Teilchenphysik für Fortgeschrittene

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1 Teilchenphysik für Fortgeschrittene Notizen zur Vorlesung im Wintersemester Peter Schleper 31. Januar 2013 Institut für Experimentalphysik, Universität Hamburg schleper/lehre/

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Einheiten Relativistische Kinematik Schrödinger-Gleichung Klein-Gordon-Gleichung Dirac Gleichung Lagrange-Formalismus Für klassische Teilchen Für die Klein-Gordon Gleichung Für die Dirac- Gleichung Globale Symmetrien und Noether- Theorem Eigenschaften der Dirac-Gleichung Lösungen der Dirac Gleichung Spin und Helizität Chiralität C,P,T Dimensionen der Felder und Bilinearformen Quanten-Elektrodynamik Lokale Eichinvarianz Vektorfelder Masse und kinetische Energie Spin und Polarisation Maxwell- Gleichungen Übersicht der elementaren QED-Prozesse Wirkungsquerschnitte Mandelstam - Variablen Wirkungsquerschnitt und Luminosität Messung von Wirkungsquerschnitten Fermi s Goldene Regel Wirkungsquerschnitt im CMS Feynman - Diagramme Helizitätsamplituden Propagatoren Propagator für Fermionen Propagator für das Photon Propagator für Spin-0 und Spin-1 Teilchen

3 5.3 Störungsrechnung Matrixelement Feynman-Regeln Prozesse der QED Berechnung des Prozesses e µ e µ Crossing Übersicht der elementaren QED-Prozesse Experimentelle Tests der Quanten-Elektrodynamik Erzeugung von Hadronen in der QED Drell-Yan Prozess Schwache Wechselwirkung Historie der Schwachen Wechselwirkung Paritätsverletzung und V-A Theorie P und C: Parität und Ladungskonjugation Fermi-Konstante und W-Propagator Schwache Wechselwirkung von Hadronen SU(2) Symmetrie Zerfälle als Test von Erhaltungssätzen Zerfälle durch Starke WW Zerfälle durch Elektromagnetische WW Schwache Zerfälle: Muon Schwache Zerfälle: Pion Neutrino Streuung Geladener Strom Divergenzen in der V-A Theorie Neutrale Ströme: Z 0 Austausch Übersicht Eichtheorien 92 9 Eichtheorie der elektro-schwachen Wechselwirkung SU(2) L und Verbot der Massen der Fermionen SU(2) L und schwacher Isospin Lokale Eichinvarianz Erfolge der SU(2) L - Theorie Probleme der SU(2) L Theorie U(1) Y und Hyperladung SU(2) L U(1) Y Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen Mischung von Photon und Z Elektromagnetismus

4 9.9 Wechselwirkungen des Z 0 mit Fermionen Mischung von Quarks und Leptonen Spontane Symmetrie-Brechung Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell Eichboson - Higgs Wechselwirkung Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen Lagrange-Dichte des Standard-Modells Physik des W ± und Z 0 Bosons Standard-Modell der elektroschwachen Wechselwirkung Entdeckung von W und Z Breit-Wigner Resonanzkurve für instabile Teilchen W, Z und γ im Standard-Modell Z 0 -Physik an e + e Beschleunigern WW Produktion in e + e Kollisionen W und Z Produktion in p p Kollisionen Polarisierung im W-Zerfall Das Higgs-Boson Eigenschaften des Higgs- Teilchens Higgs Zerfälle Higgs-Suche bei e + e Beschleunigern Higgs-Produktion an Hadron-Beschleunigern Higgs Suche am Tevatron Higgs am LHC Starke Wechselwirkung Quarks und Gluonen Nicht-Abelsche Eichtheorie Übersicht zu Eichtheorien Lagrange-Dichte der QCD QCD in der e + e Vernichtung Streuprozesse mit Hadronen Tief-inlastische Streuung Faktorisierung Messung der Parton-Dichteverteilungen Perturbative QCD in der Quark und Gluon Streuung

5 15 Renormierung und Anomalien QED: Laufende Kopplungskonstanten QCD: Laufende Kopplung Renormierung in höheren Ordnungen Renormierung der Massen Renormierbarkeit des Standard-Modells Chirale Anomalie Kritik des Standard-Modells Forderungen an eine fundamentale Theorie Vorhersagen des Standardmodells Naturkonstanten im Standard-Modell Präzisions-Test des Standard-Modells Das Hierarchie-Problem des Standard Modells Theoretische Grenzen für die Higgs-Masse Suche nach Physik jenseits des Standard Modells Experimentelle Methoden Theorien jenseits des Standard Modells Compositeness von Quarks und Leptonen Motivation Beispiel für ein Compositeness-Modell Probleme von Compositeness Suche nach Compositeness Zusammenfassung Compositeness Grand Unified Theories Konzept der GUTs Quantisierung der elektrischen Ladung Generatoren und Kopplungen Laufende Kopplungen Vorhersage für den Weinbergwinkel θ W Proton-Zerfall Zusammenfassung GUT Supersymmetrie Konzept der Supersymmetrie Produktion und Zerfall von SUSY-Teilchen Motivation für SUSY Vereinigung der Kopplungskonstanten R-Parität

6 20.6 Dunkle Materie Renormierung der Higgs-Masse Super-Multipletts und Lagrange-Dichte Constrained MSSM Zusammenfassung 228 A Nützliche Formeln 231 B Drehimpuls und Rotation 233 C Ergänzungen zur Dirac-Gleichung 236 C.1 Normierung der Dirac-Spinoren C.2 Teilchen und Antiteilchen in der Dirac-Gleichung C.3 Parität für Antiteilchen C.4 Ergänzungen zum Propagator D Ergänzungen zum Wirkungsquerschnitt 240 D.1 Phasenraum D.2 Zustandsdichte D.3 Teilchenfluss der einlaufenden Teilchen D.4 Integration des Phasenraums D.5 Yukawa Potential und Reichweite der Kräfte E Symmetrien und Gruppen 245 E.1 Teilchenphysik und Unitäre Transformationen E.2 Unitäre Matrizen und Generatoren E.2.1 Diagonale Generatoren E.3 Normierung der Generatoren F Nicht-Abelsche Eichtheorie 248 F.0.1 Ableitung

7 Literatur Empfehlungen zur Teilchenphysik: Martin, Shaw: Elementary Particle Physics (Wiley) E. Lohrmann: Hochenergiephysik (Teubner, Neuauflage 2005) Ch. Berger: Elementarteilchen (Springer 2001) D. Griffith: Introduction to Elementary Particle Physics (Wiley) P. Schmüser, Feynman-Graphen und Eichtheorie für Experimentalphysiker (Springer Lecture Notes in Physics) Halzen, Martin: Quarks and Leptons (Wiley) A. Seiden, Particle Physics, a Comprehensive Introduction (Addison Wesley) Sonstige: G. Musiol, et.al.: Kern und Elementarteilchenphysik (Verlag Harry Deutsch) Frauenfelder, Henley: Teilchen und Kernphysik A. Das, T. Ferbel: Kern und Teilchenphysik (Spektrum Lehrbuch) D.B. Lichtenberg, Unitary Symmetries and Elementary Particles (Academic Press) A.Zee, Quantum Field Theorie in a Nutshell (Princeton University Press) M.Peskin, D.Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theorie (Westview) J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Addison Wesley) 6

8 1 Einleitung Das Standard Modell lokale Eichtheorien starke WW SU(3)c QED U(1)e elektro-schwache WW U(1)Y SU(2)L spontane Symmetrie Brechung B o W o W +- g γ Z o W +- Mesonen: π, K,... Baryonen: p,n,... Leptonen ν ν µ ντ e e µ τ Quarks u c t d s b Higgs Wechselwirkungen Abbildung 1: Schema des Standardmodells mit allen Teilchen. Grüne Pfeile stellen Wechselwirkungen dar. 19 Teilchen 26 freie Naturkonstanten Ist das ALLES? Dunkle Materie und dunkle Energie? Physik jenseits des Standard-Modells Bauprinzip? Vereinfachungen? Vereinheitlichungen? Neue Symmetrien: Supersymmetrie, Grand Unified Theories 7

