Floquet-Theorie Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten

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1 Floquet-Theorie Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten [1] Januar 2011 Institut für Angewandte Physik Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 1

2 Motivation Grundgleichung der Quantenmechanik: Wie sieht aus? Welche Energieeigenwerte hat das System? Wie ist die Zeitentwicklung? Sonderfälle: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 2

3 Fourier-Entwicklung Entwicklung in eine periodische Reihe Für jede periodische Funktion f(t)=f(t+t) gilt: [2] Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 3

4 Differentialgleichungssystem Homogenes, lineares, Differentialgleichungssystem: Mit: Floquet, 1883; [3] Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 4

5 Form der Lösungen Nach Floquet mindestens eine Lösung der Form: : Floquet-Exponenten Fourier Entwicklung: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 5

6 Satz von Floquet Satz von Floquet: sind die charakteristischen Exponenten, maximal N verschiedene [5] Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 6

7 Atom im Lichtfeld - Anwendung Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 7

8 Entwicklung der Schrödingergleichung Periodische Hamiltonian : Entwicklung der Wellenfunktion : : Basiszustände Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 8

9 Einsetzen in die Schrödingergleichung und Multiplizieren mit : b: Index der Basiszustände n: Index der Fourier-Reihe von H Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 9

10 Ausgangssituation vereinfacht Zwei-Niveau-System, Periodische Wechselwirkung von außen (Lichtfeld) mit ω Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 10

11 Zwei-Niveau-Atom Hamiltonian Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 11

12 Dipoloperator Das elektrische Feld: mit Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 12

13 Externe, sinusförmige Anregung: Vereinfachung der Notation: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 13

14 Koeffizientenbestimmung Bestimmungsgleichungen für Zwei Gleichungssysteme: für gerade und ungerade m Drehwellennäherung: geschlossenes System Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 14

15 Floquet Matrix (1) Differentialgleichungssystem, F ist die Floquet-Matrix Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 15

16 Floquet Matrix (2) Eigenschaften: Gekoppeltes Differentialgleichungssystem Unendlichdimensional Eigenwerte von F heißen Floquet-Exponenten Z Quasienergien sind die Komponenten der Eigenzustände Generalisierung der Dressed States der Drehwellennäherung Ziel: Lösung Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 16

17 Lösungsansatz Zwei-Niveau-System Explizite Zeitabhängigkeit der Koeffizienten (gerade m): Eigenwertgleichung: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 17

18 Eigenwertgleichung Nichttriviale Lösungen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 18

19 Drehwellennäherung im Floquet-Bild Drehwellennäherung: Schnell oszillierende Terme vernachlässigt A 0 und B -1 dominieren die Eigenwerte Sind bestimmende Komponenten der Eigenvektoren innere 2x2-Matrix wird betrachtet Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 19

20 Drehwellennäherung Energieeigenwerte: Grenzbetrachtung : Wechselwirkungsbild, deswegen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 20

21 1. Korrektur zu Energieeigenwerten Annährung durch Hinzunahme weiterer Terme: weg Zwei-Niveau-Näherung Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 21

22 Größe der Korrekturen? Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 22

23 Bloch-Siegert-Verschiebung Änderung der Energieeigenwerte in Abhängigkeit von der Größe der betrachteten Matrix: Drehwellennäherung im optischen Bereich: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 23

24 Vollständige Energieeingenwerte Höheren harmonischen Seitenbänder, Sehr unwahrscheinlich Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 24

25 Eigenwerte ohne Kopplung Energieeigenwerte in Abhängigkeit des Energieabstandes zwischen den beiden Zuständen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 25

26 Entwicklung der Eigenwerte Abhängigkeit der Eigenwerte vom Energieabstand zwischen den Niveaus Rabi-Aufspaltung Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 26

27 Multiphotonresonanz Koeffizienten mit große m können nicht generell Vernachlässigt werden ungerade m weitereterme in Floquet-Matrix Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 27

28 Übergangswahrscheinlichkeiten Übergangswahrscheinlichkeiten im Zwei-Niveau-System: Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 28

29 Floquet-Lösungen im Festkörper: Bloch Wellen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 29

30 Bandstruktur Zustände der Elektronen im Festkörper: E verboten k Energiebänder Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 30

31 Festkörper - Beispiel Näherung: Ein Elektron im periodischen Gitter, eindimensional V(x) x V(x)=V(x+a) Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 31 [6]

32 Lösungscharakteristika Differentialgleichung 2. Ordnung zwei unabhängige Lösungen Immer gilt: Hamiltonian und Translationsmatrix kommutieren gleiche Eigenbasis Aus der Diagonalform: Floquet-Lösung! Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 32

33 Bandstruktur Matrix nur in Jordanform: nur eine Floquetlösung, zweite Basislösung: V(x) x Wellenfunktionen, die exponentiell im Kristall abfallen Stetigkeitsbedingungen müssen erfüllt sein Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 33

34 Instabile Lösungen an Grenzflächen (2) Mögliche Elektronenzustände im endlichen Kristall: alle Lösungen suchen (stabil, instabil, Grenzfläche) Grenzbedingungen müssen erfüllt sein E diskretes Spektrum von Energieniveaus Reflexion wenn Energie aus dem verbotenen Bereich x Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 34

35 Zyklische Grenzbedingungen Endlich großer Kristall der Länge V Blochs Theorem: Alle nichttrivialen Lösungen sind eine Linearkombination zweier stabiler Floquet-Lösungen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 35

36 Zusammenfassung periodisch Bestimmte Form Floquet: endliches, zeitabhängiges Problem Unendliches, zeitunabhängiges Problem Atom im Lichtfeld: Bloch-Siegert-Verschiebung Multiphotonresonanz Blochgleichungen: Energiebänder Transmissions- & Reflexionsanwendungen Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 36

37 Quellenangaben Bildquellen: [1] [2] [3] ASENS_1883_2_12 47_0/ASENS_1883_2_12 47_0.pdf, [4] daten/arbblaetter.html, Literatur: [5] J. Shirley: Solution of the Schrödinger Equation with a Hamiltonian Periodic in Time, Phys. Rev. 138, B979 B987 (1965) [6] A. A. Cottey: Floquets s Theorem and Band Theory in One Dimension, AJP Volume 39, (1971) [7] J. C. Garrison: Quantum mechanics of periodic systems AJP Volume 67, (1999) [8] B.W. Shore Wiley: The Theory of coherent atomic excitation, Volume 1 (1999) Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 37

38 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit [4] Institut für Angewandte Physik Seminar Nichtlineare Optik/Quantenoptik Friederike Fassnacht 38