Berechnung von Einflussfunktionen mit der Methode der finiten Elemente

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1 Prof. Dr.-Ing. Friedel Hartmann Fachgebiet Baustatik Fachbereich 14 Bauingenieurwesen Diplomarbeit 1 Berechnung von Einflussfunktionen mit der Methode der finiten Elemente von Thorsten Panke Bearbeitungszeit: 28. Mai 22 bis 23. Juli 22 Betreuer: Prof. Dr.-Ing. F. Hartmann 2. Prüfer: Prof. Dr.-Ing. M. Link

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Gliederung der Arbeit Theoretische Grundlagen Notation Skalarprodukt Greensche Identitäten Erste Greensche Identität Zweite Greensche Identität Die FE-Formulierung Die FE-Gleichung K u = f Äquivalente Knotenkräfte Verformungsraum und Projektion Eine spezielle Interpretation Der Lastfall p h Arbeitsäquivalenz von p und p h Die Greensche Funktion für den Balken Kirchhoff-Platte Die Greensche Funktion für die Platte Der Projektionssatz Der Projektionssatz für integrale Größen Einflussfunktionen mit der FE-Methode Äquivalente Knotenlasten für den Balken Knotenlasten für eine Einslast Knotenlasten für ein Einsmoment Knotenlasten für einen Knick von Knotenlasten für einen Versatz von Ein Beispiel aus der Balkenstatik Bestimmung der Greenschen Funktion Berechnung des Momentenverlaufs M() Überprüfen der Greenschen Funktion Das Rechteckelement R Äquivalente Knotenlasten für die Platte Knotenlasten für Punktwerte Äquivalente Knotenlasten für integrale Größen Die inverse Steifigkeitsmatri

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 4 Programmbeschreibung Der logische Programmaufbau Einflussfunktionen Numerische Ergebnisse Die Einflussfunktion und das FE-Programm Querkraft in einem Punkt Integrales Schnittmoment m yy Kopplung der FE-Technik mit der Balkenstatik Durchbiegungsberechnung Einflusslinie Balken auf zwei Stützen Einflussfunktion für die integrale Querkraft Einflussfunktion für das integrale Moment Integrales Moment für eine Kragplatte Punktgestützte Platten Der Kirchhoffschub Vergleich Randelemente finite Elemente Greensche Funktion für das Moment Greensche Funktion für die Querkraft Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Ausblick Anhang Weggrößen Biegefläche w() Verdrehung w, () Verdrehung w, y () Verdrillung w, y () Punktkraftgrößen Biegemoment m () Biegemoment m yy () Biegemoment m y () Querkraft q () Querkraft q y () Kirchhoffschub v () Kirchhoffschub v y ()

4 INHALTSVERZEICHNIS Integrale Kraftgrößen Integrales Moment m Integrales Moment m yy Integrales Moment m y über y integriert Integrales Moment m y über integriert Integrale Querkraft q Integrale Querkraft q y Integraler Kirchhoffschub v Integraler Kirchhoffschub v y

5 1 EINLEITUNG 5 1 Einleitung Einflussfunktionen dienen in der klassischen Statik der Bestimmung des Einflusses ortsveränderlicher Lasten auf einzelne Zustandsgrößen. Ortsveränderliche Lasten kommen auf Brücken, Krahnbahnen sowie befahrenen Hochbaukonstruktionen vor. Mit Hilfe der Einflusslinien wird bei diesen Bauwerken die ungünstigste Laststellung ermittelt. p(y) B=? 1 G(y; ) Abb. 1.1: Für den mit der Streckenlast p(y) belasteten Durchlaufträger wird die unbekannte Lagerkraft B mittels der Einflussfunktion G (y, ) berechnet. Den theoretischen Hintergrund zu den Einflussfunktionen bildet der Satz von Betti. Soll z.b. die Lagerkraft B eines Durchlaufträgers, wie in Abb. 1.1 zu sehen, bestimmt werden, so senkt man das Lager B um Eins ab und überlagert die so erhaltene Biegelinie G(y, ) mit der vorhandenen Belastung p(y). Die Lasten des ersten Systems leisten die gleiche Arbeit auf den Wegen des zweiten Systems wie die Lasten des zweiten auf den Wegen des ersten Systems. B = l G(y, ) p(y) d Die Biegelinie G(y, ) ist die Einflussfunktion, oder auch Greensche Funktion genannt, für die Lagerkraft B. Sie gilt für jede beliebige Belastung p(y). Unter der modernen Statik versteht man die Verwendung der Finite-Element-Methode zu Bestimmung von Zustandsgrößen bei Balken, Scheiben und Platten. Die FEM ist aus dem heutigen Alltag des Bauingenieurs nicht mehr wegzudenken. Mit ihrer Hilfe werden die kompliziertesten Ingenieurbauwerke berechnet. Die Berechnung von Einflussfunktionen mit der FE-Methode ist alles andere als trivial. Bisher gibt es nur wenige Programme, die die Möglichkeit bieten, Einflussflächen zu berechnen. Die Einflussfunktionen können mit der FE-Methode nur näherungsweise dargestellt werden, da nur ein begrenztes Kontingent an Verformungen, die Einheitsverformungen, zur Verfügung steht. Die Biegelinien beim Balken oder die Biegeflächen bei der Scheibe und Platte werden aus der Wichtung der Einheitsverformungen entwickelt.

6 1 EINLEITUNG 6 Es ist z.b. nicht möglich, einen Versatz von Eins, wie er bei der Einflusslinie für die Querkraft benötigt wird, eakt darzustellen. In Abb. 1.2 ist eine FE-Einflusslinie der eakten gegenübergestellt worden. Die eakte Einflusslinie wird von der FEM so gut wie möglich angenähert, aber der Versatz, oder auch der Knick, liegt nicht in dem Verformungsraum, mit dem die FEM arbeitet. eakte Ein usslinie FE Ein usslinie Abb. 1.2: Eakte und durch die finiten Elemente erzeugte Einflussfunktion für die Querkraft im mittleren Element. In jüngster Zeit konnte in [2], [3] und [5] ein Bezug von der klassischen zur modernen Statik hergestellt werden. Mit einem Projektionssatz konnte gezeigt werden, dass ein FE-Programm jede Zustandsgröße mit einer auf einen endlichdimensionalen Ansatzraum V h projizierten Greenschen Funktion G h (y, ) und der äußeren Belastung p berechnet. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Bestimmung der äquivalenten Knotenkräfte zur Berechnung der Einflussfunktionen. Gegenstand dieser Arbeit ist es, die Berechnung der äquivalenten Knotenkräfte in ein bestehendes FE-Programm zu implementieren, um damit die Einflussfunktionen für die Platte zu erzeugen. Anhand von Beispielen soll der theoretische Hintergrund verdeutlicht und belegt werden. 1.1 Gliederung der Arbeit Im Kapitel 2 werden die für diese Arbeit relevanten Grundlagen der klassischen Statik dargestellt. Anhand des Projektionssatzes wird gezeigt, dass der Satz von Betti und damit auch die Einflussfunktionen in der FE-Methode ihre Gültigkeit haben. Im Kapitel 3 wird die Vorgehensweise für die Berechnung von Einflussfunktionen mit der FEM beschrieben. Dabei wird insbesondere darauf eingegangen, wie die äquivalenten Knotenlasten zu bestimmen sind. Die für die Implementierung in ein FE-Programm benötigten Gleichungen werden hergeleitet. Im Kapitel 4 wird der Umgang mit dem im Rahmen dieser Arbeit entstandenen Programm erklärt. Der Funktionsumfang des Programms in Hinblick auf die Berechnung von Einflussfunktionen wird dargestellt. Das Kapitel 5 soll genutzt werden, um die vorher theoretisch erarbeiteten Grundlagen zu verdeutlichen. Anhand von einfachen Systemen wird der Näherungscharakter der

7 1 EINLEITUNG 7 FEM und damit auch der der Einflussfunktionen dargestellt. Für kompleere Systeme, bei denen ein Vergleich mit der eakten Greensche Funktion nicht möglich ist, weil sie unbekannt ist, werden Vergleichsrechnungen mit der Randelementmethode erstellt. Das Kapitel 6 gibt eine Zusammenfassung der Hauptpunkte dieser Arbeit und soll einen Ausblick auf weitere Möglichkeiten der FEM in bezug auf Einflussfunktionen geben.