9 E i c h-t h e o ri e Peter Schlepe Physik nach LHC Januar 200!"#$%&$'())))))*+&,()-&.#%/0/%( 6/7389''&%5/&$ :&5.&/%"$;)2&5)<#%"5=5#&1%& &.&=%54'#;$(>)8%#5=&>)873?#73&)@5#1% Theorem: Nur Eichtheorien liefern physikalisch sinnvolle Resultate Quantentheorie: Teilchen folgen Wellengleichungen Nur Betrag der Wellen ist beobachtbar: Phase der Welle ist beliebig: =*'()*-><9>(8?(45)(<>(><@A6'!"#$%&$1&.2%3&45/& e i Abbildung 2: Schema für Eichtheorien. laesst Experiment unveraendert Symmetrie der Natur: Erhaltung der Elektr. Ladung, Z,W,g haben Spin 1 Form der Kraefte Alle Teilchen in kompletten Generationen Vorhersage Charm, Top, Neutrinos Es muss ein Higgs Teilchen geben Higgs wechselwirkt mit Masse Quantenkorreturen Selbstwechselwirkung von Z,W,g,H 4 "#$%&'()*+(,'-'$.(//0/ 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ Abbildung 3: Wirkungsquerschnitte für Prozesse in e + e Kollisionen als Funktion der Schwerpunktsenergie. 8

10 9 Abbildung 4: Foto des CMS Experiments am LHC und Bild eines Kandidaten für den Zerfall eines Higgs - Bosons.

11 Forderungen an eine fundamentale Theorie der Natur Wenige Grundannahmen Kausalität, Raum-Zeit, Quantentheorie Wenige Naturkonstanten, Teilchen und Wechselwirkungen 26 freie Parameter (ohne Gravitation); e, µ, τ, ν e, ν µ, ν τ, u, d, s, c, t, b, W ±, Z, γ, g, H, dunkle Materie Vorhersagekraft ν τ, t, W, Z, Higgs? gültig in allen Prozessen in Laborexperimenten gültig bei allen Energien: Extrapolierbarkeit Λ 1T ev M Higgs Hierarchieproblem Λ GeV Quanten-Gravitation Erklärung warum die Natur so ist, wie sie ist Standard-Modell nein nein nein Das Standard-Modell ist nicht die TOE (Theory of Everything) Peter Schleper Physik nach LHC T h e o ri e n d e r P h y s i k Januar 2005 Energie, Temperatur, Zeit Abbildung 5: Schema der Vereinheitlichungen der Wechselwirkungen. 10

12 1.1 Einheiten Wir sind interessiert an relativistischer Quantenmechanik. Daher verwenden wir als natürliches Einheitensystem eine Schreibweise, bei der c = 1, = 1 gestzt wird, so dass alle Faktoren c und vermieden werden können. Damit haben Zeit und Länge die gleiche Dimension (m). Ebenso haben Energie, Impuls und Masse die Dimension einer Energie (GeV). Außerdem schreibt sich die Unschärferelation z.b. als t E 1. Dies macht viele Formeln viel übersichtlicher. Für die Berechnung experimenteller Ergebnisse muß von diesem natürlichen Einheitensystem in SI Einheiten (m, kg, s) umgerechnet werden. Dies ist immer möglich durch einfache Dimensionsbetrachtungen: c 30 cm ns 6, MeV s c 197 MeV fm Größe Natürliche Umrechnung SI-Einheit Bemerkung Einheit Energie E M ev M ev z.b. LHC: (GeV, T ev ) (GeV, T ev ) E CMS = 14TeV Impuls p MeV 1 c Masse M MeV 1 c 2 MeV c MeV c 2 E = mc 2! Zeit t MeV 1 s E t 1MeV 1 = 6, s Länge MeV 1 c m 1MeV 1 = 200 fm 1GeV 1 = 0, 2 fm m Geschwind. β 1 c s β = v 1 c Drehimpuls L 1 Js 11

13 1.2 Relativistische Kinematik Die spezielle Relativitätstheorie basiert auf der Forderung, dass alle Inertialsysteme S gleichberechtigt sind. Daraus folgt: Die Naturgesetze (Maxwell-Gl.,...) haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Die Naturkonstanten (c,,...) haben in allen Inertialsystemen die gleichen Zahlenwerte. Hieraus folgen ebenso Zeitdilatation und Längenkontraktion sowie die Formeln für die Lorentz-Tranformationen. Da Ort- und Zeit- Koordinaten gleichermaßen transformiert werden müssen ist die einfachste Notation die der Vierervektoren im Minkowski- Raum: Kontravarianter Vierervektor: x µ = (ct, x, y, z) = (ct, x). Die Zeit wird hier mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert, damit aller Komponenten des Vierervekors die Dimension einer Länge haben. In natürlichen Einheiten wird c = 1 gesetzt, also: x µ = (t, x, y, z) = (t, x), wobei µ = 0, 1, 2, 3 so dass die 0-Komponente die Zeit ist, x 0 = t. Im Folgenden werden griechische Indizes (µ, ν,..) verwendet um Komponenten von Vierervektoren zu bezeichnen. Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt, dass Skalarprodukte (Abstände) von Vierervektoren invariant sind. Mit dem kovarianten Vierervektor x µ = (t, x, y, z). ist das Skalarprodukt zweier Vierervekotren definiert als x µ x µ = x µ x µ = t 2 x 2 y 2 z 2. Hierbei wird also als Summenkonvention über gleiche, unten und oben stehende Indizes summiert. Kontravariante und kovariante 4-er Vektoren lassen sich durch den metrischen Tensor g µν ineinander umrechnen: x µ = g µν x ν mit g µν =

14 In einem anderen Inertialsystem S mit Koordinaten x µ gilt: x µ x µ = x µ x µ Ebenso gilt für beliebige andere Vierervektoren, dass a µ = (t a, x a, y a, z a ), b µ = (t b, x b, y b, z b ) a µ b µ = t a t b x a x b y a y b z a z b = t at b x ax b y ay b z az b = a µ b µ Lorentztransformation erlauben die Umrechnung von allen 4-er Vektoren zwischen verschiedenen Inertialsystemen. Aus Sicht eines Systems S, dass sich mit Geschwindigkeit β s = v s /c < 1 und 1 γ s = 1 β 2 s in x-richtung bewegt, gilt (wenn der Ursprung von S und S zur Zeit t = 0, t = 0 übereinander liegt): t γ s γ s β s 0 0 t γ s t γ s β s x x γ s β s γ s 0 0 x γ s x γ s β s t also y z = y z x µ = Λ µ ν x ν = y z (1) 4-er Impulsvektor: Analog zu Zeit und Ort werden Energie und Impuls eines Teilchens zu einem 4-er Vektor zusammengefasst: p µ = (E, p x, p y, p z ) wobei die Norm des 4-er Impulsvektors die (Ruhe-) Masse m ist. p µ p µ = E 2 p 2 = m 2. (Setzt man c explizit ein entspricht dies E 2 p 2 c 2 = m 2 c 4.) Im Ruhesystem eines Teilchen is p = 0, so dass E = m. Die Lorentz-Transformation eines 4-er Impulses erfolgt wie bei anderen 4-er Vektoren auch: p µ = Λ µ νp ν E γ s γ s β s p x p = γ s β s γ s y 1 p z E p x p y 1 p z 13

