Numerik und Simulation in der Geoökologie

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1 1/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Numeri und Simulation in der Geoöologie Sylvia Moenices VL 8 WS 2007/2008

2 2/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

3 3/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

4 4/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

5 5/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α Betrachtet wird mal wieder (präzise mit v > 0): 0 = D 2 c x 2 v c x

6 6/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α Betrachtet wird mal wieder (präzise mit v > 0): numerisch approximiert 0 = D 2 c x 2 v c x 0 = D c i+1 2c i + c i 1 2 v(α c i c i 1 + (1 α) c i+1 c i )

7 7/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α Betrachtet wird mal wieder (präzise mit v > 0): numerisch approximiert 0 = D c i+1 2c i + c i 1 2 sortiert zu 0 = ( D 2 +αv )c i 1+( 2 D 2 αv 0 = D 2 c x 2 v c x v(α c i c i 1 α)v +(1 )c i +( D + (1 α) c i+1 c i ) α)v (1 )c 2 i+1

8 8/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α α ermöglicht die Gewichtung unterschiedlicher Approximationen der 1. Ableitung in der Advetion.

9 9/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α α ermöglicht die Gewichtung unterschiedlicher Approximationen der 1. Ableitung in der Advetion. Für v > 0 führt der Ansatz auf: α c i c i 1 + (1 α) c i+1 c i So bildet volles Upwinding (α = 1) rücwärtige Differenzen. Für v < 0 führt der Ansatz auf: So bildet volles Upwinding (α = 1)

10 10/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α α ermöglicht die Gewichtung unterschiedlicher Approximationen der 1. Ableitung in der Advetion. Für v > 0 führt der Ansatz auf: α c i c i 1 + (1 α) c i+1 c i So bildet volles Upwinding (α = 1) rücwärtige Differenzen. Für v < 0 führt der Ansatz auf: (1 α) c i c i 1 + α c i+1 c i So bildet volles Upwinding (α = 1) Vorwärtsdifferenzen.

11 11/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α α ermöglicht die Gewichtung unterschiedlicher Approximationen der 1. Ableitung in der Advetion. Für v > 0 führt der Ansatz auf: α c i c i 1 + (1 α) c i+1 c i So bildet volles Upwinding (α = 1) rücwärtige Differenzen. Für v < 0 führt der Ansatz auf: (1 α) c i c i 1 + α c i+1 c i So bildet volles Upwinding (α = 1) Vorwärtsdifferenzen. α beeinflusst Stabilität und Genauigeit der Verfahren.

12 12/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und Genauigeit Für den loalen Disretisationsfehler der Verfahrensvorschrift für stationären Transport (mit v > 0) gilt: d i = v( 1 2 α) 2 c x 2 + v c x 3 + O(3 ) Für α = 1 2 erhöht sich die Fehlerordnung um eins.

13 13/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und numerische Diffusion Die Verfahrensvorschrift mit Upwinding für stationären Transport ann (für v > 0) umgeschrieben werden zu 0 = D(1 + Pe(α 1 2 ))(c i 1 2c i + c i+1 ) 2 v (c i 1 c i+1 ) 2 und verstanden werden als

14 14/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und numerische Diffusion Die Verfahrensvorschrift mit Upwinding für stationären Transport ann (für v > 0) umgeschrieben werden zu 0 = D(1 + Pe(α 1 2 ))(c i 1 2c i + c i+1 ) 2 v (c i 1 c i+1 ) 2 und verstanden werden als zentrale Differenzen für die Diffusion

15 15/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und numerische Diffusion Die Verfahrensvorschrift mit Upwinding für stationären Transport ann (für v > 0) umgeschrieben werden zu 0 = D(1 + Pe(α 1 2 ))(c i 1 2c i + c i+1 ) 2 v (c i 1 c i+1 ) 2 und verstanden werden als zentrale Differenzen für die Diffusion zentrale Differenzen für die Advetion

16 16/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und numerische Diffusion Die Verfahrensvorschrift mit Upwinding für stationären Transport ann (für v > 0) umgeschrieben werden zu 0 = D(1 + Pe(α 1 2 ))(c i 1 2c i + c i+1 ) 2 v (c i 1 c i+1 ) 2 und verstanden werden als zentrale Differenzen für die Diffusion zentrale Differenzen für die Advetion ein aufgeblähter Diffusionsoeffizient

