Hardy-Raum Methoden zur numerischen Lösung von Streu- und Resonanzproblemen auf unbeschränkten Gebieten

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1 Hardy-Raum Methoden zur numerischen Lösung von Streu- und Resonanzproblemen auf unbeschränkten Gebieten Lothar Nannen Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Universität Göttingen 9. April 28 1

2 Mikro-Resonator: Streuproblem κ = 1.54 κ = κ = 1.54 κ =

3 Mikro-Resonator: Energie 3

4 Helmholtz Gleichung u κ 2 u = auf Ω Ω Randbedingung auf Ω Die Eigenwerte κ 2 von sind positiv. Genau für diese κ > ist die Helmholtz Gleichung nicht eindeutig lösbar. 4

5 Helmholtz Gleichung u κ 2 u = auf Ω Ω Randbedingung auf Ω Die Eigenwerte κ 2 von sind positiv. Genau für diese κ > ist die Helmholtz Gleichung nicht eindeutig lösbar. Ω Randbedingung auf Ω und Ausstrahlungsbedingung für x Die Eigenwerte κ 2 von sind komplex. κ mit R(κ) > wird Resonanz genannt. 4

6 Übersicht Einleitung Motivation Streu- und Resonanzproblem Ausstrahlungsbedingung Polbedingung Zusammenhang mit Hardy-Räumen Hardy-Raum Methoden Infinite Elemente Methode (HSIEM) Numerische Beispiele Zusammenfassung 5

7 Ω ext Ω int Streuproblem B a u κ 2 u = in Ω = R d \ K, K u K = f auf K, u erfüllt eine Ausstrahlungsbedingung. DtN-Operator Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung: ( ) r d 1 u 2 (x) iκu(x), r = x. r Reihenentwicklung mit (sphärischen) Hankel-Funktionen 1.Art: u(r, ˆx) = H (1) ν(n) (aκr)φ n(ˆx), r > 1, ˆx B a. n= 6

8 Ω ext Ω int Streuproblem B a u κ 2 u = in Ω = R d \ K, K u K = f auf K, u erfüllt eine Ausstrahlungsbedingung. DtN-Operator Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung: ( ) r d 1 u 2 (x) iκu(x), r = x. r Reihenentwicklung mit (sphärischen) Hankel-Funktionen 1.Art: u(r, ˆx) = H (1) ν(n) (aκr)φ n(ˆx), r > 1, ˆx B a. n= 6

9 Resonanzproblem Lax & Phillips: Scattering Theory, 1967: Definition Sei (κ 2, u) C Hloc 2 (Ω) \ {} mit R(κ) > eine Lösung des Eigenwertproblems u = κ 2 u in Ω = R d \ K, u K = auf K, u erfüllt eine Ausstrahlungsbedingung. Dann heißt κ eine Resonanz des Streuproblems. 7

10 Laplace-Transformation: û(s) := (Lu)(s) = Polbedingung in 1d e sr u(r)dr, R(s) > I(s) u(r) = C 1 e +iκr + C 2 e iκr L û(s) = C 1 s iκ + C 2 s + iκ. iκ iκ ausstrahlend einfallend R(s) 8

11 Definition Allgemeiner Fall Eine stetige Funktion u erfüllt die Polbedingung, wenn die Laplace-Transformierte in radialer Richtung û(, ˆx) := L{u( ˆx)} für alle ˆx B a eine holomorphe Fortsetzung auf C := {s C I(s) < } besitzt. Veröffentlichungen zur Polbedingung: F. Schmidt, P. Deufelhard (1995) F. Schmidt (22) T. Hohage, F. Schmidt, L. Zschiedrich (23) 9

12 Hardy-Räume Definition f H (R) genau dann, wenn f L 2 (R) und L 2 -Randwert einer in C holomorphen Funktion ist. 1

13 Hardy-Räume Definition f H (R) genau dann, wenn f L 2 (R) und L 2 -Randwert einer in C holomorphen Funktion ist. Definition F H + (S 1 ) genau dann, wenn F L 2 (S 1 ) und L 2 -Randwert einer in D holomorphen Funktion ist. 1