15 Bewegt sich ein Teilchen mit Geschwindigkeit β, so ergibt sich mit (β = β s ) aus der Lorentz-Transformation für Energie, Impuls und kinetische Energie: E = γm β = p/e p = γ βm E kin = E m = (γ 1)m Es folgt: p 2 = E 2 p 2 = γ 2 (1 β 2 ) m }{{} 2, so dass p µ p µ = m 2 in allen Systemen. Daraus =1 folgt auch das Additionstheorem für Geschwindigkeiten β = p E β x = p x E = γ sp x γ s β s E γ s E γ s β s p x = β x β s 1 β x β s sowie die kinematischen Grenzfälle für Teilchen-Impulse: ruhend: β = 0 γ = 1 p = 0 E = m langsam: β 0 γ 1 p m E = m mβ β ultrarelativ.: β 1 γ 1 p m E p Masse-los: β = 1 γ = p = E Ableitungen: Als 4-er Ableitung wird definiert: oder, mit c = 1, sowie µ = ( ) 1 x = µ c t, x µ = ( t, x, y, z ) µ = ( t, x, y, z ) Damit ist z.b. die Variation einer skalaren Funktion Φ(x) gegeben durch ebenfals ein Skalar. Es folgt auch δφ = Φ x µ δxµ = ( µ Φ) δx µ µ µ = 2 t 2 = 14

16 1.3 Schrödinger-Gleichung QM- Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen. Benutzt wird die nicht-relativistische Energie-Impuls Beziehung für freie Teilchen: E = p2 2m Quantisierung: Ersetzt man Energie und Impuls eines Teilchens durch die Operatoren E i t, p i und wendet das Resultat auf eine Wellenfunktion ψ(x, t) an, so folgt die Schrödinger- Gleichung, i t ψ = 1 2m 2 ψ (in natürlichen Einheiten, = 1). Lösungen sind ebene Wellen: ψ = ψ 0 e i(et p r), so dass mit t ψ = ieψ, ψ = i pψ und 2 ψ = p 2 ψ die Energie-Impuls Beziehung wieder erfüllt ist: Eψ = p2 2m ψ 1.4 Klein-Gordon-Gleichung Relativistische Wellengleichung für Spin-0 Teilchen. Anders als bei der Schrödingergleichung startet man von der relativistischen Energie- Impuls Beziehung E 2 = p 2 + m 2 oder p µ p µ = m 2 Ersetzt man Energie und Impuls durch die gleichen Operatoren wie im nicht-relativistischen Fall, so erhält man den relativistischen 4-er Impulsoperator: E i t, p i oder p µ i µ. Dies setzt man in die Energie-Impulsbeziehung ein und wendet die Operatoren auf eine Wellenfunktion Φ(x, t) an: ( t 2 Φ = 2 Φ + m 2 Φ oder µ µ + m 2) Φ = 0, denn µ µ = 2 t 2. Dies ist die Klein-Gordon Gleichung für relativistische Spin-0 Teilchen. Lösungen sind wieder ebene Wellen, Φ(x) = Φ 0 e i(et p r) = Φ 0 e i pν x ν mit der Lorentz-invarianten Phase p ν x ν. Da z.b. t p ν x ν = p 0 = E ist folgt auch µ (p ν x ν ) = p µ, µ (p ν x ν ) = p µ so dass Einsetzen der Wellenfunktion in die Klein-Gordon Gleichung wieder die relativistische Energie-Impuls Beziehung liefert. 15

17 1.5 Dirac Gleichung Relativistische Wellengleichung für Spin 1/2 Teilchen. In relativistischen Wellengleichungen können Ort- und Zeit- Ableitungen nur gleichberechtigt, d.h. in der Form µ auftreten. Eine Gleichung linear in den Ableitungen ist die Dirac-Gleichung (iγ µ µ m) ψ = 0 Bestimmt man die Größen γ µ so, dass für eine ebene Welle ψ die relativistische Energie-Impuls Beziehung E 2 = p 2 + m 2 erfüllt sein muß, so folgt: Jedes γ µ (µ = 0, 1, 2, 3) ist eine 4x4 Matrix. Hinter m in der Dirac-Gleichung steht also (nicht ausgeschrieben) eine 4x4 1er-Matrix im Spinor-Raum. Damit die Dirac-Gleichung Lorentz-invariant ist muss gelten 1 γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν Auch hier steht (nicht ausgeschrieben) auf der rechten Seite eine 4x4 1er-Matrix im Spinor-Raum. ψ ist ein 4-Spinor mit den 4 Komponenten ψ k = ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4. Hier ist k kein Lorentz-Index sondern der Spinor-Index (Römische Buchstaben). Der Spinor hat also 4 Freiheitsgrade: (Teilchen, Antiteilchen) x (2 Spineinstellungen) Die Dirac-Gleichung gilt also für Spin 1/2 Teilchen und sagt die Existenz von Anti-Materie voraus. Ausgeschrieben in allen Komponenten lautet die Dirac-Gleichung: [ 4 3 ] i(γ µ ) jk µ mδ jk ψ k = 0 k=1 µ=0 Die 4x4 γ-matrizen beinhalten nur Zahlen und lassen sich durch die 2x2 Pauli- Matrizen darstellen. In der Dirac-Pauli Notation lauten sie: ( ) 1 ( ) ( ) I 0 γ 0 = = I 1, σi 0 I γi =, γ 5 = σ i 0 I Beweis: Ersetzt man in der Dirac-Gleichung (mψ = iγ µ µ ψ) den Impulsoperator durch den Impulserwartungswert, i µ ψ = p µ ψ, so erhält man mψ = γ µ p µ ψ. Multipliziert man nun die Gleichung mit m so folgt m 2 ψ = γ µ p µ (mψ) = γ µ p µ γ ν p ν ψ. Das Produkt der beiden Summen rechts lässt sich schreiben als γ µ p µ γ ν p ν ψ = 1 2 (γµ γ ν + γ ν γ µ ) p µ p ν ψ = m 2 ψ = ( E 2 p 2) ψ = p µ p µ ψ = g µν p ν p µ ψ. Der zweite und letzte Term können nur gleich sein, wenn γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν erfüllt ist. 16

18 Die zusätzliche γ 5 Matrix ist nicht Teil der Dirac-Gleichung, wird aber später benötigt. Die Pauli-Matrizen σ = (σ x, σ y, σ z ) = (σ 1, σ 2, σ 3 ) lauten in der Dirac-Darstellung σ x = ( ) 0 1, σ 1 0 y = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 z = 0 1 In manchen Fällen ist es vorteilhaft eine andere Konvention für die γ- Matrizen zu verwenden, die Weyl- Notation: ( ) ( ) ( ) 0 I 0 γ 0 = γ i σi I 0 =, γ 5 = I 0 σ i 0 0 I In dieser Notation haben dann auch die Lösungen der Dirac Gleichung eine andere Form. Generell wird im Folgenden die oben definierte Dirac-Pauli Notation verwendet. 1.6 Lagrange-Formalismus Für klassische Teilchen Klassisch und nicht-relativistisch ist die Lagrange-Funktion für ein Teilchen eine Funktion der Ortskoordinaten und deren Zeitableitungen, L( x, t x) = T V = p2 2m V = 1 2 m( t x) 2 V ( x) oder mit verallgemeinerten Koordinaten q, t q, Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen L = L(q, t q) L q(t) L t ( t q(t)) = 0 folgen die Bewegungsgleichungen. Ist z.b. q = x, so folgt mit das Gesetz von Newton: L x = V ( x) x = F L ( t x) = m ( t x) = p F = t p, 17

