PN Übergang. Sebastian Schwerdhöfer. Hauptseminar zu Grundlagen der Experimentellen Physik im SS Einstieg. Ladungsträgerdichte.

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1 PN Übergang Sebastian Schwerdhöfer der Shockley Hauptseminar zu Grundlagen der Experimentellen Physik im SS. 2012

2 Gliederung Ziel: Shockley der Diodenkennlinie ) ) U I U) = I S exp 1 n U T Weg: Dichte freier Ladungsträger im Halbleiter der Shockley

3 Rückblick: in der Parabelnäherung W = h2 k 2 2m e W L näherungsweise kontinuierliche n: der Shockley g L W ) = A W W L g = 2 dn V dw : Anzahl von Elektronenzuständen pro Energieintervall pro Volumen in Leitungsband)

4 intervall Anzahl von Elektronen im Leitungsband intervall pro Volumen = x Besetzungswahrscheinl. Fermiverteilung) ñw,t ) = g L W ) f W,T ) der Shockley

5 der freien Ladungsträger Anzahl von Elektronen im Leitungsband pro Volumen = Integral über ñ entlang des Leitungsbandes n = ñw,t )dw = LB Oberkante LB Unterkante LB g L W ) f W,T )dw der Shockley

6 Näherung der f W,T ) exp W W ) F, gw ) = A W W L }{{} Boltzmann Näherung LB gw) der Shockley n = g L W ) f W,T )dw g L W ) f W,T )dw LB W L

7 Berechnung des Integrals n = g L W ) f W,T )dw W L = A W W L exp W L W W ) F dw der freien Elektronen im Leitungsband: n = N L exp W ) L W F der Shockley Mit äquivalenter N L ) 3 /2

8 Anzahl der freien Löcher Analog ist die der freien Löcher im Valenzband: p = N V exp W ) F W V Mit äquivalenter N V ) 3 /2 der Shockley

9 Massenwirkungsgesetz im intrinsischen HL Der undotierten Halbleiter ist elektrisch neutral: n = p =: n i n i :intrinsische ) n 2 i = n p Massenwirkungsgesetz) Mit dem kann n i berechnet werden: mit n i = n p = N L N V exp W Gap := W L W V W ) Gap 2 der Shockley

10 Massenwirkungsgesetz im ndotierten HL Ladungsträgererzeugung mit konstanter Rate AT ) Rekombinationsrate Anzahl der Ladungsträger Veränderung der Elektronendichte also: = AT ) BT ) n p dn dt Im Gleichgewicht gilt: dn dt = 0 n p = AT ) BT ) Freie Elektronen: n n D Störstellenerschöpfung) Freie Löcher: p = AT ) BT ) 1 n = AT ) BT ) 1 = AT ) n i nd ni BT ) 1 n }{{} i =p i =n i 1 n D/n i = n2 i n D der Shockley n 2 i = n p

11 Massenwirkungsgesetz im pdotierten HL Analoge Überlegungen zeigen das Massenwirkungsgesetz auch im pdotierten Halbleiter. Das Massenwirkungsgesetz gilt im in undotierten und dotierten HL Die intrinsische beträgt somit n i = n p = N L N V exp W ) Gap 2 der Shockley

12 Unterschiedlich dotierte Halbleiter ohne Kontakt pdot ndot Eingezeichnet sind nur ionisierte) Störstellen. In Kästen: Ortsfeste Rümpfe In Kreisen: bewegliche Ladungsträger der Shockley

13 Diusionsstrom bei Kontakt pdot ndot der Shockley

14 Entgegengesetzter Feldstrom pdot ndot der Shockley

15 im pdot RLZone ndot der Shockley

16 dotierter Halbleiter ohne Kontakt) pdot ndot der Shockley

17 bei Kontakt Weit weg von der RLZone: n identisch zum kontaktlosen Fall. Abstände zw Ferminiveau und Bandkanten identisch zum kontaktlosen Fall! Überall: Im einheitliches Ferminiveau der Shockley

18 bei Kontakt Weit weg von der RLZone: Identische Bandstruktur. Überall: einheitliches Feriniveau der Shockley

19 Formeln zur Berechnung der e U D = W L ) W L ) n N = N L exp p P = N V exp W L ) W F W F W V ) ) ) der Shockley W Gap = W L ) W V )