14 Hardy-Räume Definition f H (R) genau dann, wenn f L 2 (R) und L 2 -Randwert einer in C holomorphen Funktion ist. Definition F H + (S 1 ) genau dann, wenn F L 2 (S 1 ) und L 2 -Randwert einer in D holomorphen Funktion ist. Beide Hardy-Räume sind Hilbert-Räume. {z, z 1,...} ist Orthogonalbasis von H + (S 1 ). 1

15 Möbius-Transformation iκ ϕ(z) = iκ z+1 z 1 Lemma 1 Die Möbius-Transformation Mu(z) := (u ϕ)(z) z 1 ist eine Familie von bis auf den Faktor 2 κ unitären Abbildungen von H (κ R) nach H + (S 1 ). 11

16 Polbedingung in Hardy-Räumen Definition Die Funktion u erfüllt die Polbedingung, wenn (L id)u H (κ R) L 2 ( B a ) oder äquivalent (ML id)u H + (S 1 ) L 2 ( B a ). 12

17 Polbedingung in Hardy-Räumen Definition Die Funktion u erfüllt die Polbedingung, wenn (L id)u H (κ R) L 2 ( B a ) oder äquivalent (ML id)u H + (S 1 ) L 2 ( B a ). Theorem Für hinreichend großes a sind die beiden Versionen der Polbedingung für Lösungen der Helmholtz Gleichung zueinander und zu den üblichen Ausstrahlungsbedingungen äquivalent. 12

18 Infinite Elemente Methode: Übersicht Zerlegung des Integrals: ( ) u v κ 2 uv dx = (...) dx + (...) dx Ω Ω int Ω ext 13

19 Infinite Elemente Methode: Übersicht Zerlegung des Integrals: ( ) u v κ 2 uv dx = (...) dx + (...) dx Ω Ω int Ω ext Substitution des externen Integrals in Polarkoordinaten: (...) dx = (...) dr d ˆx Ω ext B a 13

20 Infinite Elemente Methode: Übersicht Zerlegung des Integrals: ( ) u v κ 2 uv dx = (...) dx + (...) dx Ω Ω int Ω ext Substitution des externen Integrals in Polarkoordinaten: (...) dx = (...) dr d ˆx Ω ext B a Transformation des unbeschränkten Integrals über r in den Hardy-Raum H + (S 1 ): Transformation der Bilinearform f (r)g(r)dr = iκ (MLf )(z) (MLg)(z) dz π S 1 13

21 Infinite Elemente Methode: Übersicht Zerlegung des Integrals: ( ) u v κ 2 uv dx = (...) dx + (...) dx Ω Ω int Ω ext Substitution des externen Integrals in Polarkoordinaten: (...) dx = (...) dr d ˆx Ω ext B a Transformation des unbeschränkten Integrals über r in den Hardy-Raum H + (S 1 ): Transformation der Bilinearform f (r)g(r)dr = iκ (MLf )(z) (MLg)(z) dz π S 1 Galerkin-Verfahren in H + (S 1 ) bzgl. der orthogonalen Basis {z, z 1,...}: iκ z j z k dz = ( 2iκ ) δ jk π S 1 13

22 Variationsformulierung Ansatzraum: X H 1 (Ω int ) (H + (S 1 ) L 2 ( B a )) Finde nichttriviale Lösungen ((u, U), κ 2 ) X C des Variationsproblems A((u, U), (v, V ) ) = κ 2 B((u, U), (v, V ) ), (v, V ) X. 14