19 1.6.2 Für die Klein-Gordon Gleichung Felder sind nicht durch einzelne Koordinaten beschrieben, sondern sind Funktionen vor Ort und Zeit. Man geht daher zur Lagrange-Dichte L über, die mit der Lagrange- Funktion und der Wirkung über L = d x L, S = d 4 x L zusammenhängt. Da die Wirkung dimensionslos sein soll und Längen die Dimension [GeV 1 ] haben ist die Dimension der Lagrange-Dichte also [GeV 4 ]. Für ein skalares (Spin 0), reelles Feld Φ(x) als Funktion von Ort und Zeit-Koordinaten ist die Lagrange-Dichte eine Funktion der Felder Φ und deren Änderungen µ Φ, L = L(Φ, µ Φ) Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann L Φ L µ ( µ Φ) = 0 Die Klein-Gordon Gleichung lässt sich aus der Lagrange-Dichte L = 1 2 ( µφ)( µ Φ) 1 2 m2 Φ 2 ableiten, denn es gilt: insgesamt also L Φ = m2 Φ ( ) L µ = µ ( µ Φ) = µ µ Φ, ( µ Φ) also die Klein-Gordon-Gleichung. L Φ L µ ( µ Φ) = 0 µ µ Φ + m 2 Φ = 0, Für die Dirac- Gleichung Die Dirac- Wellenfunktionen bestehen auc 4 komplexen Feldern ψ. Anstatt Realund Imaginär- Teile zu betrachten benutzt man equivalent die Funktionen und ihre komplex konjugierten, ausgedrückt durch die adjungierten Spinoren ψ = ψ γ 0, 18

20 wobei wie üblich komplex konjugiert und transponiert bedeutet: ψ 1 ψ = ψ 2 ψ 3 ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) ψ 4 Bei Variation der Lagrange- Dichte fungieren alle Komponenten von ψ und ψ und ihre Ableitungen als getrennte Variablen, L = L(ψ, µ ψ, ψ, µ ψ) Die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung lautet für ein freies Teilchen L = ψ(iγ µ µ m)ψ. Aus der Euler- Lagrange Gleichung für ψ, folgt mit die Dirac- Gleichung für ψ: L ( µ ψ) = 0, L ψ L µ = 0 ( µ ψ) L ψ = (iγµ µ m)ψ. (iγ µ µ m)ψ = 0. Ebenso folgt aus der Euler- Lagrange Gleichung für ψ, mit die Dirac- Gleichung für ψ: L ψ L µ ( µ ψ) = 0 L ( µ ψ) = i ψγ µ, L ψ i µ ψγ µ + m ψ = 0. also die adjungierte Gleichung zur Dirac- Gleichung. = m ψ 19

21 1.7 Globale Symmetrien und Noether- Theorem Invarianz unter Translation, Zeit-Verschiebung und Rotation führen zu den Erhaltungssätzen für Impuls, Energie und Drehimpuls. Im Gegensatz zu diesen äußeren Symmetrien geht es im Folgenden um innere Symmetrien, deren Transformationen mit den Raum-Zeit Transformationen vertauschen. Für eine Wellenfunktion ψ(x) ist die globale Phasentransformation (=Eichtransformation, gauge transformation) definiert durch ψ ψ = Uψ = e iα ψ Global heist, das der Parameter α nicht von Ort und Zeit abhängen soll. Solche Transformationen mit reellem Parameter α bilden die Gruppe U(1) der unitären Transformationen mit einem kontinuierlichen Parameter. Da µ ψ µ ψ = e iα µ ψ ψ ψ = e iα ψ ist die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung invariant unter globalen Eichtransformationen: L = ψ(iγ µ µ m)ψ L = ψ (iγ µ µ m)ψ = e iα ψ(iγ µ µ m)e iα ψ = ψ(iγ µ µ m)ψ = L Die Gruppe U(1) ist eine sog. Abel sche Gruppe, da ihre Elemente vertauschen, U(α)U(β) = U(β)U(α). Unter einer infinitesimalen Transformation (α << 1), ψ ψ = (1 + iα)ψ δψ = iαψ µ ψ µ ψ = (1 + iα) µ ψ δ( µ ψ) = iα µ ψ sollte sich die Lagrange- Dichte ebenfalls nicht ändern. Daher gilt für die Variation von L (Produktregel): 0 =! δl = L ψ δψ + L ( µ ψ) δ( µψ) +... ( ψ) ( ) ( ) L = iα ψ L L µ ψ + iα µ ( µ ψ) ( }{{} µ ψ) ψ +... ( ψ) =0 Euler Lagrange Demnach muss der zweite Term zusammen mit dem entsprechenden Audruck für ψ ebenfalls verschwinden, ( L iα µ ( µ ψ) ψ ψ L ) ( = α µ ψγ ( µ ψ) µ ψ ) = 0 20

22 Dies stellt die Kontinuitätsgleichung für einen erhaltenen 4-er Strom dar, da j µ ψγ µ ψ µ j µ = t j 0 + j = 0 ist, wobei j 0 die Dichte und j die entsprechende Vektorstromdichte ist. Die gesamte Ladung Q = d 3 x j 0 ist damit eine Erhaltungsgröße. Dies ist ein Beispiel für das Theorem von Noether: Aus Symmetrien folgen Erhaltungssätze. Aus der inneren Symmetrie folgt eine Kontinuitätsgleichung für einen 4-er Strom und Ladungs- Erhaltung. 21

23 2 Eigenschaften der Dirac-Gleichung 2.1 Lösungen der Dirac Gleichung Lösungen der freien Dirac- Gleichungen sind vier Wellenfunktionen (iγ µ µ m) ψ = 0 ψ(x) = u (1,2) (p) e ipµ x µ ψ(x) = v (1,2) (p) e +ipµ x µ wobei die jeweils zwei Spinoren für Teilchen u (1,2) (p) und Antiteilchen v (1,2) (p) nur vom 4-er Impuls p µ abhängen, aber nicht von den Ortskoordinaten x µ. Einsetzen in die Dirac-Gleichung ergibt Gleichungen für die Spinoren, sowie (γ µ p µ m)u (1,2) = 0 (γ µ p µ + m)v (1,2) = 0 ū (1,2) (γ µ p µ m) = 0 v (1,2) (γ µ p µ + m) = 0. In der Dirac- Pauli Darstellung der γ- Matrizen ist ( ) E m σ p γ µ p µ m = σ p E m wobei auf den Diagonalen jeweils eine 2x2 1er Matrix nicht ausgeschrieben wurde. E = + p 2 + m 2 ist immer positiv. Es gilt ( ) pz p σ p = x ip y, ( σ p) 2 = p 2 p x + ip y p z Lösungen für die Spinoren der Teilchen (u) und Antiteilchen (v) sind daher ( ) ( χ u (1,2) (1,2) σ p ) (p) = N, v (1,2) (p) = ±N E+m χ(2,1) χ (2,1) σ p E+m χ(1,2) wobei in der letzten Spalte die zwei-komponentigen Spinoren ( ) ( ) 1 0 χ (1) = χ (2) =

24 nur zur Vereinfachung der Schreibweise eingeführt wurden. Explizit ausgeschrieben lauten die Spinoren u (1) (p) = N p z u (2) (p) = N p x ip y E+m E+m p x+ip y p z E+m E+m p x ip y E+m v (1) p z (p) = N E+m 0 1 v (2) (p) = N p z E+m p x+ip y E+m 1 0 Die willkürliche Normierung wird zumeist zu N = E + m gesetzt. Bewegt sich das Teilchen nur in +z Richtung, so lauten die Spinoren 1 u (1) (p z ) = N 0 p u (2) (p z ) = N v (1) (p z ) = N E+m 0 0 p E+m 0 1 v (2) (p z ) = N p E+m p E+m Im Ruhesystem des Teilchens ist p µ = (m, 0, 0, 0) und die Spinoren lauten u (1) (0) = 1 2m 0 0, u(2) (0) = 0 2m 1 0, 0 0 v (1) (0) = 0 2m 0 0, v(2) (0) = 0 2m Spin und Helizität Der Spin-Operator für die Dirac-Gleichung lautet S = 1 ( ) σ σ 23

