Festkörperelektronik 2008 Übungsblatt 5

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1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe (TH) Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer Dipl.-Phys. Alexander Colsmann Engesserstraße Karlsruhe Festkörperelektronik 5. Übungsblatt 26. Juni 2008 Die mit Ü markierten Aufgaben werden voraussichtlich in der Saalübung besprochen. 29. Kristalle (a) Wann ist ein Festkörper kristallin? Welche Informationen benötigt man, um einen Kristall eindeutig zu beschreiben? ( ) (b) Welche Herstellungsmethoden von hochreinen kristallinen Festkörpern kennen Sie? Beschreiben Sie deren Funktionsweise. ( ) (c) Wann spricht man von polykristallinen, wann von amorphen Festkörpern? ( ) (d) Kauft man einen Siliziumwafer, so ist genau gekennzeichnet, entlang welcher Kristallebene der Schnitt verläuft. Warum ist das in Kristallen wichtig? Ist eine solche Angabe auch für eine Schicht amorphes Silizium oder Glas sinnvoll? ( ) 30. Leitfähigkeit (Ü) (a) Wie ist die Leitfähigkeit definiert? Welche Faktoren bestimmen die Leitfähigkeit im Halbleiter und wie kann man diese beeinflussen? ( ) (b) In eine organische Dünnschicht-LED werden über 2 Metallkontakte Elektronen bzw. Löcher injiziert. Die Dicke der organischen Schicht ist typischer Weise ca. 200 nm. Nehmen Sie an, daß Elektronen und Löcher die gleiche Mobilität von µ = 10 3 cm 2 V 1 s 1 besitzen und etwa in der Mitte der Schicht unter Abstrahlung von Licht rekombinieren. Wie lange dauert es demnach, bis die ersten Ladungsträger nach dem Einschalten der Spannung U=6 V die Rekombinationszone erreicht haben? ( ) (c) Ist diese organische LED damit für Daten Übertragungen im GBit-Bereich durch aktive Modulation geeignet? ( ) Seite Ü24

2 (d) Die Beweglichkeit der Elektronen in einem Film aus dem organischen Halbleitermaterial PFO ist abhängig vom angelegten Feld über: µ(e) = µ 0 exp(α E) (1) Hier ist µ 0 = 4, cm 2 /Vs und α = 3, cm 1/2 /V 1/2. Nun werden an einen 100 nm dicken Film 5 V Spannung angelegt. Wie groß müsste die Ladungsträgerdichte sein, damit die Stromdichte erreicht wird, die in einem ebenso dicken Siliziumplättchen bei gleicher Spannung mit einer Elektronen-Konzentration von cm 3 (Löcher sind vernachlässigbar) fließt (µ n = 1500 cm 2 /Vs, µ p = 500 cm 2 /Vs)? ( ) 31. Messung der Leitfähigkeit (Ü) (a) Wie können Sie mit einer SMU (Source-Meter-Unit) zum Vermessen von Strom- Spannungs-Kennlinien die Dichte der am Ladungstransport teilnehmenden Elektronen bestimmen? ( ) (b) Was sind Widerstand, spezifischer Widerstand, Leitwert und spezifischer Leitwert und wie hängen sie zusammen? Geben Sie die Bereiche an, in denen der spezifische Leitwert (oder der spezifische Widerstand) für Metalle, Halbleiter und Isolatoren üblicherweise liegen. ( ) (c) Finden Sie heraus, was der Flächenwiderstand einer Schicht ist und wie dieser mit dem Widerstand sowie dem spezifischen Widerstand zusammenhängt. ( ) (d) Warum ist der Widerstand einer quadratischen leitenden Fläche immmer gleich? ( ) (e) Informieren Sie sich, wie eine Vier-Punkt-Messung zur Bestimmung des Flächenwiderstands eines Halbleiters durchgeführt wird. Skizzieren Sie den Aufbau. Welche Vorteile hat eine solche Messung gegenüber der Messung mit einer SMU oder einem Multimeter? ( ) (f) Eine weitere gebräuchliche Messmethode für Flächenwiderstände ist die vander-pauw-methode. Beschreiben Sie auch diese kurz und nennen Sie Vorteile dieser Methode. ( ) Seite Ü25

