Das magnetische Feld

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1 Dorn-Bader S Das magnetische Feld 1. Magnetische Grunderscheinungen Arbeitsauftrag: vgl. Dorn-Bader S. 34/35 2. Stärke des Magnetfeldes 2.1. Lorentzkraft auf bewegte Ladung Versuch B1 Nähern wir dem Elektronenstrahl in einer Braunschen Röhre einen Hufeisenmagenten, so werden die Elektronen durch die Lorentzkraft F L rechtwinklig zu den magnetischen Feldlinien wie auch zur Elektronengeschwindigkeit abgelenkt. Stülpen wir von vorn eine große stromdurchflossene Spule über die Braunsche Röhre, so fliegen die Elektronen parallel zu den magnetischen Feldlinien und werden nicht mehr abgelenkt. Ein ruhendes, geladenes Kügelchen in der Nähe eines Magneten erfährt keine Lorentzkraft. Merke: Ladungen, die sich mit einer Geschwindigkeitskomponente v s senkrecht zu magnetischen Feldlinien bewegen, erfahren eine Lorentzkraft F L. Die Richtung der Lorentzkraft liefert die Dreifinger-Regel der linken Hand für negative Ladungen und der rechten Hand für positive Ladungen: Für Elektronen lautet dann die Dreifinger-Regel: Der Daumen der linken Hand zeige in Richtung der Geschwindigkeitskomponente v s der Elektronen senkrecht zum Magnetfeld, der Zeigefinger in Richtung der magnetischen Feldlinien. Dann gibt der Mittelfinger die Richtung der Lorentzkraft F L an. (H.A. Lorentz, niederländischer Physiker, Nobelpreis 1902) Versuch B2 S. 36 Stromdurchflossene Leiter, die nicht parallel zu den Feldlinien eines Magnetfeldes stehen, erfahren ebenfalls Lorentzkräfte nach der Dreifingerregel Messung magnetischer Felder Die Richtung eines magnetischen Feldes ist durch die Richtung festgelegt, in die sich der Nordpol einer Kompassnadel einstellt. Als Maß für die magnetische Feldstärke benutzt man die Lorentzkräfte auf stromdurchflossene Leiter. 1

2 NEVA-Geräte Hochohmige Zylinderspule (6533) Stabilisiertes Netzgerät zur Erzeugung des Erregerstroms (5224) Strommesser mit 0,1 A Drahtrahmen 5 cm x 7 cm mit 50 Windungen Drahtrahmen 5 cm x 7 cm mit 100 Windungen Gleichstromquelle (gut geglättet) Federwaage 0,1 N ABB. 1 In der hochohmigen Zylinderspule wird durch einen Strom I err = 0,1 A ein homogenes Magnetfeld längs der Spulenachse erzeugt. Die beiden Lagen der Spule sind hintereinandergeschaltet. Der Erregerstrom muß laufend nachreguliert werden, da die Erwärmung der Spule den Widerstand verändert. Ein Drahtrahmen mit 50 Windungen wird an einen 0,1 N-Kraftmesser gehängt. Er soll frei im Spalt der Feldspule spielen können und seine untere Schmalseite soll waagrecht und etwas über der Spulenmitte liegen. Die Richtungen von Erregerstrom und Prüfstrom sind so zu wählen, dass der Drahtrahmen nach unten gezogen wird. Ergebnis: Die Lorentzkraft F ist proportional zum Prüfstrom I. Tauscht man den Drahtrahmen gegen einen Rahmen mit 100 Windungen aus, erhält man bei gleichen Stromstärken die doppelte Lorentzkraft. Ergebnis: Die Lorentzkraft ist proportional zur Leiterlänge s. Der Quotient F/(I s) ist von I und von s unabhängig. Auch Leiterquerschnitt und Drahtmaterial beeinflussen ihn nicht. Er wird erst größer, wenn wir das Magnetfeld verstärken. Somit ist dieser Quotient ein sinnvolles Maß für die magnetische Feldstärke. Man nennt jedoch F/(I s) magnetische Flussdichte B. Definition: Ein vom Strom I durchflossener Leiter der Länge s stehe senkrecht zur Richtung der magnetischen Feldlinien und erfahre die Kraft F. Dann ist B = F, der Betrag der I s magnetischen Flussdichte des Magnetfeldes. Einheit [B] = 1 N Am = 1 T (Tesla). (N. Tesla, kroatisch-amerikanischer Physiker) 2

