y 1,2 = - 1 α 2β ± 1 α

Transkript

1 Beispiel 9 (Einige einfache nichtlineare Differenzengleichungen; Formulierung als Aufgabe) Beispiel 9.1 (Einzelne Aufgaben) Aufgabe 1 Es gebe folgende Gleichung, die diskrete sog. logistische Gleichung: α y t = 1 + β Dabei sei α >1 und β > 0 oder α >1 und β < 0 a) Versuchen Sie, eine geschlossene Lösung zu finden. b) Gibt es für die Differenzengleichungssysteme einen oder mehrere stationäre Punkte? Beachten Sie, daß ein stationärer Punkt heißt, daß y t = f(y t-1 ) und durch y*= f(y*) gelöst wird. c) Spielt die Parameterbeschränkung eine Rolle? 1 Lösung α y= y(1+βy) = αy βy 1 + βy + y = αy y + (1 α)y β y + (1 α)y β + 1 α β y 1 = 0, y = - 1 α β = α 1 β = 1 α β y 1, = - 1 α β ± 1 α β = 0 Aufgabe 1 Sei die folgende Differenzengleichung betrachtet: y t y t+1 =, t = 1,, 3, b + y t Versuchen Sie mit Hilfe einer Variablentransformation eine geschlossene Lösung zu finden

2 Αufgabe Es gebe folgende Gleichung, 6 y t = 5 - a) Versuchen Sie, eine geschlossene Lösung dazu zu finden. b) Gibt es für die Differenzengleichung einen oder mehrere stationäre Punkte? Beachten Sie, daß ein stationärer Punkt heißt, daß y t = f(y t-1 ) wird durch y*= f(y*) gelöst. c) Ändert sich die Lösung, falls statt 5 und 6 andere Werte gewählt werden? Lösung y t = 5-6 x y t = 5x 6 x x = 5x-6 x - 5x = -6 x - 5x + 5 = 5-6 (x - 5 ) = = 1 4 = 1 x 1, = + 5 ± 1 = {,3} Aufgabe 3 Nehmen Sie an, eine Funktion sei, wie folgt definiert: B(x)={ y 1 für 0 1 für 1 < 1 Bestimmen Sie eine stationäre Lösung. Ist y = 3 8 eine Lösung? Lösung Es gibt Fixpunkte: y = 1 und y = 0; beginnen Sie z.b. mit y 1 = 0.5, bzw y 1 = 0.75 (jeweils in der Mitte des Intervalls, es) folgt y = 1 bzw. mit y 1 = 0, bzw. y 1 = 1/ + ε, lassen Sie ε beliebig klein werden: ε 0, es folgt y= 0 Gleichungen dieser Art gehen auf die folgende Theorie zurück: Quelle: H. Tong, Z. M. Wu, Multi-step-ahead forecasting of cyclical data by threshold autoregression, in O.D.Anderson, J. G. Gooijer, K. D. C. Stoodley, Time Series Analysis: Theory and Practice 1, North-Holland Publ.Co., Amsterdam, 198, 733 ff.

3 Aufgabe 4 (Deterministische im Vergleich zu stochastischen Differenzengleichungen) (Das Beispiel einer "einfachen" nichtlinearen, zyklischen Differenzengleichung R R) Sei (1) y t = a y t s, s= 1,,..., a eine Konstante nach s Perioden wiederholt sich der Anfangswert. Sei a = 1, dann folgt z.b. ein Zweier-Zyklus: 1 (1.1) y t = y t+1 = y t-1 Für (1) gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichung zu einer stochastischen Differenzengleichung zu machen: 3 (.1) y t = a + u t, u y t eine Zufallsgröße t s a (.) y t = + u y t, u t eine Zufallsgröße t s (.3) y t = a u t y t s, u t eine Zufallsgröße (.4) y t - u t = (.5) y t u t = a y t s u t s, u t eine Zufallsgröße a y t s u t s, u t eine Zufallsgröße (.6) y t = a + by t-1 + u t falls y t-1 0, a>0, b<0 y t = - a + by t-1 + u t falls y t-1 > 0 Dabei ist u t eine Zufallsgröße, z.b. a=1, b= - 0.5, u~ U(-1,1) In gleicher Weise kann die lineare Gleichung über eine geeignete Einführung der Zufallsgröße nichtlinear gemacht werden: (.?) y t = a u t-s y t-s + u t, s>0, E(u t ) = 0, var(u t ) = σ

