Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Sommersemester 2013 Prof. Dr. F. Kremer

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1 Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Sommersemester 3 Prof. Dr. F. Kremer Üersicht der Vorlesung am Wiederholung (Drude-Modell ( freies Elektronengas, Plasmaschwingung, Grenzen des Drude- Modells Folgerungen aus der Translationsvarianz des Gitters Das Kronig-Penney Modell Das Bändermodell der elektronischen Zustände in einem Festkörper

2 Wiederholung (Drude-Modell ( freies Elektronengas, Plasmaschwingung, Grenzen des Drude-Modells Etwa 75 der chemischen Elemente zeigen unter Normaledingungen Metallcharakter, d.h. sie zeichnen sich durch folgende Eigenschaften aus: a durch die ihnen gemeinsame chemische Bindung durch eine große elektrische Leitfähigkeit c durch die Existenz quasifreier Elektronen d durch eine sehr hohe Teilchenzahldichte der quasifreien Elektronen e durch die Verringerung der Leitfähigkeit mit wachsender Temperatur f durch eine großen optischen Asorptions- und Reflexionsgrad g durch die Proportionalität zwischen thermischer und elektrischer Leitfähigkeit, woei für alle Metalle die Proportionalitätskonstante eine universelle Konstante ist. (Wiedemann Franz sches Gesetz Um 9 entwickelte Drude das Modell des freien Elektronengases. Es erlaut lediglich eine qualitative Interpretation der el. Leitfähigkeit. Sein Grenzen erkennt man insesondere In der inkorrekten Beschreiung dertemperaturahängigikeit der DC-Leitfähigkeit Der Tatsache, dass die Frequenzahängigkeit der Leitfähigkeit komplizierter ist 3 Der Tatsache, dass das Drude-Modell nicht erklären kann, wann ein Material ein Isolator und wann ein Metall? Im Drudemodell wurde davon ausgegangen, daß die freien Elektronen einer Boltzmann Statistik genügen. Das ist falsch, wie von A, Sommerfeld 98 erkannt. Weiterhin wurden isher der Beitrag des periodischen Potentials und Korrelationseffekte zwischen Elektronen weggelassen. Folgerungen aus der Translationsvarianz des Gitters Die Translationsvarianz des Gitters esagt Ps = Ps+ r ( ( (

3 ( für ein Potential Ps mit einem Gittervektor r. Die Energieeigenwerte für ein quasi-freies Elektron ergeen sich aus dem Hamilton- Operator Ĥ Ĥ ψ = Eψ Ĥ= ep( s (3 me Der Hamiltonoperator ist invariant ei der Sustitution s s + r, wegen ( und der Tatsache, dass invariant ist, wenn man einen konstanten Faktor r zu der Koordinaten s addiert. Also müssen ψ ( s und ψ ( s + r die gleichen Eigenwerte haen. Die Wellenfunktion ψ ( s und ψ ( s + r mögen sich nur durch einen konstanten Faktor r unterscheiden, der nur von r ahängt. ψ ( s + r = C ( r ψ ( s (4 Im Einzelnen muss gelten was heißt s r s r dv C r C r s s dv + + ψ + ψ + = ψ ψ ( ( ( ( ( ( C r C r C r = ( ( = ( Dies ist mit dem folgenden Ansatz erfüllt C r = e ( ik r Einsetzen von (7 in (4 liefert ( s r ik r e ψ + = ψ ( s Eine Lösung der Eigenwertgleichung ( muss, wenn sie der Periodizitätsforderung genügen soll, auch Gl. (8 erfüllen. Das motiviert den Ansatz ψ = (9 ( s u ik s ( s e und man erhält us se s r e e also ist us ( Die Funktion ik s ik r ik s =ψ =ψ + = ( ( ( ik ( s+ r =ψ ( s+ r e u( s+ r eenfalls translationsinvariant. ψ = ( s u ik s ( s e wird als Bloch-Funktion ezeichnet und 98 in Leipzig von Felix Bloch, dem ersten Assistenten von Werner Heisenerg, entdeckt. ( (5 (6 (7 (8 ( ( 3

4 Das Kronig-Penney Modell Die Energieeigenwerte für ein Elektron in einem periodischen Potential (in einer Dimension folgen aus: d Ĥ= + W m dx e p ( x ( W p E a l l 3 l In "" gilt: [,a] Wp ( x = (3 x Ansatz: Eene Wellen ( x c exp( ik x c exp( ik x ψ = + (4 d ψ dx ( x ( x k ( =ψ = ψ x (5 Einsetzen in die Schrödingergleichung mit diesem Ansatz liefert m E e k = (6 woei E die Energieeigenwerte des Elektrons sind. In "" mit [-,] macht man einen ähnlichen Ansatz: mit ( x c exp( ik x c exp( ik x ψ = + (7 d ψ ( x 3 4 ( x k ( ψ = ψ x (8 dx ( m E E k = (9 4

