Tunneleekt und Tunnelhamiltonian. Lukas Ogrodowski. Institut für Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Quantendynamik in mesoskopischen Systemen

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1 Tunneleekt und Tunnelhamiltonian Lukas Ogrodowski Institut für Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Quantendynamik in mesoskopischen Systemen

2 Gliederung 1 Motivation 2 Tunneleekt 3 Tunnelhamiltonian 4 Berechnung des Stroms Herleitung Veranschaulichung der Ergebnisse

3 Motivation Motivation Beschreibung von Transportphänomenen in mesoskopischen Systemen Berechnung von Strömen Untersuchung des Einusses der Wechselwirkungen auf Ströme

4 Motivation Quantendots

5 Tunneleekt Schrödinger Gl. h2 d 2 Φ(x) + 2 m dx 2 V 0 Φ(x) = EΦ(x) Φ I (x) = e ikx + R e ikx Φ II (x) = α e κx + β e κx mit κ = Φ III (x) = T e ikx 2 m h 2 (V 0 E) T (E) = e 2ika 2 kκ 2 kκ cosh(2 κa) i(k 2 κ 2 )sinh(2 κa)

6 Tunnelhamiltonian Modellierung des Hamiltonians H = H C + H T + H cen

7 Tunnelhamiltonian Struktur der einzelnen Teile H c = ε kα c kα c kα k,α Kontakte keine WW α L, R f (ε kα ) = 1 exp[(ε kα µ α )/kt ]+1 Nicht - Gleichgewicht - System

8 Tunnelhamiltonian H T = [V kα,n c kα d n + h.c.] k,α,n Kopplung zwischen Kontakten und WW-Zone eigentlicher Tunnelhamiltonian V kα,n abhängig von der Tunnelwahscheinlichkeit

9 Tunnelhamiltonian H cen Modelle für verschiedene Wechselwirkungen 1 H cen = ε n d n d n n ohne WW 2 H cen = σ ε 0 d σ d σ + U n n Elektron - Elektron - WW U : Coulombabstoÿung nσ : Besetzungszahloperator der Spinzustände 3 H cen = ε 0 d d + d d M q [a + q a q] q Elektronen - Phononen - WW H ph = hω q a q a q q obwohl nicht exakt lösbar interessant wg. der Auswirkungen der WW auf den Strom

10 Berechnung des Stroms Herleitung Gliederung 1 Motivation 2 Tunneleekt 3 Tunnelhamiltonian 4 Berechnung des Stroms Herleitung Veranschaulichung der Ergebnisse

11 Berechnung des Stroms Herleitung Ansatz J L = e N L = iē h [H, N L] mit N L = c kα c kα und H = H c + H T + H cen k,α Hier: nur für ein Energienievau sowie ohne WW, d.h. H cen = ε 0 d d J L = iē h k,α[v kα c kα d V kα d c kα ]

12 Berechnung des Stroms Herleitung Man benötigt nun einen Ausdruck für c kα d Benutzung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung i h d dt (c kα d) = [c kα d, H] Durch Integration und Einsetzen folgt

13 Berechnung des Stroms Herleitung Ergebnis Für ein Energieniveau ohne WW gilt somit J = ē h dε Γ 2 2π [ε ε 0 ] 2 + Γ [f L(ε) f R (ε)] 2 wobei Γ die Breite der Energieniveaus angibt und f (ε) die jeweiligen Fermifunktionen sind Übergang von diskreter zu kontinuierlicher Darstellung V kα,n Γ(ε)

14 Berechnung des Stroms Herleitung Allgemeiner Fall J = iē h dε 2π [f L(ε) f R (ε)]t (ε) mit T (ε) = Tr{ ΓL (ε)γ R (ε) Γ L (ε)+γ R (ε) [G r (ε) G a (ε)]} wobei hier die Γ's und die Greenfunktionen Matrizen darstellen Die Dierenz der beiden Greensfunktionen ist im wesentlichen die Zustandsdichte Die Greensfunktionen sind aber nicht immer einfach zu berechnen, da die WW in ihnen stecken Dennoch bildet diese Gleichung ein Startpunkt für viele Berechnungen

15 Berechnung des Stroms Herleitung Anmerkungen Trotz der Ähnlichkeit mit der Landauer Formel sind die Transmissionskoezienten im allgemeinen Fall nicht gleich insbesondere dann wenn inelastische Streuung auftritt Mit einer nicht-ww Zone ist T (ε) der elastische Transmissionskoezient Bezug zur Landauer-Formel Die Beziehungen für den Strom sind in einfachen Fällen auch über die Mastergleichungen ableitbar

16 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse Gliederung 1 Motivation 2 Tunneleekt 3 Tunnelhamiltonian 4 Berechnung des Stroms Herleitung Veranschaulichung der Ergebnisse

17 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse Strom sollte trotz zunehmender Spannung nicht mehr ansteigen Sättigung

18 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse Strom sollte trotz zunehmender Spannung nicht mehr ansteigen Sättigung

19 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse Sättigung

20 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse ε 0

21 Berechnung des Stroms Veranschaulichung der Ergebnisse

22 Zusammenfassung Zusammenfassung Mit dem hier vorgestellten Hamiltonian H = H C + H T + H cen lassen sich Transportprozesse im Nicht-Gleichgewicht berechnen Für den einfachen 1-Niveau Fall erhileten wir für den Strom J = ē dε Γ 2 h 2π [ε ε 0 ] 2 + Γ [f L(ε) f R (ε)] 2 Das Ohmsche Gesetz gilt hier nicht mehr Bei mehreren Energieniveaus Strom - Quantisierung

23 Zusammenfassung Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

24 Quellen H. Haug and A. P. Jauho. Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors. Springer Solid-State Sciences, G. D. Mahan Many-Particle Physics. Plenum, New York, H. Bruus and K. Flensberg. Many-body quantum theory in condensed matter physics Prof. Dr. Andreas Komnik. Skript: Mesoskopische Physik. Universität Heidelberg, WS 2009/2010