Einblicke in die Teilchenphysik

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1 Einblicke in die Teilchenphysik 1. Einführung 2. Beschleuniger 3. Detektoren 4. Bewegungsgleichungen und Symmetrien 5. Das Quark-Modell und die CKM-Matrix 6. CP-Verletzung im Standardmodell 7. Proton- und Photonstruktur 8. Elektroschwache Präzisionsmessungen 9. Das Higgs-Boson 1. Neutrino-Massen und Neutrino-Oszillationen Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 1

2 Definitionen Es gibt kontravariante, x µ, und kovariante, x µ, Vierer-Vektoren mit µ =,1,2,3. ( ) E ( ) p µ E p x = p, µ t, mit r p y p z a µ = g µν a ν mit: g µν = g µν = p µ ( E p ) , µ ( t Skalarprodukt: a b = a µ b µ = a µ b µ a b a b ) Metrischer Tensor Beispiele: p p = p µ p µ = E 2 p 2 = m 2, µ µ = 2 t 2 2 = 2 t 2 Betragsquadrate von Vierer-Vektoren sind invariant unter Lorenztransformationen. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 2

3 Operatoren und Kommutatoren Der Operator A überführt eine Funktion Φ eines Funktionenraumes in eine andere Funktion Φ : Die Summe zweier Operatoren: Φ = AΦ Φ = (A + B)Φ = AΦ + BΦ Im allgemeinen ist das Produkt zweier Operatoren nicht vertauschbar Φ = (A B)Φ = A (BΦ) B (AΦ) Dies legt die Definition des Kommutators nahe: [ A, B] AB BA Wenn der Kommutator verschwindet [ A, B] =, ist die Reihenfolge der Anwendung egal, da AB = BA. Ein Beispiel: A = f(x) f, B = x Die Berechnung erfolgt durch Anwendung auf eine Funktion [ A, B]Φ = f x Φ x fφ = f x Φ ( f x )Φ f [ ] f(x), = f x x x Φ Kommutatoren sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quantenmechanik. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 3

4 Eigenwertgleichung und wichtige Operatoren Falls die Funktion Φ Eigenfunktion zum Operator Ê mit dem Eigenwert E ist gilt: Ê Φ = E Φ Beispiel: Φ = Φ e i(et p r) und Ê i t Ê Φ = i( ie) Φ = E Φ Die monochromatische ebene Welle Φ ist Eigenfunktion zum Energie-Operator mit der Teilchen-Energie als Eigenwert. Analog gilt: ˆp i ˆpΦ = ( i)( i)( p) Φ = pφ Der vierdimensionale Energie-Impuls-Operator ist damit : ˆp µ (i t, i ) = i µ. Diese Operatoren, zusammen mit der nicht-relativistischen Energiebeziehung, E = 1 2 mv2 = p2 2m, führen auf die Schrödinger-Gleichung für ein nicht-relativistisches, freies Teilchen: (Ê ˆp 2 2m ) Φ = ) (E p2 Φ = 2m Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 4

5 S-Matrix Formalismus Die S-Matrix beschreibt den Übergang eines Anfangszustands i = initial in einen Endzustand f = final. Zustandsvektor im Hilbert-Raum: i = Ort, Impuls, Masse, Spin, Ladung,... Transformationen der Zustände: S i i, und i i S, bra... ket Matrixelemente: S fi = f S i = f i Erhaltung der Norm: i i = i S S i = i i Unitarität von S. Unitarität: SS = 1 mit S fi = S if S = S 1 Unitäre Transformation: U i ĩ und S USU Invarianz unter U: f S ĩ = f U USU U i = f S i Zusammen mit der goldenen Regel der Quantenmechanik erlaubt die S-Matrix die Berechnung von Wirkungsquerschnitten, z.b. gilt für : σ = 1 2S 12 T fi 2 dl mit dl = Phasenraumelement der auslaufenden Teilchen und T fi S fi. Die Untersuchung der Symmetrien der S-Matrix gibt Einblick in die Wechselwirkungen. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 5

