Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD

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1 Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD Dr. Manuel Keßler Universität Stuttgart

2 Status Quo - Aerodynamik Verfahren Finite Volumen Codes 2. Ordnung im Raum Zeitintegration Ordnung (Runge-Kutta o.ä.) (Block-)strukturierte Gitter (FLOWer) oder auch unstrukturiert (Tau) Modell RANS-Gleichungen (URANS) Weiterentwicklung momentan nur durch Kopplung (Struktur, Akustik,...) und Tuning Stand ca. 1985

3 Motivation: Strömungsphänomene Hubschrauber Vorlaufendes Blatt Rücklaufendes Blatt Blattspitze Mastnachlauf Blatt-Wirbel-Interaktion HSI-Lärm Blattdynamik Allgemein Stoß-/Grenzschichtinteraktion Dynamic Stall instationäre 3D-Strömung hochkomplexe Geometrie Wirbelerhalt Aeroakustik Aeroservoelastik

4 Weiterentwicklung Strömungslöser Ziele neuere physikalische Modelle (DES) unstrukturierte Gitter Diskretisierung höherer Ordnung }Anwendung bessere Parallelisierung Anpassung an Rechnerentwicklung }Implementierung

5 Warum unstrukturierte Gitter? Vernetzungsaufwand (Preprocessing) bei strukturierten Gittern und komplexer Geometrie oft größter Zeitfaktor einfach anstrengend utopisch

6 Warum höhere Ordnung? Fehlerterm bei p-ter Ordnung: F p ( h) h α λ p besseres Verfahren höhere Gitterauflösung höhere Ordnung

7 Warum höhere Ordnung? (II) Fehler über Zellbreite 1,0E+00 1,0E-01 O(1) O(2) O(3) O(4) Fehler 1,0E-02 1,0E-03 1,0E-04 1,0E ,3 0,1 0,03 0,01 0,003 0,001 Zellbreite

8 Warum höhere Ordnung? (III) Fehler über Laufzeit 1,0E+00 1,0E-01 O(1) O(2) O(3) O(4) Fehler 1,0E-02 1,0E-03 1,0E-04 1,0E-05 1 Sek. 1 Min. 1 Std. 1 Tag 1 Woche Laufzeit

9 Warum höhere Ordnung? (IV) Ein Verfahren hoher Ordnung rechnet sich bei hohen Anforderungen an die Genauigkeit der Ergebnisse und glatter Lösung und korrekter Wiedergabe der Geometrie sonst eher nicht!

10 Parallelisierung Finite Volumen Code Speedup Ideal Real Effizienz 0,75 0,5 Effizienz 10 0, Prozessoren

11 Rechnerentwicklung Skalare Maschinen (Cluster) deutlich billiger/schneller in Peak-Performance als Vektorrechner (Faktor 6-15) aber nur 2-10% statt 30-50% sustained ungünstig: Speicherbandbreite pro Rechenleistung gleiches Problem zukünftig auch für Vektorrechner Zielrichtung viele FLOPs pro Speicherzugriff (hochwertige Verfahren)

12 Discontinuous Galerkin Verfahren Klassische Finite Elemente mit polynomialen Ansatzund Testfunktionen umfangreiche Theorie vorhanden Träger beschränkt auf geometrische Primitive (Dreiecke, Vierecke, Tetraeder,...) unstetig Unstetigkeiten werden durch Flussfunktionen behandelt 1. Ordnung äquivalent zu Finite Volumen

13 Discontinuous Galerkin (II) Ansatzfunktionen

14 Discontinuous Galerkin (III) Vorteile umfangreiche mathematische Theorie hohe Ordnung auch auf unstrukturierten Gittern hohe Lokalität, dadurch sehr gute Parallelisierbarkeit und effiziente (skalare) Implementierung Nachteile Problematische Behandlung höherer Ableitungen (Navier-Stokes, Turbulenzmodelle)

15 Parallelisierung Discontinuous Galerkin Code Speedup Ideal Real Effizienz 0,75 0,5 0,25 Effizienz Prozessoren

16 Gaußpuls gute Transporteigenschaften kaum Randreflexionen

17 Grenzschicht - laminar Geschwindigkeitsverteilung Reibungsbeiwert

18 2-D Kreiszylinder Anfahrwirbel 1. Ordnung

19 2-D Kreiszylinder Anfahrwirbel 2. Ordnung

20 2-D Kreiszylinder Anfahrwirbel 4. Ordnung

21 Wirbelstraße

22 NACA 0012 Re=5000 Ma=0.3 α=0 2. Ordnung

23 NACA 0012 Re=5000 Ma=0.3 α=0 3. Ordnung

24 NACA Ordnung 3. Ordnung

25 NACA 0012 Re=73 Ma=0.8 α=10

26 Grenzschicht - turbulent Geschwindigkeitsverteilung Turbulenzgrößen

27 Aerospatiale-A Profil Testfall im ECARP Projekt Ma=0.15 Re=3.13e6 Alpha=3.4 deg. Transition Saugseite: 12% Transition Druckseite: 30% Vorgeschriebenes strukturiertes Gitter: 256x64 C-Topologie Numerische Parameter der O(2)-Simulation in gerade Dreiecke zerlegtes 256x33 C-Gitter Spalart-Allmaras Turbulenzmodell

28 Aerospatiale-A Profil Druckverteilung Reibungsbeiwert c p -1.5 Experiment Johnson-King (256x64) Baldwin-Lomax (256x64) O2 (256x33) c f Experiment suction side Johnson-King (256x64) Baldwin-Lomax (256x64) O2 (256x33) x/c x/c

29 Simulationen hoher Ordnung Numerische Parameter Vierfach vergröbertes Gitter: 64x16 C-Gitter Gebogene Grenzschichtgitterzellen Maximal 12 Layer dick am Staupunkt Nase

30 Aerospatiale-A Profil Druckverteilung bei geraden Grenzschichtzellen, O(4)

31 Aerospatiale-A Profil Vergleich gerade/gebogene Grenzschichtzellen Druckverteilung Reibungsbeiwert O4 straight O4 curved O4 straight O4 curved cp -0.5 cf x x

32 Aerospatiale-A Profil Druckverteilung Reibungsbeiwert O2 O3 O4 O2 257x64 Experiment O2 O3 O4 O2 257x64 Experiment suction side 0.01 c p c f x/c x/c

33 Kugelumströmung 3D Re=150 Gerade/gebogene Oberflächenelemente X Y Z X Y Z cp Ablösung mit Rezirkulatiosgebiet

34 Oberfläche mit gebogenen Tetraedern DG-Verfahren in der CFD ONERA M6

35 Zusammenfassung DG ist grundsätzlich geeignet für Strömungsrechnung, auch reibungsbehaftet, auch turbulent Hohe Ordnung, unstrukturiert, ist realisierbar, aber Kompromiss Rechenaufwand Genauigkeit Wiedergabe der Geometrie mit hoher Ordnung (gebogene Zellen) Ausgezeichnete Parallelisierungsperspektive (Cluster) relativ wenig Datenverkehr Latenz versteckbar aber Knackpunkt sind und bleiben höhere Ableitungen Performancevergleich zu Finite Volumen noch offen

36 Ausblick Entwicklung der Rechnerhardware forciert ganz allgemein höherwertige Verfahren Zunehmende Genauigkeitsanforderungen bevorzugen höhere Ordnungen Tuning von DG wird Break-Even im Vergleich zu Finite Volumen 2. Ordnung im Laufe der Zeit nach unten verschieben

37 Fazit Discontinuous Galerkin wird sein Anwendungsfeld finden oder notfalls neu schaffen

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