Flagellenlokalisationen

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Bertold Hausler
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1 und Philipps-Universität Marburg 27. Januar 2017 und

2 Überblick und

3 Überblick und

4 Mathematik und Biologie und Fachbereich Mathematik und Informatik Numerik AG Prof. Stephan Dahlke Prof. Bernhard Schmitt LOEWE Zentrum für synthetische Mikrobiologie Dr. Gert Bange

5 Zusammenarbeit Projekt: Wie bestimmen die Bakterien den exakten Ort und die Anzahl von Flagellen während der Zellteilung? Probleme: kosten- und zeitintensiv Durchführung schwieriger Experimente (unmöglich) Prozesse besser und schneller verstehen schnelle Reaktion bei Änderungen Verhalten vorhersagen Übertragung auf andere Prozesse und

6 Überblick und

7 Prokaryoten: Bakterienzellen und DNA: Erbinformation Cytoplasma: ca. 70 % Wasser, Transkription Ribosomen: Translation Zellmembran: Lipide wie z.b. Fette Zellwand: Formbildung Flagellen: Mobilität

8 Flagellum und großer Proteinkomplex gewendelte Proteinfäden des fettigen Proteins Flagellin durch einen Motor in Drehung versetzt wie ein Propeller, der einen Schub oder einen Zug erzeugt

9 Klassifikation von Ort und Anzahl von Flagellen und (Schuhmacher, Thormann, Bange (2015))

10 Fragestellung und State of the Art Wie bestimmen die Bakterien den exakten Ort und die Anzahl von Flagellen während der Zellteilung? und Wir wissen: DNA enthält an einer uns bekannten Position die Information für Anzahl und Ort seiner Flagellen Während des Zellwachstums und der DNA-Verdopplung zur Vorbereitung der Zellteilung (Vermehrung) werden neue Flagellen aufgebaut Neue und alte Flaggellen vermischen sich

11 Modellannahmen und Diffusion Zu-und Abfluss Sättigung Massenerhaltung Metropolenmodell

12 Überblick und

13 Untersuchungsobjekt sowie dessen Umgebung Ausschnitt vom Rand einer Bakterienzelle mit Gliederung in zwei Bereiche und Cytoplasma: c(x, y; t) R + (genügend glatt) mit (x, y) Ω = [0, 1] [0, H] und t R + Zellmembran: u(x; t) R + (genügend glatt) mit x Γ = [0, 1] und t R +

14 Diffusion ständige zufällige Bewegung von individuellen Molekülen Fick sche Gesetze und c(x, y) t u(x) t = D c(x, y), (x, y) Ω\ Ω = ε 2 u(x) x 2, x (0, 1) mit den Diffusionskonstanten D und ε. Es soll gelten: 0 < ε D

15 Zu- und Abflussraten Zufluss und Abfluss in bzw. aus Zellmembran und c(x, y) t u(x) t = D c(x, y), (x, y) Ω\ Ω = ε 2 u(x) x 2 +α(u(x))c(x, 0) κu(x), x (0, 1) konstante Abflussrate κ, (κ = 1) nichtlineare Zuflussratenfunktion α(u(x)) = mit Sättigungsparameter s 1 u(x)2 1+s 1 u(x) 2

16 Massenerhaltung:Randbedingungen Cauchy-Randbedingung am unteren (aktiven) Rand im Cytoplasma: c(x, 0) D = α(u(x))c(x, 0) κu(x), x [0, 1] y periodische Randbedingungen in x Richtung im Cytoplasma und in der Zellmembran homogene Neumann-Randbedingungen am oberen Rand im Cytoplasma und

17 Anfangs-Randwertproblem mit System von partiellen, parabolischen DGLen 2. Ordnung c(x, y) t u(x) t Randbedingungen: = D c(x, y), (x, y) Ω\ Ω = ε 2 u(x) x 2 + α(u(x))c(x, 0) κu(x), x (0, 1) c(x, H) y = 0, x [0, 1] c(0, y) = c(1, y), y [0, H] c(x, 0) D y = α(u(x))c(x, 0) κu(x), x [0, 1] u(0) = u(1) und Positive Anfangskonzentrationen

18 Überblick und

Finite-Differenzen-Methode ε = 2 10 5, s 1 = 0, AW1 ε = 2 10 5, s 1 = 0.