4 4 Aufgabe 5 Es gebe folgende Gleichung, die zu Zyklen führt: y t = a + b, Vorgabe y y t-s,y t-s+1,,y t-, y t-1 t s Dabei sind a und b vorgegebene Parameter. Falls a + b = 0 folgt ein Zyklus nach 3. s Perioden. Vier Illustrationen für a= ; b = -4: (1) y t = a + b, y 0 = 1 Zyklus {1} {1 4 1} () y t = a + b y t, y 0 = 1, y 1 = 4 Zyklus {1 4} { 1 4 } {1 4} (3) y t = a + b y t 3, y 0 = 1, y 1 = 4, y = 3 Zyklus {1 4 3} { 1 /3 4-4} {1 4 3} (4) y t = a + b y t 4, y 0 = 1, y 1 = 4, y = 3, y 3 = 5 Zyklus { } { 1 /3 6/ /3} { } Aufgabe 6 Eine nichtlineare Differenzengleichung mit nichtkonstanten Koeffizienten (A linear difference equation with non-constant coefficients) y t = - y t-1 + t -1, t = 0, 1,,, y 0 = beliebig hat die Lösung y t = y 0 + t/ falls t gerade bzw. y t = - y 0 + (t-1)/ falls t ungerade y t = y 0 + i y 0 + i 1 falls i gerade falls i ungerade

5 Example 9. (The numerical determination of cycles) Source: R. W. Farebrother, A note on the local stability of the general first order difference equation, The Manchester School of Economic and Social Studies 44, 1976, Put c:=1; y t = a y t (b + c y t-1 ) The numerical determination of a 3-cycle (1) = e + f () = e + f (3) 4 = e + f = 1 This system is equivalent to the linear system of parameters (4) = The numerical determination of a 4-cycle (5) = e + f (6) = e + f (7) 4 = e + f e f (8) 5 = e 4 + f 4 = 1 This system is equivalent to the linear system of parameters 1 (9) 4 = 4 4 The numerical determination of a 5-cycle (10) = e + f (11) = e + f (1) 4 = e + f (13) 5 = e 4 + f 4 (14) 6 = e 5 + f 5 = 1 e f This system is equivalent to the linear system of parameters

6 6 (15) 4 5 = e f 5 5 There are two fixpoints of the function: y* 1 = 0,0 y* = (1 - a b) / a c The function does include the logistic a = r, b = 1, c = -1 The function does include the function of Farebrother: a = -1, b = 1, c = 1. A 5-Cycle (15) = a + b + c (16) = a + b + c (17) 4 = a + b + c (18) 5 = a + b 4 + c 4 (19) 6 = a + b 5 + c 5 = 1 i.e. this is a polynomial of order 5, P 3 ( ). This system is equivalent to the linear system of parameters 1 1 (0) 4 5 = a b c

7 Example (The equation of Malgrange) Source: G. Uebe, A nonlinear equation of Malgrange, Annales d INSEE, 1983, y 1t = y 1,t-1 / y,t-1 y t = a y 1,t-1 / x t-1 - b (a,b two parameters, e.g. a= 0., b = 7/15, x a sequence of exogenous values) 9.3. Die Gleichung von Malgrange y t = 7 x t a bx t, a,b Parameter, x ein möglicherweise zeitabhängiger Parameter Ein Sonderfall x t = c; c eine Konstante y t = (y t-1 c)/(ay t- - bc) [see Caswell] Beispiel 9.4 (Aufgabe) Eine sich zyklisch wiederholende Funktion- die Einheitswurzel? Untersuche die folgende Funktion, die sich zyklisch wiederholt: y t = (1 - y t-1 ) Die Lösung für den er-zyklus ergibt sich automatisch aus x = f(f(f(x)))? f (1) (x) y = (1 - x) f () (x) y = (1 - (1 - x) ) = x(-x) [x= 1, x=] f (3) (x) y = (1 - x(-x) ) = (1 - x) 4 = [f (1) (x)] Die Gleichung enthält gar keinen Parameter!

8 Beispiel 9.5 (In den Variablen nichtlineare, jedoch in den Parametern lineare Differenzengleichungen, Zyklenbestimmung) Falls eine nichtlineare Differenzengleichung linear in den Parametern ist, so läßt sich u.u. für jede Menge von Anfangswerten ein Zyklus finden, z.b.: (6.1) y t = A y t-1 + B y y t Mit der Zyklusbedingung y t = y t = A + B y t y t+1 = = Ay t + B y t (*) folgt ein lineares Gleichungssystem in A und B, das mit Vorgabe von y t-, y t-1 zu einem Zyklus führt. Sei (6.1.1) y t- = 1, y t-1 = 5. y 1 + y y 1 Für die Parameter folgen aus (*) stets B = -1.0 und A = y Damit folgen hier aus (*) A = 5., B = -1.0 und daraus der Zyklus: {1,5} In gleicher Weise lassen sich Parameter A, B, C als Lösung eines linearen Gleichungssystems für z.b. (6.) y t = A y t-1 + B + C y y t-3 t (6.3) y t = A + B y t- + C y t y t 3 finden. Die Verallgemeinerung auf Differenzengleichungen beliebiger Ordnung ist offensichtlich. Das Einpassen eines Zyklus durch geeignete Wahl der Parameter schlägt fehl, falls das zugeordnete lineare Gleichungssystem singulär ist. Ein weiterer Sonderfall ist A (6.4) y t =, y t-1 0, a>0 mit y t+1 = y 4 A, y t+ = A3 8, y t+3 = y 16 A 5 folgt z.b. ein Zyklus der Länge 4 mit y t-1 = A 1/3 8