6 S-Matrix und Noether-Theorem Untersuche S-Matrizen mit: S USU = S SU = US [ S, U ] = Trafo: U 1 + idαf, dα = infinitesimale Verschiebung, F = Generator der Trafo. damit: 1 = UU = (1 + idαf) ( 1 idαf ) = 1 + idα ( F F ) + dα 2 FF Dies gilt für beliebige dα, also muss F hermitesch sein, F = F. Aus = [ S, U ] = [ S,1 + idαf ] folgt [ S, F ] =, und damit ergibt sich f [ S, F ] i = f SF i f F S i = [η F (i) η F (f)] S fi =, η F (i) = η F (f) für Eigenzustände von F. Das bedeutet, wenn der Kommutator von S mit einem hermiteschen Operator F verschwindet, ist η F ist eine Erhaltungsgröße! Beispiel Verschiebung in z: U 1 + idzf z mit dα = dz U z z + dz = z + idzf z z F z z = i dz ( z + dz z ) = i z z = ˆp z z Aus der räumlichen Translationsinvarianz folgt die Impulserhaltung! Aus der zeitlichen Translationsinvarianz folgt die Energieerhaltung! Aus der Rotationsinvarianz folgt die Drehimpulserhaltung! Noether-Theorem: Für jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 6

7 Lagrange-Formalismus - nicht relativistisch klassisch Die Klassische Wirkung: S t 2 t 1 dtl(q, q), L = Lagrange-Funktion, mit der generalisierten Koordinate q(t) und der gen. Geschwindingkeit q(t) = dq dt. Variationsprinzip: δs = δ t 2 t 1 dtl(q, q) mit den Zwangsbedingungen δq(t 1,2 ). = δs = t 2 t 1 dt δ q = d dt δq [( ) δq + q ( ) ] δ q q t2 t 1 dt = t 2 t 1 dt [( ) q ( d dt )] δq q ( ) δ q = q q δq 2 t 2 1 t dt( d 1 dt ) δq q Das Resultat ist die Lagrange-Gleichung: L q d dt q = Beispiel: Ein Teilchen im Potential V(x): L = T V = 1 2 mẋ2 V (x) q = x = V x = F q = x und q = ẋ F = mẍ d dt q = d dt ẋ = d mẋ = mẍ dt Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 7

8 Lagrange-Formalismus - relativistisch quantenmechanisch Die Wirkung: S t 2 t 1 dt d 3 xl(φ(x), µ Φ(x)) = d 4 xl(φ(x), µ Φ(x)) Variationsprinzip: δs = δ d 4 xl(φ(x), µ Φ(x)) Eine analoge Rechnung liefert als Resultat die Lagrange-Gleichung Φ(x) µ ( ) ( µ Φ(x)) = Beispiel: Ein relativistisches spinloses freies Teilchen der Masse m L 1 2 [ ] ( µ Φ(x)) 2 m 2 Φ 2 (x) Φ(x) = m2 Φ(x) ( ) µ = µ µ Φ(x) ( µ Φ(x)) Die Klein-Gordon-Gleichung ( + m 2 ) Φ(x) = Wieder liefert der Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichung. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 8

9 Die Klein-Gordon-Gleichung Die Klein-Gordon-Gleichung ( + m 2) Φ(x) = erfüllt den relativistischen Energiesatz. = ( [ ( E 2 p 2 m 2) ) ] 2 Φ(x) = i t ( i ) 2 m 2 Φ(x) = ( + m 2) Φ(x) Frage: Ist dies die Bewegungsgleichung relativistischer, geladener, massiver Teilchen mit Spin? 1) Die Gleichung ist linear und homogen, und damit ist die Linearkombination Φ = λ 1 Φ 1 + λ 2 Φ 2 Lösung der Gleichung, falls Φ 1 und Φ 2 Lösungen sind. 2) Allerdings ist sie quadratisch in der Zeit. Damit ist die Forderung, dass das physikalische System durch die Wellenfunktion zur Zeit t = bestimmt sein soll, verletzt. Die Kenntnis der Wellenfunktion zur Zeit Null reicht nicht aus, um die Entwicklung zu bestimmen. 3) Zwei Ladungszustände können durch die Wahl einer komplexen Wellenfunktion Φ (x) im Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion realisiert werden. 4) Die Freiheitsgrade sind Energie und Impuls, und es ist kein Platz für den Spin. Antwort: Nein Wir müssen nach einer Gleichung suchen, die linear in den Ableitungen ist. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 9