3 2.3. Hallsonde zur bequemen B-Feld-Messung ABB. 2 ABB. 3 n-halbleiter enthalten wie Metalle freie Elektronen. Fließen die Elektronen (vgl. Abb. 2) von links nach rechts in einem nach hinten gerichteten Magnetfeld, so erfahren sie Lorentzkräfte F L nach unten und laden den unteren Rand des Plättchens negativ auf. Der obere Rand wird positiv geladen. Zwischen den einander gegenüberliegenden Punkten C und D kann die Hallspannung U H gemessen werden. ABB. 4 Die Hallsonde kann in Feldern geeicht werden, deren B-Feld mit einem Probestrom gemessen wurde. Die Hall-Spannung U H steigt proportional zu B. Halten wir das Hallplättchen unter verschiedenen Winkeln in das Magnetfeld, so sehen wir, dass die magnetische Flussdichte als Vektor B in Richtung der magnetischen Feldlinien aufgefasst werden muss. Die Hallsonde misst nur die Komponente Bs, die senkrecht zu ihrer Fläche steht. (Abb. B2 Dorn-Bader S. 39) Magnetfeld von langen Spulen Versuch (Dorn-Bader S. 39 Versuch V2, V3) 1. In der Mitte der hochohmigen NEVA-Zylinderspule (NEVA 6533 Länge l err = 48 cm) messen wir die magnetische Flussdichte B mit der Hallsonde. (Wähle innere Wicklung der Spule mit 8000-Windungen). 3

4 Ergebnis: B ist dem Erregerstrom I err des Spulenfeldes proportional: B I err. 2. Verkürzen wir die lange Spule auf beiden Seiten, indem wir jeweils Windungen abklemmen, aber im mittleren Bereich die Dichte der Windungen konstant halten, so bleibt B bei gleichem I err unverändert. 3. Schicken wir denselben Erregerstrom I err auch noch durch die obere Wicklung, d.h. insgesamt jetzt Windungen, so verdoppelt sich bei der gleichen Spulenlänge l err mit der Windungszahl n err auch die Windungsdichte n err /l err. Die magnetische Flussdichte B verdoppelt sich ebenfalls: B n err /l err Zusammengefasst gilt B I err (n err /l err ). Bemerkung Ersetzt man die Spule durch eine mit anderem Querschnitt oder verwendet man anderes Spulenmaterial, so ändert sich die Flussdichte B deshalb nicht. Die Flussdichte B steigt aber erheblich an, wenn man den Feldbereich mit Eisen oder anderen ferromagnetischen Stoffen füllt. Das Spulenfeld richtet nämlich die Elementarmagnete aus. Der Verstärkungsfaktor heißt Permeabilitätszahl µ r. Im Vakuum, in der Luft und in den meisten Stoffen ist µ r 1. Nur bei Ferromagnetika ist µ r sehr groß. Mit der Permeabilitätszahl µ r gilt in langen Spulen B µ r I err n err l err. Mit dem Proportionalitätsfaktor µ 0, der magnetischen Feldkonstanten, folgt: B = µ 0 µ r l err n err l err mit µ 0 = 1, Tm A. Experimentelle Bestimmung von µ 0 Verwendung der hochohmigen NEVA-Zylinderspule (NEVA 6533): Gesamtlänge l err = 48 cm Gesamtwindungszahl n err = Erregerstrom I err = 0,1 A Messergebnis: Magnetische Flussdichte: B = 4,2 mt Für die magnetische Feldkonstante µ 0 erhält man somit µ 0 = B l err I err n err 1, Tm A. 3. Anwendungen und sonstige interessante Phänomene 3.1. Datenspeicherung auf Festplatten Dorn-Bader S Das Magnetfeld der Erde Die magnetischen Feldlinien der Erde laufen nicht horizontal. Sie sind um den Inklinationswinkel i nach unten geneigt (bei uns etwa 65 0 ). Den zugehörigen Vektor der Flussdichte B des erdmagnetischen Feldes zerlegt man in die Horizontalkomponente B H und die Vertikalkomponente B V. 4