8 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 8 2 Theoretische Grundlagen In diesem Abschnitt sollen einige theoretische Grundlagen bereitgestellt werden, die für die Berechnung von Greenschen Funktion benötigt werden. Zentraler Bestandteil ist die Herleitung eines Projektionssatzes, der die Verwendung von genäherten Greenschen Funktionen für die Methode der finiten Elemente zur Berechnung von Zustandsgrößen ermöglicht. 2.1 Notation Will man z.b. mit dem Kraftgrößenverfahren Schnittgrößen berechnen, geschieht dies durch Überlagerung von Momentenverläufen. Durch die Überlagerung, eigentlich ist es eine Überlagerung von zwei dualen Größen, Moment Winkeländerung, wird eine Arbeit berechnet, die Arbeit, die das Moment auf den Winkeländerungen (=Krümmung) verrichtet. Allgemein ist die Arbeit = Kraft Weg. Die Arbeit ist ein Skalarprodukt. Daher wird im Folgenden die Schreibweise des Skalarproduktes eingeführt Skalarprodukt Die Schreibweise für ein Skalarprodukt zweier Funktionen u und v ist (u, v) v V, u V (u, v) R. (2.1) Es muss den Bedingungen der Linearität, der Symmetrie und der Definitheit genügen (Siehe [3], [9]). Ein spezielles Skalarprodukt ist das L 2 -Skalarprodukt 1, (u, v) L2 := l u v d u, v L 2 und (u, u) L2 (2.2) welches in der Statik eine wichtige Bedeutung erlangt. Aus statischer Sicht sind u und v Funktionen wie z.b. die Belastung p, wenn p genügend glatt ist, also p L 2, und die Biegelinie w. (w, ŵ) = l EI w IV ŵ d = l p ŵ d (2.3) Bei Gl. (2.3) ist streng genommen die Definition der L 2 -Skalarproduktschreibweise nicht mehr eingehalten. Es wurde diese Gleichung im Sinne der statischen Bedeutung verändert. 1 Das L stammt von dem französischen Mathematiker H. L. Lebesque (* ). Er führte die Lebesque-Integrale ein, die den Riemannschen Integralbegriff verallgemeinerten.

9 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 9 Das Skalarprodukt der Belastungsfunktion p mit der Biegelinie ŵ ist die äußere Arbeit δa a. Eine andere wichtige Größe in der Statik ist die (virtuelle) innere Arbeit δa i. Sie wird beim Balken durch die Überlagerung zweier Momentenflächen berechnet. Für die innere Arbeit wird die folgende Schreibweise eingeführt, a(w, ŵ) := l EI w ŵ d = l M ˆM EI d = δa i(w, ŵ). (2.4) Die innere Arbeit ist eine symmetrische Bilinearform, man darf die Reihenfolge der Argumente vertauschen, a(u + v, w) = a(u, w)+a(v, w). Für Konstanten gilt, dass diese vor den Ausdruck a(, ) geschrieben werden dürfen. a(w 1 ϕ 1 +w 2 ϕ 2, ŵ 1 ϕ 1 +ŵ 2 ϕ 2 ) = 2 a(ϕ i, ϕ j )w i ŵ j i,j=1 Wie beim Distributionsgesetz darf man also ausklammern (weiteres in [3], [5], [9]). 2.2 Greensche Identitäten Erste Greensche Identität Gegeben sei die gewöhnliche Differentialgleichung EI w IV () = p(). (2.5) Zur Herleitung der ersten Greenschen Identität wird die Gl. (2.5) mit einer Testfunktion ŵ multipliziert und über die Balkenlänge integriert. Man erhält durch partielle Integration l EI w IV ŵ d = [EIw ŵ ] l [EIw ŵ ] l + l EIw ŵ d. Berücksichtigt man, dass EI w = Q und EI w = M ist, so ergibt sich die erste Greensche Identität zu G(w, ŵ) := l EI w IV ŵ d + [Q ŵ M ŵ ] l } {{ } δa a {w, ŵ} C 4 C 2. l M ˆM EI d = (2.6) } {{ } δa i Alle vier Terme sind von der gleichen Art, Kraft Weg. Sie stellen Arbeiten dar, dabei bilden die ersten drei Terme die äußere Arbeit, der vierte Term ist der Ausdruck

10 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 1 für die innere Arbeit. Für Systeme ohne Federn, Lagerverschiebungen und Randkräften bzw. -momenten sind die mittleren Terme, die Randarbeiten, Null, denn eine der dualen Größen, Kraft und Weg, ist immer Null. Beim beidseitig gelagerten Balken ist z.b. entweder das Moment Null aber die Verdrehung ungleich Null oder es ist die Verschiebung Null aber die Querkraft ungleich Null. Aus diesen Gründen wird im Folgenden der Randarbeitsterm weggelassen. Die erste Greensche Identität ergibt sich mit der in Kapitel 2.1 eingeführten Schreibweise zu G(w, ŵ) = (p, ŵ) a(w, ŵ) = {w, ŵ} C 2 C 2. (2.7) Während für die Gl. (2.6) noch die Bedingung galt, dass {w, ŵ} C 4 C 2, so gilt für die Gl. (2.7) nur noch, dass {w, ŵ} C 2 C 2 und dass die Belastungsfunktion p genügend glatt sein muss. Von der Gl. (2.6) zur Gl. (2.7) findet eine Entschärfung der Ansprüche an die Funktion w statt. Mit der ersten Greenschen Identität lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeiten, ein fundamentales Arbeitsprinzip der linearen Statik, schreiben. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten lässt sich nach dem vorgegebenen, virtuellen Zustand unterteilen in das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (P.d.v.V.) und das Prinzip der virtuellen Kräfte (P.d.v.K.). Die erste Greensche Identität liefert direkt diese beiden Arbeitsprinzipien. Das P.d.v.V. lautet G(w/p, ŵ) =, Die virtuelle Verrückung wird durch das ŵ dargestellt. Für das Prinzip der virtuellen Verrückungen kann die folgende Gleichgewichtsaussage formuliert werden: Ein Kraftgrößenzustand befindet sich im Gleichgewicht, wenn für einen beliebigen virtuellen, kinematisch kompatiblen Deformationszustand die Summe der virtuellen Arbeiten verschwindet. Das P.d.v.K. wird wie folgt geschrieben: G(ŵ/ˆp, w) =. Die zu den virtuellen Kräften ˆp gehörende Biegelinie wird als ŵ bezeichnet. Auch sie wird wieder durch die Belastung, in dem Fall die virtuellen Kräfte, ersetzt. Für das Prinzip der virtuellen Kräfte kann die folgende Gleichgewichtsaussage formuliert werden: Ein Deformationszustand ist kinematisch verträglich, wenn für einen virtuellen, im Gleichgewicht befindlichen Kraftgrößenzustand die Summe der virtuellen (konjugierten) Arbeiten verschwindet. Die Aussage der Arbeitsprinzipien ist, dass die äußere Arbeit δa a gleich der inneren Arbeit δa i ist. Oder anders formuliert: Es muss Null Arbeit geleistet werden, dann ist das System im Gleichgewicht.

