a h [ϕ j, ϕ i ] ) M, i,j= F = Fh (ϕ i ) M mit Q-Fehler. i= 3.2 Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen Wir betrachten nun Punkt (6) genauer. Zur Behandlung der Aufgabe mit gemischten RB u + c 0 u = f in Ω n u + α u = g bestehen folgende Möglichkeiten: u = u D auf Γ N auf Γ D = Γ \ Γ N 07 Man benötigt mehrere Q-Formeln pro Zelle, für jede Facette eine. 08 Implementation für P - und P 2 -Elemente mit verschiedenen Q-Formeln in der Übung

8 3. Aspekte der Implementierung 0 (a) Approximation der Dirichlet-Randbedingungen durch Robin-Randbedingungen n u + α u = α u D auf Γ D mit einem großen α > 0. Man spricht auch von Stiff-Spring- oder Penalty-Randbedingungen. Diese Bezeichnung ist dadurch motiviert, dass sich diese Gleichung im Fall einer symmetrischen Bilinearform ergibt, wenn man die Bedingung u = u D nicht strikt fordert, sondern sie in der Energieminimierungsaufgabe (8.7) durch Anfügen des Terms α u u D 2 ds 2 Γ d quadratisch penalisiert. Vorteile: Es treten nur natürliche Randbedingungen im Problem auf. Nachteile: große onditionszahl der Steifigkeitsmatrix für große α zusätzlicher onsistenz- und damit Diskretisierungsfehler (b) Es sei A u = F das LGS, das man bei Assemblierung über alle globalen Freiheitsgrade erhält. 09 Es sei D {,..., M} die Indexmenge derjenigen globalen Freiheitsgrade, die auf Γ D liegen ( Dirichlet-Freiheitsgrade ) und N = {,..., M} \ D. Beachte: Das System A u = F enthält falsche Gleichungen, denn als Raum der Testfunktionen ist nur H Γ D = {u H (Ω) : u ΓD = 0} zugelassen bzw. in der diskreten Aufgabe H Γ D V h, was durch {ϕ i } i N realisiert wird. Es sei u D hinreichend glatt, sodass alle σ i, i D, auf u D anwendbar sind. Die bisherigen Gleichungen, die durch Testfunktionen ϕ i, i D erzeugt wurden, sollen durch σ i (u) }{{} = σ i (u D ), i D (3.9) =u i ersetzt werden. Aus algorithmischer Sicht gibt es dazu mehrere äquivalente Möglichkeiten: 0 (i) Ersetzen der Zeilen i D von A durch den i-ten Einheitsvektor und der rechten Seite F i durch σ i (u D ). Nachteil: unsymmetrisches LGS selbst bei symmetrischer Bilinearform (ii) Zusätzlich Ersetzen der Spalten j D von A durch den j-ten Einheitsvektor und entsprechende Anpassung der rechten Seite. Nachteil: Zeilen- und Spaltenmanipulation notwendig 09 Dazu muss man die Randdaten α und g z. B. durch null auf Γ D fortsetzen. 0 Die vier Varianten werden in der Übung getestet. schwierig bei sparser Speichertechnik; jedoch muss man beim iterativen Lösen die Matrix nicht tatsächlich manipulieren, siehe Übung