23 Variationsformulierung Ansatzraum: X H 1 (Ω int ) (H + (S 1 ) L 2 ( B a )) Finde nichttriviale Lösungen ((u, U), κ 2 ) X C des Variationsproblems A((u, U), (v, V ) ) = κ 2 B((u, U), (v, V ) ), (v, V ) X. ( ( ) ( ) ) u v A, := u v dx + d 1 U V Ω int 2a iκ ( u (T + id) aπ B a S 1 U ( u ( ( ) u B, U ) (T + id) B a u v d ˆx ( v V ) dz d ˆx ic ) d (J T id) (J T aκ π B a S 1 U id) + ia ( ) u (J T ˆx ) (J T κ π B a S 1 U ˆx ) ( ) ) v := u v dx ia (T V id) κ π B a S 1 Ω int ( v V ) dz d ˆx ( v V ) dz d ˆx ( u U ) (T id) ( v V ) dz d ˆx. 14

24 Äquivalenz Theorem Sei (u int, U) X eine Lösung des Variationsproblems A (( ) ( )) uint v, κ 2 B U V (( ) ( )) uint v, = l(v), U V ( ) v X. V Wenn κ keine Resonanz des Streuproblems auf Ω ext ist, dann ist u int H 2 (Ω int ) die Einschränkung einer ausstrahlenden Lösung u Hloc 2 (Ω) der Helmholtz Gleichung, d.h. u int = u Ωint. 15

25 Beweis. Beweisskizze Nach Voraussetzung existiert eindeutige Lösung u ext des Streuproblems auf Ω ext mit Dirichletschem Randwert u 16

26 Beweis. Beweisskizze Nach Voraussetzung existiert eindeutige Lösung u ext des Streuproblems auf Ω ext mit Dirichletschem Randwert u Definition des DtN-Operators: DtN : u u := u ext ν Ba DtN-Operator 16

27 Beweis. Beweisskizze Nach Voraussetzung existiert eindeutige Lösung u ext des Streuproblems auf Ω ext mit Dirichletschem Randwert u Definition des DtN-Operators: DtN : u u := u ext ν Ba ( ) (( ) ( )) A ext κ 2 u B v ext, = u U V v d ˆx B a DtN-Operator 16

28 Beweis. Beweisskizze Nach Voraussetzung existiert eindeutige Lösung u ext des Streuproblems auf Ω ext mit Dirichletschem Randwert u Definition des DtN-Operators: ( ) (( ) A ext κ 2 u B ext, U ( u int v κ 2 u int v Ω int DtN : u u := u ext ν ( v )) V ) dx = Ba = u v d ˆx B a B a u v d ˆx K DtN-Operator f v K ds. 16

29 Infinite Elemente Methode (HSIEM) Standard-FEM für u H 1 (Ω int ) Nˆx u (ˆx) c k b (ˆx) k (ˆx) k= 17

30 Infinite Elemente Methode (HSIEM) Standard-FEM für u H 1 (Ω int ) Nˆx u (ˆx) c k b (ˆx) k (ˆx) k= Tensorprodukt-Ansatz für U: Nˆx N r U(z, ˆx) c jk z j b (ˆx) k (ˆx) k= j= 17

31 B a Infinite Elemente Methode (HSIEM) Standard-FEM für u H 1 (Ω int ) Nˆx u (ˆx) c k b (ˆx) k (ˆx) k= Tensorprodukt-Ansatz für U: Nˆx N r U(z, ˆx) c jk z j b (ˆx) k (ˆx) k= j= Masse- und Steifigkeitsmatrix: M = M ˆx M r, S = M ˆx L 1 +Sˆx L 2 ( ) ( ) (...) dz d ˆx = (...) d ˆx (...) dz S 1 B a S 1 Matrizen 17

32 Konvergenzaussagen zur HSIEM Exponentielle Konvergenz für eindimensionale Streuprobleme super-algebraische Konvergenz für separierte Streuprobleme U ( H + (S 1 ) C (S 1 ) ) L 2 ( B a ) Beweis 18

33 Konvergenzaussagen zur HSIEM Exponentielle Konvergenz für eindimensionale Streuprobleme super-algebraische Konvergenz für separierte Streuprobleme U ( H + (S 1 ) C (S 1 ) ) L 2 ( B a ) Beweis offen: Stabilität für mehrdimensionale Streuprobleme Resonanzprobleme 18

