Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)"

Transkript

1 Freie Universität Berlin WS 6/7 Fachbereich Physik 5..6 Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke Übungsblatt : Bayesche Formel, charakteristische Funktionen und statistische Unabhängigkeit Aufgabe ( Punkte Gegeben seien 5 Urnen folgenden Inhalts: Urnen vom Inhalt A mit je weißen und 3 schwarzen Kugeln, Urnen von Inhalt A mit je einer weißen Kugel und 4 schwarzen Kugeln, Urne mit dem Inhalt A 3 mit 4 weißen Kugeln und einer schwarzen Kugel. Aus einer willkürlich ausgewählten Urne werde eine Kugel herausgenommen. Sie sei weiß. Wie gross ist die W.keit dafür, dass die herausgegriffene Kugel aus der Urne vom Inhalt A 3 stammt? Aufgabe ( Punkte In der Vorlesung wurden neben der charakteristischen Funktion einer Wahrscheinlichkeitsdichte w(x G(k dx w(xe ikx (ik n x n n! auch die durch lng(k n (ik n x n n! definierten Kumulanten x n eingeführt. Berechen Sie die Kumulanten bis zur vierten Ordnung als Funktion der Momente x n! n Aufgabe 3 (6 Punkte Berechnen Sie die charakteristische Funktion für die Binomial- und die Gaussverteilung. Berechnen Sie weiterhin Mittelwert und Varianz für beide Verteilungen (a mit Hilfe der charakteristischen Funktion. (b mit Hilfe der Definition für die Momente. Aufgabe 4 ( Punkte ϕ ist ein zufälliger Phasenwinkel, dessen W.keitsverteilung im Intervall [, π] die Gleichverteilung sein soll. Weiterhin sei x cosϕ, y sin ϕ. Berechnen Sie die Verbundw.keitsverteilung p xy (x, y, die andverteilungen p x (x und p y (y sowie die Kovarianz (x x (y y ϕ. Sind die beiden Variablen x und y unabhängig? Abgabetermin: Mittwoch,..6 vor Beginn der Vorlesung.

2 Lösungen Aufgabe Sei B das Ereignis, dass die gezogene Kugel weiss ist. Weiterhin ist P(A /5 P(B/A /5 P(A /5 P(B/A /5 P(A 3 /5 P(B/A 3 4/5 so dass die gesuchte W.keit P(B/A 3 gemäss der Bayeschen Formel für a posteriori W.keiten gleich ist. Aufgabe P(A 3 /B P(B/A 3 P(A 3 3 i P(B/A ip(a i 5 Analog den Momenten x n, die man aus den Ableitungen der charakteristischen Funktion G(k nach ik an der Stelle k bekommt µ n x n dn d(ik n G(k k, ( erhält man die Kumulanten aus den Ableitungen von lng(k nach ik an der Stelle k : κ n x n Insbsondere lassen sich die Kumulanten gemäss κ n dn d(ik n G(k dn d(ik n lng(k k. d d(ik G(k k iterativ aus den Momenten berechnen. Für die folgenden echnungen setzen wir d/d(ikg(k G (k, d /d(ik G(k G (k, usw. Für die erste Kumulante erhalten wir κ d d(ik lng(k k G( G (k k µ. Hier haben wir G( und die Definition der charakteristischen Funktion ( als momentengenerierende Funktion benutzt. Analog erhält man für die höheren Kumulanten: κ { } d d(ik G(k G (k k G ( [G (] G( G ( κ µ µ. κ 3 d { } d(ik G(k G (k k G 3 ( [G ] 3 3 G ( [G ]G G( G ( κ 3 µ 3 3µ µ µ 3.

3 κ 4 d 3 { } d(ik 3 G(k G (k k ( 6 G 4 ( [G ] 4 G 3 ( [G (] G ( 3 G ( [G (] 4 G ( G (G ( G( G4 ( κ 4 µ 4 4µ µ 3 3µ µ µ 6µ 4. Aufgabe 3 Zunächst zu den charakteristischen Funktionen: Binomialverteilung p n G(k ( N p n ( p N n (3 n N ( N e ikn p n ( p N n n n N n ( N (pe ik n ( p N n n G(k (pe ik p N. Gaussverteilung p(x dx πσ e (x µ σ G(k dx πσ eikx e (x µ σ Quadratische Ergänzung liefert G(k e ikµ e k σ dx [(x (µikσ ] πσ e σ G(k e ikµ e k σ ikσ ikσ dy y e σ, πσ wo wir y x (µ ikσ gesetzt haben, was den Integrationsweg in die komplexe y-ebene auf eine zur rellen Achse parallele Geraden durch den Punkt y ikσ verschiebt. Da der Integrand f(y y e σ πσ eine in der gesamten komplexen Ebene holomorphe Funktion ist, gilt der Cauchysche Integralsatz, wonach das ingintegral einer holomorphen Funktion über einen geschlossenen einfach zusammenhängenden Weg gleich Null ist, insbesondere gilt (siehe Abbildung : 3 4 { ikσ lim ikσ ikσ ikσ } f(ydy, (4 sodass der Integrationsweg wieder zurück auf die relle Achse verschoben werden darf, falls die Integrale über die Teilstücke und 4 im Limes verschwinden. Diese lassen sich aber