11 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Zweite Greensche Identität Die zweite Greensche Identität erhält man ebenfalls durch zweimalige partielle Integration der Differentialgleichung des Balkens, in dem man den Ausdruck B(w, ŵ) := G(w, ŵ) G(ŵ, w) = (2.8) bildet. Hergeleitet wird Gl. (2.8), in dem Gl. (2.7) von sich selber subtrahiert wird und die Funktionen w und ŵ vertauscht werden. In der Statik entspricht Gl. (2.8) dem Satz von Betti. Er besagt, dass die Arbeiten, System 1 System 2 p() ^p() w() A 1;2 = A 2;1 ^w() Abb. 2.1: Ein Beispiel für den Satz von Betti. die die Kräfte des ersten Systems auf den Wegen des zweiten Systems leisten, gleich den Arbeiten sind, die die Kräfte des zweiten Systems auf den Wegen des ersten Systems leisten (siehe Abb. 2.1). 2.3 Die FE-Formulierung Die allgemeine Gleichung zur Lösung eines Variationsproblems im unendlich dimensionalen Raum V lautet a(u, v) = (p, v) v V. (2.9) Das symmetrische Galerkin-Verfahren formuliert nun die Variationsgleichung Gl. (2.9) für einen endlichdimensionalen Teilraum V h V. Damit lautet das Galerkin-Verfahren: Finde eine Funktion u h V h V, so dass die Gleichung a(u h, v h ) = (p, v h ) (2.1) für alle v h V h V erfüllt ist. Der FE-Ansatz besteht darin, die schwache Form des Gleichgewichts für einen endlichdimensionalen Raum V h zu formulieren. Dabei ist die Lösung u h selbst, wie auch die Testfunktionen v h, aus dem Raum V h. Die Lösung u h lässt sich über die Formulierung u h = u i v h i berechnen. Für gewöhnlich werden in der FEM für v h i die Einheitsverformungen ϕ i eingesetzt.

12 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Die FE-Gleichung K u = f Gegeben sei die gewöhnliche Differentialgleichung EI w IV = p. (2.11) Durch partielle Integration der Gl. (2.11) erhält man die Gleichung a(w, ŵ) = (p, ŵ) ŵ V. (2.12) Es wird zu V ein Teilraum V h konstruiert, in dem nur noch bestimmte virtuelle Verrückungen v h zulässig sind. Die Gl. (2.12) lautet dann a(w, v h ) = (p, v h ) v h V h V. (2.13) Für die eakte Biegelinie w wird jetzt eine Näherungslösung w h eingesetzt. Dies sei die Lösung der FEM. Sie wird entwickelt aus der Gleichung w h = u i ϕ i. (2.14) Mit der Näherungslösung lässt sich Gl. (2.13) schreiben a(w h, v h ) = (p, v h ) w h, v h V h. (2.15) Die Gl. (2.15) ist identisch mit der Gl. (2.1). Einsetzen von Gl. (2.14) in Gl. (2.15) liefert a(ϕi, v h ) u i = (p, v h ). (2.16) Da Gl. (2.13) für jede virtuelle Verrückung v h V h gilt, erfüllt auch ein spezielles ϕ j V h die Gl. (2.13). a(ϕi, ϕ j ) u i = (p, ϕ j ). (2.17) Dies entspricht mit den Notationen K := a(ϕ i, ϕ j ), u := u i bekannten FE-Gleichung und f := (p, ϕ i ) der K u = f Äquivalente Knotenkräfte Bei der Berechnung von Tragsystemen mit der Gleichung K u = f werden alle am System angreifenden Lasten in äquivalente Knotenkräfte umgerechnet. Der Vektor f ist der Vektor der äquivalenten Knotenkräfte. Die Komponenten des Vektors werden für den Balken z.b. über die Gleichung f i = l p() ϕ i d bestimmt. Beide Lastfälle sind arbeitsäquivalent bezüglich der Einheitsverformungen ϕ i.

13 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Verformungsraum und Projektion Es seien diejenigen Verformungen, die den aktuellen geometrischen Randbedingungen genügen, aus dem Verformungsraum V. Die Verformungen unterliegen der Bedingung a(u, u) < u V. D.h. sind die aktuellen Randbedingungen eingehalten und ist die innere Energie der Verformung endlich, so ist die Biegelinie u in V enthalten. Alle virtuellen Verrückungen, die z.b. auf einen Balken aufgebracht werden können, sind aus diesem Verformungsraum V. V Alle Verformungen sind moglich. Ä V h Aus den Einheitsverformungen entwickelte Biegelinien sind moglich. Ä Abb. 2.2: Verformungsraum V und V h. Verformungen, die aus den Einheitsverformungen (von Platte oder Balken z.b.) entwickelt werden, stammen aus dem Verformungsraum V h. Der Verformungsraum V h der Einheitsverformungen ist in V enthalten, denn in V sind alle Verformungen enthalten. Somit ist V h eine Untermenge von V (siehe Abb. 2.2). Die eakte Biegelinie w eines Balkens ist aus V, während die mit finiten Elementen berechnete Biegelinie w h aus V h stammt. Im Normalfall ist die Biegelinie w h eine Näherung der eakten Biegelinie w 2. Dies soll anhand eines Beispiels erläutert werden. Ein Seil wird mit einer konstanten Streckenlast p() belastet (Abb. 2.3 a). Die dazu gehörige Seillinie w ist aus V. Um die mit finiten Elementen berechnete Verformungsfigur darzustellen, stehen nur die Einheitsverformungen zur Verfügung (Abb. 2.3 b und c). Die Streckenlast wird in äquivalente Knotenlasten umgerechnet. Diese beiden Belastungen, p() und f i, sind im starken Sinne nicht mehr gleich. Man kann nicht schreiben p() = f i. Die Knotenlasten f i werden so eingestellt, dass gilt: (p(), ϕ i ) = (f i, ϕ i ) ϕ i V h. 2 Da die Biegelinie w h aus dem Teilraum V h stammt, gibt es natürlich auch Biegelinien w h = w eakt für V = V h.

14 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 14 a) p() c) w() w h () b) 1 1 ' 1 ' 2 Abb. 2.3: a) Seil mit Originalbelastung und eakter Seillinie w. b) Einheitsverformungen ϕ i des Seils. c) Seillinie w h, entwickelt aus den Einheitsverformungen. Die Belastungen sind arbeitsäquivalent bezüglich der Einheitsverformungen ϕ i. Dabei repräsentieren die Knotenkräfte f i eine ganze Reihe von Lastfällen p(), nämlich alle Lastfälle p(), die die gleichen Knotenkräfte f i haben. Man kann die Methode der finiten Elemente als ein Projektionsverfahren bezeichnen, [5], wobei die Verformungsfigur w aus dem Raum V auf den Raum V h projiziert wird. Projiziert man einen Vektor a R 3 auf eine Ebene, a R 2, so ist a in jedem Fall kürzer als a und die Verbindung der beiden Spitzen stellt ein Minimum dar, denn jeder andere Vektor a in der Ebene weist einen größeren Abstand auf, siehe [5] und Abb y a e = Minimum a z Abb. 2.4: Projektion des Vektors a in die z-ebene. Übertragen in die Statik bedeutet dies, dass die Biegelinie u h den kleinsten Abstand der inneren Energie zur Biegelinie u hat. Es gilt u u h E u v h E v h V h. Dabei ist u die eakte Biegelinie und u h die Projektion von u V auf den Raum V h. v h