34 Diskretisierung des Hardy-Raums Basisfunktionen für U H + (S 1 ): N r U(z) α j z j j= 19

35 Diskretisierung des Hardy-Raums Basisfunktionen für U H + (S 1 ): N r U(z) α j z j j= Basisfunktionen für MLu H + (S 1 ): (MLu)(z) = 1 ( ) u (h) 2iκ + (z 1)U(z) 19

36 Diskretisierung des Hardy-Raums Basisfunktionen für U H + (S 1 ): N r U(z) α j z j j= Basisfunktionen für MLu H + (S 1 ): Basisfunktionen für u: (MLu)(z) = 1 ( ) u (h) 2iκ + (z 1)U(z) u(r) e iκ r j u (h) N r + α j j= k= ( j k ) (2iκ r) k+1 (k + 1)! 19

37 Parameter κ Lösung der eindimensionalen Helmholtz Gleichung: Basisfunktionen für u: u(r) e iκ r u(r) = u e iκr r j u (h) N r + α j j= k= ( j k ) (2iκ r) k+1 (k + 1)! 2

38 Konvergenz des Streuproblems κ = 1 κ = 5 κ = 25 21

39 Resonanzproblem QF 1, QF 199, 6 QF 2, 24 22

40 Resonanzfrequenzen κ = κ = κ = 3.8 Bildbereich: [ 2 1 5, ] Bildbereich: [ 1 5, 1 5 ] Bildbereich: [ 3 1 4, ] 23

41 Vergleich HSIEM - PML 24

42 Zusammenfassung Polbedingung als theoretische Grundlage zur Behandlung von Streu- und Resonanzproblemen Neue numerische Methoden zur Lösung dieser Probleme Die Methoden führen zu linearen Eigenwertproblemen Implementierung in bestehende Finite-Elemente Programme möglich super-algebraische Konvergenz 25

43 Linienmethode auf Ω ext Transformation der Helmholtz Gleichung: U := (ML id)u H + (S 1 ) L 2 ( B a ) löst ) ((T 1 κ 2 T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS ( u, u ) Herleitung 26

44 Linienmethode auf Ω ext Transformation der Helmholtz Gleichung: U := (ML id)u H + (S 1 ) L 2 ( B a ) löst ) ((T 1 κ 2 T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS ( u, u ) Tensorprodukt-Ansatz: N r U(z, ˆx) α j (ˆx)z j j= Herleitung 26

45 Linienmethode auf Ω ext Transformation der Helmholtz Gleichung: U := (ML id)u H + (S 1 ) L 2 ( B a ) löst ) ((T 1 κ 2 T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS ( u, u ) Tensorprodukt-Ansatz: N r U(z, ˆx) α j (ˆx)z j j= Herleitung Lösung des Systems partieller DGL s auf B a mit FEM: ( ) α ˆx α T (Nr ) 1 κ 2 T (Nr ) 2. +T (Nr ). = RHS (Nr ) ( u, u ) 3 α Nr ˆx α Nr 26

46 Linienmethode (HSLM) Ω ext B a Ω int K Gleichungssystem aus drei Komponenten: ( (T 1 κ 2 ) ( T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS u, u ) 27

47 Linienmethode (HSLM) Ω ext B a Ω int K Gleichungssystem aus drei Komponenten: ( (T 1 κ 2 ) ( T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS u, u ) ( ) u v κ 2 uv dx = u v d ˆx B a Ω int K f v K ds 27

48 Linienmethode (HSLM) Ω ext B a Ω int K Gleichungssystem aus drei Komponenten: ( (T 1 κ 2 ) ( T 2 ) id +T 3 ˆx U = RHS u, u ) ( ) u v κ 2 uv dx = u v d ˆx B a Ω int u = 4κ2 U (1) 2κ 2 U(1) K f v K ds 27