5 Versuch: Messung der Horizontalkomponenten Dorn-Bader S. 42 V1, Abbildung B3; B kann aus den Spulendaten und der Erregerstromstärke errechnet werden. Arbeitsauftrag: Orientierung mit Magnetfeldern Übungen Dorn-Bader S. 43, Nr. A1 bis A9 4. Bewegte Ladungen im Magnetfeld 4.1. Die Größe der Lorentzkraft F L auf bewegte Ladungen im Magnetfeld Liegt ein vom Strom I durchflossener Leiter der Länge s senkrecht zu einem Magnetfeld mit der Flussdichte B, so erfahren alle seine mit der Geschwindigkeit v s senkrecht zum B-Feld bewegten Elektronen die Kraft F = IBs. Für die Stromstärke I gilt: I = Q/t = Nev s /s F = (Nev s /s)bs = NeBv s. Ein einzelnes Elektron erfährt also die Lorentzkraft F L = F/N = ebv s. Ein Elektron, das sich mit der Geschwindigkeit v s senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes der Flussdichte B bewegt, erfährt die Lorentzkraft FL vom Betrage F L = ebv s. Verallgemeinerung Eine beliebige, bewegte Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v s senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes der Flussdichte B bewegt, erfährt die Lorentzkraft F L = qbv s. Im elektrischen Feld erfahren ruhende wie auch bewegte Ladungen q die Kraft F el = qe Hallspannung in der Hallsonde Im Kapitel 2.3) wurde die Hallsonde als Instrument zur bequemen Messung der magnetischen Flussdichte erläutert. Mithilfe der Lorentzkraft kann nun auch deutlich gemacht werden, dass die Hallspannung U H zur magnetischen Flussdichte B proportional ist. Wenn eine Anordnung wie in Abb. 2 vorliegt, dann ist nach sehr kurzer Zeit die Lorentzkraft auf die durchfließenden Elektronen (F L = ev s B) so groß wie die elektrische Kraft, welche durch das elektrische Feld zwischen dem oberen und unteren Rand entsteht (F el = ee = U H h ). Aus F el = F L folgt U H = B v s h (v s : Geschwindigkeit senkrecht zum B-Feld) und somit ist U H B Die Elektronenmasse Zwischen Kathode und Anode einer Elektronenröhre liege die Spannung U. Die elektrischen Feldkräfte verrichten auf dieser Beschleunigungsstrecke an jedem Elektron die Arbeit W = eu (auch im inhomogenen Feld!) Im Vakuum der Röhre erhält das Elektron die kinetische Energie W = 1 2 mv2. Somit gilt: 1 2 mv2 = e U. 5

