2. Die Halbleiter-Gleichungen

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1 2. Die Halbleiter-Gleichungen Die Grundgleichungen der Elektrodynamik (von James Clerk MAXWELL ) verknüpfen elektrische und magnetische Felder: ( ) mit H magnetische Feldstärke Am -1 J Stromdichte Am -2 D dielektrische Verschiebung Cm -2 E elektrische Feldstärke Vm -1 B magnetische Induktion Vsm -2 ρ Ladungsdichte Cm -3 Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 1 / 31 V1.1 A. B. Gilg

2 (2.2) liefert die Quellenfreiheit des Gesamtstroms D J + t D J + t (2.5) 0 ( ) = div rot H = div und impliziert die Kontinuitätsgleichungen divd div J + t (2.6) = 0 bzw. div J ρ = t Nach (2.2) erzeugt jeder Strom ein Magnetfeld. Für mikroelektronische Anwendungen können die Wirkungen des Magnetfeldes vernachlässigt werden: B (2.7) rot E = = 0 wirbelfreies elektrisches Feld t Die elektrische Feldstärke ist dann Gradient des elektrostatischen Potentials Ψ (2.8) E = grad Ψ Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 2 / 31 V1.1 A. B. Gilg

3 Damit folgt mit (2.3) die Poisson-Gleichung ρ (2.9) div grad Ψ = Ψ = ε mit Dielektrizitätskonstante ε [Fm -1 ] Die Gleichungen (2.6) und (2.9) beschreiben die elektrischen Phänomene der Mikroelektronik. Zur Beschreibung von J und ρ betrachten wir die Bewegung von Ladungsträgern in Halbleitern: Konvektionsstrom = Driftstrom (Ursache: elektr./magn. Felder) + Diffusionsstrom (Ursache: therm. Energie) Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 3 / 31 V1.1 A. B. Gilg

4 Driftstrom: (2.10) = σ E J drift mit Leitfähigkeit σ. (Skalar bzw. Tensor für isotrope bzw. anisotrope Festkörper; Kristallstruktur <-> Symmetrien) Mit n Elektronendichte und (2.11) p Löcherstromdichte gilt (2.12) σ = q ( pµ p+ nµ n ) mit und q = 1, C Elementarladung µ Beweglichkeit oder Mobilität (Proportionalitätskonstante cm 2 V -1 s -1 ) µ ist temperatur- und dotierungsabhängig. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 4 / 31 V1.1 A. B. Gilg

5 Die Raumladungsdichte ρ hat die Form ρ = q ( p n + N) N beschreibt die Dotierstoffkonzentration des Halbleiters. Im thermischen Gleichgewicht ist das Produkt von Elektronen und Löcherdichten n 0 p 0 nur temperaturabhängig. Damit gilt für dotierte Halbleiter (2.13) n 0 p 0 = n i 2 n i ist die Gleichgewichtsdichte für Generations- und Rekombinationsprozesse: n = p = n i Für homogen dotierte Halbleiter ist (2.14) σ = q (p + N D + ) q (n + N A - ) N D + N A - positiv ionisierte Donatorendichte negativ ionisierte Akzeptorendichte Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 5 / 31 V1.1 A. B. Gilg

6 Damit ist (2.15) n 0 - p 0 = N D + N A - N D N A Im N-Typ-Halbleiter ist N D N A >> n i und damit (2.16) n 0 = N D N A und p 0 = n i 2 /( N D N A ) (analog für P-Typ-Halbleiter) (2.16) wird manchmal zur Reduktion der Variablenzahl benutzt (Vernachlässigung der Minoritätsträger) Falls n i nicht konstant bleibt muß die Abhängigkeit des elektrischen Feldes E für Elektronen und Löcher berücksichtigt werden: Anm. Obwohl die Leitfähigkeit bei Metallen höher ist als bei Halbleitern ist die Beweglichkeit der Ladungsträger geringer. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 6 / 31 V1.1 A. B. Gilg

