Experimentelle Übungen I E5 Kleine Widerstände / Thermoelement Protokoll

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1 Experimentelle Übungen I E5 Kleine Widerstände / Thermoelement Protokoll Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2 6. Januar Matrikel-Nr Matrikel-Nr

2 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 1 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Thomson-Brücke Thermoelement Durchführung Zubehör Versuchsdurchführung Messergebnisse Auswertung Thomson-brücke Thermoelement Diskussion 12

3 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 2 1 Theorie 1.1 Thomson-Brücke Kleine Widerstände werden als 4-Pol Widerstände angenommen (Abbildung 1). Der tatsächliche Widerstand ist zwischen den beiden Verzweigungspunkten anzusehen, der Rest zählt zu den Zuleitungen. Zur Vermessung eines solchen kleinen Widerstandes wird nun eine sogennante Thomson-Brücke (Abbilung 2) verwendet. Nicht vernachlässigbar ist hier lediglich der Leitungswiderstand R L zwischen unbekanntem R x und Vergleichswiderstand R N. Abbildung 1: Vierpolwiderstand Abbildung 2: Thomson-Brücke (schematisch) Aus der Knotenregel folgt unmittelbar: I 2 = I 3 + I 7 (1) I 1 = I 4 + I 8 (2) I 6 = I 3 + I 8 (3) I 5 = I 6 + I 7 (4) Nach Abgleich gilt auch hier Stromlosigkeit im Brückenzweig I 8 = 0. I 4 = I 1 ; I 5 = I 2 ; I 6 = I 3 ; (5) Es bleibt übrig: I 2 = I 3 + I 7 (6)

4 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 3 Aus der Maschenregel folgt nun für BDE: und mit (5): Einsetzen in (6) liefert demnach: R α I 3 + R β I 6 R L I 7 = 0 (7) I 7 = R α + R β R L I 3 (8) I 3 = I Rα+R β R L (9) Für die Maschen ACDB und CFED gilt schließlich: Und mithilfe von (5) und (9): R a I 1 R α I 3 R x I 2 = 0 (10) R b I 4 R N I 5 R β I 6 (11) R α R a I 1 ( + R x )I 2 = 0 (12) 1 + (R α + Rβ)/R L R β R b I 1 ( + R N )I 2 = 0 (13) 1 + (R α + Rβ)/R L Dieses Gleichungssystem ist nur nicht trivial lösbar wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet R x R b R N R a = R ar β R b R α 1 + (R α + R β )/R L (14) Durch geschickte Wahl der Widerstände: R α R β = R b R a wird die Abgleichbedingung besonders einfach: R x = R a R b R N (15) und ist somit von R L unabhängig. Der Schaltplan, den wir auch im Versuch benutzt haben, sieht dann wie folgt aus (Abbildung 3):

5 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 4 Abbildung 3: Aufbau der Thomsonbrücke im Versuch 1.2 Thermoelement Wenn man einen Leiter einseitig auf T + T erwärmt liegt längs des Leiters ein Temperaturgradient vor. Als direkte Folge entsteht zwischen den Leiterenden eine Spannung U und somit auch ein elektrisches Feld. Dies bezeichnet man als Seebeck-Effekt und die auftretende Spannung als Thermospannung. Falls die Temperaturdifferenz klein gegenüber der Temperatur ist gilt ein linearer Zusammenhang: U = S T (16) Der Koeffizient S heißt Seebeck-Koeffizient oder Thermokraft. Sie gilt es im zweiten Versuchsteil zu bestimmen. Für einen Messbaren Effekt verwendet man 2 Leiter aus verschiedenen Materialien, die durch zwei Lötstellen miteinander verbunden werden. Eine Lötstelle wird auf konstanter Temperatur T 0 gehalten, die andere hat die Temperatur T 0 + T. Es lässt sich dann eine Spannung messen, die sich als Differenz der Thermospannungen über den Leitern 1 und 2 ergibt: mit S 12 = S 2 S 1 U AB = S 1 T ( S 2 T ) = S 12 T (17)

6 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 5 Im Versuch wird ein Konstantan-Kupfer-Leiterverbund benutzt; der Versuchsaufbau sieht dann wie in Abbildung 4 aus. Abbildung 4: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Thermokraft kurze Ergänzung: Der Seebeck-Effekt lässt sich umkehren und wird dann als Peltier-Effekt bezeichnet: Fließt durch einen wie oben beschriebenen Leiterverbund ein konstanter Strom I, so erhitzen sich die Lötstellen bzw. kühlen sich bei anderer Stromrichtung ab. Zwischen der Peltierwärme Q p und dem Strom liegt folgender Zusammenhang vor: Q p (t) = P 12 It mit P 12 = S 12 T (18)