10 Die Dirac-Gleichung Aus der Lagrange-Dichte: L = Ψ (iγ µ µ m) Ψ(x) mit Ψ Ψ (x)γ und ( ) L der Lagrange-Gleichung: Ψ(x) µ = ( µ Ψ(x)) folgt die Dirac-Gleichung: (iγ µ µ m) Ψ(x) = 4-komponentiger Spinor: Ψ(x) Die DG beschreibt vier Freiheitsgrade ( Die γ Matrizen: γ = ( Pauli Matrizen: σ 1 = ( I ) ( ) I, γ i σ i = hängen von den I σ i ) ( ) ( ) 1 i 1, σ 2 =, σ 3 = 1 i 1 ) ( ) 1,. 1 ab. Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Transformationen. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 1

11 Eine spezielle Lösung der Dirac-Gleichung Betrachte ein ruhendes Teilchen: p = ) Damit ergibt sich für die Dirac-Gleichung: (iγ t m Ψ(x) = Dieses System hat vier linear unabhängige Lösungen: Ψ i mit i = 1,2,3,4. Ψ 1 = Ψ 3 = 1 1 e imt, Ψ 2 = e+imt, Ψ 4 = 1 1 e imt mit Ê Ψ 1,2 = i t Ψ 1,2 = +mψ 1,2 e+imt, mit Ê Ψ 3,4 = i t Ψ 3,4 = mψ 3,4 Die vier Freiheitsgrade: Ψ 1 = E = +m,, Ψ 2 = E = +m,, Ψ 3 = E = m,, Ψ 4 = E = m,. Die Dirac-Gleichung beschreibt Teilchen/Antiteilchen und Spin up/down. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 11

12 Eichinvarianz der Maxwell-Gleichungen (1) B = B = A (2) E = B t (3) E = ρ (4) B = j + E t = E + t ( ) A ( ) = E + A ( V ) t }{{} E = V A t Eichtransformation: A = A + Λ und V = V Λ mit Λ = Λ(t, x) t [ ] Felder invariant da: t, = und Λ =, für alle Λ B = A = A + Λ = B E = V A t = V + Λ t A t t Λ = E Ladungserhaltung: Aus (3) und (4): ρ t + j = ρ t + j = t E + ( ) B E t =. Die Eichinvarianz der Maxwellgleichungen hat weit reichende Konsequenzen. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 12

13 Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen Wegen der Lorentz-Invarianz der MG bietet sich eine kovariante Formulierung an. E 1 E 2 E 3 F µν µ A ν ν A µ E 1 B 3 B 2 = E 2 B 3 B 1 E 3 B 2 B 1 Vektorpotential: A µ (V, A) und Eichtransformation: A µ = A µ + µ Λ Die inhomogene Maxwellgleichungen ergeben sich aus E = ρ, und B = j + E t mit j ν (ρ, j) zu: j ν = µ F µν = ( µ µ A ν µ ν A µ ) = A ν ν ( µ A µ ) Die Ladungserhaltung: ν j ν = ν µ F µν = Die Wellengleichung für ein masseloses freies Photon j ν in Lorentz-Eichung µ A µ lautet: A ν = KG-Gleichung mit m =. Die kovariante Formulierung ist für relativistische Rechnungen besser geeignet. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 13

14 Eichtransformationen freier Felder Global: Φ = e iλ Φ Lokal: Φ = e iλ(x) Φ Invarianz Ladungserhaltung Wechselwirkung mit Photonfeld Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz erzwingt ein masseloses Eichboson. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 14