15 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 15 sei irgendeine andere Biegelinie in V h. Es folgt der Beweis der obigen Ungleichung. u u h 2 E = a(u u h, u u h ) mit u E = a(u, u) = a(u u h, u v h + v h u h ) = a(u u h, u v h ) + a(u u h, v h u h ) = a(u u h, u v h ) mit a(u u h, v h ) = v h V h u u h E u v h E Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung Dividiert man die erhaltene Ungleichung durch u u h E, so wurde die obige Behauptung bewiesen. 2.4 Eine spezielle Interpretation Der Lastfall p h Die FEM kann einen Lastfall p nur dadurch wahrnehmen, dass sie das Tragwerk in Form der Einheitsverformungen bewegt. Der Lastfall p leistet auf den Wegen der Einheitsverformung eine Arbeit. Anstelle der Originalbelastung setzt das FE-Programm auf die Knoten Einzelkräfte und -momente, die Knotenkräfte. Diese Knotenlasten repräsentieren den Lastfall p. Die Knotenkräfte werden gerade so eingestellt, dass sie arbeitsäquivalent zum Originallastfall sind, sie leisten auf den Wegen der Einheitsverformungen die gleiche Arbeit. (f i, ϕ i ) = (p, ϕ i ) 1 f i = l p() ϕ i d Die 1 wurde nicht weggelassen, um zu verdeutlichen, dass auf beiden Seiten der Gleichung Arbeitsterme stehen. Als Ergebnis der FE-Berechnung erhält man die genäherte Biegelinie w h. Für den Biegebalken ist die Biegelinie, wenn man also w kennt, die Lösung der Differentialgleichung EI w IV = p. Wird w in die Differentialgleichung eingesetzt, so erhält man die Belastung p, die die Ursache der Biegelinie w ist. Der Lastfall p h ist die Belastung, die man erhält, wenn man die FE-Biegelinie w h in die Differentialgleichung einsetzt. Der Lastfall p h ist nicht mehr identisch mit den äquivalenten Knotenlasten. Vielmehr gehört er, genauso wie der Lastfall p, zu der gleichen Äquivalenzklasse. Die FEM ist ein Näherungsverfahren, sie versucht der eakten Biegelinie möglichst nahe zu kommen. Der Lastfall p wird nur näherungsweise gelöst, der Lastfall p h wird dagegen eakt berechnet. Die Differentialgleichung EI wh IV = p h wurde von der FEM eakt gelöst. In sofern kann man die FEM auch als ein Lastnäherungsverfahren bezeichnen, das versucht den Lastfall p möglichst gut abzubilden.

16 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 16 Aus den Einheitsverformungen ϕ i V h lassen sich Einheitslastfälle p i bestimmen, aus denen man den Lastfall p h entwickeln kann, p h = u i p i. Es wird zum Verformungsraum V h ein dualer Raum P h konstruiert, der eine Teilmenge des Raumes P ist, P h P, [5]. Der Raum P ist der duale Raum zu V. Er wird aus allen möglichen Lastfällen gebildet Arbeitsäquivalenz von p und p h Da die FE-Lösung w h eine Gleichgewichtslösung des Lastfalls p h ist gilt die Gleichung a(w h, v h ) = (p h, v h ) v h V h. (2.18) Gleichsetzen von Gl. (2.18) und Gl. (2.1) liefert das Äquivalenz-Theorem l p h v h d = l p v h d v h V h. (2.19) Bezüglich aller Testfunktionen v h V h sind der FE-Lastfall und der Originallastfall arbeitsäquivalent. Dabei gehören beide Lastfälle zu der gleichen Äquivalenzklasse, die von den äquivalenten Knotenlasten gebildet wird. 2.5 Die Greensche Funktion für den Balken In diesem Kapitel soll am Beispiel eines beidseitig gelagerten Balkens die Gültigkeit der Gleichung w() = l G (y, ) p(y) dy (2.2) hergeleitet werden. Die Überlagerung einer Biegelinie G, der Greenschen Funktion, mit der Belastung p ergibt die Durchbiegung w an der Stelle. Die allgemeine Form der Gl. (2.2) lautet i w() = l G i (y, ) p(y) dy, (2.21) dabei steht das i für die entsprechende Ableitung der vier möglichen Weg- und Kraftgrößen und G i für die zugehörige Greensche Funktion, w := w() Durchbiegung 1 w := w () Verdrehung 2 w := M() Moment 3 w := V () Querkraft.

17 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 17 Bei der Herleitung von Gl. (2.21) wird der Satz von Betti, die zweite Greensche Identität, auf die in Abb. 2.5 dargestellten Systeme angewendet. Es wird ein kleines Stück des Balkens von ε bis + ε herausgetrennt. Die Integration erfolgt dabei von bis ε und von + ε bis l. Danach lässt man das ε gegen Null gehen, ε und führt eine Grenzwertbetrachtung durch. Für den Balken ist dies eine fast triviale Vorgehensweise, bei einer Scheibe, Platte oder Membran wird dieser Grenzprozess alles andere als trivial. Dort trennt man an Stelle eines kleinen Stückes einen Kreis heraus, dessen Radius man dann gegen Null gehen lässt, siehe Kapitel 2.7. B(G, w) = ε w dy + V ( ε) w( ε) V () w() M ( ε) w ( ε) + M () w () V ( ε) G ( ε, )+ V () G (, ) + M( ε) G ( ε, ) M() G (, ) ε l +ε G (y, ) p(y) dy+ w dy + V (l) w(l) V ( + ε) w( + ε) M (l) w (l)+ M ( + ε) w ( + ε) V (l) G (l, ) + V ( + ε) G ( + ε, )+ M(l) G (l, ) M( + ε) G ( + ε, ) Über die Randbedingungen l +ε G (y, ) p(y) dy = a) P = 1 b) p(y) G (y; ) w(y) G w M M V V Abb. 2.5: a) System mit Einslast, b) System mit Belastung G (, ) = G (l, ) =, M () = M (l) = und w() = w(l) = werden die entsprechenden Randterme zu Null. Der Satz von Betti lässt sich dann wie

18 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 18 folgt schreiben. B(G, w) =V ( ε) w( ε) M ( ε) w ( ε) V ( ε) G ( ε, ) + M( ε) G ( ε, ) V ( + ε) w( + ε) + M ( + ε) w ( + ε)+ V ( + ε) G ( + ε, ) M( + ε) G ( + ε, ) ε G (y, ) p(y) dy + l +ε G (y, ) p(y) dy = Lässt man nun in einem Grenzprozess ε gegen Null gehen, ε, so ergeben sich folgende Ausdrücke. ε lim [ G (y, ) p(y) dy+ ε l +ε G (y, ) p(y) dy] = l G (y, ) p(y) dy Die Funktion G hat an der Stelle keine Singularität. Daher kann über die gesamte Länge l integriert werden. Die folgenden Terme sind an der Stelle bei umgekehrtem Vorzeichen gleich groß. Sie werden zu Null. lim { M ( ε) w ( ε) + M ( + ε) w ( + ε)} = ε lim { V ( ε) G ( ε, ) + V ( + ε) G ( + ε, )} = ε lim {M( ε) ε G ( ε, ) M( + ε) G ( + ε, )} = Der Ausdruck V ( ε) w( ε) V (+ε) w(+ε) wird bei Betrachtung der Abb. 2.6 zu V ( ε) w( ε) V (+ε) w(+ε) = 1 w(). Bei der Grenzwertbetrachtung am Balken ist dies sehr einfach. Als Ergebnis des Satzes P = 1 V ( ") 2" V (+") V ( ") V (+") = 1 Abb. 2.6: Grenzwertbildung an der Stelle für die Querkraft V. von Betti steht daher w() = l G (y, ) p(y) dy. (2.22) Für die anderen Greenschen Funktionen, G 1 für die Verdrehung, G 2 für das Moment und G 3 für die Querkraft ist in gleicher Weise vorzugehen, [7].