7 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 6 2 Durchführung 2.1 Zubehör 1 Einspannvorrichtung für Metallstäbe 6 Metallstäbe 1 Ständer mit Thermoelement, Tauchsieder, Thermometer und 2 Bechern 1 Netzgerät 2V= 1 Drehspulgalvanometer 1 mv-meter 2 Schalter 1 Schleifdraht 1,3 Ω 2 Präzesionswiderstände 10 Ω 2 Präzesionswiderstände 10kΩ 1 Widerstand 2kΩ 1 Schieblehre 1 Mikrometerschraube 2.2 Versuchsdurchführung 1. Mithilfe der Thomson Brücke (Abbildung 3) werden sechs verschiedene, unbekannte Widerstände bestimmt. Es handelt sich hierbei um sechs verschiedene Metallstäbe. 2. Anschließend werden die Metallstäbe mit Schieblehre und Mikrometerschraube vermessen. 3. Schließlich wird noch die Thermospannung eines Kupfer-Konstantan Leiterverbunds gemessen, indem eine Lötstelle konstant auf T 0 = 273K gehalten wird (Eiswasser) und die andere Seite konstant erhitzt und anschließend abgekühlt wird (vgl. Abb. 4). Hierbei messen wir die Thermospannung U ab als Funktion der Temperaturdifferenz T.

8 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp Messergebnisse Thomsonbrücke Um den unbekannten Widerstand R x zu bestimmen, wird der regelbare Widerstand R N so eingestellt, dass der Strom I 8 verschwindet (vgl. Abb. 3). R N ist ein 1m langer Draht mit einem Gesamtwiderstand von 1,3Ω. Es wurde die Länge l gemessen, die für den Widerstand effektiv war, Tabelle 1: Stab l[cm] ± 0,5cm 1 6,5 2 10, ,7 5 30, ,15 Tabelle 1: Gemessene Längen des Widerstandes R N (1m =1,3Ω) Zu Stab 6: Bei diesem Stab musste der Widerstand R N größer als 1,3Ω eingestellt werden, sodass vier 10Ω Widerstande parallel dazugeschaltet wurden; dies entspricht eine zusätzliche Länge von 192,3cm. Die Abgreifpunkte der Einspannvorrichtung der Metallstäbe haben den Abstand L = (11,88±0,20)cm zueinander. Der Durchmesser der Stäbe beträgt jeweils d = (5,0 ± 0,1)mm.

9 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 8 Thermoelement Um den Seebeck-Koeffizienten S zu bestimmen, wurden bei verschiedenen Temperaturdifferenzen folgende Spannungen gemessen (Tabelle 2): T [K] U ab,erwärmung [mv ] T [K] U ab,abkühlung [mv ] 22,7 0,86 88,0 3,62 23,7 0,97 81,7 2,70 24,5 1,06 72,5 2,50 26,0 1,20 61,3 2,36 27,0 1,38 52,1 2,20 29,7 1,56 45,1 2,00 31,5 1,79 39,5 1,82 33,7 1,88 35,0 1,72 37,7 2,09 31,3 1,58 39,9 2,21 28,2 1,45 42,1 2,33 25,6 1,33 45,7 2,50 23,4 1,24 50,9 2,77 21,3 1,14 53,6 2,89 19,6 1,05 55,2 2,94 18,2 0,98 58,1 3,08 15,8 0,89 60,6 3,18 14,0 0,81 62,1 3,28 12,8 0,74 65,8 3,42 11,5 0,67 69,8 3,63 10,1 0,57 72,3 3,72 9,6 0,53 75,9 3,85 80,0 3,96 82,8 3,98 83,0 4,00 84,8 4,07 86,9 4,10 87,7 4,15 88,5 4,17 Tabelle 2: Gemessene Spannung beim Erwärmen und Abkühlen

