Numerische Integration des Schwarzschild Problems mit Hilfe von Lie-Reihen

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1 Institut für Erdmessung Numerische Integration des Schwarzschild Problems mit Hilfe von Lie-Reihen Institut für Erdmessung Leibniz Universität Hannover Liliane Biskupek, Enrico Mai

2 Inhalt des Vortrags Einleitung Theoretischer Hintergrund Lie-Reihen Ansatz Relativistisches Zwei-Körper-Problem Berechnung Zusammenfassung und weiteres Vorgehen Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 2

3 Einleitung Genauigkeit der Entfernungsmessung: 10 nm Berücksichtigung relativistischer Effekte bei Bahnbestimmung Signalausbreitung Zeitbestimmung Post-Newton sche Approxinationen nicht ausreichend Analytische Formulierung Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 3

4 Einleitung Berechnung von Satellitenbahnen heute meist numerisch Vorteile: hohe Genauigkeiten für kurze und mittlere Bahnbögen; einfache Erweiterung um zusätzliche Kräfte möglich Nachteil: Lösungen vom Ausgangsproblem abhängig und nicht allgemeingültig Analytische Verfahren zur Orbitintegration Vorteil: direkte Einblick in physikalischen Eigenschaften und Zusammenhänge, da spektral Verknüpfung der Vorteile semi-analytische Integration über Lie-Reihen Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 4

5 Lie-Reihen Ansatz Hamilton-Funktion H muss bekannt sein mehr-körper-problem kann über gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) 2. Ordnung beschrieben werden: Mẍ + Γẋ + Φx = α, mit Position der Körper x, Systemmasse M, geschwindigkeitsabhängiger Dissipation Γ, Nicht-Linearität Φ und Inhomogenität α; alle Parameter können von Zeit und Ort abhängig sein Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 5

6 Lie-Reihen Ansatz Kanonische Gleichungen für Störungsrechnung: dx dt = H p = ẋ dp dt = H x = ṗ Hamilton-Funktion: dh = i ( H dx i + H ) dp i + H x i p i t dt für ungedämpfte Systeme (Γ = 0), ohne äußere Anregungskräfte (α = 0) und Zeit-unabhängig ( H/ t = 0), vereinfacht sich Differentialgleichung und Hamilton-Funktion zu: H(x, p) = 1 2m s p T p + m s V (x) Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 6

7 Lie-Reihen Ansatz Taylor-Reihenentwicklung mit Schrittweite t: x (t 0 + t) = k=0 t k k! f k t0 p (t 0 + t) = k=0 t k k! Koeffizienten f k und g k analytisch über Poisson-Klammern f k+1 = f k t + {f k, H} = f k t + f k H x p f k H p x g k+1 = g k t + {g k, H} = g k t + g k H x p g k H p x g k t0 Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 7

8 Relativistisches Zwei-Körper-Problem Schwarzschild-Lösung als größter relativistischer Effekt ( µ m s r + m s r 3 r = m µ 4µ s c 2 r 3 r ( ṙ ṙ ) r + 4 ( r ṙ ) ) ṙ r Masse des Satelliten m s = 1, µ = GM, Lichtgeschwindigkeit c mit der Hamilton-Funktion: (( H = pt p m sµ 1 p T p ) 2 2m s r c 2 8ms 3 m ) sµ 2 2r 2 + 3µ 2m s r pt p Poisson-Klammern Lie-Reihen-Koeffizienten Satellitenorbit Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 8

9 Relativistisches Zwei-Körper-Problem H nicht explizit zeitabhängig für kmax = 0 f 0 = r g 0 = p für kmax = 1 f 1 = 1 ( 1 3µ ) m s c 2 r pt p 2c 2 ms 2 p g 1 = m sµ r 3 ( 1 µ ) c 2 r + 3pT p 2c 2 ms 2 r Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 9

10 Relativistisches Zwei-Körper-Problem kmax = 2 f 2 = µ r 3 r + 1 ( µ 4µ c 2 r 3 r r 1 m 2 s ( p T p ) r + 4 m 2 s ( pp T ) ) r g 2 = µ r 3 p + 3µ ( rr T ) { r 5 p + 1 µ 3µ ( rp T ) c 2 r 3 r 3 r [( + 13µ ) r 3 + 3pT p (rr T ) ( ] } 4µ ms 2 r 2 + pt p )I r ms 2 3 p mit steigendem Grad k steigt Komplexität Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 10

11 Berechnung mit Mathematica Lie-Reihen-Koeffizienten kostet viel Rechenzeit Test zum Parallelen Rechnen verschiedene kmax t = 100s, t end = 10000s Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 11

12 Berechnung mit Mathematica Lie-Reihen-Koeffizienten kostet viel Rechenzeit Test zum Parallelen Rechnen verschiedene kmax t = 100s, t end = 10000s Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 11

13 Berechnung mit Mathematica Differenz kmax = 4 und kmax = 3 Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 12

14 Berechnung mit Mathematica Differenz kmax = 5 und kmax = 4 Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 13

15 Zusammenfassung und weiteres Vorgehen Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des Schwarzschild-Problems erste Untersuchungen bis kmax = 5 Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 14

16 Zusammenfassung und weiteres Vorgehen Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des Schwarzschild-Problems erste Untersuchungen bis kmax = 5 Wie hoch muss kmax sein? Rechenzeit Genauigkeit zum Vergleich: Analytische Lösung des Schwarzschild-Problems Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 14

17 Zusammenfassung und weiteres Vorgehen Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des Schwarzschild-Problems erste Untersuchungen bis kmax = 5 Wie hoch muss kmax sein? Rechenzeit Genauigkeit zum Vergleich: Analytische Lösung des Schwarzschild-Problems Optimierung der Berechnung, z.b. über Rekursionsformeln Berechnung täglicher, monatlichen, jährlicher Bahnbögen Grundgerüst Untersuchung relativistischer Effekte auf verschiedene Satellitenkonstellationen Liliane Biskupek, Enrico Mai Folie 14

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