49 Konvergenz der HSIEM Operator-Gleichung: ( ) ( ) ( ) (T m C d K ) id a 2 u K u ˆx = U K ist ein kompakter Operator und T m ein Toeplitz-Operator mit Symbol m(z) = κ 2 z κ 2 z 1 2. Toeplitz-Operator 28

50 Konvergenz der HSIEM Operator-Gleichung: ( ) ( ) ( ) (T m C d K ) id a 2 u K u ˆx = U K ist ein kompakter Operator und T m ein Toeplitz-Operator mit Symbol m(z) = κ 2 z κ 2 z 1 2. Toeplitz-Operator Projektionsmethode auf span{z,..., z Nr }: sep. Problem ( ) P Nr (T m (C d + a 2 u (Nr ) ( ) λ n )K )P,n u Nr U (Nr ) =,n n 28

51 Konvergenz der HSIEM Operator-Gleichung: ( ) ( ) ( ) (T m C d K ) id a 2 u K u ˆx = U K ist ein kompakter Operator und T m ein Toeplitz-Operator mit Symbol m(z) = κ 2 z κ 2 z 1 2. Toeplitz-Operator Projektionsmethode auf span{z,..., z Nr }: sep. Problem ( ) P Nr (T m (C d + a 2 u (Nr ) ( ) λ n )K )P,n u Nr U (Nr ) =,n n Theorem Die Projektionsmethode konvergiert super-algebraisch, d.h. für beliebiges p N existiert eine Fehlerabschätzung der Form u (Nr ),n u,n C p(λ n, κ) (N r ) p. Konvergenz HSIEM 28

52 Kondition der Hardy-Raum Methoden 29

53 Konvergenz des MCR-Problems 3

54 Veröffentlichungen zur Polbedingung F. Schmidt, P. Deufelhard: Discrete Transparent Boundary Conditions for the Numerical Solution of Fresnel s Equation Computers Math. Applic., 29 (9): (1995) F. Schmidt: Solution of Interior-Exterior Helmholtz-Type Problems Based on the Pole Condition Concept: Theory and Algorithms Habilitation, Freie Universität Berlin (22) T. Hohage, F. Schmidt, L. Zschiedrich: Solving time-harmonic scattering problems based on the pole condition. I:Theory SIAM J. Math. Anal., 35: (23) D. Ruprecht, A. Schädle, F. Schmidt, L. Zschiedrich: Transparent boundary conditions for time-dependent problems Zuse Institut Berlin - Preprint 12 (27) 31

55 Transformation auf Polarkoordinaten ˆx u(r, ˆx) := (r + 1) d 1 2 u ( (r + 1)ˆx ) r ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ) ˆx (r + 1) 2 u(r, ˆx) =, r >, ˆx B a 32

56 Klassische Infinite Elemente Methode Tensorprodukt-Ansatz für u: Nˆx N r u(r, ˆx) = c νµ H ν (1) (aκr)w µ (ˆx) µ= ν= 33

57 Klassische Infinite Elemente Methode Tensorprodukt-Ansatz für u: Nˆx N r u(r, ˆx) = c νµ H ν (1) (aκr)w µ (ˆx) µ= ν= 33

58 Klassische Infinite Elemente Methode Tensorprodukt-Ansatz für u: Nˆx N r u(r, ˆx) = c νµ H ν (1) (aκr)w µ (ˆx) µ= ν= Masse- und Steifigkeitsmatrix: Ω ext ( ) ( H ν (1) 1 (aκr)w µ1 (ˆx) H (1) ( = w µ1 (ˆx)w µ2 (ˆx)d ˆx B a M = M ˆx M r, S = M ˆx L 1 +Sˆx L 2 ) ν 2 (aκr)w µ2 (ˆx) d (r ˆx) ) ( 1 H (1) ν 1 (aκr)h (1) ν 2 (aκr)r d 1 dr ) 33

