Einflussfunktionen und finite Elemente

Transkript

1 Einflussfunktionen und finite Elemente F. Hartmann Institut für Baustatik und Baudynamik Universität Kassel 16. Juni 2009

2 Messen = Bewegen

3 Was kommt bei der Last an?

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5 Zu jeder Schnittgröße gehört eine Schaukel.

6 Y Y Z Z X X Y Y Z Z X X

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8 Eisenbahn auf Brücke

9 Thesen Mechanik ist Kinematik. Zu jeder Zahl gehört eine Bewegung. Jede Zahl ist eine Energie. u(x) 1 = Ω G(y, x) p(y) dy (Betti)

10 Der zentrale Satz Ein FE-Programm berechnet alle Werte mittels Einflussfunktionen. Einflussfunktionen = Look-Up functions = Tabellen

11 Spannung in einem Punkt

12 Verbessertes Netz

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14 Konsequenz Mit falschen Einflussfunktionen erhält man falsche Werte. Also müssen die Einflussfunktionen verbessert werden!

15 Einflussfunktionen sind normale Lastfälle.

16 Wie kann man Einflussfunktionen verbessern?

17 Adaptive Verfeinerung des Netzes

18 Strategie

19 Verbesserte Strategie In einem Punkt x soll die Spannung möglichst genau sein! Fehlermaß im Element σ(x) σ h (x) u u h G 1 G h 1 η = η u η G = Fehler in u Fehler in G 1 K u = f K u G =f G Lastfall Einflussfunktion

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22 Goal oriented refinement

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24 Etwas Theorie: Funktionale l J(u) = u(x) = 0 l J(u) = N(x) = J(u) = 1 σ xx dω = Ω Ω Zu jedem Funktional gehört eine Bewegung. 0 Ω G 0 (y, x) p(y) dy G 1 (y, x) p(y) dy G Σ (y, x) p(y) dω y J(.) G(y, x) G h (y, x) J h (.) (Riesz) und es gilt u h V h : J(u h ) = J h (u) J(.) V

25 FEM = Approximation von Funktionalen Lehrbücher: FE = Interpolation mit Hütchenfunktionen u h (x) = i u i ϕ i (x) Alternativ: FE = Approximation von Funktionalen J(u h ) = u h (x i ) = G h (y, x i ) p(y) dω y ( der Daumen auf dem Keilriemen ) Ω

26 Die ganze Mathematik steckt in drei Zeilen...

27 Unendlich große Energie Kann man den Daumendruck (= Einzelkraft) überhaupt mit finiten Elementen darstellen? Die meisten Einflussfunktionen haben unendlich große Energie! Wie will man den Abstand zum Punkt klein machen?

28 Membran und Einzelkraft Z Y X

29 Unendlich große Energie auch bei Scheiben

30 Funktionale, Knoten und Gausspunkte

31 Fast alle Daten im Ausdruck und auf dem Bildschirm stammen von schlecht gestellten Problemen ( ill posed problems )! (?) Die Singularitäten der Einflussfunktionen in den Knoten und Gausspunkten sind viel größer als die Singularitäten auf den Rändern!

32 Modellanpassung Änderungen von Steifigkeiten Grobes Modell - feines Modell: Abschätzungen Optimierung

33 Wann ist fein fein genug?

34 Lokale Änderungen haben globale Effekte

35 Änderungen in den Steifigkeiten

36 Der Trick

37 Geänderte Einflussfunktion G G c Globale Analyse (Der ganze Koffer) J(u c u) = l 0 [G c (y, x) G(y, x)] p(y) dy (Betti) Lokale Analyse [x 1, x 2 ] (nur der Ziegelstein) J(u c u) = x2 EI w c G dy = EI x 1 EI x2 x 1 M c M G EI dy Die lokale Analyse misst die Änderung über die virtuelle innere Energie.

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40 Vereinfachung ,5 3 2,5 2 1,5 1 0, J(u c u) = d(u, G c ) = d(u, G) d(u, G c G) d(u, G)

41 Retrofitting structures

42 Retrofitting structures J(u h c u h ) d(g h, u h )

43 Inklusionen

44 Zusammenfassung Mechanik ist angewandte Kinematik Zu jeder Zahl gehört eine Bewegung, eine Einflussfunktion FE = eingeschränkte Kinematik = ungenaue Einflussfunktionen = ungenaue Ergebnisse Goal oriented refinement = gezielte Anpassung des Netz Sensitvitätsanalyse mit Einflussfunktionen

45 Literatur Bangerth W, Rannacher R. (2003) Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations. Birkhäuser Verlag Braack M, Ern A (2003) A posteriori control of modeling errors and discretization errors, Multiscale Model. Simul. 1: Ern A, Guermond J-L (2004) Theory and Practice of Finite Elements, Springer-Verlag Hartmann F, Katz C. (2007) Structural Analysis with Finite Elements, 2nd ed., Springer-Verlag (Diplomarbeiten, Doktorarbeiten, Programme zu dem Thema)