6 Diese Gleichung enthält zwei Unbekannte: m und v s. Um beide zu bestimmen, braucht man eine zweite Gleichung. Hierzu unterwirft man die Elektronen in einem homogenen Magnetfeld der Lorentzkraft F L = ev s B. Versuch Um die Elektronenbahn gut beobachten zu können, erzeugt man dieses homogene Feld in einem Helmholtz-Spulenpaar (vgl. Dorn-Bader V1 S. 44). Mit einer Hallsonde untersucht man die Flußdichte B in der vertikalen Mittelebene der Helmholtzspulen. Das B-Feld ist weitgehend homogen. Bringt man das Fadenstrahlrohr in die Mittelebene der Helmholtz-Spulen und schaltet den Erregerstrom ein, um das Magnetfeld zu erzeugen, so wirkt die Lorentzkraft F L als Zentripetalkraft F Z = mv 2 s /r. Daher gilt in jedem Punkt der Bahn F L = F z ev s B = mv2 s r B e = mv s r e m = v s r B 1 2 mv2 = e U liefert v = 2 e mu für die Geschwindigkeit von Elektronen (bzw. Ladungen mit der Elementarladung e) nach Durchlaufen der Spannung U. ABB. 5 Stellt man die Spannung U ein, misst die Flussdichte B und den Kreisradius r, so lassen sich die beiden unbekannten Größen v s und m berechnen. Man findet dabei nicht m für sich, sondern nur e m = 2U. Man nennt e/m die spezifische Ladung. r 2 B 2 Literaturwert: Spezifische Ladung: e/m = 1, C/kg Mit der Elementarladung (vgl. Millikanversuch) errechnet sich die Masse des Elektrons zu m e = 9, kg Hinweis Beispiel: U = 500 kv v = 2 1, m/s 4, m/s > c = m/s. Damit würde das Elektron mit Überlichtgeschwindigkeit fliegen! Für große Beschleunigungsspannungen muss relativistisch gerechnet werden. eu = mc 2 m 0 c 2 m = m 0 1 v2 c 2 v Ermittle die tatsächliche Geschwindigkeit von Elektronen, welche mit 500 kv beschleunigt wurden! 6

7 4.4. Schraubenbahnen im B-Feld ABB. 6 Übungen Dorn-Bader S. 45: Beispiel und Aufgaben A1 bis A4 Treffen die Elektronen unter einem Winkel ϕ auf die B-Feldlinien, so beschreiben die Elektronen eine Schraubenbahn. Um diese Schraubenbahn zu verstehen, zerlegen wir die Geschwindigkeit v in die Komponente mit v s = v cos ϕ senkrecht zu den Feldlinien und in die Komponente mit v p = v sin ϕ parallel zu den Feldlinien. Mit der Komponente v s allein würden die Elektronen einen Kreis durchlaufen. Mit v p fliegen sie während der Umlaufdauer T um die Ganghöhe h = v p T weiter Bewegte Ladungen im inhomogenen B-Feld Dorn-Bader S. 46/47 - Schülerarbeit Die magnetische Flasche Polarlicht und Strahlungsgürtel Die magnetische Linse - Elektronenmikroskop Übungen Dorn-Bader S. 47: Aufgaben A1 bis A Bewegte Ladungen im elektrischen Querfeld ABB. 7 Die aus der Glühkathode austretenden Elektronen werden durch die Anodenspannung U A beschleunigt. Der negativ geladene Wehneltzylinder bündelt den Strahl. Die beiden Kondensatoren bewirken eine Vertikal- bzw. eine Horizontalablenkung. Treten die Elektronen mit einer horizontalen Geschwindigkeit v x in das vertiale elektrische Feld, dann durchlaufen sie wie bei einem waagrechten Wurf eine Parabelbahn, die man sich aus den beiden Teilbewegungen (gleichförmige Bewegung in x-richtung und gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y- Richtung) zusammengesetzt denken kann. Bringt man aus einer Ionenquelle andere Ladungen in ein elektrisches Querfeld, so durchfliegen auch diese eine Parabelbahn. 7

8 4.7. E- und B-Feld gekreuzt Werden Ionen senkrecht zu einem homogenen elektrischen Feld eingeschossen, dem ein Magnetfeld senkrecht überlagert ist, dann kann man bei entsprechender Wahl von E und B erreichen, dass die Ionen geradlinig weiterfliegen. So gilt für Ionen der Ladung q und der Geschwindigkeit v s senkrecht zum E und senkrecht zum B-Feld: F L = F el qv s B = qe = v s = E B ABB. 8 Ladung und Masse spielen somit keine Rolle. Mit einem solchen Geschwindigkeitsfilter kann man Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit v s ausfiltern Anwendungen Zyklotron (Dorn-Bader S. 51) Ringbeschleuniger (Dorn-Bader S. 52) Linearbeschleuniger (Dorn-Bader S. 52) Übungen Dorn-Bader S. 51 A1 bis A3; S. 54 Musteraufgabe; S. 54 Aufgaben A1 bis A9 8