Mott-Isolator-Übergang

Transkript

1 -Übergang Patrick Paul Denis Kast Universität Ulm 5. Februar 2009 Seminar zu Theorie der kondensierten Materie II WS 2008/09

2 Gliederung Festkörper-Modelle 1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell 2 -Übergang 3

3 Gliederung Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell 1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell 2 -Übergang 3

4 Bändermodell Annahmen Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h2 k 2 2m Gitterpotential als kleine periodische Störung Periodizität im reziproken Raum: E(k + G) = E(k) = Reduktion auf erste Brillouin-Zone

7 Bändermodell Energie im k-raum Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Abbildung: Energiedispersion und Bandaufspaltung

9 Tight-Binding-Modell Annahmen Bändermodell Tight-Binding-Modell starke Bindung der Elektronen LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst: Ĥ Atom (r r n )φ(r r n ) = Eφ(r r n )

12 Tight-Binding-Modell Ritzsches Verfahren Bändermodell Tight-Binding-Modell Ĥ = Ĥ Atom + v = h2 2m + V Atom(r r n ) + m n V Atom (r r m ) = freier Anteil + Potential des Zentralatoms + Wechselwirkung mit Nachbarkernen Elektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt Ritzscher Ansatz: löse ĤΨ k = E(k)Ψ k mit Ψ k = n c n e ikr n φ(r r n )

13 Tight-Binding-Modell Ritzsches Verfahren Bändermodell Tight-Binding-Modell Ĥ = Ĥ Atom + v = h2 2m + V Atom(r r n ) + m n V Atom (r r m ) = freier Anteil + Potential des Zentralatoms + Wechselwirkung mit Nachbarkernen Elektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt Ritzscher Ansatz: löse ĤΨ k = E(k)Ψ k mit Ψ k = n c n e ikr n φ(r r n )

14 Tight-Binding-Modell Energie-Eigenwerte Bändermodell Tight-Binding-Modell E(k) h2 k 2 2m A B m e ik(r n r m ) A = drφ (r r n )v(r r n )φ(r r n ) =Erwartungswert von v am Punkt r n B = drφ (r r n+1 )v(r r n )φ(r r n ) = Überlapp benachbarter Wellenfunktionen

15 Tight-Binding-Modell Energie-Eigenwerte Bändermodell Tight-Binding-Modell E(k) h2 k 2 2m A B m e ik(r n r m ) A = drφ (r r n )v(r r n )φ(r r n ) =Erwartungswert von v am Punkt r n B = drφ (r r n+1 )v(r r n )φ(r r n ) = Überlapp benachbarter Wellenfunktionen

16 Tight-Binding-Modell Energiebänder Bändermodell Tight-Binding-Modell Abbildung: Energiebänder nach dem Tight-Binding-Modell = Bandaufspaltung nimmt mit abnehmendem Abstand der Atome zu

18 Bändermodell Tight-Binding-Modell Unterscheidung Metall/ HL/ Isolator Metall: Fermikante in der Mitte eines Bandes Halbleiter: Fermikante oberhalb eines Bandes, Energielücke E k B T Isolator: Energielücke E k B T Abbildung: schematische Darstellung der Energiebänder

21 Gliederung Festkörper-Modelle -Übergang 1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell 2 -Übergang 3

22 Elektron-Elektron-WW Störladung -Übergang Einfügen einer Störladung δ q = eδ U bei r = 0 Abbildung: Änderung der Zustandsdichte beim Einbringen der Störladung

23 Elektron-Elektron-WW abgeschirmtes Potential -Übergang δ n(r) = D(E F ) eδ U(r) in Poisson-Gleichung = (δ U) = δρ ε 0 = e ε 0 (δ n(r) + δ(r)) = e ε 0 (ed(e F )δ U + δ(r)) abgeschirmtes Potential δ U(r) = α r e λ r mit λ 2 = e2 D(E F ) ε 0, Thomas-Fermi-Abschirmlänge r TF = 1 λ

24 Elektron-Elektron-WW abgeschirmtes Potential -Übergang δ n(r) = D(E F ) eδ U(r) in Poisson-Gleichung = (δ U) = δρ ε 0 = e ε 0 (δ n(r) + δ(r)) = e ε 0 (ed(e F )δ U + δ(r)) abgeschirmtes Potential δ U(r) = α r e λ r mit λ 2 = e2 D(E F ) ε 0, Thomas-Fermi-Abschirmlänge r TF = 1 λ

