Labornetzgerät, Digitalmultimeter, Teslameter mit digitaler axialer Feldsonde (Hallsonde), verschiedene

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1 Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum E 7a Spulenfelder Aufgaben 1. Überprüfen Sie die Kalibrierung des Teslameters mit einer Kalibrierspule.. Nehmen Sie die Flussdichte B(z) längs der Spulenachse (z) eines Solenoids auf. Stellen Sie die gemessene und die berechnete Feldverteilung graphisch dar. Vergleichen Sie den experimentell ermittelten Wert der Flussdichte am Ende des Solenoids mit dem nach der Theorie berechenbaren.. Messen Sie die axiale Verteilung B(z) einer flachen Kreisspule und stellen Sie die Verteilung graphisch dar. Ermitteln Sie graphisch und durch Berechnung, in welchem Abstand zur Spulenmitte der Maximalwert der Flussdichte auf die Hälfte abgenommen hat. 4. Messen Sie die axiale Verteilung B(z) eines Kreisspulenpaares für den Abstand a = R. Stellen Sie experimentelle und berechnete Werte in einem Diagramm dar. Schätzen Sie ab, um wie viel Prozent sich der axiale Wert im Spulenzentrum (z = 0) an der Stelle z = R/ (Spulenebenen) verringert hat. Literatur Physikalisches Praktikum, 1. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre,.0.,. Gerthsen Physik, D. Meschede,. Auflage, 7..1, 7.., Zubehör Labornetzgerät, Digitalmultimeter, Teslameter mit digitaler axialer Feldsonde (Hallsonde), verschiedene Spulen Schwerpunkte zur Vorbereitung - Definition der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte - Durchflutungsgesetz, Gesetz von Biot-Savart, Maxwell-Gleichungen für stationäre Felder - Magnetfelder in Spulen, Helmholtz-Spulenpaar - Polstärke und magnetisches Dipolmoment, magnetischer Dipol im magnetischen Feld - Funktionsweise einer Hall-Sonde (Hall-Effekt) 1

2 Angaben zu den verschiedenen Spulen (relative Unsicherheit der Spulendaten L und R: 1,5 %) Spule Kalibrierspule (Solenoid) I max = 1. A Solenoid 1 I max = A Solenoid I max = A Solenoid I max = 4 A Solenoid 4 I max = 1 A Spulenpaar 1 (1) I max = A Spulenpaar (1) I max = A Spulenpaar (1) I max = A (1) zwei identische flache Kreisspulen Spulendaten Länge L = mm Windungszahl N = 00 Radius R = 16. mm Länge L = 48 mm Windungszahl N = 91 Radius R = 1.1 mm Länge L = 00 mm Windungszahl N = 8 Radius R = 0.4 mm Länge L = 160 mm Windungszahl N = 150 Radius R = 1 mm Länge L = 00 mm Windungszahl N = 65 Radius R = 9. mm Windungszahl N = 90 Radius R = 9.6 cm Windungszahl N = 10 Radius R = 15.5 cm Windungszahl N = 0 Radius R = 6.8 cm Grundlagen (Im Text sind Vektoren fett gedruckt.) Berechnung des Feldes einer Zylinderspule (Solenoid) Die integrale Form der Maxwell-Gleichung lautet S d H ds j da D da, (1) dt A wobei S irgendeine geschlossene Kurve um die Fläche A, H das Magnetfeld, j die Stromdichte und D die dielektrische Verschiebung sind. Es ergibt sich für Gleichströme S H ds j da. () Die differentielle Form ist

3 H j. () Abb.1 Zum Gesetz von Biot-Savart Unter Berücksichtigung der in Abb.1 definierten Größen kann Gl. () in der Form des Gesetzes von Biot-Savart geschrieben werden: I dl r dh 4 r (4) Der Vektor r bezeichnet den Einheitsvektor zum Punkt P in Abb. 1, r ist der Abstand zwischen dem Linienelement dl und dem Beobachtungspunkt P. Mit Gl. (4) kann die magnetische Feldstärke, die durch den feldverursachenden Strom im Raumpunkt P erzeugt wird, berechnet werden. Das Gesetz von Biot-Savart ist das Äquivalent zum Durchflutungsgesetz. Für den speziellen Fall einer kreisförmigen Leiterschleife (siehe Abb. ) haben die axialen Komponenten (dh z ) aller Leiterschleifenelemente dl die gleiche Richtung und addieren sich. Die radialen Komponenten (dh r ) heben sich paarweise gegenseitig auf. Abb. Zum Gesetz von Biot-Savart und zur Berechnung der axialen Komponente des magnetischen Feldes einer kreisförmigen Leiterschleife Mit dh = dh z/sin und sin =R/r erhält man mit dem Winkel zwischen r und dl von 90 die Beziehung

4 I R dl I R dl dhz. (5) 4 r 4 ( R z ) Integration über alle Elemente der kreisförmigen Leiterschleife (Gesamtlänge R) führt zur Gleichung I R H( z) ( R z ) bzw. 0 I R B( z) ( R z ), (6) wobei 0 die magnetische Feldkonstante ist. Liegen wie im Falle einer Spule die Leiterschleifen eng nebeneinander, so überlagern sich die Feldanteile der einzelnen Windungen zu einem resultierenden Gesamtfeld am Aufpunkt P in Abb. im Abstand z = a. Abb. Zur Berechnung des B-Feldes eines Solenoids Die Aneinanderreihung von N Leiterschleifen längs einer zylindrischen Spule der Länge L mit der Windungsdichte n = N/L bedingt, dass ndz Leiterschleifen zwischen z und z+dz liegen, durch die ein felderzeugender Strom NI( dz / L) fließt. Dieser erzeugt im Punkt P(z=a) von Abb. eine axiale Komponente der magnetischen Flussdichte vom Betrag db z d 0 NIR Bz L 1 dz, (7) [ R ( a z) ] Die Integration über die Gesamtlänge L der Spule liefert für beliebige Aufpunkte (a=z) 0 N I z L z B( z), (8) L R z R ( L z) wobei die Aufpunktkoordinate a mit der beliebigen axialen Koordinate z substituiert wurde. Aus Gl. (8) ergibt sich, dass am Anfang (z=a=0) und am Ende (z=a=l) der Spule für R << L der Betrag der magnetischen Flussdichte um die Hälfte kleiner als in der Mitte (z=a= L/) der Spule ist. 4