19 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Kirchhoff-Platte Die Differentialgleichung für die schubstarre Platte wird nach dem Tonti-Schema, [3][13], hergeleitet. Über die Verknüpfung der drei Gleichungen für die Kinematik, das Materialverhalten und das Gleichgewicht erhält man die Plattendifferentialgleichung. Kinematik: E E(w) = Material: C[E] + M = Gleichgewicht: div 2 M = p (2.23) Dabei ist E = [ε ij ] der Spannungstensor und E( ) der Operator [ ] w, w, y E(w) =. w, y w, yy M= [M ij ] ist der Momententensor und C[ ] ist der Elastizitätstensor C[E] = K {(1 ν) E +ν (tr E) I}. Die Konstante K ist die Plattensteifigkeit K = E h 3 12(1 ν 2 ) und vergleichbar mit der Biegesteifigkeit EI für einen Plattenstreifen der Breite 1, m. In die Plattensteifigkeit geht zusätzlich die Querdehnzahl ν ein. Setzt man die Gleichungen von (2.23) ineinander ein, so erhält man die Plattendifferentialgleichung. K(w, +2 w, yy +w, yyyy ) = K w = p (2.24) Die Gleichungen für die Momente der Platte lauten m = K(w, +νw, yy ) (2.25) m yy = K(w, yy +νw, ) (2.26) m y = (1 ν)kw, y (2.27) und für die Querkraft q = K(w, +w, yy ) (2.28) q y = K(w, yyy +w, y ). (2.29) Die Schnittgrößen der Platte sind in Abb. 2.7 angetragen. Ein Moment m dreht sich um die y-achse, ein Moment m yy dreht sich um die -Achse. Diese Konvention ist anders als man es aus der Balkenstatik gewöhnt ist. Positive m bzw. m Momente sind so

20 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2 z m y y m y q y m yy m q Abb. 2.7: Schnittgrößen der Schnittkanten einer Platte definiert, dass sie eine Durchbiegung der Platte in Richtung der z-achse verursachen. Bei einem positiven Moment muss die Bewehrung unten eingelegt werden. Die Momente m y und m y sind die Drillmomente einer Platte. Sie verursachen bei einer gelenkiggelenkig gelagerten Plattenecke die abhebenden Einzelkräfte. Aus den Momenten m y und m y, zusammen mit der Querkraft q und q y, wird der so genannte Kirchhoffschub v berechnet. v = q + d m y d y v y = q y + d m y d In der vorher gewählten Schreibweise lauten die Gleichungen für den Kirchhoffschub v = K(w, +(2 ν)w, yy ) v y = K(w, yyy +(2 ν)w, y ). (2.3) Mit den Gln. (2.25) bis (2.3) stehen alle benötigten Gleichungen für die Berechnung der äquivalenten Knotenlasten für die FE-Methode zur Verfügung. Als Randbedingungen für die Platte sind drei Hauptlagerungsarten zu nennen. Die frei drehbare Lagerung. Die Randbedingungen dafür lauten w = und m = oder m yy =, je nach dem, ob der Rand in y- oder -Achsenrichtung betrachtet wird. Die starre Einspannung. Die Randbedingungen für diese Lagerungsart lauten w = und w, = oder w, y =. Aus den Randbedingungen folgt, dass an starr eingespannten Rändern keine Drillmomente auftreten, m y =. Der Kirchhoffschub v ist gleich der Querkraft q. Der freie Plattenrand. Die Randbedingungen dieser Lagerung sind m = oder m yy = und v = oder v y =. Das Moment normal zum Rand ist Null und die Querkraft zusammen mit der Ableitung des Drillmomentes, also der Kirchhoffschub, muss Null werden.

21 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Die Greensche Funktion für die Platte Die Bestimmung der Greenschen Funktion für die Platte ist aufwendiger als für den Balken. Die Vorgehensweise soll skizziert werden. Die Differentialgleichung der Platte lautet K w = p. (2.31) Der Satz von Betti für die Platte lautet B(w, ŵ) = K w ŵ dω + Ω Γ [v n ŵ m n ŵ, n ] ds + i F i ŵ( i ) [w ˆv n w, n ˆm n ] ds i w( i ) ˆF i w K ŵ dω = Γ w, ŵ C 4 ( Ω). (2.32) Ω Die F i sind die Eckkräfte, die aus dem Sprung der Drillmomente m nt entstehen. Für eine Einzelkraft an der Stelle folgt die Greensche Funktion, die Einflussfunktion für die Durchbiegung, direkt aus dem Satz von Betti (Gl. (2.32)). Anstelle der Einzelkraft an der Stelle wird das Dirac-Delta δ() gesetzt. Das Dirac-Delta hat genau die Eigenschaft, dass es für y Null ist und dass es über ein Gebiet integriert gerade die zum Dirac-Delta duale Größe als Ergebnis hat, w δ () dω = w(). Ω Für den folgenden Ausdruck kann demnach geschrieben werden w K ŵ dω mit K ŵ = δ() w δ() dω = w(). Ω Ω Man erhält die Durchbiegung w(). Die Funktion ŵ ist die Greensche Funktion. Nach w() aufgelöst erhält man w() = K w ŵ dω + [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds. Ω Γ Γ Die Summation über die Eckkräfte F i wird aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen, zumal sie bei einer Einspannung nicht auftreten und bei einer gelenkigen Lagerung die Wege Null sind. Will man jetzt für weitere Ableitungen, d.h. für die Verdrehung w, n () = w() n, für das Moment M() oder die Querkraft V (), die Greensche Funktion bestimmen, so

22 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 22 w ^w N " () p(y) " N" " " Abb. 2.8: Links das System w mit beliebiger Last; rechts das System ŵ mit P = 1. Für beide Systeme gilt das gelochten Gebiet Ω ε. hat man das Problem, dass die Biegeflächen G 1, G 2 und G 3 nicht mehr genügend glatt sind. Sie weisen Singularitäten an der Lastangriffsstelle auf. Die oben dargestellte Vorgehensweise führt dann nicht mehr zum Ergebnis. Der Weg, der auch für die anderen Greenschen Funktionen zum Ziel führt, soll wieder am Beispiel der Einflussfunktion für die Durchbiegung verdeutlicht werden. Im Abschnitt 2.5 wurde so vorgegangen, dass der Bereich im Abstand ε von der Stelle herausgetrennt wurde. Die Stelle stellt eine Unstetigkeit dar. Links und rechts davon sind die Funktionen stetig. Bei der Platte entspricht der ausgeschnittene Bereich einem Kreis mit dem Radius ε (siehe Abb. 2.8). Man locht das Gebiet und führt die Betrachtung nur noch auf dem Gebiet Ω ε durch, denn dort sind die Funktionen stetig. Der Satz von Betti lautet für das gelochte Gebiet Ω ε B(w, ŵ) Ωε = p ŵ dω + [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds+ Ω ε Γ Γ [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds =. Γ Nε Γ Nε Das letzte Gebietsintegral der Gl. (2.32) wird zu Null, da auf dem gelochten Gebiet keine Einzellast angreift. Aufgrund des Loches N ε im Gebiet Ω ist ein weiterer Rand Γ Nε hinzugekommen über den integriert werden muss. Im nächsten Schritt lässt man den Radius des herausgetrennten Kreises gegen Null gehen, ε. Es werden die Grenzwerte der einzelnen Terme ermittelt. { lim Ω ε = lim ε ε p ŵ dω + [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds+ Ω ε Γ Γ } [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds =. Γ Nε Γ Nε Der Grenzwert des Gebietsintegrals ist lim p ŵ dω = p ŵ dω, ε Ω ε Ω

