Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Sommersemester 2014 Prof. Dr. F. Kremer

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1 Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Sommersemester 04 Prof. Dr. F. Kremer Übersicht der Vorlesung am.6.04 Wiederholung (Drude-Modell ( freies Elektronengas ), Plasmaschwingung, Grenzen des Drude- Modells) Folgerungen aus der Translationsvarianz des Gitters Das Kronig-Penney Modell Das Bändermodell der elektronischen Zustände in einem Festkörper

2 Wiederholung (Drude-Modell ( freies Elektronengas ), Plasmaschwingung, Grenzen des Drude-Modells) Etwa 75 der chemischen Elemente zeigen unter Normalbedingungen Metallcharakter, d.h. sie zeichnen sich durch folgende Eigenschaften aus: a) durch die ihnen gemeinsame chemische Bindung b) durch eine große elektrische Leitfähigkeit c) durch die Existenz quasifreier Elektronen d) durch eine sehr hohe Teilchenzahldichte der quasifreien Elektronen e) durch die Verringerung der Leitfähigkeit mit wachsender Temperatur f) durch eine großen optischen Absorptions- und Reflexionsgrad g) durch die Proportionalität zwischen thermischer und elektrischer Leitfähigkeit, wobei für alle Metalle die Proportionalitätskonstante eine universelle Konstante ist. (Wiedemann Franz sches Gesetz) Um 900 entwickelte Drude das Modell des freien Elektronengases. Es erlaubt lediglich eine qualitative Interpretation der el. Leitfähigkeit. Sein Grenzen erkennt man insbesondere ) In der inkorrekten Beschreibung dertemperaturabhängigikeit der DC-Leitfähigkeit ) Der Tatsache, dass die Frequenzabhängigkeit der Leitfähigkeit komplizierter ist 3) Der Tatsache, dass das Drude-Modell nicht erklären kann, wann ein Material ein Isolator und wann ein Metall? Im Drudemodell wurde davon ausgegangen, daß die freien Elektronen einer Boltzmann Statistik genügen. Das ist falsch, wie von A, Sommerfeld 98 erkannt. Weiterhin wurden bisher der Beitrag des periodischen Potentials und Korrelationseffekte zwischen Elektronen weggelassen. Folgerungen aus der Translationsvarianz des Gitters Die Translationsvarianz des Gitters besagt Ps = Ps+ r für ein Potential Ps ( ) mit einem Gittervektor r. ()

3 Die Energieeigenwerte für ein quasi-freies Elektron ergeben sich aus dem Hamilton- Operator Ĥ Ĥψ = Eψ () Ĥ 0 0 = me ep s Der Hamiltonoperator ist invariant bei der Substitution s s + r, wegen () und der Tatsache, dass invariant ist, wenn man einen konstanten Faktor r zu der Koordinaten s addiert. Also müssen ψ 0 ( s ) und ψ 0 ( s + r ) die gleichen Eigenwerte haben. Die Wellenfunktion ψ 0 ( s ) und ψ 0 ( s + r ) mögen sich nur durch einen Faktor C( r ) unterscheiden, der nur von r abhängt. ψ s + r = C r ψ s (4) 0 0 Im Einzelnen muss gelten + + ψ s+ r ψ s+ r dv = C r C r ψ s ψ s dv was heißt C r C r = C r = Dies ist mit dem folgenden Ansatz erfüllt C r = e ik r Einsetzen von (7) in (4) liefert s r e ik ψ + = r ψ s 0 0 Eine Lösung der Eigenwertgleichung () muss, wenn sie der Periodizitätsforderung genügen soll, auch Gl. (8) erfüllen. Das motiviert den Ansatz ψ = (9) ( s ) u ik s 0 ( s ) e und man erhält ik s ik r ik s us =ψ se =ψ s+ r e e = (0) also ist us ( ) Die Funktion 0 0 ik ( s+ r ) =ψ ( s+ r) e u( s+ r) 0 ebenfalls translationsinvariant. ψ = ( s ) u ik s 0 ( s ) e wird als Bloch-Funktion bezeichnet und 98 in Leipzig von Felix Bloch, dem ersten Assistenten von Werner Heisenberg, entdeckt. (3) (5) (6) (7) (8) () 3

4 Das Kronig-Penney Modell Die Energieeigenwerte für ein Elektron in einem periodischen Potential (in einer Dimension) folgen aus: d Ĥ= + W p x m dx e () W p E 0 a b 0 l l 3 l In "" gilt: [0,a] Wp ( x) = 0 (3) x Ansatz: Ebene Wellen ( x) c exp( ik x) c exp( ik x) ψ = + (4) d ψ dx ( x) ( x) k ( x) =ψ = ψ (5) Einsetzen in die Schrödingergleichung mit diesem Ansatz liefert k = m E e wobei E die Energieeigenwerte des Elektrons sind. In "" mit [-b,0] macht man einen ähnlichen Ansatz: mit ( x) c exp( ik x) c exp( ik x) 3 4 (6) ψ = + (7) d ψ ( x) ( x) k ( x) ψ = ψ (8) dx k = ( ) m E E 0 0 Für die Wellenfunktion in "" mit [a, a+b] gilt eine periodische Fortführung von ψ (x) mit der Periodizität = a + b, d. h. mit k = π/ (9) 4