3 32. Bloch-Oszillationen Das Leitungsband in Silizium läßt sich im Bereich [ π, π ] in der Kristallrichtung a a (100) (zwischen Γ- und X-Punkt) näherungsweise durch das Potential W (k) = W (1 + cos ka) mit W = 2 ev beschreiben. 2 (a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v und die effektive Masse m eff des Elektrons bei k = 0, k = π a und k = π 2a (b) Skizzieren Sie W (k), v(k) und m eff (k). ( ) im angegebenen Kristallpotential. ( ) (c) Nun werde ein elektrisches Feld angelegt, das auf die Elektronen eine Kraft F ausübt. Zeigen Sie, daß hiernach die Elektronen-Geschwindigkeit und der Elektronen-Ort zeitlich oszillieren (Bloch-Oszillationen). ( ) (d) Warum fließt dann ein Strom bei angelegtem elektrischen Feld? Berechnen Sie dazu aus der Beweglichkeit µ = 1300 cm 2 V 1 s 1 der Elektronen in Silizium die mittlere Streuzeit τ, verwenden Sie als Abschätzung für die effektive Masse der Elektronen den Wert 0.32 m 0. Vergleichen Sie diese Streuzeit mit einer Bloch-Oszillations-Periode für eine Feldstärke von 10 6 V/m. ( ) Benutzen Sie: v = 1 W k, 1 = 1 2 W m eff 2 k, µ = eτ 2 m eff Die Gitterkonstante beträgt a Si = 5.43 Å. 33. Die Bandstruktur II Abb. 1: Kristallstruktur und Bänderschema von Silizium Seite Ü26

4 (a) Bei der Betrachtung der realen Bandstruktur in der Abbildung 1 fällt auf, dass das Valenzband aus mehreren, energetische nahe beieinander liegenden Bändern bestehen. Versuchen Sie, die Ursache dieser Aufspaltung des Valenzbandes zu recherchieren. ( ) (b) Was ist der Gunn-Effekt? Erläutern Sie diesen anhand des Banddiagramms in Abbildung 1 mit Hilfe der effektiven Massen. ( ) (c) Zeigen Sie, dass volle Bänder keinen Beitrag zum Gesamtstrom in einem Halbleiter liefern. ( ) 34. Zustandsdichte (Ü) (a) Beschreiben Sie, was man unter dem Begriff Zustandsdichte versteht! ( ) (b) Skizzieren Sie den Verlauf der elektronischen Zustandsdichte g L (W ) im Leitungsband eines Halbleiters. Welche Annahmen wurden gemacht, um diesen Ausdruck zu erhalten? ( ) (c) Berechnen Sie die Zustandsdichte g(w ) für eine zweidimensionale Struktur. Gehen Sie dazu von einem zweidimensionalen k-raum aus und benutzen Sie die gleiche Strategie wie in der Vorlesung für drei Dimensionen gezeigt. ( ) 35. Zustandsdichte im unendlichen Potentialtopf (Ü) Gegeben sei ein 1-dimensionaler mit N Elektronen gefüllter unendlicher Potentialtopf der Breite L. Die Temperatur betrage 0 K. (a) Zeigen Sie, daß sich die Fermi-Energie (hier: die Energie des energetisch höchsten Elektrons), mit W F = h2 ( ) N 2 2m 4L angeben läßt (Zur Erinnerung: = h ). 2π ( ) (b) Geben Sie die Gesamtenergie W total aller Elektronen im -Potentialtopf an. Vereinfachen Sie das Ergebnis für große N (also N ). Benutzen Sie (c) Zeigen Sie, daß sich die mittlere Energie pro Elektron als 1 3 W F schreiben läßt. ( ) (d) Berechnen Sie die Zustandsdichte D(W) = dn für die niedrigen Energieniveaus dw des unendlichen Potentialtopfs. Gehen Sie von einem breiten Potentialtopf Seite Ü27

5 aus, so dass Sie eine quasikontinuierliche Folge der Energieniveaus annehmen können. ( ) Seite Ü28