Auswertung. C16: elektrische Leitung in Halbleitern

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1 Auswertung zum Versuch C16: elektrische Leitung in Halbleitern Alexander FufaeV Partner: Jule Heier Gruppe 434

2 Einleitung In diesem Versuch sollen wir die elektrische Leitung in Halbleitern untersuchen. Dazu führen wir Messungen der Leitfähigkeit an dotiertem und undotiertem Germanium durch. Dabei schauen wir uns insbesondere die Temperaturabhängigkeit an. Mithilfe dieser Messungen können wir unter anderem die Bandlücke in Germanium bestimmen. Im zweiten Versuchsteil geht es um den Hall-Effekt im Halbleiter. Dort sollen wir herausfinden, wie die Hall-Spannung von Magnetfeld, Probenstrom und Temperatur abhängt. Aufgaben Aufgabe 1 Besetzungswahrscheinlichkeit für Germanium ( ) für: Temperatur : Temperatur Temperatur Schlussfolgerung Mit steigender Besetzungswahrscheinlichkeit steigt auch die Leitfähigkeit, denn die Leitfähigkeit ist von der Besetzungswahrscheinlichkeit folgendermaßen abhängig: Auch die intrinsische Laungsträgerkonzentration steigt: Aufgabe 2 Für die elektrische Leitfähigkeit eines undotierten Halbleiters gilt: Um die Beweglichkeit der Elektronen und die Beweglichkeit der Löcher zu bestimmen, benutzen wir die obige Gleichung mit den Gleichgewichtswerten und. Da die Elektronen mit beweglicher sind als die Löcher, folgt für die Beweglichkeit der Löcher: 2

3 Und für die Beweglichkeit der Elektronen: Aufgabe 3 Die Ladungsträgerdichte ist bei einem metallischen Leiter weitgehend unabhängig von der Temperatur, da Metalle keine Bandlücke aufweisen ( ).Damit fällt der Exponentialterm (Besetzungswahrscheinlichkeit), in dem die Temperatur steckt, weg. Aufgabe 4 Für n-halbleiter: Neutralitätsbedingung für einen n-halbleiter ist: Das Massenwirkungsgesetz ist: Setze in die Neutralitätsbedingung ein: Die quadratische Gleichung kann mit p-q-formel gelöst werden: Setze nun auch in die Neutralitätsbedingung ein: Löse auch diese quadratische Gleichung: 3

4 Für p-halbleiter: Neutralitätsbedingung: Setze in die Neutralitätsbedingung ein: Also ist die Lösung: Setze in die Neutralitätsbedingung ein: Die Lösung: Insgesamt: Da es keine negative Ladungsträgerkonzentration geben kann, sind nur positive Wurzelterme zu berücksichtigen. Insgesamt gibt es also nur folgende vier Lösungen: und Aufgabe 5 Die Stromstärke ist Die Driftgeschwindigkeit ist (mit eingesetztem ): Setze in die Gleichgewichtsbedingung ein: Mit folgt für 4

5 Allgemein ist die Ladungsträgerdichte. Eingesetzt in Im Fall der Elektronen ist die Ladungsträgerdichte und : Im Fall der Löcher ist die Ladungsträgerdichte und : [M1] Der Bandabstand in Germanium Um die Bandlücke in Germanium zu bestimmen, führen wir zunächst Messungen am undotierten Halbleiter durch. Indem wir den Spannungsabfall am Germanium-Kristall messen, können wir mithilfe der Formel und den Kristallmaßen c = 20 mm, b = 10 mm und d = 1 mm aus und die Leitfähigkeit bestimmen. Wenn wir außerdem annehmen, dass die Leitfähigkeit im intrinsischen Halbleiter dem Gesetz folgt, dann können wir aus der Temperaturabhängigkeit von die Bandlücke des verwendeten Halbleiters bestimmen. Wir nehmen also nun Messreihen vom Spannungsabfall bei verschiedenen Temperaturen für verschiedene Stromstärken auf. Messung für : T in C U in mv u(u) in mv in A/Vm u( ) in A/Vm ,1 7,0 0, ,3 9,2 1, ,6 13,5 1, ,3 19,7 2, ,7 27,2 3, ,9 36,7 4, ,7 51,9 5, ,8 69,0 7, ,3 93,0 10, ,3 121,2 13,6 5

6 ,5 160,0 17, ,9 210,5 23, ,5 266,7 29,8 Tabelle 1: Messung des Spannungsabfalls bei undotiertem Germanium bei I = 2 ma Messung für : T in C U in mv u(u) in mv in A/Vm u( ) in A/Vm ,4 6,8 0, ,8 11,8 1, ,5 14,5 1, ,8 20,8 2, ,4 29,4 3, ,9 40,3 4, ,8 55,6 5, ,0 75,0 7, ,0 100,0 10, ,6 130,4 13, ,5 171,4 18, ,9 206,9 21, ,3 260,9 27,5 Tabelle 2: : Messung des Spannungsabfalls bei undotiertem Germanium bei I = 3 ma Die Unsicherheit in ergibt sich nach Gaußscher Fehlerfortpflanzung mit. Die obigen Messungen sind in Abb. 1 graphisch dargestellt und mit der genannten Formel für gefittet. Abbildung 1: Verlauf der Leitfähigkeit in undotiertem Germanium in Abhängigkeit von der Temperatur 6