25 Angewendet auf die Spinoren u(p), v(p) zeigt sich, dass diese im Allgemeinen keine Eigenzustände des Spin-Operators sind. Für Teilchen, die sich in +z- Richtung bewegen, sind die Spinoren u(p z ), v(p z ) jedoch Eigenzustände von S z. Es wird daher der Helizitätsoperator definiert, λ = S p p = 1 ( ) σ p 0 2 p 0 σ p der die Spin-Komponente parallel zum Impuls p beschreibt. Insbesondere ist für ein Teilchen mit Impuls in +z Richtung der Helizitätsoperator einfach 1 λ z = , 1 so dass Für ein Antiteilchen gilt: λ z u (1) (p z ) = u(1) (p z ) λ z u (2) (p z ) = 1 2 u(2) (p z ) λ z v (1) (p z ) = 1 2 v(1) (p z ) λ z v (2) (p z ) = v(2) (p z ) Die Spinoren u (1,2) sind also Eigenfunktionen des Helizitätsoperators mit positiver Helizität 1/2 wenn der Spin in Bewegungsrichtung zeigt. Helizität ist bedeutsam, weil der Spin zur Drehimpulserhaltung beiträgt. 2.3 Chiralität Es werden zwei Chiralitäts - Projektionsoperatoren P L = 1 2 (1 γ5 ) und P R = 1 2 (1 + γ5 ) definiert. Nach Anwendung auf beliebige Spinoren entstehen u L (p) = P L u(p) = 1 2 (1 γ5 )u(p) u R (p) = P R u(p) = 1 2 (1 + γ5 )u(p) linkshändige ( lefthanded ) Spinoren u L und rechtshändige ( righthanded ) Spinoren u R, so dass u = u L + u R 24

26 Explizit ist γ 5 = , ( ) γ 5 2 = Wendet man die Chiralitätsoperatoren auf Helizitätszustände an, so findet man 1 P L u (1) (p z ) = 1 2 (1 γ5 ) u (1) (p z ) = 1 p E + m (1 2 E + m ) P R u (1) (p z ) = 1 2 (1 + γ5 ) u (1) (p z ) = 1 p E + m (1 + 2 E + m ) Im ultrarelativistischen Grenzfall, E >> m, E p, ist P L u (1) 0 und P R u (1) u (1), d.h. Teilchen mit positiver Helizität sind nahezu rechtshändig und Teilchen mit negativer Helizität sind nahezu linkshändig. Dies ist aber falsch bei kleineren Geschwindigkeiten. Chiralität (oder Händigkeit) spielt eine große Rolle, weil sie für Vektorströme an jedem Vertex eines Feynman-Diagrams erhalten bleibt. Für den Strom j µ = ūγ µ u in der QED gilt mit u = u L + u R und ū = ū L + ū R, dass ūγ µ u = ū L γ µ u L + ū R γ µ u R. Da der Strom in der QED insgesamt erhalten bleibt und keine gemischten Terme ū R γ µ u L auftreten bedeutet dies, dass ein in einen Prozess einlaufendes linkshändiges Teilchen auch linkshändig die Reaktion verlässt, und ebenso für ein rechtshändiges Teilchen. Dies stellt eine wichtige Einschränkung für die erlaubten Helizitäts- Kombinationen in Prozessen dar. In der QCD und der schwachen Wechselwirkung gilt dies ebenso. Da die Chiralität für ultrarelativistische Teilchen auch die Helizität und damit den Spin festlegt, folgen hieraus bereits Grundeigenschaften der Wirkungsquerschnitte. 2.4 C,P,T Für den Operator der Ladungskonjugation C gilt Cψ = ψ C = iγ 2 ψ, 25

27 so dass gilt: Cu (1) = u (1)C = v (2), Cu (2) = u (1)C = v (1). Die Paritätsoperator bewirkt eine Spiegelung der Raumkoordinaten, x x. Seine Auswirkungen auf Spinoren lassen sich durch die γ 0 Matrix darstellen, ψ (x ) = γ 0 ψ(x) Angewendet auf die Spinoren u, v ergibt sich γ 0 u (1,2) (E, p) = +u (1,2) (E, p) γ 0 v (1,2) (E, p) = v (1,2) (E, p) Also haben Spin-1/2 Teilchen positive Parität und Spin 1/2 Antiteilchen negative Parität. Bei der Zeitumkehr wird nur das Vorzeichen der Zeit umgekehrt, t t. Für Spinoren lässt sich das darstellen als ψ (t ) = iγ 1 γ 3 ψ (t). 2.5 Dimensionen der Felder und Bilinearformen Die Lagrange-Dichte hat die Dimension GeV 4. Aus dem Massenterm L m = m ψψ kann man die Dimensionen der Felder ψ ablesen. Für die Wechselwirkung mit dem Vektorpotential A µ der Elektrodynamik findet man (siehe nächstes Kapitel) als Term in der Lagrangedichte q ψγ µ ψa µ mit Kopplung q. Als kinetischen Term findet man F µν F µν mit F µν = µ A ν ν A µ. Damit folgen als Dimensionen [ψ] = GeV 3/2 [A µ ] = GeV [q] = 1 Das Forderung nach einer renormierbaren Theorie erfordert nun, dass in der Lagrange- Dichte keine Kopplungen mit negativer Potenz von GeV auftreten dürfen. Wegen ihrer Dimension GeV dürfen also maximal vier Vektorfelder in einem Term der Lagrange-Dichte auftreten. Hingegen treten wegen ihrer Dimension GeV 3/2 Dirac- Spinoren höchstens paarweise auf (Bilinearformen). Allgemein ist dies die Ursache für die Erhaltung der Fermionzahlen (Leptonzahl ud Baryonzahl). Zum Beispiel für die Lagrange-Dichte der QED ist dies tatsächlich der Fall. Damit sind Alternativen zur QED bereits aus Gründen der Relativitätstheorie und der Konsistenz der Theorie (Renormierbarkeit) weitgehend eingeschränkt. Es gibt aber neben den bereits in die Lagrange-Dichte eingeführten Termen auch andere Ausdrücke aus je zwei Spinoren, die für relativistisch invariante Terme verwendet werden könnten. Eine vollständige Liste ist: 26

28 Skalar ψψ 1 Massenterm Vektor ψγ µ ψ 4 Strom der QED Tensor ψσ µν ψ 6 Axial-Vektor ψγ 5 γ µ ψ 4 negative Parität Pseudo-Skalar ψγ 5 ψ 1 negative Parität mit σ µν = i 2 (γµ γ ν γ ν γ µ ). Die Zahlen geben an, wieviele unabhängige Bilinearformen in jedem Ausdruck vorkommen; Skalare sind 1-dimensional, Vektoren 4- dimensional und antisymmetrische 4x4 Tesoren haben 6 unabhängige Elemente. Damit sind alle 16 möglichen Kombinationen zweier 4-Spinoren dargestellt. Es zeigt sich, dass für die QED und die QCD, in denen die Parität erhalten ist, außer dem Tensor keine andere Größen außer den bereits bekannten Massentermen und Strömen auftauchen dürfen. Für einen Tensor-Term gibt es aber keinen experimentellen Beleg. In der schwachen Wechselwirkung, die die Parität verletzt, werden auch Axial-Vektoren eine große Rolle spielen, da der Strom eines linkshändigen Spin-1/2 Teilchens ū L γ µ u L ψγ µ ψ ψγ 5 γ µ ψ also als Vektor - Axialvektor Strom (V-A Theorie der schwachen Wechselwirkung) ausgedrückt werden kann. 27