59 Klassische Infinite Elemente Methode Tensorprodukt-Ansatz für u: Nˆx N r u(r, ˆx) = c νµ H ν (1) (aκr)w µ (ˆx) µ= ν= Masse- und Steifigkeitsmatrix: Ω ext ( ) ( H ν (1) 1 (aκr)w µ1 (ˆx) H (1) ( = w µ1 (ˆx)w µ2 (ˆx)d ˆx B a M = M ˆx M r, S = M ˆx L 1 +Sˆx L 2 ) ν 2 (aκr)w µ2 (ˆx) d (r ˆx) ) ( 1 H (1) ν 1 (aκr)h (1) ν 2 (aκr)r d 1 dr ) 33

60 Hardy-Raum Infinite Elemente Methode (HSIEM) Tensorprodukt-Ansatz M = M ˆx M r S = M ˆx L 1 + Sˆx L 2 L 1 := d 1 ( 1 2a ) 2iκ a T (Nr ) (N + T r ) + 2C di κ a T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ), L 2 := 2ai T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ) κ, Mr := 2ai T (Nr ) (N T r ) κ. HSIEM 34

61 Hardy-Raum Infinite Elemente Methode (HSIEM) Tensorprodukt-Ansatz M = M ˆx M r S = M ˆx L 1 + Sˆx L 2 L 1 := d 1 ( 1 2a ) 2iκ a T (Nr ) (N + T r ) + 2C di κ a T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ), L 2 := 2ai T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ) κ, Mr := 2ai T (Nr ) (N T r ) κ. HSIEM 34

62 Hardy-Raum Infinite Elemente Methode (HSIEM) Tensorprodukt-Ansatz M = M ˆx M r S = M ˆx L 1 + Sˆx L 2 L 1 := d 1 ( 1 2a ) 2iκ a T (Nr ) (N + T r ) + 2C di κ a T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ), L 2 := 2ai T (Nr ) ( D (Nr )) 2 (N T r ) κ, Mr := 2ai T (Nr ) (N T r ) κ. HSIEM 34

63 Transformation der Helmholtz Gleichung auf Ω ext ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ) ˆx (r + 1) 2 u(r, ˆx) = 35

64 Transformation der Helmholtz Gleichung auf Ω ext ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ˆx (r + 1) 2 ) u(r, ˆx) = Laplace-Transformation: û(, ˆx) := Lu(, ˆx) ( ) (s 2 + (aκ) 2 )û(s, ˆx) C d + a 2 ˆx Ĵ2 û(s, ˆx) ( = s + d 1 ) u Ba (ˆx) a u (ˆx) 2 ν Ba 35

65 Transformation der Helmholtz Gleichung auf Ω ext ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ˆx (r + 1) 2 ) u(r, ˆx) = Laplace-Transformation: û(, ˆx) := Lu(, ˆx) ( ) (s 2 + (aκ) 2 )û(s, ˆx) C d + a 2 ˆx Ĵ2 û(s, ˆx) ( = s + d 1 ) u (ˆx) a u 2 (ˆx) 35

66 Transformation der Helmholtz Gleichung auf Ω ext ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ˆx (r + 1) 2 ) u(r, ˆx) = Laplace-Transformation: û(, ˆx) := Lu(, ˆx) ( ) (s 2 + (aκ) 2 )û(s, ˆx) C d + a 2 ˆx Ĵ2 û(s, ˆx) ( = s + d 1 ) u (ˆx) a u 2 (ˆx) Möbius-Transformation U := (M id)û H + (S 1 ) L 2 ( B a ) 35

67 Transformation der Helmholtz Gleichung auf Ω ext ( r 2 u(r, ˆx) (aκ) 2 + C d + a 2 ˆx (r + 1) 2 ) u(r, ˆx) = Laplace-Transformation: û(, ˆx) := Lu(, ˆx) ( ) (s 2 + (aκ) 2 )û(s, ˆx) C d + a 2 ˆx Ĵ2 û(s, ˆx) ( = s + d 1 ) u (ˆx) a u 2 (ˆx) Möbius-Transformation U := (M id)û H + (S 1 ) L 2 ( B a ) ((T m C d K ) id a 2 K ˆx ) U = RHS ( u, u mit m(z) := κ 2 (z + 1)2 κ 2 (z 1) 2 ) Toeplitz-Operator HSLM 35