5 ( x) exp( ik ) ( x) ψ = ψ (0) ( 3 ( ) 4 ( )) ψ x = exp ik c exp ik x + c exp ik x () Um die Koeffizienten c i zu bestimmen, muss die Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitungen an den Intervall-Grenzen berücksichtigt werden. ψ ( 0) = ψ ( 0) (a) ; ( 0) ( 0) ψ = ψ (b) ψ ( a) = ψ ( a) (c) ; ( a) ( a) ψ = ψ (d) Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem c+ c = c3 + c4 aus (a) + ( ) = cexpika cexp ika ( 3 4 ) = exp ik c exp ik b + c exp ik b 3 4 aus (c) k c c = k c c aus (b) ( ( )) = k exp( ik) c exp( ik b) c exp( ik b) k c exp ik a c exp ik a = 3 4 aus (d) () (3) Dieses System von linearen Gleichungen hat eine nicht-triviale Lösung nur unter der Bedingung k + k cosk = cos ka cos kb sin ka sin kb k k. Fall: E< E0 k k ist imaginär (4) mit k = ik ( k ) ergibt sich aus (4) wegen oder k k cos k = cos ka cosh kb sin( ka) sinh( kb ) (5) k k iz iz 4 e + e z z cosz = = +...! 4! Z Z 4 e + e z z coshz = = (s. Bronstein S. 70)! 4! cosz = cosh iz sinz = i sinh iz 5

6 Die erlaubten Energieeigenwerte sind limitiert durch die Bedingung: Für E 0 folgt k k ( * ) cos ka cosh kb sin( ka ) sinh( kb) + (6) k k k ( ) m E E = 0 0 k (7) also k Mit b 0 ergibt sich: Und es folgt ( ) Analog ergibt sich k k k kk kk k = (8) k b = const E0 b 0 (9) E 0 b 0 cosh k b (30) sinh k ( b) kb (3) 3 5 z z mit sinh z = z (3) 3! 5! Also folgt aus (6) k a cos k a + sin k a k b (33) oder E 0 ka ( k ) a b sin( k a) cos ka + (34) k a mea e 0 b cos( ka) + γ sin( k a) ka (35) oder ( ) ( ka) sin k a γ + cos k a + (36). Fall: E > E 0 Analog zu Fall aber ohne "physikalischen Sinn" für E 0 6

7 Für das Energietermschema eines quasi-freien Elektrons in einem periodischen Potential eines kubischen Kristalls (k x 0, k y = k z = 0) folgt also, dass es verbotene Bereiche gibt, wo eine Welle sich in dem periodischen Potential nicht ausbreiten kann. Das Bändermodell der elektronischen Zustände in einem Festkörper Das Energieband mit vollständig besetzten elektronischen Zuständen, das am höchsten bei T = 0 K ist, ist das Valenzband, das nächst höhere das Leitungsband. Elektronen eines vollbesetzten Bandes tragen nicht zum Ladungstransport bei, weil die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem äußeren elektrischen Feld nicht möglich ist. 7

8 W n Energiebänder W L W V ΔW i Leitungsband n=n L Energielücke Valenzband Zur Definition von Valenz- und Leitungsband. Schattiert: besetzte Zustände; farbig schraffiert: unbesetzte Zustände. Das Energieband mit vollständig besetzten elektronischen Zuständen, das am höchsten bei T = 0 K ist, ist das Valenzband, das nächst höhere das Leitungsband. Elektronen eines vollbesetzten Bandes tragen nicht zum zum Ladungstransport bei, weil die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem äußeren elektrischen Feld nicht möglich ist. Metalle, Halbmetalle, Halbleiter, Isolatoren schattiert: mit Elektronen besetzte Niveaus; farbig schraffiert: unbesetzte Niveaus: Metall W L W V 8

9 Halbmetall W L W V Halbleiter Isolator W L W V,5 ev W L W V,5 ev Bandlücke: W Leitungsband W Valenzband = ΔW: Isolator: ΔW:,5 ev Halbleiter: 0 ΔW i,5 ev Metall: ΔW i 0 Der Ladungstransport im Halbleiter ist thermisch aktiviert, Metalle haben eine entgegengesetzte Temperaturabhängigkeit Überlappen sich das Valenz- und Leitungsband nur in einem kleinen Bereich (<0%) bzw. ist das Leitungsband bei T=0K fast vollständig leer (weniger als 0% besetzt) so spricht man von einem Halbmetall Metall. Art. Halbmetalle sind Elemente der 3. bis 6. Gruppe des Periodischen Systems. Sie besitzen i. A. sowohl metallische als auch nichtmetallische Modifikationen. Beispiele sind z.b. Arsen, Antimon und Wismut. Im Bereich der Halbmetalle vollzieht sich der Übergang von der metallischen zur homöopolaren Bindung. In Halbmetallen kommt auf 0 5 Atome ca. ein quasifreies Elektron, während in Metallen auf jedes Atom angenähert angenähert ein quasifreies Elektron kommt. Die Leitfähigkeit der Halbmetalle ist daher um Größenordnungen kleiner als die der Metalle (Halbmetalle: σ: 0 - bis 0-4 Ω cm bei T=300K, Metalle ~0 5 Ω cm ). Ist die Energielücke ( band gap ) <,5eV zwischen Valenz- und Leitungsband, so spricht man von Halbleitern. Bei ihnen kann durch thermische Anregung eine 9

10 erhebliche Anzahl von Ladungsträgern vom Valenzband in das Leitungsband gehoben werden. Zwischen Halbmetallen und Metallen bzw. Halbleitern und Isolatoren besteht somit kein qualitativer Unterschied, sondern nur ein quantitativer Unterschied. 0

11 Kontrollfragen für die Vorlesung am Welche experimentellen Befunde bzgl. der elektrischen Leitfähigkeit können im Rahmen einer klassischen (d.h. nicht-quantenmechanischen) physikalischen Beschreibung überhaupt nicht erklärt werden? 33. Was beinhaltet das Kronig-Penney Modell? 34. Erklären Sie das Bändermodell. 35. Wie unterscheiden sich im Bändermodell ein Metall, ein Halbmetall, ein Halbleiter und ein Isolator?