29 3 Quanten-Elektrodynamik 3.1 Lokale Eichinvarianz Die Quanten-Elektro-Dynamik (QED) ist die bis jetzt gültige Theorie zur Beschreibung aller elektromagnetischen Prozesse. Theoretisch wird sie motiviert durch eine Verallgemeinerung der globalen Eichsymmetrie zu einer lokalen Eichsymmetrie. Während die Schrödinger- Gleichung, die Klein-Gordon- Gleichung und die Dirac- Gleichung bereits invariant unter globalen Eichtransformationen sind (siehe Abschnitt 1.7), folgt aus der Forderung nach lokaler Eichinvarianz die Existenz von neuen Vektorfeldern (z.b. dem Photon) die Existenz von neuen Wechselwirkungen zwischen diesen Vektorfeldern und Teilchen mit Ladung. Abbildung 6: Symbolische Darstellung einer Phasentransformation als Rotation einer Kugeloberfläche. Links: Globale Transformation, entsprechend einer Rotation der ganzen Kugel um den gleichen Winkel, also keine Deformation. Rechts: Lokale Transformation, entsprechend einer Verschiebung von Punkten untereinander mit Deformationen, die elastische Kräfte erzeugen. Im Folgenden wird lokale Eichinvarianz für U(1) Phasentransformationen diskutiert. Bei der globalen Eichinvarianz war die Phase α eine konstante, also unabhängig von Ort und Zeit. Observablen wie < Ψ Ψ > sind aber auch invariant unter lokalen Eichtransformationen, bei der die Phase von Ort und Zeit abhängt. Allgemein sollten physikalische Gesetze vermutlich nicht globalen Symmetrien unterliegen, da deren Transformationen überall gleichzeitig wirken müssten, was dem Prinzip der Kausalität wiederspricht. Es wird daher postuliert, dass die Eichsymmetrie U(1) auch lokal gelten soll, d.h. eine kontinuierliche Funktion von Raum und Zeit sein kann: ψ(x) ψ (x) = e iqα(x) ψ(x) 28

30 ψ(x) ψ (x) = e iqα(x) ψ(x). Hier ist q eine zunächst beliebige, reelle Konstante und α(x) = α(t, x 1, x 2, x 3 ) eine reelle Funktion. Für ein freies Spin 1/2 Teilchen ist damit die transformierte Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung L = ψ iγ µ µ ψ m ψ ψ Der Massenterm ist offenbar eich-invariant, während für die Ableitung gilt. Damit wird die Lagrange- Dichte zu m ψ ψ = m ψψ, µ ψ = e iqα(x) ( µ ψ + iq ψ µ α(x)) L = ψ iγ µ µ ψ m ψ ψ = e iqα(x) ψ iγ µ e iqα(x) ( µ ψ + iq ψ µ α(x)) m ψψ = ψ iγ µ µ ψ m ψψ q ψγ µ ψ µ α(x) = L q ψγ µ ψ µ α(x) Damit ist die Lagrange- Dichte eines freien Teilchens nicht invariant unter lokalen Eichtransformationen, da die Ableitung µ ψ nicht invariant ist. Damit das Postulat der lokalen Eichinvarianz erfüllt wird muss die Lagrange- Dichte offenbar verändert werden. Dies kann erreicht werden, wenn man anstelle der normalen Ableitung µ ψ eine kovariante Ableitung D µ ψ einführt, die sich unter einer Eichtransformation verhalten soll wie: D µ ψ D µψ = e iqα(x) D µ ψ Dies kann nur erfüllt werden, wenn man ein neues Vektorfeld A µ (x) einführt und die kovariante Ableitung definiert als D µ µ + iqa µ (x), wobei sich das Vektorfeld unter der gleichen Eichtransformation verhalten soll wie A µ A µ(x) = A µ (x) µ α(x) Damit ist die neue (noch nicht endgültige) Lagrange- Dichte L = ψ iγ µ D µ ψ m ψψ = ψ iγ µ µ ψ }{{} kin.t erm m ψψ }{{} Massen T erm q ψγ µ ψa µ }{{} Neue W echselwirkung 29

31 e e γ Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also ein neues Vektorfeld und sagt die Form der neuen Wechselwirkung voraus. Später werden wir für die QED identifizieren: das Vektorfeld A µ entspricht dem Photon, das Dirac- Feld ψ entspricht z.b. einem Elektron (oder Myon, Tau, Quark), die Konstante q entspricht der Kopplung zwischen Photon und z.b. dem Elektron, d.h. der elektrischen Ladung. Diese ist z.b. für ein Elektron die Elementarladung, q = e, die mit der Feinstrukturkonstanten über α em = e2 4π zusammenhängt, so dass im hier verwendeten Einheitensystem e 0, 3 Allerdings wird diese Interpretation der Ladung q aufgrund von Quantenkorrekturen durch die sogenannte Renormierung der Kopplungskonstanten nochmals verändert werden müssen. Es muß noch bewiesen werden, dass die neue Lagrange- Dichte eichinvarinat ist. Es gilt D µψ = ( µ + iqa µ) ψ = µ ( e iqα ψ ) + iq (A µ µ α) e iqα ψ = e iqα ( µ ψ + iqψ µ α + iqa µ ψ iqψ µ α) = e iqα D µ ψ Damit ist auch ψiγ µ D µ ψ invariant, und damit auch die gesamte Lagrange- Dichte und die Bewegungsgleichungen. 30

32 3.2 Vektorfelder Masse und kinetische Energie Genau wie das Dirac- Feld ψ(x) muss das Vektorfeld A µ (x) als neuer Freiheitsgrad der Theorie aufgefasst werden, kann also auch Energie aufnehmen und sollte demnach mit Massen- Term und kinetischem Term in der Lagrange- Dichte auftreten. Im Folgenden werden die Eigenschaften des freien Vektorfeldes untersucht. Ein Massenterm der Form m 2 A Aµ A µ ist nicht eich- invariant, m 2 AA µ A µ = m 2 A (A µ A µ + 2A µ µ α + µ α µ α). und verletzt damit das Postulat der Eichinvarianz. Das Vektorfeld muss masselos sein 2, m A = 0 Ein kinetischer Term für A µ muss Ableitungen der Form µ A ν beinhalten, die einzeln nicht eich- invariant sind. Für den sogenannten Feldstärke- Tensor gilt jedoch F µν = µ A ν ν A µ, F µν = µ A ν ν A µ = µ (A ν + ν α) ν (A µ + µ α) = F µν Eine Lorentz- invariante Lagrange- Dichte für das freie Vektorfeld ist demnach L A = 1 4 F µν F µν. Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für jede einzelne Komponente des Feldes A α, folgt mit L A A α = 0, L A L A β A α ( β A α ) = 0 ( µ A ν ) ( β A α ) = δ βµ δ αν und ( µ A ν ) ( β A α ) = gβµ g αν die Bewegungsgleichung für das freie Vektorfeld (Umbenennung der Indizes): µ F µν = 0. 2 In der Tat sind das Photon der U(1) und die Gluonen der SU(3) masselos. Die schwachen Eichbosonen W ±, Z 0 der SU(2) erhalten jedoch durch die spontane Symmetrie- Brechung im Higgs- Mechanismus eine Masse. 31

33 3.2.2 Spin und Polarisation Durch eine Eichtransformation A µ A µ µ α lässt sich bei geeigneter Wahl von α erreichen, dass die Lorentz- Bedingung erfüllt ist, µ A µ = 0. Für die Bewegungsgleichungen des freien Bosons µ F µν = A µ µ ν A µ = 0 folgt damit die Wellengleichung mit einer ebenen Welle als Lösung, A µ = 0 A µ = ε µ e ipνxν mit dem Polarisationsvektor ε µ. Mit µ A µ = 0 folgt daraus p ν ε ν = 0. Die ursprünglich 4 möglichen Polarisationszuständen ε µ erfüllen also eine Zwangsbedingung, so dass durch die Eich- Freiheit de facto eine Komponente wegfällt. Die verbleibenden 3 Freiheitsgrade entsprechen den drei Einstellungen des Spins eines Spin-1 Teilchens. Auch nach einer weiteren Eich- Transformation A µ = A µ + µ α bleibt die Lorentz- Bedingung µ A µ = 0 erfüllt, falls α = 0. Für ein masseloses, reelles (d.h. nicht virtuelles) Teilchen (p µ p µ = 0) ist dies möglich, denn als Lösung kann α = iae ipµ x µ gewählt werden, denn es gilt α = µ µ α = p µ p µ α = 0. Aus diesen Lösungen ergibt sich mit A µ = A µ + µ α, dass ε µ = ε µ + ap µ Wählt man nun a so, dass ε 0 = 0, so folgt mit p ν ε ν = 0, dass p ε = 0, 32