9 9 (6.5) y t = A y + B y y t- t Für A+B=1 und die Anfangswerte y 1 = ± A 1- B y folgt ein Zweier-Zyklus. U.U. ist der Zyklus sehr instabil. Für Zyklen höherer Ordnung ist der allgemeine Ansatz eines in den Parametern linearen Gleichungssystems zu wählen. Diese Gleichung (nach Fujimoto) ist das Gegenstück zu (6.1). Beispiel 9.6 (Eine nichtlineare Differenzengleichung) (Eine lineare Differenzengleichung mit zeitabhängigem Koeffizienten) Quelle: G. Blankenship, Statistical Analysis and Error Propagation in the World Economic Model, in Mesarovic-Pestel editors, 1974, vol VI (1) x t+1 = (a+b t /c t )x t =: A t x t A t = a + b t /c t b t = b 1 - b t, b 1, b >0 c t = c 1 - c t, c 1, c >0 Durch sukzessive Substitution folgt aus (1) () x t+1 = A t A t-1 x t-1 = A t A t-1 A t-...a 0 x 0 Das zeitliche Verhalten von x t folgt aus den numerischen Werten von a,b,c. z.b.: b 1 = , b = , c 1 = , c =

10 Example 9.7 (A nonlinear difference equation) Source: M.Sonis und D.Dendrinos, A discrete Relative Growth Model: Switching, Role Reversal and Turbulence, International Perspectives of Regional Decentralisation, Schriften zur öffentlichen Verwaltung und öffentlichen Wirtschaft, Band 87, 1987, (i) A log-linear two equation formulation for F1 and F: (1) F 1 (t) = A 1 x(t) α 1 (1 - x(t)) α () F (t) = A x(t) β 1 (1 - x(t)) β (ii) a reformulation of one equation F1(t) (3) x(t + 1) = F1(t) + F(t) F(t) / F1(t) (4) 0 x(t 0 ), x(t) 1, A:= A 1 /A (5) x(t + 1) = [1 + A x(t) (β 1 -α 1 ) (1 - x(t)) (β -α ) ] -1 (3) can be rewritten as: (6) x(t + 1) = [1 - x(t)] (α -β ) [(1 - x(t)) (α -β ) + A x(t) (β 1 -α 1 ) ] -1 (iii) Eine Chaos Gleichung nach Dendrinos und Sonis Source: D. S. Dendrinos, M. Sonis, Chaos and Socio-Spatial Dynamics, Springer, New ork, 1990, 36 A 1 x 1 (t) α 1 x (t) α x 1 (t+1) = A 1 x 1 (t) α 1 x (t) α + A x 1 (t) β1 x (t) β, t = 1,,..., T A x 1 (t) β1 x (t) β x (t+1) = A 1 x 1 (t) α 1 x (t) α + A x 1 (t) β1 x (t) β, 0 < x 1 (0), x (0) < 1 x 1 (t+1) + x (t+1) = 1, t = 1,,..., T

11 Beispiel 9.8 (Zwei nichtlineare Differenzengleichungen, Formulierung als Aufgabe) 11 Untersuchen Sie die beiden folgenden nichtlinearen Differenzengleichung, die die Bewegung eines Punktes (x,y) in Polarkoordinaten bschreiben, d.h. x = r cos θ, y = r sin θ, Dabei ist θ der durch den Vektor [0,0), (x,y)] mit der x-achse eingeschlossene Winkel und r ist die Distanz zu Nullpunkt. Für r und θ soll gelten: (1) r t = r () θ t = π θ Lösungshinweis : Beide Funktionen konvergieren in einer üblichen (Gauß-Seidel-) Iteration sehr schnell zu 1 bzw. Π, bzw. 0, m.a.w. zum Punkt (1,0), wie die zugehörigen Graphiken der Funktionen und zu der Iteration aus dem zugehörigen Programm verdeutlichen (vgl. die Schnittpunkte mit der 45 o Linie) 100 Random Starts: (LOGISTIC, EQILIBRIUM, STABILIT, LIMIT CCLE, STATIONARIT, CHAOS)