7 Diffusionsstrom: Bei inhomogener Ladungsverteilung tritt durch thermische Bewegung ein Teilchenfluss in Richtung abnehmender Konzentration auf (Diffusion). (2.17) J n diff = q D n grad n J p diff = -q D p grad p D Diffusions- Konstante Für nicht degenerierte (d. h. nicht extrem stark dotierte) Halbleiter gelten die Einstein-Beziehungen: k T (2.18) D = µ [m 2 s -1 ] q T Temperatur k = 1, JK -1 Boltzmannkonstante Gelegentlich wird auch die thermische Spannung verwendet: Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 7 / 31 V1.1 A. B. Gilg

8 Zusammenfassung Stromgleichungen Konvektionsstromdichte: (2.19) J = J n + J p Elektronenstromdichte (2.20) J n = µ n n E + q D n grad n Löcherstromdichte (2.21) J n = µ p p E - q D p grad p Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 8 / 31 V1.1 A. B. Gilg

9 Kontinuitätsgleichungen: Generell (nicht nur für Halbleiter) gilt: (2.22) (2.23) 1 divj e n 1 divj e + R G = p + R G = n t p t G Generations- / R Rekombinationsrate Für das Potential gilt die Poisson-Gleichung: (2.24) q Ψ = ( n p ε E = grad Ψ N ) Insgesamt stellt das ein gekoppeltes System von drei partiellen Differentialgleichungen in den Unbekannten Ψ, n und p dar. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 9 / 31 V1.1 A. B. Gilg

10 2.1 Modellierung der physikalischen Parameter und Randbedingungen Die Modellierung von Mobilitäts- (Diffusions-) Konstanten, Generations- und Rekombinationsraten und Anfangs-/Randbedingungen sind kritische Punkte für die (industrielle) Anwendung: Sie beschränken den Gültigkeitsbereich des Simulationsmodells! Die Modelle resultieren typischerweise aus Theoretischen Überlegungen Lokalen approximativen und analytischen Ansätzen Fitparametern zum Abgleich mit Messdaten Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 10 / 31 V1.1 A. B. Gilg

11 Typische Parameterabhängigkeiten sind: Die Modellparameter haben auch stark variierende Größenordnungen: Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 11 / 31 V1.1 A. B. Gilg

12 Modellierung der Generations- und Rekombinationseffekte: Eine Vielzahl physikalischer Phänomene kann die Generation und Rekombination von Ladungsträgern verursachen, z.b.: Phononen-Übergänge, Photonen-Übergänge, 3-Teilchen-(Auger) Übergänge, usw. Diese Modelle führen zu nichtlinearen Funktionen G und R in Abhängigkeit von n, p, N A, N D, E, usw. und einer großen Zahl von Konstanten. Beispiel: (2.25) mit Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 12 / 31 V1.1 A. B. Gilg

13 usw. Modellierung der Mobilitätskonstanten Die Mobilität der Ladungsträger kann ebenfalls durch eine Reihe physikalischer Effekte beeinflusst werden: Streuung durch Kristallgitterschwingungen, ionisierte oder neutrale Dotieratome, Gitterleerstellen, Zwischengitteratome, Oberflächeneffekte, usw. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 13 / 31 V1.1 A. B. Gilg

14 Beispiel: (2.26) µ µ... LICNE n, p LICN n, p µ n, = Enp (1 + ( ) crit E = 1 µ LIC n, p np µ LICN p N n, p βn, p ) 1 βn, p Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 14 / 31 V1.1 A. B. Gilg

15 Die Anfangs-/Randbedingungen für das System partieller Differentialgleichungen basieren ebenfalls auf der Modellierung physikalischer Effekte. Folgende Materialübergänge definieren Randbedingungen für die Halbleitergleichungen: Halbleiter-Leiter-Übergang ( Kontakt ) Halbleiter-Isolator-Übergang Isolator-Isolator-Übergang Materialgrenzen nach aussen (Luft) Kontakte (HL-Metall bzw. hochdotierter HL) p n = n i 2 (2.27) ρ = 0 V = V appl + V bi V appl angelegte Spannung V bi built-in Spannung mit V bi = U T arcsinh(d/2n i ) (2.27) sind Randbedingungen vom Dirichlet-Typ. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 15 / 31 V1.1 A. B. Gilg