34 d.h. der Polarisationsvektor steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Für masselose Vektorfelder ist also eine Polarisationsrichtung nicht realisiert; das Feld ist transversal polarisiert. Zeigt der Impuls in z Richtung, so gilt p = (0, 0, p z ) ε 1 = (1, 0, 0) ε 2 = (0, 1, 0) Daraus lassen sich zirkular polarisierte Felder konstruieren, die den Spin-Einstellungen parallel (Helizität +1) und anti- parallel (Helizität -1) zur Bewegungsrichtung entsprechen, ε(λ = +1) = 1 (1, i, 0) 2 ε(λ = 1) = 1 2 (1, i, 0) Insgesamt hat ein Vektorfeld also 3 Polarisationszustände, wobei allerdings bei masselosen (nicht virtuellen) Vektorfeldern nur zwei realisiert sind. 3.3 Maxwell- Gleichungen Insgesamt ist die eich- invariante Lagrange- Dichte eines Dirac- Teilchens, einschließlich kinetischer Energie für das Vektorfeld, und damit L = ψ iγ µ µ ψ }{{} kin. T erm ψ L = ψ iγ µ D µ ψ m ψψ 1 4 F µν F µν m ψψ }{{} Massen T erm q ψγ µ ψa }{{ µ 1 } 4 F µν F µν }{{} Neue W echselwirkung kin. T erm A µ Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für A µ und ψ folgen die Bewegungsgleichungen µ F µν = q ψγ ν ψ = j ν (iγ µ ( µ + iqa µ ) m)ψ = 0 Hier erscheint jetzt die Stromdichte j ν als Quelle für das Vektorfeld auf der rechten Seite, da im Gegensatz zur Lagrangedichte des freien Feldes (Abschnitt 3.2.1) die Ableitung L A α = q ψγ α ψ = j α 33

35 ( ) nicht verschwindet, sondern bis auf den Faktor q gerade die Stromdichte j ν = ρ, j des Dirac-Teilchens ist (siehe Abschnitt 1.7). Die hier beschriebene Lagrangedichte für eine lokale U(1) Eichinvarianz ergibt daher Bewegungsgleichungen, die identisch denen der Elektrodynamik sind. Wir identifizieren daher die Stromdichte j ν mit der elektrischen Stromdichte, die Konstante q mit der elektrischen Ladung des Dirac- Teilchens und das Feld A µ mit dem 4-er Potential der Elektrodynamik, ( A µ = V, A ). Das elektrische Feld E und das magnetische Feld B ergeben sich aus dem skalaren Potential V und dem Vektorpotential A durch E = V t A B = A. In 4-Vektor Notation, µ = ( t, ), ist dies z.b. für i = 1, j = 2, k = 3 gleichbedeutend mit E i = i A 0 0 A i B i = k A j j A k. Damit ergibt sich für den antisymmetrischen Feldstärke-Tensor 0 E x E y E z F µν = µ A ν ν A µ = E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 Die homogenen Maxwell- Gleichungen B = 0 E + t B = 0 sind durch die Darstellung der Felder als Ableitungen des 4-er Potentials automatisch erfüllt. Die inhomogenen Maxwell- Geichungen ergeben sich aus der ersten Bewegungsgleichung zu µ F µν = j ν zu E = ρ ν = 0 B t E = j ν = 1, 2, 3 Die zweite Bewegungsgleichung (iγ µ ( µ + iqa µ ) m)ψ = 0 gibt die Wirkung des elektromagnetischen Feldes auf das Dirac- Teilchen an. Ersetzt man den Impulsoperator i µ durch den Impuls p µ so erkennt man den typischen Ausdruck p qa für 34

36 die minimale Kopplung eines elektromagnetischen Feldes an ein Teilchen mit Impuls p. Insgesamt folgern wir also aus der Lorentz-Invarianz der speziellen Relativitätstheorie und aus der globalen Phaseninvarianz der Quantenmechanik die Erhaltung einer Ladung und eines Teilchen-Stroms. Fordert man außerdem lokale Phaseninvarianz, so ergibt sich die Existenz eines Vektorfeldes, das masselos ist, Spin 1 hat und mit einer konstanten Ladung an den Vektorstrom des Teilchens koppelt. Man kann jedoch nicht die Existenz des geladenen Teilchens selber oder die Größe seiner elektrischen Ladung ableiten. Die Ladungen und die Massen der Fermionen sind demnach Naturkonstanten. 35

37 3.4 Übersicht der elementaren QED-Prozesse 1.) s -Kanal: Paar-Vernichtung und Paar-Erzeugung e e + e µ + µ e + s 2.) t -Kanal: Periphere Streuung e e + M 2 2e 4 u2 +t 2 s 2 (1 + cos 2 Θ) für unpolarisierte e e + symmetrisch in cosθ t e µ e µ M 2 2e 4 s2 +u 2 t 2 Peak in Vorwärts-Richtung 3.) t und s -Kanal: Bhabha - Streuung e e + e + e + e e + e e + e e + e e ( + ) M 2 2e 4 s 2 +u 2 + 2u2 + u2 +t 2 t 2 t s s 2 Zwei Diagramme mit gleichem Anfangs- und Endzustand Interferenz von zwei Feynman- Amplituden ( M 1 + M 2 2 ) 4.) t und u -Kanal: Möller - Streuung: identische Fermionen e e e e e e e e( ) M 2e 4 s 2 +u 2 + 2s2 +t 2 t 2 t u u 2 + Zwei Diagramme mit identischen Teilchen e e von verschiedenen Vertizes e e negative Interferenz ( M 1 M 2 2 ) Peak in Vorwärts- und Rückwärts- Richtung 36

38 Abbildung 7: Winkelverteilungen der elementaren QED Prozesse. Gezeigt ist dσ/dω in willkürlichen Einheiten. 37

39 4 Wirkungsquerschnitte Die Beschreibung von Streuprozessen in der Teilchenphysik lässt sich charakterisieren durch: Die Kinematik der Teilchen im Anfangs- und Endzustand. Diese wird beschrieben durch die Mandelstam-Variablen. Die absolute Wahrscheinlichkeit des Prozesses als Funktion kinematischer Größen, d.h. den Wirkungsquerschnitt. Hierzu muss der Phasenraum der Reaktionsprodukte und das Matrixelement M berechnet werden. Letzteres wird näherungsweise durch Feynman-Diagramme berechnet. Insbesondere für 2 2 Reaktionen, bei denen die Massen aller vier Teilchen und die Schwerpunktsenergie bekannt sind, ist der einzige Freiheitsgrad der Reaktion der Streuwinkel θ im Schwepunktssystem (und ein willkürlicher Winkel um die Streuachse). Diese Winkelverteilung der Reaktionsprodukte im Schwerpunktssystem kann oft einfacher aus Argumenten zur Chiralitätserhaltung und Drehimpulserhaltung verstanden werden. 4.1 Mandelstam - Variablen Wirkungsquerschnitte müssen Lorentz-invariant sein und von der Kinematik der einund auslaufenden Teilchen anhängen. Daher muß aus den 4-er Vektoren der Teilchen ein vollständiger Satz Lorentz-invarianter Skalarprodukte gebildet werden und nur von diesen darf der Wirkungsquerschnitt abhängen. Für 2 2 Prozesse mit den vier 4-er Vektoren p 1, p 2, p 3, p 4 gibt es insgesamt 10 Möglichkeiten für Skalarprodukte, wovon wegen Energie und Impulserhaltung aber nur sechs unabhängig sind. Dazu 2 > 2 Prozess k k p 1 + p 2 = p 3 + p 4 p p gehören die 4 Massen p 2 i = p µ i p i,µ = m 2 i (i = 1, 2, 3, 4) sowie zwei weitere unabhängige Kombinationen. Hierfür werden konventionell zwei der drei Mandelstam-Variablen s = (p 1 + p 2 ) 2 = (p 3 + p 4 ) 2 38

