Thema für eine Diplomarbeit Gemischte Finite-Elemente-Methoden für konvektionsdominante elliptische Randwertprobleme

Transkript

1 Gemischte Finite-Elemente-Methoden für konvektionsdominante elliptische Randwertprobleme Ziel: Numerische Diskretisierung und Lösung des elliptischen Randwertproblems div(a(x) u) + b(x)u = f in Ω, u = u D auf Ω sowie Beweis von Fehlerabschätzungen für die Lösungen. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden Gemischte Formulierung des elliptischen Randwertproblems sowie Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung Diskretisierung mittels gemischten Finite Elementen Beweis von Fehlerabschätzungen für die Lösung Diskretisierung und numerische Lösung des Drift-Diffusionsmodells für Halbleiter für gegebenes elektrostatisches Potential und gegebene Löcherdichte [1] L. D. Marini, P. Pietra: An abstract theory for mixed approximations of second order elliptic equations. Mat. Aplic. Comp. 8 (1989), [2] L. D. Marini and P. Pietra: New mixed finite element schemes for current continuity equations. COMPEL 9 (1990), [3] A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements. Springer, New York, Ansprechpartner: Stefan Holst

2 Numerische Lösung der Drift-Diffusionsgleichungen für Halbleiter mit feldabhängiger Mobilität Ziel: Numerische Diskretierung der stationären, eindimensionalen Drift-Diffusionsgleichungen für Halbleiter mit dem Scharfetter-Gummel-Schema und Simulation einer ballistischen Diode. Die Mobilität hängt vom elektrischen Feld ab. Die Gleichungen werden aus den Energie-Transportgleichungen hergeleitet. Vorkenntnisse: Numerik III, ideal: Modellierung von Halbleitern. Herleitung der Drift-Diffusionsgleichungen aus den Energie-Transportgleichungen mittels Chapman-Enskog-Entwicklung für parabolische Bandstrukturen Numerische Diskretisierung der stationären, eindimensionalen Drift-Diffusionsgleichungen mit dem Scharfetter-Gummel-Schema und Gummel-Iteration Simulation einer ballistischen Diode und Vergleich mit dem Fall konstanter Mobilität Nach Wunsch: Implementierung nichtparabolischer Bandstrukturen [1] P. Degond, A. Jüngel: High-field approximation of the energy-transport model for semiconductors with non-parabolic band structure. ZAMP 52 (2001), [2] A. Jüngel: Mathematical Modeling of Semiconductor Devices, Kapitel 6. Vorlesungskript, [3] U. Ravaioli: Review of conventional semiconductor device models based on partial differential equations. Vorlesungsskript, SDE/PDF/ch2.pdf, Ansprechpartner: Stefan Krause

3 Gemischte Finite-Elemente-Methode für ein bipolares Energie-Transport-Modell für Halbleiter Ziel: Numerische Diskretierung der stationären, eindimensionalen bipolaren Energie-Transport-Gleichungen für Halbleiter, Simulation von Gleichrichterdioden und numerische Bestimmung von Strom-Spannungskennlinien. Vorkenntnisse: Numerik III, ideal: Modellierung von Halbleitern. Einordnung der gemischten Finite-Elemente-Methode für konvektionsdominante Gleichungen Formulierung der diskreten Energie-Transport-Gleichungen mittels gemischten Finiten Elementen in den dualen Entropievariablen Statische Kondensation der entstehenden Gleichungen und Formulierung des nichtlinearen Problems Numerische Lösung des nichtlinearen Problems mittels Newton- bzw. Gummel-Iterationsverfahren Numerische Simulation einer Gleichrichterdiode : Nach Wunsch: Vergleich mit den Lösungen der bipolaren Drift-Diffusionsgleichungen [1] S. Gadau, A. Jüngel: A mixed finite-element scheme of an energy-transport model for semiconductors using dual entropy variables. Preprint, [2] A. Jüngel: Mathematical Modeling of Semiconductor Devices, Kapitel 6. Vorlesungskript, [3] S. Brenner, L. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer, New York, [4] A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements. Springer, New York, Ansprechpartner: Stephan Gadau

4 Die unstetige Petrov-Galerkin-Methode für elliptische Randertprobleme Ziel: Diskretisierung des elliptischen Randwertproblems u = f in Ω, u = u D auf Γ D, u u = u N auf Γ N, wobei Γ D Γ N der Rand von Ω sei, mit Hilfe der unstetigen Petrov-Galerkin-Methode und Beweis von Fehlerabschätzungen. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden Diskretisierung eines elliptischen Randwertproblems mit der unstetigen Petrov-Galerkin-Methode; Vergleich mit anderen gemischten Finite-Elemente-Methoden Existenz und Eindeutigkeit einer diskreten Lösung Beweis von Fehlerabschätzungen für die Lösung Numerische Beispiele in ein bzw. zwei Raumdimensionen, u.a. zur Berechnung eines elektrostatischen Potentials bei gegebener Ladungsdichte Eventuell: numerische Lösung eines linearen konvektionsdominanten Problems [1] P. Causin: Mixed-hybrid Galerkin and Petrov-Galerkin finite element formulations in fluid mechanics. Dissertation, Politecnico di Milano, Mailand, Italien, [2] C. Bottasso, S. Micheletti, R. Sacco: The discontinuous Petrov-Galerkin method for elliptic problems. Comp. Meth. Appl. Mech. Engin. 191 (2002), [3] A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements. Springer, New York, Ansprechpartner: Markus Brunk, (Stefan Holst)

