Modellreduktion für Grundwasserströmungen

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1 Eine Anwendung der Reduzierte-Basis-Methode für Finite Volumen Verfahren Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Universität Münster 7. Februar 29

2 Gliederung Grundwasserströmungen Grundwasserströmungen Richards-Gleichung Anwendungen 2

3 Grundwasserströmungen Richards-Gleichung Anwendungen Modellierung von Wasserfluss in oberirdischen (gesättigten Schichten) meistens mit Flachwassergleichungen. Deckschicht Grundwasserspiegel in ungesättigten Bodenschichten Grundwasser leiter und Grundwasserschichten mit Richards-Gleichung. Die Richards-Gleichung kann aus dem Darcy-Gesetz und der Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik hergeleitet werden. Boden Kapillarsaum ungesättigte Zone gesättigte Zone

4 Darcy-Gesetz Grundwasserströmungen Richards-Gleichung Anwendungen Henry Darcy untersuchte 856 den Wasserfluss durch eine mit Sand gefüllte Röhre. Die Röhre war dabei vollständig mit Wasser gesättigt. Dabei fand er heraus, dass Q = K H A, () L wobei Q der Wasserfluss, der den Filter in einer Zeiteinheit durchströmt, A der Durchmesser, L die Länge der Röhre und K eine Materialkonstante ist.

5 Herleitung Richards-Gleichung Richards-Gleichung Anwendungen Der kontinuierliche Darcy-Fluss (auf ungesättigte Medien erweitert) q = K (θ) (ψ + z) (2) kann in die Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik t θ + q = (3) eingesetzt werden und man erhält die Richards-Gleichung θ(ψ) (K (θ) (ψ + z)) =. (4) t

6 Herleitung Richards-Gleichung Richards-Gleichung Anwendungen Der kontinuierliche Darcy-Fluss (auf ungesättigte Medien erweitert) q = K (θ) (ψ + z) (2) kann in die Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik t θ + q = (3) eingesetzt werden und man erhält die Richards-Gleichung θ(ψ) (K (θ) (ψ + z)) =. (4) t

7 Beispiele für Parameter Richards-Gleichung Anwendungen,5,2,45, Sättigung θ,4,35,3,25 Permeabilität K,8,6,4,2 K5 K K5 5 hyd. Potential ψ K5 K K5 5 hyd. Potential ψ (a) Van-Genuchten-Mualem Modell für θ sat =.52, θ res =.28, K sat =.367, α =.5 und m = 7..

8 Richards-Gleichung Anwendungen Anwendungen in der Wasserwirtschaft Ausbreitungen von Kontaminationen im Grundwasser Auswirkungen von baulichen Veränderungen (Kanalbauten, Versiegelungen,... ) Hochwasserschutz...

9 Parameterstudien für Partielle Differentialgleichungen, z.b. für Geometrie, Kontroll- oder Materialparameter Viele schnelle Simulationen oder Echtzeitsimulationen werden benötigt Beispiele: Designoptimierung, Parameterschätzung, statistische Analysen,...

10 Allgemeines Evolutionsproblem als PPDE Wir betrachten parametrisierte partielle Differentialgleichungen (PPDE) mit einem zusätzlichen Parameter µ S R p. Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt t [, T ] eine Lösung u(, t; µ) W, so dass die Gleichung t u( ; µ) L(µ) [u( ; µ)] = Ω(µ) [, T ] (5) mit zusätzliche Anfangs- und Randwertbedingungen - die ebenfalls vom Parameter abhängen können - erfüllt ist. Beispiel: Richards-Gleichung für unterschiedliche Materialien L(µ)[u].

11 Allgemeines Evolutionsproblem als PPDE Wir betrachten parametrisierte partielle Differentialgleichungen (PPDE) mit einem zusätzlichen Parameter µ S R p. Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt t [, T ] eine Lösung u(, t; µ) W, so dass die Gleichung t u( ; µ) L(µ) [u( ; µ)] = Ω(µ) [, T ] (5) mit zusätzliche Anfangs- und Randwertbedingungen - die ebenfalls vom Parameter abhängen können - erfüllt ist. Beispiel: Richards-Gleichung für unterschiedliche Materialien L(µ)[u].

12 Allgemeines Evolutionsproblem als PPDE Wir betrachten parametrisierte partielle Differentialgleichungen (PPDE) mit einem zusätzlichen Parameter µ S R p. Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt t [, T ] eine Lösung u(, t; µ) W, so dass die Gleichung t u( ; µ) L(µ) [u( ; µ)] = Ω(µ) [, T ] (5) mit zusätzliche Anfangs- und Randwertbedingungen - die ebenfalls vom Parameter abhängen können - erfüllt ist. Beispiel: Richards-Gleichung für unterschiedliche Materialien L(µ)[u].

