Vom Atom zum Material

Transkript

1 Vom Atom zum Material Wiederholung! Verschiedene Arten der chemischen Bindung: Ionenbindung kovalente Bindung metallische Bindung van-der Waals Bindung

2 Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung Wiederholung! Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Cl: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 5 Energetische Betrachtung: Ionisierungsenergie: Na+5.1eV=Na + +e Elektronenaffinität: Cl+e=Cl eV Nettoaufwand: 1.5 ev

3 Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung Wiederholung! Variation des Kernabstandes: Gebundener Zustand beim Energieminimum E E 1S anti-bindend bindend Energiegewinn pro Atom bei Si: 4.64 ev

4 Vom Molekül zum Festkörper Wiederholung! Verallgemeinerung von zwei auf Atome

5 Energiezustände des Gitters Wiederholung! Aufspaltung der Energiezustände Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände Diese energetisch nahe zusammenliegenden Zustände bilden Bänder von erlaubten Zuständen. Komplexes Verhalten durch Überkreuzungen Temperatur = 0 K:

6 Kristallstruktur von Si und Ge Wiederholung! Si und Ge bilden Diamantgitter Die Diamantstruktur hat ein fcc-gitter mit einer Einheitszelle, die aus zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle. z.b. Si, Ge z.b. GaAs

7 Periodische Potentiale Wiederholung! Periodische Anordnung von Atomen Periodisches Potential V(x) Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist Ausbildung von stehenden Wellen

8 Vom freien Elektron zum Kristallelektron Wiederholung! E -π/a π/a gestreute Teilwellen Dispersionsrelation des freien Elektrons E einfallendes Elektron a a a 2 2 k = Konstruktive Überlagerung 2m der Teilwellen falls λ/2=a oder k=π/a

9 Vom freien Elektron zum Kristallelektron Wiederholung! c) Ψ*Ψ(x) obere Bandkante b) Ψ*Ψ(x) untere Bandkante Dispersionsrelation des Kristallelektrons Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a, Ausbildung von stehenden Wellen -bei einer Wellenlänge zwei qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten die stehende Welle im Verhältnis zu den Atomrümpfen zu platzieren.

10 Periodische Bandstruktur Wiederholung! Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereich nennt man die erste Brillouin-Zone. Einfachere Darstellung

11 Bloch-Elektronen Wiederholung! Ψ ( r) = e ikr u ( r) nk nk

12 Richtungsabhängigkeit des Potentials Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenen Raumrichtungen verschieden ist. Nehmen wir z.b. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang der X-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung. Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlauf auch die Energiezustände unterschiedlich sind. X Γ L z.b. beim quadratischen Gitter in 2D: Γ: K=(0,0) X: K=(0,1) L: K=(1,1)

13 Richtungsabhängigkeit des Potentials In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezustände richtungsabhängig sind. Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt: Γ K=(0,0) X K=(0,1) Γ (0,0) L k=k(1,1) L Γ X

14 Bandstruktur von Silizium Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder die Abhängigkeit von ω (bzw. W ) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebene Wellen sondern um komplexe Überlagerungen. Die neuen Eigenzustände heissen Blochzustände.

15 Bandstruktur von Germanium

16 Bandstruktur von GaAs

17 Elektronische Eigenschaften von Halbleitern In der Vorlesung Elektronische Schaltungen haben Sie das Verhalten verschiedener Halbleiterbauelemente kennen gelernt: Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren Source: ES-Skript Warum verhalten sich die Bauelemente so? Wie designt man neuartige Bauelemente?

18 Beweglichkeit von Kristallelektronen Wie bewegen sich Elektronen in Kristallen? HL E makroskopisch: J = σe bzw. J = σe Wie berechnet man σ??

19 Geschwindigkeit von Materiewellen E Gruppengeschwindigkeit (Geschwindigkeit, mit der sich der Schwerpunkt eines Wellenpaketes bewegt) v g ω = k Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential Dieser Zusammenhang gilt auch für Blochelektronen! Lassen wir also einmal ein elektrisches Feld auf ein Wellenpaket einwirken...