23 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 23 also das Integral über das gesamte Gebiet. Die Randintegrale über den äußeren Rand sind unabhängig von ε und bleiben nach der Grenzwertbildung unverändert. Der Grenzwert des ersten Integrals über den Rand des Loches geht gegen Null. lim [v n ŵ m n ŵ, n ] ds = ε Γ Nε Der Grenzwert des zweiten Integrals über den inneren Rand liefert lim [w ˆv n w, n ˆm n ] ds = w(). ε Γ Nε Das Ergebnis der Betrachtung über das gelochte Gebiet lautet damit w() = p ŵ dω + [v n ŵ m n ŵ, n ] ds [w ˆv n w, n ˆm n ] ds. Ω Γ Γ Man erhält auf diese Weise das gleiche Ergebnis wie vorher. Das ŵ steht auch hier wieder für die Greensche Funktion G. Der Unterschied ist, dass die Vorgehensweise über das gelochte Gebiet auch beim Einsmoment, Knick oder Versatz von Eins zum Ergebnis führt. Die Ermittlung der Grenzwerte erfordert mehr Aufwand, als dies hier dargestellt wurde (weiterführende Angaben in [6] und [7]). 2.8 Der Projektionssatz Eine Greensche Funktion ist aus dem Ansatzraum V 3, d.h. die eakte Greensche Funktion lässt sich mit Hilfe der finiten Elemente nicht darstellen, weil sie in den meisten Fällen nicht in V h enthalten ist. Wohl lässt sich aber eine genäherte Greensche Funktion mit Hilfe der FE-Methode berechnen. Die genäherte Funktion G h bezeichnet man als die Projektion der eakten Funktion G V auf den Ansatzraum V h. In diesem Zusammenhang gilt folgender Projektionssatz: Projektionssatz Die Finite-Element-Lösung genügt allen Greenschen Identitäten in bezug auf die projizierten Greenschen Funktionen. G(w h /p, G h i ) = B(w h /p, G h i /δ i ) = (2.33) Dabei sind die Projektionen G h i V h, die von den finiten Elementen angenäherten Greenschen Funktionen. 3 Strenggenommen gilt noch nicht einmal das, denn G ist aufgrund der Singularität nicht im Energieraum enthalten.

24 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 24 Eine direkte Konsequenz des Projektionssatzes ist, dass jede punktuelle Weg- oder Kraftgröße durch die Gleichung i wj h = G h i (y, ) p(y) dω y (2.34) Ω berechnet werden kann. Der Beweis des Projektionssatzes (Gl. (2.33)) folgt direkt aus der ersten bzw. zweiten Greenschen Identität unter Verwendung der Äquivalenzeigenschaft aus Abschnitt 2.4.2, siehe auch [3]. Wir beweisen Gl. (2.34) für einen Balken. Die schwache Form zur Berechnung von G h i lautet a(g h i, w h ) = (δi h, w h ). (2.35) Dabei ist δi h der zur Greenschen Funktion G h i gehörende äquivalente FE-Lastfall der Diracfunktion δ. Weiter gilt für jede FE-Belastung p h a(w h, G h i ) = (p h, G h i ), (2.36) wenn wir jetzt G h i V h als Testfunktion interpretieren. Unter Anwendung der Äquivalenzeigenschaft auf die rechten Seiten der Gln. (2.35) und (2.36), kann man δi h durch δ i und p h durch p ersetzen. Die Ausdrücke a(g h i, w h ) und a(w h, G h i ) können auf Grund der Symmetrieeigenschaft gleichgesetzt werden. Daraus folgt die Gleichung (δ i, w h ) = (p, G h i ), welche der Gl. (2.34) entspricht Der Projektionssatz für integrale Größen Der Projektionssatz kann ebenfalls auf die Betrachtung von integralen Größen erweitert werden. Integriert man Gl. (2.34) über einen Schnitt A-A, so erhält man die integrale Schnittgröße i wj h ds = G h i (y, ) p(y) dω y ds y. (2.37) Ω A-A A-A Folglich berechnet die FEM jede integrale Schnittgröße aus dem Skalarprodukt der integralen Einflussfunktion und der Belastung p(y). Wir definieren G h i (y, ) ds y := G h i (y, ). A-A

25 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 25 Damit lautet Gl. (2.37) i wj h ds = G h i (y, ) p(y) dω y. (2.38) Ω A-A Die Art, wie der Schnitt durch die Platte für die Berechnung der integralen Größe gelegt wird, ist nicht durch Gl. (2.37) festgelegt. Es sind Schnitte über die gesamte Läge oder Breite der Platte, aber auch Teilschnitte erlaubt. Im Grenzfall, wenn die Schnittlänge gegen Null geht, würde man wieder die gesuchte Zustandsgröße in einem Punkt erhalten.

26 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 26 3 Einflussfunktionen mit der FE-Methode Die Einflussfunktionen für Platten sind, wie schon erwähnt, Biegeflächen. Da ein FE- Programm nicht mit den für die Greenschen Funktionen erforderlichen Einsbelastungen rechnen kann, solange der Aufpunkt in einem Element liegt, müssen diese in äquivalente Knotenlasten umgerechnet werden. Aus dieser Belastung errechnet das Programm die Biegefläche. In diesem Kapitel wird dargestellt, wie man diese Knotenlasten für Balken und Platte ermittelt. 3.1 Äquivalente Knotenlasten für den Balken Mit dem Projektionssatz konnte gezeigt werden, dass sich jeder Zahlenwert i u h j () der FE-Berechnung aus der genäherten Greenschen Funktion G h i berechnen lässt. Die Greensche Funktion erhält man, indem man eine Platte mit der zur gesuchten Weg- oder Kraftgröße dualen Einslast (Einzelkraft, Einzelmoment, Knick oder Sprung) belastet. Die so erhaltene Biegefläche ist die Greensche Funktion. Bei der Methode der finiten Elemente geht man genauso vor. Es wird die Einslast aufgebracht und man lässt das FE-Programm mit den äquivalenten Knotenlasten die Biegefläche berechnen. Und die Berechnung der Knotenlasten, die eine Einslast wie z.b. einen Knick repräsentieren, soll hergeleitet werden. b a c Abb. 3.1: Verschiedene Einheitsverformungen am Balken mit fünf Elementen. In Abb. 3.1 sind einige Einheitsverformungen für einen mit fünf Elementen modellierten Balken dargestellt. Die äquivalenten Knotenkräfte werden nur für das mit der Einskraft belastete Element berechnet, denn nur da leistet die Last Arbeit auf den Wegen der Einheitsverformungen. Auf der Einheitsverformung a bewegt sich die Last nicht, der Weg ist Null, daher ist die Arbeit, Kraft Weg, Null. Die Einheitsverformungen b und c bewegen die Last auf dem Element. b entspricht ϕ 2, woraus man f 2 erhält, c entspricht für das Element der dritten Einheitsverformung, daraus erhält man die Knotenkraft f 3, usw Knotenlasten für eine Einslast Aus dem Weggrößenverfahren (oder auch Matrizenverschiebungsmethode genannt) ist bekannt, dass die äquivalenten Knotenkräfte f i aus der Überlagerung der Belastung p