15 Globale Eichtransformation Physikalische Observablen sind Erwartungswerte von Operatoren Ô und werden durch Ô = Ψ Ô Ψ berechnet, z.b. ˆp = Ψ ˆp Ψ = p Ψ Ψ = p. Eine Globale Phasentransformation: Ψ = e iλ Ψ Invarianz der Erwartungswerte: Ψ Ô Ψ = Ψ e iλ Ôe iλ Ψ = Ψ Ô Ψ Auch die Bewegungsgleichungen sind invariant. Beispiel Dirac-Gleichung: iγ µ µ Ψ = mψ iγ µ µ e iλ Ψ = me iλ Ψ e iλ iγ µ µ Ψ = e iλ mψ iγ µ µ Ψ = mψ Betrachte den Ladungsoperator: Q Ψ = q Ψ mit U e iλq. Wegen e x = n= xn n! = 1 + x +... ist eiλq = 1 + iλq +... Anwendung auf Ψ liefert e iλq Ψ = e iλq Ψ und wegen [ S, U ] = folgt die Ladungserhaltung: [ S, Q] =. Die globale Eichinvarianz führt zur Erhaltung der Ladung Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 15

16 Lokale Eichtransformation Eine lokale Eichtransformation: Ψ = e iqλ(x) Ψ In Dirac-Gleichung: iγ µ µ Ψ = mψ iγ µ µ [ e iqλ(x) Ψ ] = m [ e iqλ(x) Ψ ] e iqλ(x) iγ µ [ µ + iq( µ Λ(x))] Ψ = e iqλ(x) mψ Der Term iq µ Λ(x) erinnert an die Eichfreiheit der Maxwell-Gleichungen, deswegen versucht man einen Ansatz für ein geladenes Teilchen im Feld. } E E + qv P µ = p µ + qa µ D µ = µ iqa µ da p µ = i µ. p p + q A D µ = µ iqa µ = µ iqa µ iq µ Λ(x) In Dirac-Gleichung: iγ µ D µe iqλ(x) Ψ = me iqλ(x) Ψ e iqλ(x) iγ µ [ µ + iq( µ Λ(x)) iqa µ iq( µ Λ(x))] Ψ = e iqλ(x) mψ e iqλ(x) iγ µ D µ Ψ = e iqλ(x) mψ Invarianz der Dirac-Gleichung erreicht man nur mit den simultanen Transformationen Ψ = e iqλ(x) Ψ und D µ = D µ iq µ Λ(x). Die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit dem Photonfeld. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 16

17 Die Paritätstransformation Spiegelung am Ursprung: r = P r = r und t = P t = t. Das Transformationsverhalten einiger Variablen: Skalar: P E = E, Axialvektor: P L = P r p = ( 1) 2 L = L Vektor: P r = r, Pseudoskalar: Kugelwellenfunktionen: Teilchen können Eigenzustände zur Parität sein. P λ = P s p = λ, p PYl m (θ, φ) = ( 1) l Yl m (θ, φ) Es gilt: P i = η P (i) i und P 2 i = η P (i)η P (i) i = i η P (i) = ±1 Für Fermionen und Antifermionen wird η P (f) = 1 und η P ( f) = 1 festgelegt. Die Parität ist eine multiplikative Quantenzahl. Beispiele zusammengesetzter Systeme: Baryonen (l = ): P qqq = 1 3 qqq = +1 qqq Antibaryonen (l = ): P q q q = ( 1) 3 q q q = 1 q q q Meson (l ): P q q = 1 ( 1) ( 1) l q q = ( 1) l+1 q q Die Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 17

