Zusammenfassung: Wigner-Eckart-Theorem

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1 Zusammenfassung: Wigner-Eckart-Theorem Clebsch-Gordan- Reihe: Def. vontensor - Algebraische Version, (via infinitesimaler Rotation): Clebsch-Gordan- Reihe für Tensoren: Wigner-Eckart- Theorem: Geometrie Dynamik

2 4. Symmetrien in der Quanten-Mechanik (Sakurai, Kap. 4) 4.1 Symmetrien, Erhaltungssätze, Entartungen Symmetrien in klassischer Physik: Falls invariant unter Euler-Lagrange-Gl: kanonischer Impuls erhalten: Hamiltonsche Formulierung: Falls invariant unter Hamiltonsche Bewegungsgleichung:

3 4.1.2 Symmetrien in d. Quantenmechanik: sei unitärer Operator ("Symmetrie-Op.") Schreibe infinitesimale Version als: Sei invariant unter : Heisenberg's Bewegungsgleichung: G ist erhalten Beispiele: Invarianz unter Translationen -Eigenkets bleiben unter Zeitentwicklung -Eigenkets: Sei dann

4 4.1.3 Entartungen: Sei und ist auch Energie-Eigenket mit gleichem Eigenwert: Falls sind und "entartet" Beispiel: Rotationen Eigenbasis v. sind alle entartet Rotation mischt entartete Basisvektoren: zb: Zentralpotential: -fache Entartung zusätzliches E-oder bricht Entartung, verursacht (2j+1)-fache Energie-Aufspaltung (Details: Kapitel 5)

5 4.2 Diskrete Symmetrien: Parität (=Rauminversion) (Sakurai, 4.2) Definition v. unitärem Paritätsop. mit gilt für alle (x, anti-vertauschen) Ortseigenket beliebiger Phasefaktor per Konvention nochmalige Anwendung: ist hermitesch, mit Eigenwerten

6 4.2.2 Impuls: Forderung: Translation+Parität = Parität +(-Translation) Operator-Identität: für infinitesimale p, antivertauschen: Drehimpuls: Check:

7 4.2.4 Rotationen für 3D Rotationen gilt: Fordere dasselbe für infinitesimale und vertauschen: das gilt insbesondere auch für Spin: Definitionen: "Polarvektoren" sind ungerade unter Parität "Axial-" (oder "Pseudo-)Vektoren sind gerade unter Parität "Skalare" sind gerade unter Parität "Pseudoskalare sind ungerade unter Parität

8 4.2.5 Wellenfunktionen: Betrachte spinloses Teilchen: WF von paritätsinvertiertem Ket: sei Paritätseigenket: entsprechende WF ist gerade/ungerade unter Pariträt: Beispiel: Kugelflächen- Funktionen: (folgt aus expliziter Form von Y ) alle Mitglieder des Multiplets haben dieselbe Parität:

9 4.2.5 Theorem Sei Dann sind die nicht-entarteten Energie-Eigenkets auch Paritäts-Eigenkets. Beweis: Gegeben: nicht entartet. Betrachte Paritäts- Eigenket, mit Eigenwerten Check: ist auch Energie-Eigenket mit demselben Aber ist nicht-entartet: ist Paritäts-Eigenket (siehe S8.3), mit Eigenwerten Bemerkung: Für schwache Wechselwirkung gilt "Paritätsverletzung", denn hängt zb ab von

10 Beispiel: aber also nicht Eigenket Konsistent mit Theorem, denn und sind entartet. Eigenkets: Check: Wellenfunktionen: Beispiel: Unendlich tiefer Topf: ansonsten Wellenfunktionen sind Paritätseigenfktn: für n=ungerade für n = gerade Beispiel: Doppemuldenpotential- selber lesen (Sakurai, Abschnitt 4.2)

11 4.2.6 Paritätsauswahlregel: Beweis: Matrixelemente von Paritäts-ungeraden Operatoren zwischen zwei Paritätseigenzuständen sind nur dann 0, wenn diese unterschiedliche Parität haben. A sei Paritäts-ungerade, und seien zwei Paritätseigenkets, mit Dann: entweder oder Bereits bekannt aus der Wellenmechanik: falls und dieselbe Parität haben

12 4.3 Gittersymmetrie als diskrete Symmetrie: selber lesen (Sakurai, 4.3)

13 4.4 Zeitumkehrinvarianz: "Bewegungsumkehr" (Sakurai, Klassisch: Wenn Lösung ist von Newton 2: dann ist auch eine Lösung: Stop bei und Umkehr Maxwell-Gl, und Lorentz-Kraft: sind invariant unter:

14 4.4.2 Schrödinger-Gl: ist keine Lösung, wegen 1.ste Ordnung Zeitabltng: ist eine Lösung von zunächst: also ist eine Lösung von Expliziter Check mittels Energie-Eigenket:

15 4.4.3 Bemerkungen zu Symmetrie-Operatoren Betrachte Symmetrie- Operation: Falls unitär ist: Allgemein reicht es allerdings, zu fordern: was auch folgende Möglichkeit zuläßt: Definition einer "anti-unitären" Transformation: mit und

16 Wirkung von K: Entwicklung von in einer Basis: Für Basiskets gilt: denn keine komplexen Wirkung von K ist basisabhängig: folgende "Zerlegung" ist immer möglich: anti-unitärer unitärer "komplex- Operator Konjugator" Basistransformation: Zahlen vorhanden In -Basis: In -Basis:

17 Check: : erfüllt die Eigenschaften eines anti-unitären Operators? Berechne Wirkung auf Bra lieber via Wirkung auf Ket: ( nicht definiert) Skalarprodukt:

18 4.4.5 Zeitumkehr- Operator Zeitumkehr- anti-unitärer Zeitumgekehrter Zustand (genauer: Bewegungsumgekehrter Zustand) Wir erwarten: etc. Zeitentwicklung von Zeitentwicklung von zeitumgekehrtem Forderung, falls Bewegung symmetrisch unter Zeitumkehr verläuft:

19 gilt für beliebige Kets: kann nicht unitär sein: Für Energieeigenket: Wäre dann folgte aus Für freies Teilchen würde das bedeuten: würde liefern: ist auch Eigenenergie! Das ist unsinnig, denn Spektrum wäre nicht von unten begrenzt. anstatt erwartetem Postulat: ist anti-unitär. dann: Folgerung: falls Bewegung symmetrisch unter Zeitumkehr abläuft, gilt:

20 Bemerkung: Formale Eigenschaften von Matrixelementen linearer Operatoren: und nicht Sei denn ist nicht Identität: dann gilt: Beweis: Sei Für hermitesche

21 A ist "gerade/ungerade" unter Zeitumkehr, falls entsprechende und Erwartungswerte: Beispiel: Impuls Forderung: Eigenwertgleichung: Folglich identifizieren wir:

22 Analoges Beispiel: Ortsoperator Forderung: Invarianz der Vertauschungsrelation: Analog: Invarianz der Drehimpulsrelationen erfordert (S21.4) folgt auch aus Zeitumkehrsymmetrie von Rotationen: Forderung