19 Finite-Differenzen-Methode ε = , s 1 = 0, AW1 ε = , s 1 = 0.02, AW1 und ε = , s 1 = 0, AW1 ε = , s 1 = 0, AW2 ε = , s 1 = 0.02, AW1 ε = , s 1 = 0.02, AW2

20 Dynamik: Gleichgewichtslösung 0 = D c(x, y) 0 = ε 2 u(x) x 2 mit den gegebenen Randbedingungen. ĉ(x, 0) z ε D + α(u(x))c(x, 0) κ(u(x))u(x) 2kπ(α k cos(2kπx) + β k sin(2kπx)) k=1 = z ε D ( ) 1 2 u und mit Konstante z. ein nicht-lokaler, symmetrischer, eindeutig definierter Dirichlet-to-Neumann-Operator

21 Randwertproblem mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung und periodischen Randbedingungen 0 = ε 2 u ( x 2 + α(u) z ε ) D ( ) 1 2 u u mit periodischen Randbedingungen. Diskretisierung: n + 1 Gitterpunkte x i = ih, i = 0,..., n mit Schrittweite h = 1 n Finite Differenzen-Methode: und 2 u(x i ) x 2 1 h 2 (u i 1 2u i + u i+1 )

22 Wurzel des negativen Laplace-Operators Theorem (A.Görlich) Sei u : R R eine genügend glatte Funktion und Sh m u = u(x + mh) der Shift-Operator. Dann gilt: Beweisansatz: ( ) 1 4 S 2 u h mu πh (4m 2 1) m Z 1 h 2 (2I S h S h ) = 2 h 2 (I M h) und mit M h = 1 2 (S h + S h ) ( ) = h (I M h) 1 4 S 2 = h m πh (4m 2 1) m Z

23 Nichtlineares Gleichungssystem mit u 0 = u n. 0 = ε h 2 (u i 1 2u i + u i+1 ) ( +α(u i ) z + ε 4 D πh u i n i m= i u i+hm (4m 2 1) F (U) = 0 mit F : R n R n und U = (u 0,..., u n 1 ) T ) und Lösung mittels eines globalen Newton-Verfahrens

24 Globales Newton-Verfahren und Startvektor U 0 horizontal: z [0, 1] vertikal: 1T U 0 n [0, 3] Farbcodiert: Lösungs-Mittelwert aus 5 Startwerten

25 Überblick und

26 und Vermutung: Kontinuum an Gleichgewichten Bedingungen für stabile Gleichgewichtslösungen Erweiterung auf ein 2-Spezies-Modell mit einem Regulatorenzym

27 Referenzen S. B. Guttenplan, S. Shaw, D. B. Kearns The cell biology of peritrichous flagella in Bacillus subtilis. Mol. Microbiol. 87(1), pp , J. Schumacher, K. Thormann, G. Bange How bacteria maintain location and number of flagella. FEMS Reviews Microbiol. 39(6), pp , L. Edelstein-Keshet Mathematical Models in Biology. Random House, New York, P. Rashkov, B. A. Schmitt, L. Sogaard-Andersen, P. Lenz, S. Dahlke A model of oscillatory protein dynamics in bacteria. Society for Mathematical Biology, R.D. Richtmeyer, K. W. Morton Difference Methods for Initial Value-Problems. John Wiley & Sons, N. Nielsen Handbuch der Theorie der Gammafunktion. B.G. Teubner, P. Deuflhard Newton Methods for Nonlinear Problems: Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer, Heidelberg, und Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit!

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