18 Die Ladungskonjugation oder C-Parität Die Ladungskonjugation C e = η C (e ) e + transformiert Teilchen in Antiteilchen. Man definiert für Fermionen, η C (f) = 1, und für Antifermionen, η C ( f) = 1. Die C-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl. In elektromagnetischen Wechselwirkungen ist η C eine Erhaltungsgröße, [ S, C ] =. Ungeladene Teilchen können Eigenzustände zur C-Parität sein. Die C-Parität des Photons und des neutralen Pions, π : 1) Da das γ an die Ladung koppelt gilt für die Amplitude: e γ S e = e + γ S e +. 2) e γ S e = e γ C SC e = η 2 C (e )η C (γ) e + γ S e + = η C (γ) e + γ S e + η C (γ) = 1 und für das π gilt: C π = C 2γ = ( 1) 2 2γ, η C (π ) = +1 Wegen der Erhaltung der C-Parität existiert der Zerfall π 3γ also nicht. Die Erhaltung der C-Parität ist eine nützliche Eigenschaft z.b. im Zerfall η π π + π Es gilt: π π + π S η = π π + π C SC η = π + π π S η Der Zustand wird in sich selbst überführt. Dies bedeutet aber, dass die Winkelverteilung von π + und π identisch sein muss, was experimentell bestätigt wurde. Auch die C-Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 18

19 Die Zeitumkehr Die Zeitumkehr dreht den zeitlichen Ablauf einer Reaktion um. Für ein Elementarereignis folgt also: T = Zeitumkehrtrafo: T r, t r, t Beispiele: Impuls: T p = p da p = d r dt Drehimpuls: T L = T m r p = L Helizität: T λ = λ Makroskopisch gilt T-Invarianz nur für Ereignisse ohne Entropieänderung. Das Zerbrechen einer Flasche läßt sich auch durch Zeitumkehr nicht reparieren. Mikroskopisch führt das Studium der Zeitumkehr-Transformation zum Prinzip des detaillierten Gleichgewichts. Dies führt zum Beispiel für auf die folgende Relation: dσ dω ( ) = p 2 3 (2J(3) +1)(2J (4) +1) dσ dω ( ) p 1 2 (2J (1) +1)(2J (2) +1), mit J = L + S. Die Zeit ist und bleibt eines der schwierigsten Konzepte der Physik. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 19

20 Die Invarianz der Wechselwirkungen Wechselwirkung / Symmetrie C P CP CPT stark elektromagnetisch schwach In der schwachen Wechselwirkung (sww) gibt es sowohl C- als auch P-Verletzung. An der sww nehmen nur linkshändige Teilchen teil s p bzw. λ = s p p = s. Ein Neutrino: ν ν, λ = 1 2 P-Verletzung: P ν, λ = 1 2 = ν, λ = C-Verletzung: C ν, λ = 1 2 = ν, λ = 1 2 CP-Transformation: CP ν, λ = 1 2 = ν, λ = existiert nicht. existiert nicht. existiert. Trotzdem ist CP in der sww verletzt. Dies wurde in Kaon- und B-Systemen gemessen. Eine ausführliche Diskussion der CP-Verletzung folgt später. Die CPT-Invarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie. Sie hat weit reichende Bedeutung, z.b. gilt damit m f = m f und τ f = τ f. Die Symmetrien der Wechselwirkungen sind das Objekt vieler Untersuchungen. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 2

21 Zusammenfassung Aus der Erhaltung der Norm i i = 1 folgt, dass die S-Matrix, die die Übergange eines Anfangszustands i = initial in einen Endzustand f = final beschreibt, f S i, unitär sein muss. Kommutatoren [ S, O] = SO OS sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quantenmechanik. Eigenwerte von hermiteschen Operatoren, die mit der S-Matrix vertauschen, sind Erhaltungsgr ßen. Das Noether-Theorem, Für jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz., ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Studium von Symmetrien. Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung, er führt zum Beispiel auf die Dirac-Gleichung. Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Tansformationen und beschreibt massive, relativistische Fermionen / Antifermionen mit halbzahligem Spin, up / down. Die Eichinvarianz der Feldtheorie ist fundamental. Die globale Eichinvarianz führt zur Erhaltung der Ladung und die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit dem Photonfeld. C-, P- und T-Invarianz sind nicht in allen Wechselwirkungen gegeben, aber die CPT- Invarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie undaus ihr folgt m f = m f und τ f = τ f. Einblicke in die Teilchenphysik SS 23 Uni Augsburg T4 Richard Nisius Page 21