4 Im(y 4 3 e(y ikσ Abbildung : Integrationsweg in der komplexen y-ebene. einfach abschätzen, z.b. findet man lim ikσ y e σ dy lim πσ kσ πσ (it e σ i dt Das Integral ist aber beschränkt, denn < i πσ e it t σ dt kσ e σ lim kσ πσ kσ ie it σ i πσ e it t σ e t σ dt. max t [ kσ,] e t σ C dt sodass lim ikσ C πσ kσ dt y e σ dy πσ Ckσ πσ <, Analog lässt sich das Integral über den Weg 4 abschätzen, sodaß wir schliesslich ikσ ikσ dy y e σ πσ dy πσ und damit für die charakteristische Funktion der Gaussverteilung G(k e ikµ e k σ πσ e ikµ e k σ πσ πσ e y σ dye y σ (5 G(k e ikµ e k σ erhalten.

5 (3a Wir berechnen nun Mittelwert und Varianz der beiden Verteilungen mit Hilfe der charakteristischen Funktionen (4 und (6. Für die folgenden echnungen setzen wir ik s und bezeichnen Ableitungen nach s mit. Binomialverteilung Für die ersten beiden Momente erhalten wir µ G (s N(pe s p N pe s s Np µ G (s N(N (pe s p N (pe s s N(pe s p N pe s s N(N p Np, soadss wir für die Varianz σ µ µ N p Np Np (Np Np( p bekommen. Gaussverteilung Mit der charakteristischen Funktion für die Gaussverteilung G(k G(ik s e ikµ e (ik σ e sµ e s σ erhalten wir folgende Ausdrücke für die ersten beiden Momente µ G (s (µ sσ e sµ e s σ s µ µ G (s ( µ(µ sσ σ sσ (µ sσ e sµ e s σ s µ σ, sodass die Varianz wird. ( x µ µ σ (3b Wir kommen nun zur Berechnung von Mittelwert und Varianz mit Hilfe der Definition für die Momente.

6 Binomialverteilung n (n n n m N N! n n!(n n! pn ( p N n n N n N m N! (n!(n n! pn ( p N n N! m!(n (m! pm ( p N (m N (N! Np m!(n m! pm ( p (N m Np, m da für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Bernoulli Experiments mit N Versuchen gilt: N m (N! m!(n m! pm ( p (N m N m ( N m (p p N p m ( p (N m n (n n (n m N n n n N! n!(n n! pn ( p N n N N! N n(n n!(n n! pn ( p N n N! n n!(n n! pn ( p N n n N N! n(n n!(n n! pn ( p N n Np n N n N m N! (n!(n n! pn ( p N n Np N! m!(n m! pm ( p N m Np N N(N p m N(N p Np, (N! m!(n m! pm ( p N m Np da für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Bernoulli Experiments mit N Versuchen ebenfalls gilt: N m (N! m!(n m! pm ( p (N m N m ( N m (p p N. p m ( p (N m

7 Gaussverteilung µ dx x (x µ e σ πσ yx µ µ µ πσ dy ye y σ } {{ } µ πσ dy e y σ πσ µ yx µ dx x (x µ e σ πσ y y µ dy e σ πσ πσ σ 3 d πσ dσ dy e y σ πσ µ dy ye y σ } {{ } µ πσ dy e y σ πσ µ σ µ. Aufgabe 4 Zuerst berechnen wir die W.keit p(x: p(x δ(x cosϕ ϕ π π dϕ δ(x cosϕ π π ( dϕ x (ϕ δ(ϕ arccosx x (ϕ δ(π ϕ arccosx (6 π π ( dϕ δ(ϕ arccosx δ(π ϕ arccosx sin(ϕ ( π sin(arccos x x p(x π x, sin(π arccos x sin(arccos x wobei wir in (6 benutzt haben, dass der Arkuskosinus im interessierenden Intervall ϕ π zwei Zweige besitzt: { ϕ arccosx x cosϕ x and ϕ π. π ϕ arccosx Eine analoge echnung für p(y liefert p(y /(π y.