20 Beschleunigung von Materiewellen Für die Gruppengeschwindigkeit gilt: v g ω = = k 1 Wk ( ) ; k Ziel: Ableitung einer Bewegungsgleichung für ein Elektron im Kristall: Klassische Änderung der Energie pro infinitesimaler Zeiteinheit: dw dt = F v für ein Blochelektron: dw 1 W ( k) d( k) = dt k dt...um W zu ändern, muss k geändert werden v g D.h. äußere Kraft verschiebt den k-vektor des Wellenpaketes gemäß dk 1 F dt =

21 Beschleunigung von Materiewellen Wie sieht es mit der Beschleunigung aus? a dv 2 2 g 1 d W 1 W dk 1 W = = = F 2 = 2 2 dt dt k k dt k Analog zum klassischen F=ma kann also eine Masse des Blochelektrons definiert werden: Wk ( ) m = k * 2 2 bzw. m 2 Wk ( ) = 2 k * 2-1 Masse des Kristallelektrons wird bestimmt durch die Bandstruktur!!!

22 Elektronen in Kristallen Transporteigenschaften von Kristallelektronen werden bestimmt durch die Bandstruktur (Gruppen)Geschwindigkeit ist gegeben durch 1 Wk ( ) vg = ; k Die effektive Masse dieser Elektronen ist: m 2 Wk ( ) = 2 k * 2 Kristallelektronen benehmen sich bei Beschleunigung wie Teilchen der Masse m* (m eff )! -1 W

23 Beispiel: Kosinusförmiges Band I (W(k)=E(k)) Bsp.: kosinusförmiges Band

24 Beispiel: Kosinusförmiges Band II Eine konst. Kraft F bewirkt das folgende k(t): in v g (t)..und in x(t) Nach diesem Modell erwarten wir eine oszillierende Bewegung der Elektronen (Bloch-Oszillationen) mit einer Periode von ca. 0,8 ps.

25 Aber: Einfluss von Störungen In einem realen Kristall wird die Bewegung des Elektrons unterbrochen durch z.b. Stöße mit Gitterschwingungen (Wechselwirkung mit Phononen) Streuung an Defekten Elektron-Elektron-Streuung Die Zeit τ für diese Störungen ist typischerweise viel kürzer als die Periode der Bloch-Oszillation. Bloch-Oszillationen können nur in speziell hergestellten künstlichen Kristallen beobachtet werden. THz-Technik

26 Ströme in Halbleitern Strom im Halbleiter: Abfolge von Phasen der Beschleunigung und abrupten Stößen Elektronen werden durch den Halbleiter getrieben Drift ströme Elektronenbahn ohne/mit Feld

27 Driftströme Elektronen werden im Mittel nach der Zeit τ durch Stoß mit Atomrumpf abrupt abgebremst. Damit ergibt sich als mittlere Geschwindigkeit: v F qeτ eeτ = τ = = µ E * * m m m Damit ergibt sich eine zentrale Größe der Halbleiterelektronik, die Beweglichkeit µ: µ = eτ * m Sie ist ein Maß dafür, wie schnell sich ein Elektron im Halbleiter unter Einwirkung des elektrischen Feldes bewirkt

28 Driftströme Stromdichte durch ein Volumenelement: Ladung pro Teilchen (Einheit: C) J = q n v Dichte der Ladungen (Einheit: m -3 bzw cm -3 ) mittlere Geschwindigkeit Einheit: m/s Die Stromdichte ist direkt proportional zur Beweglichkeit: J = qnv = qnµ E -hohe Beweglichkeiten -hohe Stromdichten -geringe Schaltzeiten

29 GaAs Bandstruktur und Beweglichkeit Die effektive Masse der Ladungsträger ist eine Funktion des k-wertes und des Bandes. Die Zeitkonstante τ ist ebenfalls nicht konstant. Deshalb ist die Beweglichkeit nicht für alle Elektronenzustände gleich.