9 02 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren (iii) Reduktion des LGS auf die Nicht-Dirichlet-Freiheitsgrade: A ij σ j (u D ), i N (3.0) j N A ij u j = F i j D und anschließendes Setzen von u j = σ j (u D ) für j D. (iv) Aufnahme der Gleichungen (3.9) und zusätzlicher Variablen λ R D ins LGS: ( ) ( ( ) A χ D u F χ D 0 λ) = σ i (u D ) (3.) i D Hierbei besteht χ D {0, } D M aus denjenigen Zeilen der Einheitsmatrix, deren Indizes zu D gehören. Eine Aufgabe der Gestalt (3.) bzw. allgemeiner (A B B 0 ) ( u λ) = ( ) f g (3.2) heißt ein Sattelpunktproblem. Es ist symmetrisch, wenn A = A ist. Beachte: Die beim iterativen Lösen von (i) (iv) benötigten Matrix-Vektor-Produkte können durch einfache Manipulationen der Matrix-Vektor-Produkte mit A erzeugt werden. 2 Frage: Was motiviert (3.) bzw. (3.2)? Bemerkung 3.2 (Zum Sattelpunktproblem) (a) Das System A u = F enthält falsche Gleichungen. Wir haben in (3.) zunächst die fehlenden m = D Gleichungen χ D u = σ i (u D ) i D hinzugefügt und dann die falschen Gleichungen [A u = F ] i D durch Hinzunahme der Variablen λ annulliert. Dies geschieht durch den Term χ D λ. (b) Falls A symmetrisch und positiv semidefinit ist, dann sind (3.2) gerade die notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen der Aufgabe Minimiere unter 2 u A u f u B u = g. Dies entspricht einer Diskretisierung der Aufgabe (8.7) mit zusätzlichen Gleichungsnebenbedingungen. 3 Die Variablen λ können als Lagrange-Multiplikatoren verstanden werden. Die lineare Unabhängigkeit von Zeilen von B entspricht der LICQ (Linear Independence Constraint Qualification). Neben Dirichlet-RB kann man auf dieselbe Art und Weise auch hängende Freiheitsgrade behandeln, die etwa bei Gitterverfeinerung oder Verwendung ungleicher Polynomgrade 4 entstehen können. 2 siehe Übung 3 Suche in einem affinen Unterraum von V h 4 bei sogenannten hp-methoden

10 3. Aspekte der Implementierung 03 nicht-konformes Gitter (hängender noten) keine affine Familie (ungleiche Polynomgrade) Außerdem kann man die Sattelpunktidee auch benutzen, um Defekte aufgrund nichtkoerziver Bilinearformen a[, ] auszugleichen, etwa beim Poisson-Problem mit reinen Neumannbedingungen (8.3), wie das folgende Lemma zeigt. Lemma 3.3 (Sattelpunktlemma 5 ) Es sei A R n n, A = A 0 und B R m n mit m n. Es sei ( ) A B =. B 0 Dann gilt: (a) ist invertierbar { rank(b) = m (voller Zeilenrang) und ker(a) ker(b) = {0}. (b) Es sei rank(b) = m. Dann ist BB symmetrisch positiv definit und u 0 = B (BB ) g eine Lösung von B u = g, und zwar die in ker(b) eindeutige. (c) Es seien die Voraussetzungen von (a) erfüllt. Es sei Z R n (n m) eine Matrix, deren Spalten eine Basis von ker(b) bilden. 6 Dann ist Z AZ symmetrisch positiv definit. Weiter sei u 0 irgendeine Lösung von B u = g. Dann gilt: ( ) ( A B u B 0 λ) = ( ) f g Z AZ v = Z ( f A u 0 ) u = u 0 + Z v (3.3) BB λ = B( f A u) 5 Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf den Fall A = A 0 und verweisen auf [Benzi et al., 2005, Theorem 3.4] und [Gansterer et al., 2003, Theorem 3.] für den allgemeinen Fall. 6 Im Fall von Dirichlet-RB sind die Gleichungen B u = g von sehr einfacher Gestalt, sie stehen schon oben (3.). B hat in jeder Zeile genau eine eins. Deshalb können wir Z (eine spaltenweise Basis des Nullraumes) direkt angeben: Z besteht aus den Einheitsvektoren, die gerade zu den Nicht-Dirichlet-Freiheitsgraden N gehören, somit v aus den oeffizienten ( u j ) j N. Auch eine Partikulärlösung von B u = g lässt sich leicht angeben: Einfach die oeffizienten u D richtig setzen, die restlichen auf null. Damit besteht die Matrix im reduzierten System Z AZ v = Z ( f A u 0 ) gerade aus den Zeilen und Spalten von A, die zu den N-Freiheitsgraden gehören, und wir bekommen dasselbe wie bei (3.0)!