8 Die Verbundw.keit p(x, y errechnet sich wiefolgt: p(x, y δ(x cosϕδ(y sinϕ ϕ π π π π π dϕ δ(x cosϕδ(y sin ϕ π dϕ δ(x cosϕδ(y sinϕ d(r δ(r } {{ } π rdr δ(r dϕ δ(x r cosϕδ(y r sin ϕ dξ dη δ(ξ η δ(x ξδ(y η p(x, y π δ(x y. Hier haben wir im letzten Schritt von polar- auf kartesische Koordinaten transformiert und benutzt, dass r ist. Zur Berechnung der Kovarianz brauchen wir die Mittelwerte von x und y. Diese ergeben sich zu x xdx π x sodass wir für die Kovarianz zwischen x und y (x x (y y ϕ xy ϕ π ydy π y y, π dϕcosϕsin ϕ erhalten. Hieraus folgt, dass sind x und y nicht korrelliert sind. Darüberhinaus sind x und y aber nicht unabhängig, da p(x, y p(xp(y. Dieses Ergebnis war in gewissem Sinne zu erwarten, da x und y über eine Koordinatentransformation in Beziehung stehen und deshalb auch nicht unabhängig sein können. Daß x und y nicht korreliert sind, bedeutet, daß beide Variablen im Mittel nicht linear abhängig sind, denn Korrelationen geben gerade die lineare Abängigkeit zweier Zufallsgrößen an. Dieser Umstand kommt auch nicht ganz unerwartet, da x und y ja über eine nichtlienare Koordinatentransformation verknüpft sind.

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp Datenanalyse (PHY31) Herbstsemester 015 Olaf Steinkamp 36-J- olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sommersemester 2016

Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sommersemester 2016 Prof. Dr. Christoph Karg 5.7.2016 Hochschule Aalen Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Sommersemester 2016 Name: Unterschrift: Klausurergebnis Aufgabe 1 (15 Punkte) Aufgabe 3

Mehr

19.3 Oberflächenintegrale

19.3 Oberflächenintegrale 19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,

Mehr

12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB

12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 1 5.7.21 12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 39 Divergenz Berechnen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder: xyz + 2xy F 1

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

4. Differentialgleichungen

4. Differentialgleichungen 4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 10.11.2011 Seite 1 Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 9: Mehrdimensionale Integrale Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 9. Mehrdim. Int. 1 / 39 1 Doppelintegrale 2 Prof.

Mehr

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung

Mehr

e i(π t) ( ie i(π t) ) dt dt = i 2i t=0

e i(π t) ( ie i(π t) ) dt dt = i 2i t=0 UNIVESITÄT KALSUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe

Mehr

14.3 Berechnung gekrümmter Flächen

14.3 Berechnung gekrümmter Flächen 4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Statistik & Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 38

Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt Prof Dr M Gerdts Dr A Dreves J Michael Wintertrimester 216 Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1 Übungsblatt Aufgabe 1 : (Schwimmer Ein Schwimmer möchte einen Fluss der Breite b > überqueren,

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3

Mehr

Mathematische Methoden für Informatiker

Mathematische Methoden für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 8.12.2016 20. Vorlesung Differentialgleichungen n-ter Ordnung Lösung einer Differentialgleichung Veranschaulichung der Lösungsmenge Anfangswertprobleme Differentialgleichungen

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Spezielle Kurven Steffen Hoheisel, Lara Knott Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 8/9, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Nachdem wir uns zuletzt im Proseminar mit

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Anleitung: Standardabweichung

Anleitung: Standardabweichung Anleitung: Standardabweichung So kann man mit dem V200 Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung bei Binomialverteilungen für bestimmte Werte von n, aber für allgemeines p nach der allgemeinen

Mehr

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Grundpraktikum der Physik Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Wolfgang Limmer Institut für Halbleiterphysik 1 Fehlerrechnung 1.1 Motivation Bei einem Experiment soll der Wert einer

Mehr

Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels

Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels Ziel der Wahrscheinlicheitsrechnung Teil V Wahrscheinlicheitsrechnung Aussagen über Experimente und Prozesse mit unsicherem Ausgang. Beispiele Würfeln Literatur: Ziehen von Losen aus einer Urne Glücsspiele