13 numerische Lösung Um das Evolutionsproblem zu lösen, wird es auf einen diskreten Raum W H projiziert, z.b. Finite Elemente, Finite Volumen, Discontinuous Galerkin,... Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt = t < < t K = T eine diskrete Funktionen U k ( ; µ) W H, die die Gleichungen t (Uk U k ) + L I (µ)[u k ] + L E (µ)[u k ] = (6) für k =, K und eine entsprechende Anfangsbedingung erfüllen. Somit ist u(x, t; µ) U H (x, t; µ) := K k= Uk (x; µ)χ {t k t<t k +}

14 numerische Lösung Um das Evolutionsproblem zu lösen, wird es auf einen diskreten Raum W H projiziert, z.b. Finite Elemente, Finite Volumen, Discontinuous Galerkin,... Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt = t < < t K = T eine diskrete Funktionen U k ( ; µ) W H, die die Gleichungen t (Uk U k ) + L I (µ)[u k ] + L E (µ)[u k ] = (6) für k =, K und eine entsprechende Anfangsbedingung erfüllen. Somit ist u(x, t; µ) U H (x, t; µ) := K k= Uk (x; µ)χ {t k t<t k +}

15 numerische Lösung Um das Evolutionsproblem zu lösen, wird es auf einen diskreten Raum W H projiziert, z.b. Finite Elemente, Finite Volumen, Discontinuous Galerkin,... Gesucht ist zu jedem Parameter µ S und zu jedem Zeitpunkt = t < < t K = T eine diskrete Funktionen U k ( ; µ) W H, die die Gleichungen t (Uk U k ) + L I (µ)[u k ] + L E (µ)[u k ] = (6) für k =, K und eine entsprechende Anfangsbedingung erfüllen. Somit ist u(x, t; µ) U H (x, t; µ) := K k= Uk (x; µ)χ {t k t<t k +}

16 Idee der RB-Methode Der diskrete Raum W H ist meist "hochdimensional", so dass Gleichungssysteme von letzter Folie für viele Unbekannte gelöst werden. => langsam Idee: Projiziere die Diskretisierung in einen niedrig-dimensionalen Raum W N W H, der von Lösungs-Snapshots"U k (µ) aufgespannt wird. Dies ist der Reduzierte-Basis Raum.

17 RB Schema I Grundwasserströmungen Voraussetzung: RB-Raum W N bekannt, und die Operatoren L k I (µ) und L k E (µ) sind affin bezüglich des Parameters zerlegbar, d.h. sie lassen sich schreiben als Q I L I (µ)[u] = L q I [U]σq I (µ), (7) q= Q E L E (µ)[u] = L q E [U]σq E (µ), (8) q= wobei die Operatoren L q I/E linear sind und strikt unabhängig vom Parameter µ sind und die Koeffizientenfunktionen σ q I/E (µ) mit einer Komplexität von O(N) für ein N H berechnet werden können.

18 RB-Schema II Grundwasserströmungen Die Funktionen UN k (x; µ) := N n= ak n(µ)ϕ n bilden für jedes µ S eine Reduzierte-Basis Lösung, falls die Koeffizentenvektoren a k := (an) k N n= für alle k =,..., K und µ S die Gleichungen t (ak a k ) + Q I q= σ q I (µ)l Q E I[a k ] + σ q E L E[a k ] = (9) für k =, K und eine entsprechende Anfangsbedingung erfüllen, wobei die Matrizen durch (L q I ) m,n := L q I (ϕ n)ϕ m, (L q E ) m,n := L q E (ϕ n)ϕ m () Ω gegeben sind. Somit ist U H (x, t; µ) U N (x, t; µ) := K k= Uk N (x; µ)χ {t k t<t k+ } q= Ω

19 Generierung der Reduzierten Basis [Offline-Phase] Beginne mit initialer Reduzierter Basis WÑ, die z.b. aus den Anfangswerten konstruiert werden kann. Erweitere die Basis induktiv um eine weitere Basisfunktion Berechne UÑ(t k ; µ) für alle k =,..., K und µ M S Finde das µ max M, für das U H U N maximal ist. Am Besten mit Hilfe eines a-posteriori Fehlerschätzers Konstruiere aus RB-Funktionen U H (x, t; µ max) die nächste Basisfunktion ϕñ+. bis: maximaler Fehler unter vorgegebener Schranke ε tol.

20 Probleme Grundwasserströmungen Der Operator L(µ) in einer Evolutionsgleichung ist oft nicht-linear, z.b. für die Richards-Gleichung (nicht-lineare Diffusion) Die Zerlegbarkeit von L I/E (µ) bezüglich des Parameters µ ist a priori nicht immer gegeben. Transformationen des unterliegenden Gebietes Ω(µ) sind im RB-Schema nicht möglich, weil RB-Funktionen aus gleichem Raum kommen müssen. Geometrietransformation Φ : Ω Ω(µ).