5 Analysis und Numerik für eine nichtlineare parabolische Gleichung vierter Ordnung Ziel: Existenz zeitlich globaler Lösungen der nichtlinearen parabolischen Gleichung vierter Ordnung n t + (n(ln n) xx ) xx (f(n)) xx = 0, x (0, 1), t > 0, n(0,t) = n(1,t) = 1, n x (0,t) = n x (1,t) = 0, n(x, 0) = n I (x),x (0, 1), die den Teilchentransport in Quantenhalbleitern mit verschwindendem elektrischen Feld modelliert. Die Funktion n(x, t) stellt die Teilchendichte dar. Die Funktion f(n) ist eine monoton wachsende Funktion, z.b. f(n) = lnn oder f(n) = n α, α > 0. Numerische Lösung dieser Gleichung mit der Methode der Finiten Differenzen. Vorkenntnisse: partielle Differentialgleichungen oder Funktionalanalysis, ideal: Numerik III. Existenz zeitlich globaler Lösungen der eindimensionalen Gleichungen mit dem Fixpunktsatz von Schauder Nach Wunsch: analytische Untersuchung des Langzeitverhaltens Numerische Diskretisierung mit Finiten Differenzen und numerische Untersuchung des Langzeitverhaltens der Lösungen [1] M. Gualdani, A. Jüngel, G. Toscani: A nonlinear fourth-order parabolic equation with non-homogeneous boundary conditions. Preprint,, Germany, [3] A. Jüngel: A. Jüngel: Quasi-hydrodynamic Semiconductor Equations. Birkhäuser, Basel, [3] A. Jüngel and R. Pinnau: Global non-negative solutions of a nonlinear fourth-oder parabolic equation for quantum systems. SIAM J. Math. Anal. 32 (2000), Ansprechpartner: Maria Gualdani

6 Numerische Diskretisierung von Schrödinger-Poisson-Systemen Ziel: Numerische Lösung von stationären mixed-state Schrödinger-Gleichungen, gekoppelt mit der Poisson-Gleichung, mit Lent-Kirkner-Randbedingungen. Simulation von eindimensionalen Tunneldioden und numerische Berechnung von Strom-Spannungskennlinien. Vorkenntnisse: Numerik III, ideal: Modellierung von Halbleitern. Numerische Diskretisierung der stationären, eindimensionalen Schrödinger-Gleichungen mit Finiten Differenzen und Gummel-Iteration Simulation von Tunneldioden und Berechnung der Strom-Spannungskennlinien für verschiedene Temperaturen und effektive Massen Nach Wunsch: Diskretisierung der transienten Gleichungen oder Existenz von Lösungen der stationären Gleichungen [1] N. Ben Abdallah, P. Degond, P. Markowich: On a one-dimensional Schrödinger-Poisson scattering model. ZAMP 48 (1997), [2] A. Jüngel: Transport Equations for Semiconductors, Kapitel 5.4. Vorlesungsskript, [3] O. Pinaud: Transient simulations of a resonant tunneling diode. J. Appl. Phys. 92 (2002), Ansprechpartner: Stefan Holst

7 Fehlerabschätzungen für unstetige Galerkin-Approximationen elliptischer Gleichungen Ziel: Diskretisierung der Poisson-Gleichung u = f in Ω, u = g auf Ω, mittels der unstetigen Galerkin-Methode, Beweis von Fehlerabschätzungen und Vergleich mit numerisch erzielten Konvergenzraten. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden. Formulierung einer zweidimensionalen Poisson-Gleichung mittels der unstetigen Galerkin-Methode Beweis von Fehlerabschätzungen in Sobolev-ähnlichen Normen Implementierung der Methode und numerische Lösung einer Poisson-Gleichung (in einer oder zwei Dimensionen) Berechnung der numerischen Konvergenzraten und Vergleich mit den theoretischen Resultaten [1] F. Brezzi, G. Manzini, D. Marini, P. Pietra, A. Russo: Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems. Numer. Methods Part. Diff. Eqs. 16 (2000), [2] B. Cockburn: Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems. In: T. Barth, H. Deconink (eds.), High-Order Methods for Computational Physics, Springer (1999), Ansprechpartner: Stefan Holst

8 Diskrete Maximum- und Minimumprinzipien für Finite-Elemente-Approximationen nichtmonotoner elliptischer Gleichungen Ziel: Beweis diskreter Maximum- und Minimumprinzipien für elliptische Gleichungen vom Typ d i (a ij (x) j u) = f in Ω i,j=1 mit Dirichlet-Neumann-Randbedingungen mit Hilfe der Abschneidemethode von Stampacchia und numerische Tests. Vorkenntnisse: Numerik III, Finite-Elemente-Methoden. Beweis der Maximum- und Minimumprinzipien mit Hilfe der Abschneidemethode von Stampacchia Vergleich der Voraussetzungen im diskreten Fall mit dem kontinuierlichen Fall Numerische Diskretisierung des Problems n = n(ln n + 1) in Ω, n = 1 on Ω in einer oder zwei Dimensionen und Vergleich mit den theoretischen Resultaten. (Das Beispiel modelliert die Teilchendichte eines stationären Quantenhalbleiters in einer vereinfachten Situation) [1] P. Ciarlet and J.L. Lions: Handbook of Numerical Analysis, Finite Element Methods (Part 1). North-Holland, Amsterdam, [2] A. Jüngel, A. Unterreiter: Discrete minimum and maximum principles for finite element approximations of non-monotone elliptic equations. Erscheint in Numer. Math., [3] G. Troianiello: Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems. Plenum Press, New York, Ansprechpartner: Markus Brunk