Hall-Effekt und Magnetfeldmessung

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1 Hall-Effekt und Magnetfeldmessung erweitert aus Studiengebühren Vorbereitung: Halbleiter, Bändermodell: n-leitung, p-leitung, Kraft auf Ladungsträger in elektrischen und magnetischen Feldern, Hall-Effekt, Gesetz von Biot-Savart, Helmholtz-Spulen. Literatur: Standard-Lehrbücher der Experimentalphysik, z.b. Gerthsen, Vogel: Physik, Springer-Verlag 1 Einführung In diesem Versuch wird der Hall-Effekt an einem n- und p-dotierten Halbleiterplättchen untersucht, sowie als Anwendung das Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaars mit Hilfe einer Hall-Sonde vermessen. Fließt durch ein Halbleiterplättchen, das sich in einem Magentfeld befindet (siehe Abb. 1) senkrecht zum Magnetfeld ein Strom, so bildet sich senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld eine Querspannung aus, die sogenannte Hall-Spannung U H : U H = H I S B d (1) mit H = 1/(nq) Hallkonstante, n Ladungsträgerkonzentration (Zahl der Ladungsträger pro Volumen), q < 0 Elektronenleitung (n-leitung), q > 0 Löcherleitung (p-leitung). I S Strom durch das Plättchen, B Betrag des B-Feldes, d Dicke des Plättchens Führt man die Beweglichkeit µ der Ladungsträger ein (µ = v/e, v: Geschwindigkeit der Ladungsträger, E: elektrische Feldstärke), so kann U H geschrieben werden als: U H = BEbµ (2) mit b Breite des Plättchens. Da die resultierende Hall-Spannung direkt proportional zum B-Feld ist, das das Hall-Plättchen durchsetzt, kann der Hall-Effekt zur Magnetfeldmessung 1

2 Abbildung 1: Hall-Effekt verwendet werden, wenn die Proportionalitätskonstanten bekannt sind. Entsprechende Messsonden heissen Hall-Sonden. Exemplarisch wird das Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaars mit einer Hall-Sonde vermessen: Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei kurzen stromdurchflossenen Zylinderspulen mit adius, die parallel und konzentrisch zueinander stehen (siehe auch Abb.2). Wird der Abstand a zwischen den Spulen so gewählt, dass a = gilt, so ergibt sich ein weitgehend homogener Feldverlauf zwischen den Spulen (bei gleichsinnigem Verlauf des Stroms durch die beiden Spulen). Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Helmholtz-Spulenpaars Das erzeugte Magnetfeld kann mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart 2

3 berechnet werden. Ein Stromleiter der infintesimalen Länge dl am Ort r, der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt am Ort r die magnetische Flussdichte db( r) = µ 0 4π I dl r r r r 3 (3) Zunächst soll das Biot-Svart-Gesetz zur Berchnung des B-Feldes einer stromdurchflossenen kreisförmigen Leiterschleife (Schleife mit adius parallel zur xy-ebene an der Stelle z 0, z-achse geht durch Mittelpunkt der Schleife) angewandt werden (vgl. Abb. 2). Dann gilt: l = dl dϕ = cos ϕ sinϕ z 0 = r sinϕ cos ϕ 0 Zur Vereinfachung der echnungen soll das B-Feld nur auf der z-achse betrachtet werden, also 0 r = 0 z mit und folgt aus (3) B = r r = cos ϕ sinϕ z z 0 r r = 2 + (z z 0 ) 2 dl ( r r ) = d B = µ 0 4π I (z z 0 ) 23 (z z 0 ) cos ϕ (z z 0 ) sinϕ 2 2π 0 dϕ dϕ (z z 0 ) cos ϕ (z z 0 ) sinϕ 2 Die Integration des Sinus bzw. Cosinus über den gesamten Winkelbereich ergibt Null, so dass nur die z-komponente von Null verschieden ist: B = µ 0 I (z z 0 ) 23 e z = 3 2 µ 0 I 1 + ( z z 0 ) 2 3 e z (4)