5 Berechnung der axialen Feldkomponente eines Spulenpaares Ausgangspunkt ist die Berechnung der axialen Komponente B(z) der magnetischen Flussdichte einer flachen Kreisspule mit dem Radius R und der Windungszahl N. Unter Verwendung von Gl. (6) kann B(z) durch die Addition der Feldbeiträge der einzelnen Windungen unmittelbar erhalten werden, wobei eine flache Spule mit geringer Dicke D (D<< R ) vorausgesetzt wird: ( ) 0 I N R B z 1 ( z R ). (9) Die magnetische Flussdichte längs der Achse zweier flacher, identischer Kreisspulen, die sich parallel und koaxial gegenüberstehen, ergibt sich aus der Addition der Felder der Einzelspulen mit B(z)=B 1(z)+B (z). Abb.4 Zur Berechnung von B(z) für ein Spulenpaar Für einen Spulenabstand b ist die magnetische Flussdichte im Abstand z vom Achsmittelpunkt (siehe Abb. 4) ( ) 0 IN R B z 1 1 b b R z R z. (10) Die Stromrichtung ist dabei in beiden Spulen identisch. Mit Gl. (10) kann man berechnen, dass für z = 0 und b R die magnetische Flussdichte ein Maximum hat, während sie für b > R ein Minimum bei z = 0 besitzt und Maximalwerte an den Stellen der Spulenebenen besitzt. Für b = R ist die magnetische Flussdichte zwischen den Spulen im Bereich von - R/ < z < R/ annähernd homogen. Wie sieht die Feldverteilung für den Fall entgegengesetzt gerichteter Ströme aus? Überprüfen Sie Ihre Überlegungen im Experiment. 5

6 Hinweise zur Versuchsdurchführung 1. Aufgabe Zur Messung der axialen magnetischen Flussdichte wird in der Regel ein digitales Teslameter verwendet (Fa. Phywe, Manual mit Angabe zur Messunsicherheit am Arbeitsplatz). Es sind etwa 10 Minuten Einlaufzeit vor dem Beginn der Messungen abzuwarten. Mit den bekannten Daten der Kalibrierspule (00 Windungen, Wicklungslänge L = mm, Windungsradius R = 16. mm) ist der Strom für mt während der Vorbereitung auf diesen Versuch zu berechnen. Die axiale Feldsonde wird bis in die Mitte der Kalibrierspule eingeführt und anschließend regelt man den Spulenstrom mittels eines regelbaren Labornetzgerätes auf den berechneten Stromwert. Bei Abweichungen außerhalb der abgeschätzten Meßunsicherheiten muss ein zusätzlicher systematischer Fehleranteil bei der Messung der magnetischen Flussdichte berücksichtigt werden.. Aufgabe Es ist die axiale Feldverteilung B(z) einer Zylinderspule aufzunehmen. Dazu wird ein geeigneter Spulenstrom mit dem regelbaren Labornetzgerät eingestellt, der in der Mitte der Spule eine Flussdichte von B z = mt erzeugt. Beachten Sie die maximale Strombelastung der Spule. Anschließend ist die axiale Verteilung der magnetischen Flussdichte schrittweise zwischen der Mitte der Spule und 5 cm über das Spulenende hinaus in geeigneten Abständen zu messen. Es reicht aus, die Feldverteilung wegen der bestehenden Symmetrie nur nach einer Spulenseite zu messen. In die graphische Darstellung sind die gemessenen Werte und die berechenbare Kurve der Feldverteilung nach Gl. (8) einzuzeichnen. Vergleichen Sie den im Experiment ermittelten Wert der Flussdichte am Anfang des Solenoids mit dem nach der Theorie berechenbaren Wert.. Aufgabe Nehmen Sie die axiale Feldverteilung einer flachen Spule auf. Dazu wird die magnetische Flussdichte längs der Spulenachse bis zu ca. 10 % des Maximalwertes (B max= mt) um das Maximum in geeigneten Abständen gemessen. Es ist der durch graphische Auswertung und der durch Berechnung nach Gl. (9) bestimmte Wert der Koordinate z 1/, bei dem der Maximalwert der Flussdichte auf die Hälfte abgenommen hat, unter Berücksichtigung der entsprechenden Meßunsicherheiten zu vergleichen. Unter Verwendung von Gl. (9) ist eine Bestimmungsgleichung für z 1/ während der Vorbereitung herzuleiten, die nur noch den Radius R der Kreisspule enthält. 4. Aufgabe Es ist die axiale Feldverteilung der magnetischen Flussdichte B(z) für den Abstand a = R zwischen den beiden flachen Einzelspulen (Spulendaten wie bei. Aufgabe) aufzunehmen. Stellen Sie die experimentellen und berechneten Verteilungen in einem Diagramm dar. Die größte axiale Flussdichte soll mt betragen. 6