30 Si Bandstruktur und Beweglichkeit Die Träger relaxieren durch Stöße zu den niedrig gelegenen Zuständen im Band. Deshalb heißt τ auch Intrabandimpulsrelaxationszeit. Die Elektronenbeweglichkeit im Leitungsband ist bei Si kleiner als bei GaAs. Dies sieht man an der geringeren Bandkrümmung im Minimum. µ = e τ m eff

31 Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs Elektronen hoher Energie haben z.b. eine geringere Beweglichkeit Source:[5]

32 Halbleiter mit hoher Beweglichkeit Für Hochfrequenzbauelemente (optische Nachrichtentechnik, Mobilfunk) sind die Si-Elektronen u. U. nicht schnell genug. Erforschung und Einsatz von anderen Halbleitermaterialien z.b. GaAs, InP, SiGe Quelle: Infineon Corporate Research

33 Halbleiter mit hoher Beweglichkeit Quelle: Infineon Corporate Research

34 Beweglichkeiten Die Beweglichkeit ist nicht naturgegeben: Wird bestimmt durch: - Reinheit des Halbleiters (wenige Streuprozesse) - Wahl des Materials - den k-zustand (Energie) des Elektrons

35 Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs v µ = µ E = e τ m eff Source:[5] Für kleine Feldstärken ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und die effektive Masse ungefähr konstant. In diesem Bereich ist die Parabelnäherung zur Bandstruktur anwendbar.

36 Parabolische Näherung Da die Bandstruktur in diesen Bereichen symmetrisch ist, können wir sie durch eine Parabel annähern. Die Elektronen verhalten sich wie freie Elektronen mit einer konstanten effektiven Masse. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge

37 Parabolische Näherung W W G k WC( k) = WG + 2m W V k = 2m 2 2 h 2 2 e m e,h : Effektive Elektron(Loch)masse a = eh, qe m eh, 1 1 = m W 2 n 2 2 k ( k)

38 Parabelnäherung: Löcherbewegung - Strombeiträge einzelner Elektronen in einem vollbesetzten Band kompensieren sich paarweise: - Strom wird nur getragen von teilweise gefüllten Bändern

39 Autobahn-Analogie Wir wollen Pakete per Auto von Karlsruhe nach Frankfurt bringen. Jedes Auto kann ein Paket mitnehmen. Wenn wir kein Auto haben, können wir nichts transportieren. Je mehr Autos wir auf die Straße schicken, desto mehr Pakete können wir transportieren. aber irgendwann gibt es einen Stau. Aber wenn alles voll ist, geht auch nichts mehr (Elektronen sind Fermionen!)

40 Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: W k WC( k) = WG + 2m 2 2 e W C W G W G W V W V k = 2m 2 2 h

41 Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: W C : Minimum des Leitungsbands (Conduction band) W V : Maximum des Valenzbandes (Valence band) W G W C W V W G : Energielücke (Energy gap)

42 Besetzung der Bänder mit Elektronen Die Verteilung von Elektronen auf die Bänder sieht bei Metallen, Halbleitern und Isolatoren bei Raumtemperatur folgendermaßen aus: W Source: B. Van Zeghbroeck

43 Defektelektronen (Löcher) im Valenzband Anstatt die vielen unbeweglichen (im Stau stehenden) Elektronen im Valenzband zu betrachten, ist es einfacher die wenigen beweglichen Defektelektronen (Löcher) zu analysieren. Fehlende Elektronen im fast vollständig besetzten Valenzband sind beweglich (Analogie: Wasserblasen, Bierkasten mit einer fehlenden Flasche, ) Löcher können als einzelne Teilchen mit einer positiven Ladung und im Vorzeichen geänderter effektiver Masse (positiv wenn Elektronenmasse negativ!) angesehen werden

44 Berechnung der Leitfähigkeit Quantitativ wird die Leitfähigkeit σ berechnet durch: Ladung des Elektrons Beweglichkeit der Ladungsträger im Leitungsband Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband Anzahl der Defektelektronen im Valenzband Beweglichkeit der Ladungsträger im Valenzband Wie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins Leitungsband und wie viele gibt es dort?