16 Anwendung der Formel für ρ führt auf explizite Formeln für die Trägerkonzentrationen an den Kontakten: (2.28) 2 p = ( D + D + 4n c C 2 n = ( D + D + 4 n c C C C 2 ic 2 ic ) / 2 ) / 2 Im Spezialfall eines Kontaktes an einem hochdotierten n- (bzw. p-) Halbleiters werden folgende Randbedingungen angewandt: J n ν = 0 ρ = 0 V appl vorgegeben (ν bezeichnet den Normalenvektor) Halbleiter-Isolator-Übergang (2.29) ε grad ν = ε grad Ψ ν + ρ 1 mit ρ S Oberflächenladung und Ψ J ν = J ν = R mit R S Oberflächenrekombinationsrate. n p S S Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 16 / 31 V1.1 A. B. Gilg

17 Isolator-Isolator-Übergang wie b), ohne Stromdichtegleichung, da kein Strom fließt. Materialgrenze nach außen durch Symmetriebedingung: -J p ν = J n ν = grad Ψ ν = 0 In den Nicht-Halbleiter-Materialgebieten (Luft, Oxid) werden keine Elektronen-/Löcherströme modelliert. Somit ist nur die Poissongleichung ohne Raumladung zu berechnen (Laplacegleichung): div ( ε grad Ψ ) = 0 mit materialabhängigem ε. Obiges sind die gängigen Randbedingungen. Für spezielle Bauelemente können verfeinerte Modelle/Randbedingungen Anwendung finden. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 17 / 31 V1.1 A. B. Gilg

18 In vielen Fällen kann nur mit Hilfe numerischer Lösungen der Halbleitergleichungen und Abgleich mit Messdaten geklärt werden, welche physikalischen Effekte berücksichtigt werden müssen und wie diese Effekte modelliert werden können. ( Experimente am Computer, Computational Physics ) Die funktionalen Abhängigkeiten (konstant, linear, nichtlinear) der Differentialgleichungskoeffizienten und Randwerte haben entscheidenden Einfluss auf die Schwierigkeiten bei der numerischen Lösung. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 18 / 31 V1.1 A. B. Gilg

19 2.2 Skalierung Ziel der Skalierung sind dimensionslose Größen. Eine gängige Skalierung führt auf: ( ) Zur Ortsskalierung wird die Debye-Länge λ D des Bauelements verwendet: ~ λ D = ε U T / qd D ~ bezeichnet eine mittlere Dotierungsdichte, q die Elementarladung. Mit der Länge l des Bauelements ist λ = λ D l Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 19 / 31 V1.1 A. B. Gilg

20 Folgende Tabelle zeigt typische Skalierungsfaktoren und daraus resultierende Größenordnungen Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 20 / 31 V1.1 A. B. Gilg

21 2.3 Analytische Untersuchungen 1. Wahl der Unbekannten Obgleich ψ, p und n vom physikalischen Standpunkt eine begründete Wahl sind, gibt es doch numerische Gründe für andere Unbekannte. Eine Auswahl ist in folgender Tabelle zusammengestellt: Variante ψ p n ψ ψ ψ ψ ψ p p = p/n i σ p = log p Φ p = ψ + σ p Φ p = exp(φ p ) n n = n/n i σ n = log n Φ n = ψ - σ n Φ n = exp(φ n ) Daraus resultieren modifizierte Formeln für die Stromdichten: Die Variablen Φ n und Φ p haben ebenfalls eine physikalische Interpretation und werden als Quasi-Fermi-Niveaus bezeichnet. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 21 / 31 V1.1 A. B. Gilg

22 Vor- und Nachteile der einzelnen Varianten: Es gibt eine gegenläufige Tendenz zwischen dem exponentiellen Charakter der Variablen und der Nichtlinearität der Gleichungen. Der exponentielle Charakter nimmt zu in der Folge: σ, Φ, (p, n), Φ Folgende Tabelle zeigt einige charakteristische Wertebereiche für eine Diode : Die Variablen Φ n und Φ p sind sogar exponentiell abhängig von der anliegenden Spannung! Da jede der o.g. Kombinationen neben Stärken auch ausgeprägte Schwächen aufweist ist keine eindeutige Wahl möglich. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 22 / 31 V1.1 A. B. Gilg