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006 3.. Angabe Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA 07.369, Übungsrunde 5, Gruppe 2, 4.. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, /2006 Betrachten Sie einen Behälter, der Karten mit jeweils einer aufgedruckten

Mehr

M13 Übungsaufgaben / pl

M13 Übungsaufgaben / pl Die Histogramme von Binomialverteilungen werden bei wachsendem Stichprobenumfang n immer flacher und breiter. Dem Maximum einer solchen Verteilung kommt daher keine allzu große Wahrscheinlichkeit zu. Vielmehr

Mehr

Eine zweidimensionale Stichprobe

Eine zweidimensionale Stichprobe Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/

Mehr

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an

Mehr

Stickstoff kann als ideales Gas betrachtet werden mit einer spezifischen Gaskonstante von R N2 = 0,297 kj

Stickstoff kann als ideales Gas betrachtet werden mit einer spezifischen Gaskonstante von R N2 = 0,297 kj Aufgabe 4 Zylinder nach oben offen Der dargestellte Zylinder A und der zugehörige bis zum Ventil reichende Leitungsabschnitt enthalten Stickstoff. Dieser nimmt im Ausgangszustand ein Volumen V 5,0 dm 3

Mehr

Fakultät für Informatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 2016

Fakultät für Informatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 2016 Fakultät für Informatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 1 M. Sperber (matthias.sperber@kit.edu) S. Nguyen (thai.nguyen@kit.edu) Übungsblatt 3 Maschinelles Lernen und Klassifikation Abgabe online

Mehr

Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass

Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma.

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Lösungen zu Übung(11) Erster Teil A E=

Lösungen zu Übung(11) Erster Teil A E= Lösungen zu Übung Erster Teil a Betrachten Sie die Matrix A = Die Eigenwerte sind λ = mit algebraischer Vielfachheitundλ =mitalgebraischervielfachheit,unddiematrix A E= hatrang, alsokerndimensionnur, somitistdereigenraumzuλ

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Lösung zur Übung 19 SS 2012

Lösung zur Übung 19 SS 2012 Lösung zur Übung 19 SS 01 69) Beim radioaktiven Zerfall ist die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne dn/dt direkt proportional zur momentanen Anzahl der Kerne N(t). a) Formulieren Sie dazu die

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Univariates Datenmaterial

Univariates Datenmaterial Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =

Mehr

R C 1s =0, C T 1

R C 1s =0, C T 1 Aufgaben zum Themengebiet Aufladen und Entladen eines Kondensators Theorie und nummerierte Formeln auf den Seiten 5 bis 8 Ein Kondensator mit der Kapazität = 00μF wurde mit der Spannung U = 60V aufgeladen

Mehr

Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Typischer Anwendungsfall: Ziehen ohne Zurücklegen Durch den Ziehungsprozess wird die Wahrscheinlichkeit des auch hier zu Grunde liegenden Bernoulli-Experimentes verändert.

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Kurven. Darstellungsweisen. Steigung von Kurven. Implizite Funktionen. Bogenlänge. Felder. Kurvenintegrale. Wegunabhängigkeit

Kurven. Darstellungsweisen. Steigung von Kurven. Implizite Funktionen. Bogenlänge. Felder. Kurvenintegrale. Wegunabhängigkeit Ergänzung Kurven Darstellungsweisen Steigung von Kurven Implizite Funktionen Bogenlänge Felder Kurvenintegrale Wegunabhängigkeit Kurven Darstellungsweisen Funktionen und Kurven Wir haben schon zahlreiche

Mehr

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte) Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:

Mehr

Berufsreifeprüfung Mathematik Lehrplan laut Berufsreifeprüfungscurriculaverordnung Volkshochschule Floridsdorf Herbsttermin 2012

Berufsreifeprüfung Mathematik Lehrplan laut Berufsreifeprüfungscurriculaverordnung Volkshochschule Floridsdorf Herbsttermin 2012 BRP Mathematik VHS Floridsdorf Gruppe A / 20.10.2012 Seite 1/5 Gruppe A Berufsreifeprüfung Mathematik Lehrplan laut Berufsreifeprüfungscurriculaverordnung Volkshochschule Floridsdorf Herbsttermin 2012

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de TOSSNET Der persönliche

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Ein Halbkreis im Viertelkreis