17 17/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und numerische Diffusion Die Verfahrensvorschrift mit Upwinding für stationären Transport ann (für v > 0) umgeschrieben werden zu 0 = D(1 + Pe(α 1 2 ))(c i 1 2c i + c i+1 ) 2 v (c i 1 c i+1 ) 2 Der Anteil D num = DPe(α 1 2 ) = v(α 1 2 ) wird als numerische Diffusion bezeichnet. α D num Wirung v Diffusion erhöhend 2 0 neutral, also ziemlich genau 0 1 2v Diffusion erniedrigend

18 18/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Upwind-Parameter α und Oszillationen Oszillationen treten nicht auf, wenn für die Péclet-Zahl Pe = v D gilt: v D 1 1 α

19 19/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

20 20/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Finite Differenzen für stationäre Probleme Das Problem: Differentialgleichung mit Rand 0 = D 2 c x 2 v c x Die Methode: zusammengesetzte Differenzenapproximationen 0 = D c i+1 2c i + c i 1 2 Die Lösung: vetoriell also v(α c i c i 1 0 = Ac + b c = A 1 b + (1 α) c i+1 c i )

21 21/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Finite Differenzen für instationäre Probleme Das Problem: Differentialgleichung mit Rand und Anfang c t = D 2 c x 2 v c x Die Methode: zusammengesetzte Differenzenapproximationen, z.b. c i j+1 c i j h = D c i+1 j 2c i j + c i 1 j 2 Die Lösung: vetoriell, reursiv v c i j c i 1 j c j+1 = Ac j + b j c 0 und Ränder c 0 j und c n+1 j gegeben

22 22/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Methodische Variationen Verwendung anderer Differenzenapproximationen

23 23/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Methodische Variationen Verwendung anderer Differenzenapproximationen Einsatz von Upwinding α c i j+1 c i j h = D c i+1 j 2c i j +c i 1 j v(α c i j c i 1 j 2 + (1 α) c i+1 j c i j )

24 24/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Methodische Variationen Verwendung anderer Differenzenapproximationen Einsatz von Upwinding α c i j+1 c i j h = D c i+1 j 2c i j +c i 1 j v(α c i j c i 1 j 2 + (1 α) c i+1 j c i j ) Einsatz zeitlicher Wichtung θ c i j+1 c i j h = (1 θ)(d c i+1 j 2c i j +c i 1 j v(α c i j c i 1 j 2 + (1 α) c i+1 j c i j )) +θ(d c i+1 j+1 2c i j+1 +c i 1 j+1 v(α c i j+1 c i 1 j (1 α) c i+1 j+1 c i j+1 ))

25 25/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

26 26/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Der Wichtungsparameter θ... ommt bei Raum-Zeitproblemen zum Einsatz, z.b. bei der instationären Transportgleichung.... ermöglicht die Wichtung der Zeitpunte t j und t j+1, an denen die Raumableitungen ausgewertet werden. c i j+1 c i j h = (1 θ)(d c i+1 j 2c i j +c i 1 j 2 v(α c i j c i 1 j + (1 α) c i+1 j c i j )) +θ(d c i+1 j+1 2c i j+1 +c i 1 j+1 2 v(α c i j+1 c i 1 j+1 + (1 α) c i+1 j+1 c i j+1 ))

27 27/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

28 28/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Finite Differenzen für instationäre Probleme Das Problem: onvetiver und diffusiver Transport, instationär Anfangswert und Dirichlet-Rand gegeben Die Methode: zentrale Differenzen für den Diffusionsterm Upwinding für den Konvetionsterm flexible Wichtung der Zeitalloation der Raumableitungen Die Lösung:?

29 29/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Finite Differenzen für Differentialgleichungen Das Problem: Differentialgleichung mit Rand und Anfang c t = D 2 c x 2 v c x Die Methode: zusammengesetzte Differenzenapproximationen c i j+1 c i j h = (1 θ)(d c i+1 j 2c i j +c i 1 j v(α c i j c i 1 j 2 + (1 α) c i+1 j c i j )) +θ(d c i+1 j+1 2c i j+1 +c i 1 j+1 v(α c i j+1 c i 1 j (1 α) c i+1 j+1 c i j+1 )) Die Lösung: vetoriell, reursiv c j+1 = A 1 (Bc j + b j a j+1 ) c 0 und Ränder c 0 j und c n+1 j gegeben

30 30/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Allgemeine Lösung A = B = s t r s t r s t r s t r s t r s σ τ ρ σ τ ρ σ τ ρ σ τ ρ σ τ ρ σ a j+1 = b j = rc 0j tc n+1j+1 ρc 0j τc n+1j

31 31/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Allgemeine Lösung mit r = θh( D 2 + vα ) s = θh( 2 D vα 2 + v(1 α) ) + 1 t = θh( D v(1 α) 2 ) ρ = (1 θ)h( D + vα 2 ) σ = (1 θ)h( 2 D vα 2 + v(1 α) ) + 1 τ = (1 θ)h( D v(1 α) 2 ) und c 0 j und c n+1 j zu jedem Zeitpunt t j gegeben.

