Ladungsträgertransport in Volumensmaterial

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1 Ladungsträgertransport in Volumensmaterial Driftstromdichte Die resultierende Bewegung eines Elektrons oder Loches in einem Halbleiter unter Einfluss eines elektrischen Feldes wird als Drift bezeichnet und der resultierende Strom deshalb als Driftstrom. Mit der Driftgeschwindigkeit v d. Zwischen den Zusammenstößen nimmt v d linear zu. Der mittlere Wert ist Wobei t die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kollisionen ist und P(t) die Wahrscheinlichkeit, das der Ladungsträger keinen Stoß innerhalb t hat und gegeben ist durch: Niederdimensionale HL-Systeme -2 1

2 Ladungsträgertransport in Volumensmaterial mit Wird die Driftstromdichte Hierbei wird angenommen, daß für die Stromdichte die Driftgeschwindigkeit linear vom elektrischen Feld abhängt und die Beweglichkeit unabhängig davon ist. Diese Beweglichkeit wird auch als Leitfähigkeitsbeweglichkeit bezeichnet. Die Beweglichkeit kann aus verschieden Experimenten, wie z.b. Hall-Effekts- oder Magnetowiderstandsmessungen bestimmt werden und unterschiedlich sein. Die Beweglichkeit hängt jedoch von der Streu- oder Relaxationszeit ab, die wiederum von den einzelnen Streumechanismen die zur Streuung beitragen abhängt. In GaAs sind dies Streuung an Defekten (intrinsische, geladene oder neutrale), Mischkristallstreuung, Ladungsträger-Ladungsträger Streuung, Streuung an akustischen und optischen Phononen, ). Die Streuzeit t kann als für unabhängige Prozesse als Matthiessen Regel Niederdimensionale HL-Systeme -2 2

3 Ladungsträgertransport Niederdimensionale HL-Systeme -2 3

4 Elektronentransfer in GaAs Niederdimensionale HL-Systeme -2 4

5 Diffusionsstromdichte Bei räumlichen Änderungen der Ladungsträgerkonzentration bewegen sich die Ladungsträger in Gebiete von niedrigeren Konzentrationen. Diese Bewegung wird als Diffusionsstrom bezeichnet und kann durch das Fick sche Gesetz beschrieben werden: Fick sches Gesetz: mit Elektronen Diffusionskoeffizient wird und Sodass der gesamte Drift und Diffusionsstrom für Elektronen Und Löcher Die gesamte Stromdichte wird damit: Niederdimensionale HL-Systeme -2 5

6 Diffusionsstromdichte Für einen Halbleiter im Gleichgewicht muss für jeden Halbleitertyp die Stromdichte null sein und damit Das elektrische Feld hängt mit dem Potential zusammen sodass unter nichtentarteten Bedingungen (Boltzmannstatistik) erhält man mit den Einsteinrelationen und erhält man für die Ströme: Damit ist klar, dass die Stromdichte auch in der Präsenz von Ladungsträgerdiffusion zur Beweglichkeit proportional ist. Niederdimensionale HL-Systeme -2 6

7 Generation und Rekombinationsstrom Für direkte Rekombination Für den Nichtgleichgewichtszustand (z.b. Beleuchtung mit Licht) Mit den Überschussladungsträgerdichten Die Rekombinationsrate wird dann Im Gleichgewicht Die Nettorekombinationsrate ergibt sich damit Im thermischengleichgewicht Niederdimensionale HL-Systeme -2 7

8 Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung kombiniert Drift, Diffusion, Generation und Rekombinationsprozesse in eine Gleichung Durch Taylor-Reichenentwicklung Niederdimensionale HL-Systeme -2 8

9 Kontinuitätsgleichung Einsetzen der Ausdrücke für die Ströme liefert dann Niederdimensionale HL-Systeme -2 9

10 Kontinuitätsgleichung Poisongleichung Ladungsträgerdichte Die Kontinuitästsgleichung kann jetzt unter folgenden Randbedingungen und Näherungen gelöst werden: Einsetzen in die Kontinuitästsgleichung liefert: Mit Hilfe der Laplace-transformation erhalten wir: Als endgültige Lösung: Niederdimensionale HL-Systeme -2 10

11 Überschussladungsträger als Funktion der Zeit Niederdimensionale HL-Systeme -2 11

12 Boltzmann Transportgleichung Im Gleichgewicht (wenn keine externe Störung vorliegt) ist die statistische Verteilung der Ladungsträger durch die gegeben Boltzmann Gleichung Niederdimensionale HL-Systeme -2 12

13 Boltzmann Transportgleichung Die Entwicklung von f k als Funktion der Zeit aufgrund von Streuung, Diffusion und externen Feldern kann jetzt durch Boltzmann Gleichung beschrieben werden und die gesamte Ableitung durch da und mit erhalten wir Boltzmann Transportgleichung Der Streuterm repräsentiert die Verteilungsfunktion aufgrund der Streuung zwischen den Elektronen und ihrer Umgebung Niederdimensionale HL-Systeme -2 13