4 Das Magnetfeld eines Spulenpaars (auf der z-achse = Achse durch die Spulenmittelpunkte), bei dem sich die Spulen bei ±z 0 befinden, je N Windungen haben und gleichsinnig vom Strom I durchflossen werden, ergibt sich damit durch Superposition zu B = µ 0NI ( z z 0 ) ( z+z 0 ) 3 2 e z (5) Das Magnetfeld ist weitestgehend homogen, wenn der Abstand a der Spulen genau ihrem adius entspricht, d.h. a = bzw. z 0 = 2 (Wenn Sie Lust haben, können Sie dies zeigen, indem Sie Gleichung (5) um z = 0 Taylor entwickeln und nachweisen, dass dann abgesehen von der nullten Ordung erst die vierte Ordnung von Null verschieden ist.). Verzichtet man auf die Näherung, das Feld auf der Spulenachse zu berechnen, so kann kein einfacher geschlossener Ausdruck mehr angegeben werden. Näherungsweise kann der radiale Verlauf (r = Abstand von der z- Achse) der z-komponente des B-Feldes in der Mitte zwischen den Spulen (z=0) für den Fall z 0 = 2 beschrieben werden als B z (r) = ( 4 5)3 2 µ 0 NI ( ) 1 16r (6) Bearbeiten Sie folgende Aufgabe schriftlich in der Vorbereitung: 1. Leiten Sie die Gleichungen (1) und (2) her. 2 Versuchsdurchführung I. Hall-Effekt 2. Mit der in Abbildung 3 dargestellten Schaltung soll die Abhängigkeit der Hallspannung vom Sondenstrom I S (Strom durch das Hall-Plättchen) und vom Magnetfeld B gemessen werden: Messen Sie für die Sondenströme 10 ma, 20 ma, 30 ma, 40 ma und 50 ma jeweils die Hallspannung für verschiedene B-Felder, indem sie den Strom I M im Magnetstromkreis von 0-5 A in 1 A-Schritten durchfahren (beide Sonden!). Die Eichkurve, aus der Sie für die verschiedenen I M den Wert des B-Feldes erhalten, liegt aus (Abstand der Polschuhe a = 10mm). Der Konstanter für I S ist im Strom-Modus zu betreiben, wobei I S 50 ma nicht überschreiten darf. Prüfen Sie, ob für B = 0 (also I M = 0) das U H -Instrument die Spannung 0 anzeigt. Woran liegt es, wenn dies nicht der Fall ist? 4

5 Abbildung 3: Schaltung zur Messung des Hall-Effekts Auswertung: Tragen Sie alle U H -Werte für beide Sonden getrennt auf U H = f(b) mit I S als Parameter. Bestimmen Sie aus den Steigungen der resultierenden Geraden die Ladungsträgerkonzentration n für beide Sonden (d=1 mm, b=5 mm) sowie die Driftgeschwindigkeit der Ladnungsträger. Berechnen Sie für jede Sonde den Mittelwert und die Standardabweichung der Ladungsträgerkonzentration. Tragen Sie die Driftgeschwindigkeiten über den Sondenstrom I S auf. Diskussion! II. Magnetische Widerstandsänderung, nur Physiker/ Mathematiker Legt man an einen stromführenden Leiter senkrecht zum Strom ein B- Feld, so beobachtet man eine Erhöhung des elektrischen Widerstands. Bei nicht zu hohen Feldern gilt: mit 0 Widerstand für B=0, 0 0 = K 2 B 2 (7) K Konstante, die näherungsweise die Beweglichkeit µ der Ladungsträger darstellt. Die quantitative Erklärung dieses Effekts ist nicht elementar. Eine anschauliche Erklärung besteht darin, dass aufgrund des B-Feldes und der damit verbundenen Kraftwirkung auf die Ladungsträger die Stromrichtung im Leiter nicht mehr exakt in ichtung des E-Feldes (erzeugt durch die angelegte Spannung) übereinstimmt, sondern um den sogenannten Hall-Winkel davon abweicht. Dies führt zu einer Verlängerung 5