7 Aus dem Fit ergeben sich zwei Werte für die Bandlücke: Der Mittelwert beider Messwerte liefert: [M2] Intrinsiche und extrinsische Leitfähigkeit Dieselbe Messung wie in M1 haben wir nun auch noch einmal für n-dotiertes und p-dotiertes Germanium durchgeführt, um dann die Ergebnisse mit dem undotierten Halbleiter zu vergleichen. Messung für p-dotiertes Germanium: T in C U in V in A/Vm u( ) in A/Vm 50 1,244 32,2 0,3 60 1,296 30,9 0,3 70 1,323 30,2 0,3 80 1,283 31,2 0,3 90 1,165 34,3 0, ,996 40,2 0, ,776 51,5 0, ,627 63,8 1, ,455 87,9 2, , ,0 3, , ,5 5, , ,2 9, , ,9 15,3 Tabelle 3: Messung des Spannungsabfalls bei p-dotiertem Germanium Messung für n-dotiertes Germanium: T in C U in V in A/Vm u( ) in A/Vm 50 0,841 47,6 0,6 60 0,865 46,2 0,6 70 0,870 46,0 0,6 80 0,839 47,7 0,6 90 0,767 52,2 0, ,660 60,6 1, ,552 72,5 1, ,446 89,7 2, , ,3 3, , ,3 5, , ,0 8, , ,5 12, , ,3 18,3 Tabelle 4: : Messung des Spannungsabfalls bei n-dotiertem Germanium 7

8 Die Messergebisse sind in Abb. 2 graphisch dargestellt. Abbildung 2: Verlauf der Leitfähigkeit in p- und n-dotiertem Germanium in Abhängigkeit von der Temperatur Dieser Verlauf der Leitfähigkeit beim dotierten Halbleiter unterscheidet sich von dem Verlauf beim undotierten Halbleiter. Zunächst ändert sich die Leitfähigkeit beim dotierten Germanium gar nicht mit steigender Temperatur. Erst ab einer Temperatur von ca. 360 K ( 90 C) ähnelt der Verlauf wieder dem beim undotierten Germanium. Dieser Unterschied kommt durch den Einfluss der eingebrachten Dotieratome zustande. Im betrachteten Temperaturbereich sind so gut wie alle Dotieratome aktiviert, das heißt sie haben ihr zusätzliches Elektron (n-dotiert) bzw. ihr zusätzliches Loch (p-dotiert) abgegeben, sodass es nun als freier Ladungsträger zum Stromtransport zur Verfügung steht. Diese zusätzlichen Ladungsträger sind zunächst viel mehr als die, die durch thermische Anregung entstehen. Daher dominieren sie zunächst die Leitfähigkeit gegenüber der Eigenleitung. Ab einer gewissen Temperatur entstehen jedoch unabhängig von der Dotierung durch thermische Anregung so viele Elektron-Loch-Paare im Halbleiter, dass die dadurch entstandenen freien Ladungsträger einen merkbar größeren Anteil am Stromtransport haben, als die Ladungsträger aus den Dotieratomen. Dieser Prozess dominiert nun den Verlauf der Leitfähigkeit. So kommt der Verlauf in Abb. 2 zustande. [M3] Der Hall-Effekt Als letztes haben wir Messungen zum Hall-Effekt an p-dotiertem Germanium durchgeführt. Vorbemerkung: Wir haben bei der Messung der Hallspannung nicht immer richtig genullt, daher sind die Messwerte unterschiedlich stark Nullpunkt-verschoben. 1) Einfluss des Probenstroms I in ma in mv 0,14 0 8

9 2,97 0,2 6,1 0,4 8,95 0,5 11,63 0,6 15,2 0,8 17,9 0,9 21,09 1,1 25,46 1,3 27,38 1,4 29,13 1,5 Tabelle 5:Messung der Hallspannung bei Veränderung des Probenstroms In Abb. 3 sind unsere Messergebnisse graphisch dargestellt. Abbildung 3: Abhängigkeit der Hallspannung vom Probenstrom Man kann erkennen, dass die Hallspannung linear vom Probenstrom abhängt. 2) Einfluss des Magnetfelds B in mt U H in mv u(b) in mt , , , , , ,2 1 9

10 120 17, ,4 1 81,7 11,8 0,1 62 8,8 0,1 41,9 5,8 0,1 20,2 2,6 0,1 3,4 0,1 0,1 Tabelle 6: Messung der Hallspannung bei Veränderung der magn. Flussdichte Unsere Messergebnisse sind in Abb. 4 graphisch dargestellt. Abbildung 4: Abhängigkeit der Hallspannung von der magnetischen Flussdichte Man kann erkennen, dass die Hallspannung proportional von der magnetischen Flussdichte abhängt. 3) Einfluss der Temperatur U H in mv T in C -27,6 30,3-27,1 43,9-25,6 58,5-23,9 65,9-20,7 76,2-14,3 87,3-8 98,7-4,7 106,8-2,8 114,2 10

11 -1,1 125,2-0,5 133,7-0,1 145, ,3 0, ,3 171,5 Tabelle 7: Messung der Hallspannung bei Veränderung der Temperatur In Abb. 5 sind unsere Messergebnisse graphisch dargestellt. Abbildung 5:Abhängigkeit der Hallspannung von der Temperatur 11