23 2. Existenz und Eindeutigkeit Vorteile eines mathematischen Modells sind: - Die Gültigkeit und Güte eines Modells kann bewertet werden anhand von Eigenschaften wie Existenz und (lokale) Eindeutigkeit von Lösungen, stetige Abhängigkeit von Daten und der Struktur der Lösung - Ein analytisches Verständnis der internen Dynamik des Modells kann mit physikalischen Modellvorstellungen abgeglichen werden. - Ansätze für geeignete numerische Lösungsverfahren können aus den Beweistechniken gewonnen werden. Rigorose mathematische Beweise sind sehr aufwendig und nur für Spezialfälle der Halbleitergleichungen möglich. Wir studieren hier einige grundsätzliche Beweistechniken und Resultate. Wir betrachten die stationäre Variante der HL-Gleichungen unter Vernachlässigung der Generations-/Rekombinationsrate R. Die Mobilitätskoeffizienten seien konstant und normiert auf 1. Die Randbedingungen bestehen nur aus ohmschen Kontakten und Nicht-Ausström-Bedingungen. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 23 / 31 V1.1 A. B. Gilg

24 Die Wahl der Variablen (ψ, Φ n, Φ p ) führt auf das elliptische System ( ) 2 λ div gradψ = e div div Φ Φ ψ ( e grad Φ p ) = 0, ψ ( e grad Φ ) = 0 x Ω n ψ n e ψ p D( x) mit den Randbedingungen ( ) Für eine gegebene Funktion ψ 0 lösen wir Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 24 / 31 V1.1 A. B. Gilg

25 (2.37) div Φ ψ 0 [ e grad Φ ] p Ω D = Φ p, D, p = 0 Φ ν p ΩN = 0 und erhalten Φ p =: Φ p,1, sowie ψ 0 (2.38) div[ e grad Φ n ] Φ n Ω D = Φ n, D, = 0 Φ n ν ΩN = 0 für Φ n =: Φ n,1. Dann setzen wir (Φ n,1,φ p,1 ) in die Poisson-Gleichung ein: (2.39) 2 λ div gradψ = e ψ Ω D = ψ D ψ, ν ψ Ω N Φ n,1 = 0 e ψ Φ p,1 D( x) Unter der Annahme, dass die Randbedingungen hinreichend regulär sind folgt mit dem Lax-Milgram Lemma, dass (2.37) und (2.38) eindeutig sind. Das Maximum-Prinzip zeigt, dass die Extrema an den Kontakten angenommen werden: Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 25 / 31 V1.1 A. B. Gilg

26 min Φ (2.40) Ω min Φ p, D n, D Φ Φ p,1 n,1 max Φ max Φ p, D n, D x Aus physikalischen Überlegungen folgt, dass die Randwerte Φ p,d und Φ n,d exponentiell von der angelegten Spannung abhängen und positiv sind (gleichmäßig in λ). Somit ist die rechte Seite der Poisson-Gleichung (2.39) eine mit ψ wachsende Funktion. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 26 / 31 V1.1 A. B. Gilg

27 Eine Monotoniebetrachtung zeigt, dass die semilineare elliptische Differentialgleichung (2.39) für ψ = ψ 1 eindeutig lösbar ist. Das Maximumprinzip führt auf obere und untere L (Ω) Schranken für ψ 1 in Abhängigkeit von den Randwerten und der Dotierung D(x). Diese Entkopplung definiert einen Operator T durch T(ψ 0 ) := ψ 1 Man kann zeigen, dass T eine stetige Selbstabbildung einer geeignet gewählten, abgeschlossen konvexen Teilmenge von L 2 (Ω) ist. Der Schaudersche Fixpunktsatz zeigt die Existenz eines Fixpunkts ψ * von T, der zusammen mit der Lösung Φ n *,Φ p * der Kontinuitätsgleichungen eine Lösung der stationären Halbleiter-Gleichungen ist. Mit einer ähnlichen Beweistechnik kann man die Existenz einer Menge von Lösungen in Abhängigkeit von der angelegten Spannung zeigen. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 27 / 31 V1.1 A. B. Gilg