11 04 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren Beweis: (a): : Es seien die Voraussetzungen rechts erfüllt. Wir betrachten die Matrix ( ) A B :=, B 0 die genau dann invertierbar ist, wenn es ist. Es sei ( u, λ) ein Vektor im ern von : ( ) ( ( ) A B u 0 B 0 λ) = ( u 0 ) ( ) ( λ A B u B 0 λ) = u A u = 0. Wegen x A x 0 für alle x R n muss u ker(a) liegen (benutze z. B. die Singulärwertzerlegung A = UΣU von A). Wegen der zweiten Gleichung liegt außerdem u ker(b), nach Voraussetzung ist also u = 0. Daraus folgt B λ = 0, also λ = 0, denn B hat vollen Spaltenrang. Somit ist ker( ) = {0}, also sind und invertierbar. : Es sei eine der Voraussetzungen rechts nicht erfüllt. Falls B nicht vollen Zeilenrang hat, dann existiert λ 0 mit B λ = 0, also auch ( ) ( ) ( ) A B 0 0 B 0 =, λ 0 d. h., ist nicht invertierbar. Falls ker(a) ker(b) {0} ist, dann existiert u 0 mit ( ) ( ( ) A B u 0 B 0 0) =, 0 d. h., ist wiederum nicht invertierbar. Beachte: Für wurde A = A 0 nicht gebraucht. (b): BB 0 ist klar. Es sei w ein Vektor im ern von BB. Es folgt 0 = w BB w = B w 2 und damit w = 0, denn B hat vollen Spaltenrang. Also hat BB nur positive Eigenwerte. Jeder Vektor u R n kann eindeutig zerlegt werden in Mit dieser Zerlegung gilt u = u + }{{} ker(b) ker(b) =range(b ) {}}{ u 2 = u + B w. B u = g =0 {}}{ B u +B u 2 = g BB w = g. Also ist u 0 = B w = B (BB ) g die in ker(b) eindeutige Lösung von B u = g. Die allgemeine Lösung ist u 0 + ker(b). (c): Z AZ 0 ist klar. Es sei v beliebig und betrachte v Z AZ v. Wie bei (a) folgt Z v ker(a). Jedoch liegt Z v auch in ker(b), d. h., Z v = 0 und damit v = 0, denn die Spalten von Z sind linear unabhängig. Also hat Z AZ nur positive Eigenwerte.

12 3. Aspekte der Implementierung 05 : Nach (b) haben die Lösungen von B u = g die Darstellung u = u 0 + Z v v R n m beliebig. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt A u + B λ = f AZ v + B λ = f A u0 Z AZ v = B ( f A u 0 ) }{{} ker(b) Aus der ersten Gleichung folgt jetzt noch B λ = f A u, also BB λ = B( f A u). : Beide Systeme sind eindeutig lösbar. Wir haben bereits gezeigt, dass die Lösung des linken System in (3.3) notwendig auch das rechte löst. Wegen der Eindeutigkeit müssen beide Lösungen gleich sein. 3.3 Speichertechnik Aufgrund der lokalen Träger der globalen Basisfunktionen {ϕ} M i= ist die Steifigkeitsmatrix A dünn besetzt (sparse 7 ). Zur Speicherung solcher Matrizen stehen verschiedene Formate zur Verfügung, die wir am Beispiel A = erläutern. Im Wesentlichen werden die Nicht-Null-Einträge der Matrix und ihre Positionen gespeichert. Compressed Sparse Column (CSC): Die Nicht-Null-Einträge stehen spaltenweise in einem Vektor a, der Vektor i enthält die dazugehörigen Zeilenindizes und der Vektor j die Indizes in a, an denen eine neue Spalte beginnt. a Einträge i Zeilen j Index in a Compressed Sparse Row (CSR): Dieses Format ist analog zu CSC, jedoch zeilenorientiert. a Einträge j Spalten i Index in a Modified Sparse Row (MSR): Beim MSR stehen zunächst die Diagonaleinträge der Matrix (i. d. R. keine Nullen) in a und dann zeilenweise die restlichen Nicht-Null-Einträge. Die ersten Indizes in i 7 Die Matlab-Befehle für dünn besetzte Matrizen erhält man mit doc sparfun. mit

13 06 apitel 2. Finite-Elemente-Verfahren geben an, an welcher Stelle in a eine neue Zeile beginnt. Die späteren Indizes sind die Spaltenindizes der zugehörigen Einträge in a wie bei CSR. a Einträge i Index in a