27 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 27 mit den Einheitsverformungen ϕ i bestimmt werden. f i = l p(y) ϕ i (y) dy (3.1) Die Gültigkeit der Gl. (3.1) soll im Folgenden gezeigt werden, wenn als Belastung eine Einzelkraft angesetzt wird. Der Satz von Betti soll wieder so formuliert werden, dass der Balken in zwei Abschnitte unterteilt wird. Der erste Abschnitt geht von ( ε), der zweite Abschnitt von (+ε) l. Die Stelle, an der die Einzellast angesetzt wurde, wird von der Betrachtung ausgeschlossen. Der Satz von Betti lautet dann für ein Balkenelement angewendet mit den Einheitsverformungen (siehe Abb. 3.2) f 2 f 1 1 f 3 f 4 ' 1 1 Balkenelement ' 2 45 ' 3 45 ' 4 1 Einheitsverformungen Abb. 3.2: Links ein Balkenelement mit einer Einslast, rechts die vier Einheitsverformungen für den Balken. B(w, ϕ i ) =V ( ε) ϕ i ( ε) V () ϕ i () M( ε) ϕ i( ε) + M() ϕ i() V ϕi ( ε) w( ε) + V ϕi () w() + M ϕi ( ε) w ( ε) M ϕi () w () + V (l) ϕ i (l) V ( + ε) ϕ i ( + ε) M(l) ϕ i(l)+ M( + ε) ϕ i( + ε) V ϕi (l) w(l) + V ϕi ( + ε) w( + ε)+ M ϕi (l) w (l) M ϕi ( + ε) w ( + ε) =. Einheitsverformung ϕ 1 Die erste Einheitsverformung ϕ 1 wird durch eine Verschiebung des linken Knotens um Eins nach unten erzeugt. Alle anderen Verformungen an den Knotenpunkten sind Null (ϕ 1() = ϕ 1(l) = ϕ 1 (l) = ). B(w, ϕ 1 ) = V () 1+V ( ε) ϕ i ( ε) V (+ε) ϕ i (+ε) = Der Grenzwert ε ergibt für lim [V ( ε) ϕ i( ε) V (+ε) ϕ i (+ε)] = ϕ 1 ()(V l () V r ()) = ϕ 1 () 1. ε

28 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 28 Daraus folgt f 1 = V () = ϕ 1 (). Die Durchbiegung der Einheitsverformung ϕ 1 an der Stelle ist die Knotenkraft f 1. Einheitsverformung ϕ 2 Mit der zweiten Einheitsverformung geht man genauso vor. Die Verdrehung im linken Knoten ist Eins (ϕ 2() = 1). Die anderen Knotenverformungen sind Null (ϕ 2 () = ϕ 2 (l) = ϕ 2(l) = ). B(w, ϕ 2 ) = M() 1+V ( ε) ϕ i ( ε) V (+ε) ϕ i (+ε) = Mit dem Sprung von Eins in der Querkraft an der Stelle wird die Knotenkraft f 2, das Moment, zu f 2 = M() = ϕ 2 (). Zusammenfassend ergeben sich die in Tab. 3.1 dargestellten äquivalenten Knotenkräfte. Tab. 3.1: Äquivalente Knotenkräfte für eine Einslast an der Stelle. Einheitsverformung Knotenlast Kraftrichtung ϕ 1 f 1 = ϕ 1 () f 1 ϕ 2 f 2 = ϕ 2 () f 2 ϕ 3 f 3 = ϕ 3 () f 3 ϕ 4 f 4 = ϕ 4 () f 4 Diese Erkenntnis hätte man auch aus Gl. (3.1) direkt ableiten können. Über eine Einslast integriert, wird gerade die Knotenkraft f i für die entsprechende Einheitsverformung ϕ i die Durchbiegung an der Stelle, f i = ϕ i (). Für andere Einsbelastungen ist dies nicht mehr so offensichtlich. Aber die vorher ausführlich beschriebene Vorgehensweise führt für die anderen Einsbelastungen (Moment, Knick und Versatz) zum gewünschten Ergebnis Knotenlasten für ein Einsmoment Der unter Kapitel aufgestellte Satz von Betti kann weiter verwendet werden. Als Einsbelastung greift jetzt ein Einsmoment an (siehe Abb. 3.3). Für die erste Einheits-

29 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 29 f 2 1 f 4 f 1 Balkenelement f 3 Abb. 3.3: Balkenelement mit einem Einsmoment an der Stelle. verformung unter Berücksichtigung der Randbedingungen lautet der Satz von Betti B(w, ϕ 1 ) =V ( ε) ϕ 1 ( ε) V () ϕ 1 () M( ε) ϕ 1( ε) V ϕ1 ( ε) w( ε) + M ϕ1 ( ε) w ( ε) V ( + ε) ϕ 1 ( + ε)+ M( + ε) ϕ 1( + ε) + V ϕ1 ( + ε) w( + ε) M ϕ1 ( + ε) w ( + ε) =. Die unterstrichenen Terme heben sich für ε gegenseitig auf. In den Termen tritt kein Sprung an der Stelle auf. Der Satz von Betti reduziert sich nun auf B(w, ϕ 1 ) = V () 1 M( ε) ϕ 1( ε)+m(+ε) ϕ 1(+ε). Die Grenzwertbildung für ε der Momententerme ergibt lim [ M( ε) ε ϕ 1( ε)+m(+ε) ϕ 1(+ε)] = ϕ 1()( M l ()+M r ()) = ϕ 1() 1. Für die erste Knotenkraft erhält man als Ergebnis f 1 = V () = ϕ 1(). Für die anderen Knotenkräfte, bei gleicher Vorgehensweise, erhält man die Ergebnisse f 2 = M() = ϕ 2() f 3 = V (l) = ϕ 3() f 4 = M() = ϕ 4(). Die Knotenkräfte berechnen sich demnach aus der zur aufgebrachten Belastung M() dualen Weggröße ϕ i() Knotenlasten für einen Knick von 1 Bringt man einen Knick von 1 (tan ϕ l + tan ϕ r = 1) auf einen Balken auf, wie in Abb. 3.4 zu sehen, ergeben sich auf die gleiche Weise wie vorher (Formulierung des Satzes von Betti) die Knotenkräfte in allgemeiner Schreibweise f i = M ϕi (). Es wird als Belastung ein Knick von 1 auf das Balkenelement aufgebracht. Die Knotenlasten berechnen sich aus der zur Belastung dualen Größe der Einheitsverformungen, in diesem Fall dem Moment an der Stelle.

30 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 3 f 2 f 4 f 1 '1' Balkenelement f 3 Abb. 3.4: Balkenelement mit einem Knick von 1 an der Stelle Knotenlasten für einen Versatz von 1 Als letztes verbleibt der Fall, dass für einen Versatz von 1, wie in Abb. 3.5 dargestellt, die äquivalenten Knotenkräfte berechnet werden sollen. Die Formulierung des Satzes f 2 1 f 1 f 3 f 4 Balkenelement Abb. 3.5: Balkenelement mit einem Versatz von 1 an der Stelle. von Betti liefert das Ergebnis f i = V ϕi (). Dass man die äquivalenten Knotenkräfte auf die hier skizzierte Weise erhält, steht in verallgemeinerter Form in [2]. Die Gleichung für beliebige Tragstrukturen, wie Balken, Scheiben, Platten oder Membranen, lautet f i = δ j (, y) ϕ i (y) dω y. (3.2) Ω Demnach wird für Flächentragwerke über das Gebiet Ω integriert. Setzt man für die Einsbelastungen das Dirac-Delta δ i ein, so etrahiert diese Dirac- Funktion die zu δ i duale Größe. Bei der Einzelkraft ist es die Durchbiegung an der Stelle, beim Einzelmoment die Verdrehung, beim Knick das Moment und beim Versatz die Querkraft an der Stelle. Das ist die Eigenschaft, die man dem δ i zuweist. Wenn man weiß, was als Ergebnis dastehen muss, ist das Dirac-Delta ein geeignetes Mittel, um auf das Ergebnis zu kommen. Man definiert, dass δ j i (y, ) w(y) dω y := i w j (). Ω Dabei zeigt das j an, in welche Richtung die Einzelbelastung gerichtet ist.