28 Die Eindeutigkeit der Lösungen muss nun noch bewiesen werden: Wir betrachten den Fall thermischen Gleichgewichts, d.h. die Stromdichten und die angelegten Spannungen seien Null, was gleichbedeutend ist mit (2.41) Φ p, D = Φn, D = 1 auf ΩD Das Maximumprinzip zeigt Φ p = Φ n = 1 für alle x Ω und eine Monotoniebetrachtung ergibt, dass die Poisson-Gleichung (2.42) 2 λ div gradψ = e ψ Ω D = ψ D ψ, ν ψ ΩN e ψ = 0 D( x) eine eindeutige Lösung ψ = ψ e besitzt. Somit ist (2.43) T ( ψ ) ψ e für alle ψ L ( Ω) L ( Ω) und die Lösung der Halbleiter-Gleichungen im thermischen Gleichgewicht ist (global) eindeutig. Aus (2.43) folgt, dass die (Fréchet-) Ableitung von T identisch verschwindet. Somit ist T <1 wenn die Dirichlet-Randwerte Φ p,d und Φ n,d hinreichend nahe bei 1 sind. 2 Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 28 / 31 V1.1 A. B. Gilg

29 In einer Umgebung des thermischen Gleichgewichts haben die Halbleiter-Gleichungen eine (lokal) eindeutige Lösung. Insbesondere konvergiert die Iteration (2.44) ψ (k+1) = T(ψ (k) ), k = 0,1,... (lokal) quadratisch gegen eine Lösung. (2.44) ist nach Definition von T äquivalent zu ( ) Dies ist eine Verallgemeinerung der sog. Gummel-Iteration, die wir in diskretisierte Form später noch diskutieren werden. Die Beweise unter allgemeineren Annahmen (Rekombinationsraten, nichtkonstanten Mobilitätsfunktionen) und für die zeitabhängigen (transienten) Halbleiter-Gleichungen sind sehr aufwendig und nur für einige Spezialfälle bekannt. Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 29 / 31 V1.1 A. B. Gilg

30 Weiterführende Literatur: S. Selberherr: Analysis und Simulation of Semiconductor Devices. Springer Wien P. Markovich: The Stationary Semiconductor Device Equations. Springer Wien Der singuläre Störungsansatz λ 2 tritt in der Poisson-Gleichung auf. λ ist relativ klein, in der Größenordnung von Somit kann diese Gleichung als singulär gestört bezeichnet werden. Lösungen von singulär gestörten elliptischen Randwertproblemen haben einen Zonencharakter, d.h. es gibt Zonen mit geringer Variation der Lösung und Zonen mit starker Variation (sog. Störungszone). Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 30 / 31 V1.1 A. B. Gilg

31 Diese Störungszone tritt am Rand auf, falls die Randbedingung nicht kompatibel mit der Lösung der reduzierten Differentialgleichung (d.h. λ = 0) ist. Da die Raumladungszone an ohmschen Kontakten verschwindet tritt dieser Fall nicht ein, ebenso nicht an isolierenden Rändern. An Halbleiter/Oxid-Übergängen und Bauelementgrenzen treten jedoch Störungszonen auf. Typischerweise ist die Feldstärke in der Größenordnung von grad ψ ~ λ -1 Jede Kontinuitätsgleichung setzt sich aus einem Diffusions- und einem Driftanteil zusammen. In den Raumladungszonen dominiert der Driftanteil, der linear von grad ψ abhängt, den Diffusionsanteil. Genauer gesagt ist der Driftanteil in der Größenordnung von λ -1 wohingegen der Diffusionsterm O(1) ist. Damit sind auch die Kontinuitätsgleichungen singulär gestört. Allerdings ist ihr Charakter wesentlich schwieriger zu analysieren wie der der Poisson-Gleichung. Wir sehen später noch, dass das heikle Konsequenzen für die Diskretisierung hat. Weiterführende Literatur: D. R. Smith: Singular Pertubation Theory. Cambridge Univ. Pr M. R. Maier : An Adaptive Shooting Method for Singularly Perturbed Boundary Value Problems. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 7(2) Apr. 1986, pp Kap. 2: Halbleitergleichungen Seite 31 / 31 V1.1 A. B. Gilg