25 Elektron-Elektron-WW Mott-Abschätzung -Übergang im freien e -Gas: r TF = 0,5 ( n a 0 ) 1/6 r TF { a 0 : a 0 : a 0 = Bohr-Radius Leiter Isolator Abbildung: abgeschirmtes Potential

26 Elektron-Elektron-WW Mott-Abschätzung -Übergang im freien e -Gas: r TF = 0,5 ( n a 0 ) 1/6 r TF { a 0 : a 0 : a 0 = Bohr-Radius Leiter Isolator Abbildung: abgeschirmtes Potential

27 Gliederung Festkörper-Modelle -Übergang 1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell 2 -Übergang 3

28 -Übergang Einschränkungen -Übergang Übergang bei n 1/3 = 4a 0 Parameter n ist nicht direkt zugänglich = Übergang nur selten beobachtbar, z.b. amorphe Halbleiter stattdessen: Übergang vom Suprauid zum bei Bosonen

31 -Übergang Bose-Hubbard-Hamiltonian -Übergang Ĥ = J <i,j> â + i â j + i ε i ˆn i U i ˆn i (ˆn i 1) mit J = d 3 x w(x x i )( h2 2m + V G (x))w(x x j ) U = 4π h2 a m d 3 x w(x) 4 Term 1: Tunnelprozesse Term 2: Energie-Oset Term 3: Wechselwirkung

35 -Übergang Grenzfall J> >U -Übergang Tunnelprozesse dominant, Wechselwirkung vernachlässigbar Überlagerung der lokalisierten Zustände, Bloch-Welle supraüssige Phase, N Bosonen, M Gitterplätze: ( ) N Ψ SP > 0 > M j=1 â+ j

38 -Übergang Eigenschaften von Ψ SF > -Übergang Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert Phase ist an allen Gitterplätzen gleich Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt auf Poisson-Verteilung = Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel

42 -Übergang Grenzfall U> >J -Übergang Wechselwirkung dominant, sehr wenige Tunnelprozesse n Bosonen auf jedem Gitterplatz -Phase, Ψ MI > M j=1 ( â + j ) n 0 >

45 -Übergang Eigenschaften von Ψ MI > -Übergang Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben zufällige Phase an jedem Gitterplatz Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt = Isolator genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, falls Wechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht = Anregungslücke der Gröÿe U

50 -Übergang Unschärferelation -Übergang -Übergang = Übergang zwischen supraleitender und isolierender Phase Unterscheidung durch Unschärferelation: Phase der Gesamtwellenfkt. Teilchenzahl an einem Gitterpunkt Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J

51 -Übergang Unschärferelation -Übergang -Übergang = Übergang zwischen supraleitender und isolierender Phase Unterscheidung durch Unschärferelation: Phase der Gesamtwellenfkt. Teilchenzahl an einem Gitterpunkt Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J

52 -Übergang Veranschaulichung -Übergang Abbildung: Veranschaulichung der beiden Phasen Unschärfe der Teilchenzahl maximal Phasenkohärenz konstante Teilchenzahl an jedem Gitterpunkt völlige Dekohärenz

55 Aufbau Bose-Einstein-Kondensat aus 87 Rb-Atomen eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen: V (x, y,z) = V 0 (sin 2 (kx) + sin 2 (ky) + sin 2 (kz)) Änderung der Laserintensität = Modulation des Verhältnisses U J exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartiges Abschalten

59 Beobachtung kleines V 0 : Interferenzerscheiningen groÿes V 0 : Dekohärenz, keine Interferenz Übergang bei V 0 13 E R, Rückstoÿenergie E R = h2 k 2 2m Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke

63 Anregungslücke periodisches Wiederholen mehrerer Schritte: Hochfahren der Intensität auf V max = E R Störung über die Dauer τ pertub durch Potentialgradient Zurückfahren auf V 0 = 9 E R

64 Resultat Abbildung: Breite des Interferenzpeaks gegen Energiedierenz pro Gitterplatz

65 Erklärung SL-Phase: quasikontinuierliche Anregung möglich MI-Phase: Resonanzen durch Tunnelprozesse

66 Festkörper-Modelle zwei Grenzfälle im BEK: Tunneln bzw. Wechselwirkung dominant Tunneln dominant: SL-Phase Wechselwirkung dominant:, Anregungslücke Abbildung: Interferenz der Materiewellen

70 Anhang Quellen I F. Ahles, S. Weiÿ Vortrag Übergang im Seminar Makroskopische Quantenphänomene Universität Freiburg M. Greiner, T.W. Hänsch, I. Bloch Perfekte Ordnung am Nullpunkt Physik in unserer Zeit, Nr.1, 2002, S. 51