21 Lösung zu Problemen und 2 Mittels empirischer Interpolation kann ein Operator L I/E (µ) in affin zerlegbare Form gebracht werden: I M [L I/E (µ)][v ]] = Hierbei sind die Koeffizienten durch M y m (V ; µ)ξ m () m= y m (V ; µ) := L/I E (µ)[v ](x m ) (2) gegeben und die Funktionen {ξ m } M m= bilden die Basis eines sog. kollateralen Basisraums. Für explizite Verfahren, d.h. L I kann die empirische Interpolierte in das RB Schema übernommen werden.

22 Lösung zu Problemen und 2 Mittels empirischer Interpolation kann ein Operator L I/E (µ) in affin zerlegbare Form gebracht werden: I M [L I/E (µ)][v ]] = Hierbei sind die Koeffizienten durch M y m (V ; µ)ξ m () m= y m (V ; µ) := L/I E (µ)[v ](x m ) (2) gegeben und die Funktionen {ξ m } M m= bilden die Basis eines sog. kollateralen Basisraums. Für explizite Verfahren, d.h. L I kann die empirische Interpolierte in das RB Schema übernommen werden.

23 Lösung zu Problem 3 Das Problem wird mittels einer diffeomorphen Geometrietransformation Φ : Ω R n R n auf ein Referenzgebiet Ω übertragen. Für Finite Elemente Verfahren gibt es einen Ansatz diese Transformation in affine Transformationen auf Teilgebieten aufzuteilen. Aber: Übertragung auf Finite Volumen Verfahren nicht möglich. Daher betrachten wir allgemeine auch nicht-affine Geometrietransformationen Φ, wodurch sich die die Form der Evolutionsgleichung verändert. (Kettenregel)

24 Beispiel einer Geometrietransformation Um eine allgemeine Geometrietransformation mit der Richards-Gleichung verwenden zu können, betrachten wir die äquivalente Kirchhoff sche Darstellung t c(u) u (K c (c(u)) x d ) =. (3) mit der Kirchhoff-Transformation K, so dass die Funktion c qualitativ der Sättigung θ entspricht. Hier ist die Nicht-Linearität im Konvektionsterm, und eine Geometrietransformation lässt sich verwenden.

25 Beispiel für Richards-Gleichung(Fortsetzung) Der Diffusionsterm kann dann durch x ( x u) = ˆx (G t G ˆx û) + ˆx (vû) ( ˆx v)û. (4) und der Konvektionsterm durch xd ν(u) = ˆx ((G d ) t ν(û) ) ( ˆx (G d ) t) ν(û) (5) ersetzt werden, wobei ˆx = Φ (x) ˆΩ, û = u Φ H 2 (ˆΩ), G(ˆx) = DΦ Φ(ˆx) R d d und v = G( G).

26 Grundwasserströmungen Numerische Ergebnisse Numerische Lösungen eines linearen Problems für verschiedene Parameter jeweils zu den Zeitpunkten t =., t =.45 und t =.9.

27 Grundwasserströmungen Numerische Ergebnisse Numerische Lösungen eines nicht-linearen Problems für verschiedene Parameter jeweils zu den Zeitpunkten t =., t =.5 und t =..

28 Effizienz-Messungen I Dimensionen Laufzeit[s] Max Fehler H = N =, M = N = 7, M = N = 7, M = N = 7, M = N = 25, M = N = 25, M = N = 25, M = Tabelle: Laufzeitvergleich der Reduzierte-Basis Lösungen zu verschiedenen Dimensionen der reduzierten Räume. Gesamtdauer Offline-Phase für N = 25, M = 5: Durchschnittlicher Zeitgewinn pro Online-Simulation: Absoluter Zeitgewinn ab: 292 sec. 8.5 sec. 58 Simulat.

29 Anhang Weiterführende Literatur Literatur I A. Patera und G. Rozza. Reduced Basis Approximation and A Posteriori Error Estimation for Parametrized Partial Differential Equations. Version., Copyright MIT 26, to appear in (tentative rubric) MIT Pappalardo Graduate Monographs in Mechanical Engineering B. Haasdonk, M. Ohlberger und G. Rozza. A Reduced Basis Method for Evolution Schemes with Parameter-Dependent Explicit Operators Techreport: University of Münster 27 B. Haasdonk und M. Ohlberger nreduced Basis Method for Finite Volume Approximations of Parametrized Linear Evolution Equations M2AN, Math. Model. Numer. Anal. 42, , 28