20 Berechnen der 2 Formeln aus der Graphik: n N = N L exp W L ) W F W Gap = W L ) W V ); ) ; p P = N V exp W F W V ) e U D = W L ) W L ); Annahme: Störstellenerschöpfung: n N n D p P n A n D n A = n N p P = N L N V exp n D n A = N L N V exp W ) L ) W V ) W ) L ) W L ) W Gap e U D = N L N V exp W ) {}}{ Gap exp W L ) W L ) k }{{} B T =n 2 i ) der Shockley

21 Berechnen der 3 n D n A = n 2 i exp na n D U D = U T ln n 2 i e U ) D ), U T := k BT e der Shockley

22 Löcherdichte p 0 n am rechten Rand der RLZone im pn 0 := p n l n ) = N V exp = N V exp = N V exp W F ) W V l n ) W F ) W V ) e U D ) W F ) W V ))e U D ) ) ) der Shockley

23 Diode in Durchlassrichtung Qualitativ pdot ndot treibt Majoritätsträger in die RL Zone und auf die andere Seite wo es Minoritätsträger sind. Shockley: Innerhalb der RLZone keine Rekombination Eindringtiefe von Minoritätsträgern wird durch Rekombination beschränkt. Die Minoritätsdichte fällt nach auÿen ab. der Shockley

24 Überlegungen zum Angelegte U reduziert Potentialunterschied von U D auf U D U. Kein QuasiFerminiveaus Imrefs) zur Beschreibung der n. Auÿerhalb der RLZone: Majoritätsdichte unverändert. Abstand zwischen W F,Maj und entsprechenden Bandkanten wie im. An den Rändern: Minoritätsdichte unverändert begrenzte Eindringtiefe der Minoritäten). Abstand zwischen W F,Min und entsprechenden Bandkanten wie im. Nähert man sich der RLZone: Minoritätsdichte nimmt im VGL zum zu. Aufspaltung von W F in zwei QuasiFermiNiveaus für Minoritäten zu bzw abnehmend) und Majoritäten gleichbleibend). der Shockley

25 Ergebnis der Überlegungen El. Potentialunterschied: U D U. Am Rand: Dichten wie im. Auÿerhalb der RL Zone: W F,Maj W Maj.Bandkante wie im. Näher an der RLZone: W F,Min W Min.Bandkante abnehmend im VGL zum. der Shockley

26 Annahmen zur Näherung Annahme Näherung): Keine Rekombination von injizierten Minoritäten in der RL Zone. pdot ndot Weitere Näherung: Vernachlässigung von Feldströmen der Shockley Betrachtung reduziert sich auf Diusionsstrom der Minoritätsträger am Rand der RL Zone

27 Löcherdichte am rechten Rand der RLZone pl n ) = N V exp W F ) W V l n ) W V l n ) = W V ) e U D U) pl n ) = N V exp W ) ) F ) W V )) e U D e U exp }{{} =:p 0 n, Löcherdichte im nbereich ohne ) der Shockley ) e U pl n ) = pn 0 exp

28 Löchergradient am rechten Rand der RLZone Überschuss am rechten Rand der RL Zone: pl n ) = pl n ) p 0 n = p 0 n Formeln: pl n ) = p 0 n exp e U exp e U ) ) 1 Der Überschuss nimmt nach rechts durch Rekombination exponentiell ab: ) px) = pl n ) exp ln x L p e U px) = pn 0 exp ) ) 1) } {{ } pl n ) ) exp ln x L p ) der Shockley

29 Löcherstrom am rechten Rand der RLZone pn 0 exp e U j p,d l n ) = e D p p x x = l n) Formeln: px) ) = ) 1 Einsetzen von px) möglich, da x px) = x px) j p,d l n ) = e D ) ) p e U pn 0 exp 1 L p ) exp ln x L p der Shockley

30 Gesamter Diusionsstrom Analog zum Löcherstrom am rechten Rand der RLZone erhalten wir den Elektronenstrom am linken Rand der RLZone: j n,d l p ) = e D ) ) n e U np 0 exp 1 L n Die gesamte Diusionsstromdichte beträgt also: Dp j D = j p,d j n,d = e pn 0 D ) ) ) n e U np 0 exp 1 L p L n der Shockley

31 Shockley Dp I U) = j A = A pn 0 D ) n np 0 L p L n }{{} =:I S, Sperrstrom ) ) U I U) = I S exp 1 n U T ) ) e U exp 1 U T := k BT e der Shockley

32 Beispielkennlinie aus der Wikipedia ) ) U I U) = I S exp 1 n U T der Shockley Diodenkennlinie vom Typ 1N4001)