68 Definition Toeplitz operator Seien m L (S 1 ) und P : L 2 (S 1 ) H + (S 1 ) die orthogonale Projektion auf H + (S 1 ). Dann ist der Toeplitz-Operator T m : H + (S 1 ) H + (S 1 ) mit Symbol m definiert durch T m F := P(m F), F H + (S 1 ). Theorem Wenn m auf S 1 nicht verschwindet, dann ist T m ein Fredholm-Operator mit Index ind(t m ) = wn(m), wobei wn(m) die Windungszahl von m um ist. A. Böttcher, B. Silbermann: Analysis of Toeplitz operators Springer-Verlag (26) HSLM HSIEM 36

69 Separiertes Problem Durch Zerlegung von u in seine Fourier-Koeffizienten u n bzgl. {Φ n, n =, 1,...} mit ˆx Φ n = λ n Φ n, λ n = 1 a 2 { ν(n) 2, d = 2 ν(n)(ν(n) + 1), d = 3 zerfällt die Helmholtz Gleichung in die eindimensionalen (sphärischen) Besselschen Differentialgleichungen u n(r) d 1 ( ) u r n(r) (aκ) 2 + a2 λ n r 2 u n (r) =, r 1. Lösungen: u n (r) = c (1) n H (1) ν(n) (aκr) + c(2) n H (2) ν(n) (aκr) DtN-Operator: u = n= κh (1) ν(n) (aκ) H (1) ν(n) (aκ) u,n Φ n Streuproblem HSIEM Konvergenz HSIEM 37

70 Transformation einer Bilinearform f (r)g(r)dr Variationsproblem 38

71 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() Variationsproblem 38

72 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 2π F{f e M }(t)f{g e M }( t)dt Variationsproblem 38

73 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 2π F{f }(t im)f{g }( t + im)dt Variationsproblem 38

74 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 2π L{f }(it + M)L{g}( (it + M))dt Variationsproblem 38

75 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 L{f }(it + M)L{g}( (it + M))dt 2π = i 2π lim L{f }(s)l{g}( s)ds R γ 1 γ4 R γ1 M γ3 γ2 κ Variationsproblem 38

76 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 L{f }(it + M)L{g}( (it + M))dt 2π = i 2π lim L{f }(s)l{g}( s)ds R γ 3 γ4 R γ1 M γ3 γ2 κ Variationsproblem 38

77 Transformation einer Bilinearform Fourier-Transformation: (Ff )(s) := Laplace-Transformation: (Lf )(s) := e ist f (t)dt e st f (t)dt f (r)g(r)dr = F{f g }() = 1 L{f }(it + M)L{g}( (it + M))dt 2π = i 2π lim L{f }(s)l{g}( s)ds R γ 3 = iκ ML{f }(z) ML{g}(z) dz π S 1 γ4 R γ1 M γ3 γ2 κ Variationsproblem 38

78 Kopplung bei der HSIEM Randterme: u (ˆx)v (ˆx)d ˆx B a Laplace-Transformation von r u(r, ˆx): L{ r u(r, ˆx)}(s) = sl{u(, ˆx)}(s) u (ˆx) Grenzwertsatz der Laplace-Transformation: u (ˆx) lim sl{u(, ˆx)}(s) (MLu(, ˆx)) (1) s Zerlegung von MLu in u und U: (MLu(, ˆx)) (z) = c u (ˆx) + (z 1)U(z, ˆx), U(, ˆx) H + (S 1 ) C (S 1 ) 39

79 resonance frequencies II κ = κ = κ = 3.8 plot range: [ 1 1, 1 1 ] plot range: [ 2 1 5, ] plot range: [ 4 1 5, ] 4

80 resonance frequencies III κ = κ = 3.8 plot range: [ 1 5, 1 5 ] plot range: [ 3 1 5, ] 41