32 32/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Allgemeine Lösung Für Vereinfachungen sollen nun Fehlerordnung und Stabilität berechnet werden. Physi: reine Diffusion bzw. reine Advetion, Dirichletrand Numeri: Schrauben am α oder/ und am θ θ = 0 θ = 1 θ = 0.5 FTCS, explizite Methode von Richardson implizite Methode von Richardson Cran-Nicolson

33 33/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality FTCS für die instationäre Diffusion Wie an der Tafel entwicelt ist das Verfahren 2. Ordnung bzgl. des Ortes und 1. Ordnung bzgl. der Zeit, ist es stabil, wenn für die Neumann-Zahl Ne = Dh gilt 2 Dh 2 1 2

34 34/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality FTCS für die instationäre Diffusion

35 35/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality FTCS für die instationäre Diffusion Wie an der Tafel entwicelt ist das Verfahren 2. Ordnung bzgl. des Ortes und 1. Ordnung bzgl. der Zeit, ist es stabil, wenn für die Neumann-Zahl Ne = Dh gilt 2 Dh 2 1 2

36 36/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Andere Verfahren für die instationäre Diffusion Die implizite Methode von Richardson Loaler Fehler: d ij+1 = O(h 3 ) + O(h) Globaler Fehler: g ij+1 = O(h 2 ) + O() Stabilitätsbereich: uneingeschränt Die Methode von Cran-Nicolson Loaler Fehler: d ij+1 = O(h 3 ) + O( 2 h) Globaler Fehler: g ij+1 = O(h 2 ) + O( 2 ) Stabilitätsbereich: uneingeschränt Für θ 0.5 ist uneingeschränte Stabilität gewährleistet.

37 37/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Verfahren für die instationäre Advetion FTCS: α = 0.5, θ = 0 Upstream: α = 1, θ = 0 implizit, zentr. Differenzen: α = 0.5, θ = 1

38 38/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Verfahren für die instationäre Advetion FTCS: α = 0.5, θ = 0 c i j+1 c i j h = v c i+1 j c i 1 j 2 instabil, O(h) + O( 2 ) Upstream: α = 1, θ = 0 c i j+1 c i j h = v c i j c i 1 j stabil für vh implizit, zentr. Differenzen: α = 0.5, θ = 1 c i j+1 c i j h = v c i+1 j+1 c i 1 j+1 2 stabil, O(h) + O( 2 ) 1, O(h) + O()

39 39/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Explizites Upwinding für die instationäre Advetion Ein neuer Stabilitätsparameter tritt zutage: Cr = vh Für die numerische Diffusion gilt D num = 1 2 hv 2 + v = 1 v(cr 1) 2

40 40/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation Upwindingsparameter α Worflow Wichtungsparameter θ Instationärer Transport Bac to reality

41 41/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Räumliches Mehrdimensionalität Nichthomogenität

42 42/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Räumliches Mehrdimensionalität Tritt mehr als eine Raumdimension auf, werden die Knoten einfach durchnummeriert. Nichthomogenität Die Parameter (z.b. D) önnen ortsabhängig sein. Die Verfahrensmatrix wird veränderlich. Die Ortsdisretisierung önnte angepasst werden ( nicht mehr onstant). Die Verfahrensmatrix wird noch veränderlicher.

43 43/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Randbedingungen Bisher wurden nur Dirichlet-Randbedingungen eingebaut. Wie önnte man Neumann-Ränder einbauen?

Mit den angegebenen Parametern ergeben sich folgend Kurven (analytische und numerische Lösung)

Mit den angegebenen Parametern ergeben sich folgend Kurven (analytische und numerische Lösung) Lösungen zur Übung 0/1: 'Evolutionsgleichung' Aufgabe 0/1: Der Code zur Berechnung der analytischen Lösung der Evolutionsgleichung findet sich im file evolution.f90, derjenige zur Berechnung der numerischen

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