6 der Strombahnen im Leiter und effektiv zu einer Widerstandserhöhung. 3. Messen Sie die magnetische Widerstandsänderung / = f(b) für beide Sonden, wobei ein Sondestrom I S von 50mA zu wählen ist und I M von 0-5 A in 1 A-Schritten variiert wird. Die jeweils anliegende Spannung U S wird mit dem digitalen Voltmeter gemessen. Hinweis: Die zu messenden Änderungen sind sehr klein; notieren Sie sich alle Stellen des am digitalen Voltmeters angezeigten Wertes. Vermeiden Sie Störfelder, z.b. durch Mobiltelefone (Ausschalten!). Beginnen Sie die Messung bei I M = 0, warten Sie bis sich eine konstante Spannung eingestellt hat und führen Sie die Messung dann zügig durch. Auswertung: Prüfen Sie den Zusammenhang (7) durch Auftragen von / über B 2 für beide Sonden. Bestimmen Sie die Steigung der resultierenden Geraden und daraus die Konstante K. Fehlerabschätzung! III. Vermessung des B-Felds eines Helmholtz-Spulenpaars Die Messung des Magnetfelds erfolgt mit einer Hall-Sonde, die über Pocket-Cassy ausgelesen wird. Die Sonde enhält zwei Sensoren, einen zur Messung der axialen und einen zur Messung der transversalen Komponente des Magnetfelds. Überlegen Sie sich anhand des Feldverlaufs welchen Sie benötigen, Sie müssen diesen am Steuergerät aktivieren (Bt, Ba ein). Beachten Sie, dass der transversale Sensor sich an der Spitze der Sonde befindet, der axiale dagegen an der Verdickungsstelle des Stabes. Die beiden Spulen besitzen jeweils 320 Windungen und einen adius = 6.5cm. An die Spulen wird eine Spannung von 21 V angelegt, da sich die Spulen dabei langsam erwärmen, müssen Sie die Spannung mindestens 10 min bevor Sie die Messung starten wollen anlegen, damit der Strom während der Messung konstant bleibt. Notieren Sie sich den Strom durch die Spulen zum Beginn und Ende jeder Messreihe. Bei diesem Versuchsteil ist nur von Physikern und Mathematikern der erwartete Verlauf bei der Auswertung mit einzuzeichnen! 4. Messen Sie das B-Feld auf der Mittelachse (z-achse) der Spulen im Innenbereich zwischen den Spulen, sowie auf einer Seite bis zu einem z von 15 cm (z=0 entspricht der Stelle genau in der Mitte zwischen den Spulen) in 1cm-Schritten für einen Spulenabstand (a) a=13 cm (d.h. z 0 = 6.5cm in Gl. (5)), (b) a=6.5 cm (Helmholtz-Anordnung a=, z 0 = 3.25cm). 6

7 Korrigieren Sie am Steuergerät vor jeder Messreihe den möglichen Offset der Hall-Sonde, indem Sie die Sonde aus dem B-Feld nehmen (Eigenschaften Offset korrigieren 0). Auswertung: Tragen Sie beide Messreihen in ein Diagramm (B über z) und zeichnen Sie jeweils den erwarteten Verlauf nach Gleichung (5) ein. Diskutieren Sie mögliche Abweichungen zum erwarteten Verlauf und machen Sie sich Gedanken über den Fehler der einzelnen Messpunkte. Zeichnen Sie sinnvolle Fehlerbalken ein. 5. Messen Sie die radiale Abhängigkeit des B-Feld am Ort z=0 (Mitte zwischen den Spulen) von r=0 cm (Mittelachse) bis zum Spulenrand (r=6 cm) in 0.5cm-Schritten für die Helmholtz-Anordnung der Spulen (a=). Tragen Sie Ihre Messwerte graphisch auf (B über r) und zeichnen Sie den erwarteten Verlauf nach Gleichung (6) ein. Diskutieren Sie Gründe für mögliche Abweichungen vom erwarteten Verlauf. 7