5 Für die Wellenfunktion in "" mit [a, a+] gilt eine periodische Fortführung von ψ (x mit der Periodizität = a +, d. h. mit k = π/ ( x exp( ik ( x ψ = ψ ( ( ( ( ( 3 ( 4 ( ( ψ x = exp ik c exp ik x + c exp ik x Um die Koeffizienten c i zu estimmen, muss die Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Aleitungen an den Intervall-Grenzen erücksichtigt werden. ψ ( =ψ ( (a ; ψ ( =ψ ( ψ ( a =ψ ( a (c ; ψ ( a =ψ ( a Damit ergit sich ein lineares Gleichungssystem c + c = c + c 3 4 ( + ( = ( ( ( cexpika cexp ika ( 3 4 = exp ik c exp ik + c exp ik ( ( ( (d aus (a aus (c k c c = k c c aus ( 3 4 ( ( ( = k exp( ik c exp( ik c exp( ik k c exp ik a c exp ik a ( = 3 4 aus (d ( ( (3 Dieses System von linearen Gleichungen hat eine nicht-triviale Lösung nur unter der Bedingung k + k cosk = cos( ka cos( k sin( ka sin( k k k. Fall: E< E k k ist imaginär (4 k = ik k ist reell Aus (4 folgt wegen oder k k ( ( ( cos k = cos ka cosh k sin( ka sinh( k (5 k k iz iz 4 e + e z z cosz = = +...! 4! Z Z 4 e + e z z coshz = = (s. Bronstein S. 7! 4! 5

6 ( cosz = cosh iz ( sinz = isinh iz Die erlauten Energieeigenwerte sind limitiert durch die Bedingung: Für E folgt k k ( ( * cos ka cosh k sin( ka sinh( k + (6 k k k ( m E E = k (7 also k Mit ergit sich: k k k kk kk k E = (8 k = const E (9 E Analog folgt cosh k ( ( sinh k k (3 (3 mit Also folgt aus (6 3 5 z z sinh z = z (3 3! 5! k a cos k a + sin k a k (33 oder ( ( ( ka ( k a sin( k a cos ka + (34 k a mea e cos( ka + γ sin( k a ka (35 oder ( ( ka sin k a γ + cos k a + (36 ( 6

7 . Fall: E > E Analog zu Fall aer ohne "physikalischen Sinn" für E Für das Energietermschema eines quasi-freien Elektrons in einem periodischen Potential eines kuischen Kristalls (k x, k y = k z = folgt Das Bändermodell der elektronischen Zustände in einem Festkörper Das Energieand mit vollständig esetzten elektronischen Zuständen, das am höchsten ei T = K ist, ist das Valenzand, das nächst höhere das Leitungsand. Elektronen eines vollesetzten Bandes tragen nicht zum Ladungstransport ei, weil die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem äußeren elektrischen Feld nicht möglich ist. 7

8 Das Energieand mit vollständig esetzten elektronischen Zuständen, das am höchsten ei T = K ist, ist das Valenzand, das nächst höhere das Leitungsand. Elektronen eines vollesetzten Bandes tragen nicht zum zum Ladungstransport ei, weil die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem äußeren elektrischen Feld nicht möglich ist. a Metalle, Halmetalle,c Halleiter, d Isolatoren Bandlücke: W Leitungsand W Valenzand = ΔW: Isolator: ΔW:,5 ev Halleiter: ΔW i,5 ev Metall: ΔW i Der Ladungstransport im Halleiter ist thermisch aktiviert, Metalle haen eine entgegengesetzte Temperaturahängigkeit 8

9 Üerlappen sich das Valenz- und Leitungsand nur in einem kleinen Bereich (<% zw. ist das Leitungsand ei T=K fast vollständig leer (weniger als % esetzt so spricht man von einem Halmetall Metall. Art. Halmetalle sind Elemente der 3. is 6. Gruppe des Periodischen Systems. Sie esitzen i. A. sowohl metallische als auch nichtmetallische Modifikationen. Beispiele sind z.b. Arsen, Antimon und Wismut. Im Bereich der Halmetalle vollzieht sich der Üergang von der metallischen zur homöopolaren Bindung. In Halmetallen kommt auf 5 Atome ca. ein quasifreies Elektron, während in Metallen auf jedes Atom angenähert angenähert ein quasifreies Elektron kommt. Die Leitfähigkeit der Halmetalle ist daher um Größenordnungen kleiner als die der Metalle (Halmetalle: σ: - is -4 Ω cm ei T=3K, Metalle ~ 5 Ω cm. Ist die Energielücke (and gap <,5eV zwischen Valenz- und Leitungsand, so spricht man von Halleitern. Bei ihnen kann durch thermische Anregung eine erheliche Anzahl von Ladungsträgern vom Valenzand in das Leitungsand gehoen werden. Zwischen Halmetallen und Metallen zw. Halleitern und Isolatoren esteht somit kein qualitativer Unterschied, sondern nur ein quantitativer Unterschied. Kontrollfragen für die Vorlesung am Welche experimentellen Befunde zgl. der elektrischen Leitfähigkeit können im Rahmen einer klassischen (d.h. nicht-quantenmechanischen physikalischen Beschreiung üerhaupt nicht erklärt werden? 3. Was einhaltet das Kronig-Penney Modell? 3. Erklären Sie das Bändermodell. 3. Wie unterscheiden sich im Bändermodell ein Metall, ein Halmetall, ein Halleiter und ein Isolator? 9