Ein Halbkreis im Viertelkreis 1 Ein Halbkreis im Viertelkreis ätselaufgabe aus mathsoftpuzzle bbildung 1 zeigt den Kreis k 1 mit dem adius r = 1 und einen Viertelkreisbogen k mit dem adius =. Im Punkt D liegt die Tangente g 1 am Kreis

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Testvorbereitung: Integrierender Faktor

Testvorbereitung: Integrierender Faktor Testvorbereitung: Integrierender Faktor Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien,.02.2007 Voraussetzung: Kenntnis der exakten Differentialgleichungen! Theoretische Grundlagen Eine nicht exakte

Mehr

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit Schülerbuchseite 174 176 Lösungen vorläufig und Unabhängigkeit 1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit S. 174 1 Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von Sau kann nur mithilfe der relativen

Mehr

Zentralabitur Mathematik. Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil. Aufgaben ohne Hilfsmittel

Zentralabitur Mathematik. Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil. Aufgaben ohne Hilfsmittel QUA-LiS NRW Zentralabitur Mathematik Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsverzeichnis Modellieren mithilfe von Funktionen 3 Interpretation des Integrals 4 3 Funktionseigenschaften

Mehr

Analysis Seite 1. 1 f' = g f (x) g'(f(x)) f '(x) f (y) = mit y = f(x) bzw. f (x) = k f(x)dx = k f(x) + c. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx

Analysis Seite 1. 1 f' = g f (x) g'(f(x)) f '(x) f (y) = mit y = f(x) bzw. f (x) = k f(x)dx = k f(x) + c. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx Analysis Seite Ableitungsregeln: (f±g) = f ± g (f g) = f g + fg ' f f'g fg' = 2 g g ' f' = 2 f f ' ( ) = g f () g'(f()) f '() ' ' f (y) = mit y = f() bzw. f () = f'() f' f( ) Integrationsregeln: b a c

Mehr

Partitionen II. 1 Geometrische Repräsentation von Partitionen

Partitionen II. 1 Geometrische Repräsentation von Partitionen Partitionen II Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 09.07.2008 Oliver Delpy In diesem Vortrag geht es um Partitionen, also um Aufteilung von natürlichen Zahlen in Summen. Er setzt den Vortrag

Mehr

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis Thema aus dem Bereich Analysis - 3.9 Differentialrechnung I Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung I 5.06.009 Theorie+Übungen 1 Stetigkeit Wir werden unsere Untersuchungen in der Differential- und Integralrechnung

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)

Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke) Freie Universität Berlin WS 6/7 Fachbereich Physik 1.11.6 Statistische Physik - Theorie der Wärme PD Dr. M. Falcke Übungsblatt 5: an-der-waals Gas / Kanonisches Ensemble Aufgabe 1 Punkte Leiten Sie aus

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion

Mehr

Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern

Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur

Mehr

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen

Mehr

S tandardabweichung : σ= n p 1 p = 200 0,24 0,76 6,04

S tandardabweichung : σ= n p 1 p = 200 0,24 0,76 6,04 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 14.10.2007 Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert der mit der größten Wahrscheinlichkeit. In der Umgebung des

Mehr

Differenzengleichungen

Differenzengleichungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Differenzengleichungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführungsbeispiele 2. Definition 3. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung (Wiederholung)

Mehr

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: K Punkte: / Note: Schnitt: 9.5.6 Pflichtteil (etwa 4 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014 Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 13/14 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 1, 1 Punkte Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung 17.1.14 1. Schiefe Ebene

Mehr

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg . Vorlesung Grundlagen in Statistik Seite 29 Beispiel Gegeben: Termhäufigkeiten von Dokumenten Problemstellung der Sprachmodellierung Was sagen die Termhäufigkeiten über die Wahrscheinlichkeit eines Dokuments

Mehr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 22. September 2015, 12-14 Uhr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 22. September 2015, 12-14 Uhr KIT SS 15 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung. September 15, 1-14 Uhr Aufgabe 1: Kurzfragen (3+4+1+1 Punkte (a Die erhaltenen Größen und evtl.

Mehr

Hochschule Bremerhaven Medizintechnik Mathcad Kapitel 6

Hochschule Bremerhaven Medizintechnik Mathcad Kapitel 6 6. Diagramme mit Mathcad In diesem Kapitel geht es um andere, als X Y Diagramme. 6.. Kreisdiagramme. Schritt: Die darzustellende Funktion muß zunächst als Funktion definiert werden, zum Beispiel f(x):=

Mehr