31 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 31 Die Knotenlasten der Einflussfunktion für das Moment an der Stelle erhält man dann, wenn man die Einheitsverformungen ϕ i mit δ 2 über das Gebiet integriert. Die Knotenlasten sind gerade das Moment der Einheitsverformung an der Stelle. Für Flächentragwerke kann die Gültigkeit der Gl. (3.2) hergeleitet werden, in dem man den Satz von Betti auf dem gelochten Gebiet formuliert. Es ist die gleiche Vorgehensweise, die in Kapitel 2.7 skizziert wurde. 3.2 Ein Beispiel aus der Balkenstatik Anhand eines einfachen Beispiels soll die Vorgehensweise zur Berechnung der Greenschen Funktionen (Einflussfunktionen) mit der FE-Technik verdeutlicht werden. p(y) M() l Abb. 3.6: An der Stelle soll das Moment M() ermittelt werden. Für den in Abb. 3.6 gezeigten Kragarm mit Dreiecksstreckenlast soll die Einflusslinie für das Moment M() bestimmt werden. M() = l G h 2(y, ) p(y) dy (3.3) Gesucht ist die Greensche Funktion, über die aus der Belastung p(y) das Moment an der Stelle bestimmt wird Bestimmung der Greenschen Funktion Über die Einheitsverformungen ϕ 1... ϕ 4 wird das Moment an der Stelle berechnet. Dieser Wert ist die zur Einheitsverformung (Absenkung oder Verdrehung) äquivalente Knotenkraft, also Vertikallast oder Moment. Aufgrund der Randbedingungen des gewählten Systems müssen die Einheitsverformungen ϕ 1 und ϕ 2 nicht berücksichtigt werden. Die verwendeten Einheitsverformungen ϕ 3 und ϕ 4 sind in Abb. 3.7 dargestellt. Die vertikale Knotenlast wird aus ϕ 3 bestimmt. ϕ 3 = 3 y2 l 2 2 y3 l 3

32 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 32 a) ' 3 1 b) ' 4 '1' Abb. 3.7: a) dritte Einheitsverformung, b) vierte Einheitsverformung des Balkens. ϕ 3 = 6 y l 2 6 y2 l 3 ϕ 3 = 6 l 2 12 y l 3 = M(y = ) = EI ϕ 3 = EI ( 12 6 ) l 3 l 2 Die Last am rechten Knoten ist der Wert des Momentes an der Stelle. ( 12 f 3 = M(y = ) = EI 6 ) l 3 l 2 (3.4) Das Moment am Knoten wird aus ϕ 4 bestimmt. ϕ 4 = y2 l ϕ 4 = 2 y l y3 l 2 3 y2 l 2 ϕ 4 = 2 l 6 y l 2 = M(y = ) = EI ϕ 4 = EI ( 6 l 2 ) 2 l Die zu der Einheitsverformung äquivalente Knotenkraft ist das Moment. Das Knotenmoment hat den Wert des Momentes an der Stelle. ( 6 f 4 = M(y = ) = EI l 2 ) 2 l (3.5) Beide Knotenlasten liegen in allgemeiner Form vor, sie sind in Abhängigkeit von ausgedrückt. Die Greensche Funktion ist die Biegelinie, die man erhält, wenn man das System mit den oben berechneten Knotenlasten belastet (siehe Abb. 3.8). Um die Verformungsfigur f 3 = V f 4 = M Abb. 3.8: Belastung zur Berechnung der Greenschen Funktion. zu ermitteln, wird nach der Methode der finiten Elemente vorgegangen. Es werden über die Gleichung K u = f (3.6)

33 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 33 die unbekannten Knotenverformungen u 3 und u 4 bestimmt. Die Biegelinie, d.h. die Greensche Funktion, erhält man aus G h 2(y, ) = 4 u i ϕ i (y, ). (3.7) i=1 Die Einheitsverformungen ϕ i werden mit den Knotenverformungen u i gewichtet. Als nächstes werden die für die Berechnung der Einflussfunktion G h 2 benötigten Knotenverformungen über die Gleichung K u = f bestimmt l 12 6 l u 1 f 1 EI 6 l 4 l 2 6 l 2 l 2 u 2 l l 12 6 l = f 2 6 l 2 l 2 6 l 4 l 2 u 3 u 4 Die erste und zweite Zeile kann gestrichen werden, da dort die Verformungen u 1 und u 2 bekannt sind; Sie sind aufgrund der Lagerbedingungen Null (u 1 = u 2 = ). Daraus ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, den gesuchten Knotenverformungen u 3 und u 4. Die Knotenkräfte f 3 und f 4 sind die aufgebrachten Belastungen V und M. Die erste Gleichung lautet: EI l 3 (12 u l u 4 ) = EI ( 12 l 3 6 l 2 ) l 3 6 EI f 3 f 4 2 u 3 + l u 4 = 2 6 l (3.8) Die zweite Gleichung lautet: EI l 3 (6 l u l 2 u 4 ) = EI ( 6 l 2 2 l ) l 3 2 EI 3 l u l 2 u 4 = 3 l l (3.9) Die Gln. (3.8) und (3.9) ergeben dann für u 3 und u 4 u 3 = l (3.1) u 4 = 1 (3.11) Wie oben schon beschrieben, wurden mit Hilfe der Gl. (3.6) die Knotenverformungen bestimmt, die in die Gl. (3.7) eingesetzt die gesuchte Greensche Funktion ergeben. ( ) 3y G h 2 2(y, ) = ( l) 2y3 + y2 y3 l 2 l 3 l l 2 = 3 y2 2 y3 3 y2 + 2 y3 ( l 2 l 3 l l 2 3 y 2 = 2 ) y3 2 y2 l 2 l 3 l + y2 l y3 l 2 + y3 l 2 (3.12)

34 3 EINFLUSSFUNKTIONEN MIT DER FE-METHODE 34 Um die Greensche Funktion zu erhalten wurde bis jetzt nur das statische System, nicht aber die Belastung des Systems berücksichtigt. Mit dieser Greenschen Funktion kann man für das gegebene System (siehe Abb. 3.6) mit jeder beliebigen Belastungsfunktion an jeder Stelle das Moment berechnen Berechnung des Momentenverlaufs M() Im Folgenden soll für die Dreiecksbelastung die Momentengleichung aus der Greenschen Funktion entwickelt werden. Die Belastungsfunktion für das System in Abb. 3.6 lautet p(y) = p p y l mit p = p(y = ). Es wird in die Gl. (3.3) eingesetzt. l M() = G h 2(y, ) p(y) dy l [( ( 3 y 2 = 2 ) y3 2 y2 l 2 l 3 l l [ ( 3 = p l 2 ) y l ( 2 l + 1 ) ] y 4 dy 4 l 3 [( = p l 2 ) ( y l [( 2 = p l 2 ) l l 2 = p M() = 3 l p 2 7 l2 p 6 + y3 l 2 ( 2 l l l l 2 ( 5 4 l l 2 (l 2 l2 3 5 l l l 5 l2 5 ) ( p p y ) ] dy l ) ( 3 y 3 l 2 3 l 2 ) ( y 4 ) l 4 ) 2 5 l l 3 ( 2 5 l l 3 ) y 3 ) ] l y 5 ) ] l 5 (3.13) Der Momentenverlauf für l = 1 und p = 1 ist in Abb. 3.9 dargestellt. Der eakte Momentenverlauf ist ebenfalls eingezeichnet. Das FE-Programm hat mit seinen Mitteln den Momentenverlauf für den Kragarm mit einem Element dargestellt. Das Werkzeug der FE-Rechnung sind die Einheitsverformungen, für den Balken die verwendeten Einheitsverformungen Überprüfen der Greenschen Funktion Eine Möglichkeit die gewonnene Einflussfunktion auf ihre Richtigkeit zu überprüfen ist, die Randwerte der FE-Einflussfunktion zu berechnen und mit denen der eakten Einflussfunktion zu vergleichen. Die Randwerte der FE-Einflussfunktion müssen mit

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