10 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 9 3 Auswertung 3.1 Thomson-brücke Aus den gemessenen Längen lassen sich die Widerstände mit R N = 1,3 Ω L und m dann weiterhin R x = Ra A R b R N berechnen. Der spezifische Widerstand ρ = R x L lässt sich dann ebenfalls mit A = πd2 berechnen. Die Fehler lassen sich mit 4 Fehlerfortpflanzung berechnen: R a R b = R x = ρ = 1 (19) ,3 Ω 1000 m L (20) (A ) 2 ( ) 2 ( ) 2 L R πrx d x + 8L d ARx + L L (21) 2 Es ergibt sich Tabelle 3: Stab l[cm] ± 0,5cm R x [mω] R x [mω] ρ[µωm] ρ[µωm] 1 6,5 0,08 0,007 0,014 0, ,8 0,14 0,007 0,023 0, ,25 0,007 0,041 0, ,7 0,32 0,007 0,053 0, ,8 0,4 0,007 0,066 0, ,15 2,85 0,007 0,471 0,020 Tabelle 3: Absolute und spezifische Widerstände der Metallstäbe Aus den Werten der spezifischen Widerstände lassen sich Rückschlüsse aufs Metall ziehen: Stab ρ[µωm] Vermutetes Material ρ Lit [µωm] 1 0,014 Kupfer 0, ,023 Aluminium 0, ,041 Magnesium 0, ,053 Zink 0, ,066 Nickel 0, ,471 Titan 0,4200 Tabelle 4: Material der Metallstäbe

11 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp Thermoelement Trägt man die Messwerte aus Tabelle 2 graphisch auf, erhält man folgendes Diagramm mit den Steigungen s 1 = (0,041 ± 0,001) mv bzw. s K 2 = (0,050 ± 0,0006) mv K (Abbildung 5): A b g e g riffe n e S p a n n u n g U a b [m V ] T e m p e ra tu rd iffe re n z T [K ] Abbildung 5: Thermospannungen Es ist zu erkennen, dass bei den grünen Messwerten (Erwärmungsprozess) die ersten Messwerte (kleine T ) nicht gut zum linearen Fit passen. Die dort gemessenen Spannungen sind höchstwahrscheinlich zu klein, da die Lötstelle im Eiswasser noch nicht ganz auf 273K abgekühlt war, die Temperaturdifferenz also eigentlich kleiner ist. Ab T = 30K sind die Messwerte vertrauenswürdiger. Bei dem Abkühlungsprozess sind ebenfalls die ersten Messwerte (große T ) nicht vertrauensvoll, da sich die Temperatur durch die Eiskühlung so schnell geändert hat, dass ein genaues und synchrones Ablesen nicht möglich war. Der Vorteil der Eiskühlung ist aber ebenso zu beachten: Es war möglich sehr kleine Temperaturdifferenzen genau zu messen. Fügt man beide vertrauensvollen Messbereiche zusammen erhält man den Graphen in Abb. 6 mit der Steigung s 3 = (0,050 ± 0,0004) mv K :

12 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 11 A b g e g riffe n e S p a n n u n g U a b [m V ] T e m p e ra tu rd iffe re n z T [K ] Abbildung 6: Gewisse Bereiche aus Abb. 5 zusammengefügt

13 Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 12 4 Diskussion Thomson-brücke Aus den Messwerten Rückschlüsse auf das Metall zu ziehen war nicht so leicht, wie die Tabelle eventuell vermuten lässt. Der errechnete spezifische Widerstand für den Stab 2 (Aluminium) liegt z.b. wesentlich näher am Literaturwert von Gold: ρ Stab 2 = (0,023 ± 0,001)µΩm ρ Lit Al = 0,0265µΩm ρ Lit Au = 0,0235µΩm Da wir aber wissen, dass wir keinen Goldstab benutzt haben, sondern einen leichten und hellen Stab, muss es Aluminium gewesen sein. Leider passt der Literaturwert von Aluminium nicht in den Fehlerberech, sodass die Fehler zu klein angenommen wurden, oder ein grober Messfehler passiert ist. Stab 4 könnte ebenso vom Wert her Molybdän sein, Molybdän besitzt aber einen silbrigweißen Glanz den wir bei keinem Stab beobachtet haben(ρ Lit Mo = 0,052µΩm). Stab 1 ist ebenso aufgrund seiner Farbe kein Silber sondern Kupfer. Thermoelement Wie in der Auswertung schon kurz beschrieben war es vor allem beim schnellen Abkühlen sehr schwierig die Temperatur und die auftretende Spannung synchron zu messen. Dies lag vor allem an den Thermometern, die die aktuelle Temperatur nur ca. alle 5 Sekunden angezeigt hat. Die Steigung des zusammengefügten Graphen beträgt s = (0,050±0,0004) mv ; der Literaturwert liegt bei s K Lit = 0,0425 mv. K Auch hier liegt der Literaturwert nicht im Fehlerbereich des Gemessenen.

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