40 verwendet, die über die Beziehung t = (p 1 p 3 ) 2 = (p 4 p 2 ) 2 u = (p 1 p 4 ) 2 = (p 3 p 2 ) 2 s + t + u = i=1,..4 verknüpft sind. Offenbar ist s = E CMS die Schwerpunktsenergie, während t und u den 4-er Impulsübertrag zwischen ein-und auslaufenden Teilchen beschreiben.es gilt weiterhin m 2 i s = (p 1 + p 2 ) 2 = m m p 1 p 2 2p 1 p 2 2p 3 p 4 t = (p 1 p 3 ) 2 = m m 2 3 2p 1 p 3 2p 1 p 3 2p 2 p 4 u = (p 1 p 4 ) 2 = m m 2 4 2p 1 p 4 2p 1 p 4 2p 2 p 3 wobei die letzten beiden Spalten nur in ultra-relativistischer Näherung relevant sind (m 2 i << s, t, u). Insbesondere gilt in dieser Näherung im Schwerpunktssystem beziehungsweise im Fixed-Target System (Teilchen 2 in Ruhe), CMS Fixed Target p 1 = p 2 p 2 = 0 s 2p 1 p 2 = 2(E 1 E 2 p 1 p 2 ) 4E 1E 2 2m 2 E 1 t 2p 1 p 3 = 2(E 1 E 3 p 1 p 3 ) s 2 (1 cosθ ) 2m 2 (E 1 E 3) u 2p 1 p 4 = 2(E 1 E 4 p 1 p 4 ) s 2 (1 + cosθ ) 2m 2 E 3 Bedeutsam sind die Mandelstam-Variablen auch, weil die (4er-Impulse) 2 der ausgetauschten Teilchen in Feynman-Diagrammen direkt mit s, t, u beschrieben und damit klassifiziert werden können (siehe auch Propagatoren). Als Konvention werden die k s Kanal k k t Kanal k k u Kanal k p p p p p p z.b. e+ e > µ + µ e µ >e µ v e e >e v e 39

41 gleichartigen Teilchenpaare im Anfangszustand mit (1, 3) beziehungsweise (2, 4) bezeichnet. Der u- Kanal tritt in der QED nur auf, wenn bei gleichen Teilchen im Anfangs- und Endzustand (z.b. e e e e ) nicht unterschieden werden kann, welches Teilchen von welchem Vertex stammt. In der schwachen Wechselwirkung e e e e e e + e e e e e e können anders als in der QED auch Teilchensorten ineinander umgewandelt werden, so dass der u Kanal z.b. für ν e e e ν e bedeutsam ist. 4.2 Wirkungsquerschnitt und Luminosität In einem Kollisionsexperiment ist die Anzahl N der Streu-Ereignisse, die gemessen werden kann, gegenben durch den Wirkungsquerschnitt und die integrierte Luminosität, N = σ L int oder differentiell als Funktion einer Observablen X, dn dx = dσ dx L int Der Wirkungsquerschnitt charakterisiert dabei die Kollision zweier Teilchen, während die Luminosität beschreibt, wie viele Teilchen sich auf einer bestimmten Querschnittsfläche überhaupt begegnen. Beispielsweise ist die Luminosität eines Kreis- Beschleunigers gegeben durch L = N B f N 1N 2 4πσ x σ y Hierbei sind σ x und σ y die Breiten der Verteilung der Teilchen transversal zur Strahlrichtung, die näherungsweise Gauß-Verteilungen sind. Die Anzahl der Teilchen je Bunch, N 1,2, multipliziert mit der Anzahl der Bunche, N B, und der Umlauffrequenz der Bunche, f, ist der Strom eines der Teilchenstrahlen in der Maschine. I 1,2 = en 1,2 N B f. Relevant für die Gesamt-Anzahl der Streu-Reaktionen ist das Produkt aus Luminosität und Laufzeit des Beschleunigers, oder bei nicht konstanter Luminosität, das Integral dieser Luminosität über die Zeit, N = σ L int = σ L dt 40

42 Die Luminosität hat Einheit cm 2 s 1. Als Einheit der integrierten Luminosität ist barn 1 gebräuchlich, wobei 1barn = 1b = m 2. Heutige Beschleuniger produzieren integrierte Luminositäten pro Jahr im Bereich einiger fb 1 = b Messung von Wirkungsquerschnitten Zur experimentellen Messung eines differentiellen Wirkungsquerschnitts als Funktion einer Observablen X aus der Formel dσ dx = 1 dn L int dx gehört neben der Luminosität also vor allem die Bestimmung der wahren Anzahl N der Ereignisse mit den gewünschten Eigenschaften als Funktion von X. Als Beispiel diene an einem e + e Beschleuniger der Wirkungsquerschnitt dσ(e + e µ + µ ) dp T,µ Für den angegebenen Prozess muß im Detektor nach Ereignissen mit zwei unterschiedlich geladenen Teilchen gesucht werden. Diese Teilchen müssen außerdem als Muonen identifiziert werden und damit von anderen Teilchensorten unterschieden werden können. Die Energien oder Impulse der Muonen werden gemessen um für jedes Ereignis den Transversalimpuls P T,µ bestimmen zu können. Wegen 4-er Impulserhaltung müssen die gemessenen Impulse im Rahmen ihrer Messfehler die Relation p e + + p e + = p µ + + p µ erfüllen können. Experimentell wird die Suche nach den Muonen und deren Identifikation mit einer Effizienz ɛ erfolgen, die in einem guten Experiment nur etwas kleiner als 100% ist. Der Nachweis der Muonen kann insbesondere nicht erfolgen, wenn diese eine zu kleine Energie haben oder z.b. bei zu kleinen Winkeln θ zur Strahlrichtung im Strahlrohr bleiben und keine sensitiven Detektorelemente erreichen. Diese kinematische Akzeptanz a wird daher ebenfalls im Allgemeinen nicht bei 100% liegen. Die rekonstruierte Anzahl N rec der Ereignisse ist daher nicht die wahre Anzahl der Ereignisse sondern N rec = ɛ a N. 41

43 Weiterhin wird es andere Ereignisse geben, bei denen ebenfalls zwei Muonen entstehen 3. Durch die Forderung nach 4er-Impulserhaltung für die Muonen (s.o.) lässt sich die Anzahl dieser Untergrund - Ereignisse oft sehr stark reduzieren. Die verbleibende Anzahl N bkg der Untergrund-Ereignisse muß subtrahiert werden, so dass N = N rec N bkg ɛa verwendet werden kann. Für differentielle Wirkungsquerschnitte wird die Anzahl N rec,i in einem kleinen Intervall X i bestimmt und durch diese Breite geteilt. Für jedes Intervall i wird also ( dσ dx ) i = 1 L int 1 ɛ i a i N i,rec N i,bkg X i verwendet. Im Prinzip sollte man das Intervall X i möglichst klein machen. Dann wird allerdings die Anzahl der Ereignisse sehr klein und der relative statistische Fehler entsprechend groß. Zudem muß berücksichtigt werden, dass die Observable X einen Messfehler hat, so dass durch den Messvorgang ein Teil der Ereignisse im gewünschten Intervall tatsächlich in Nachbar-Intervalle migriert, und umgekehrt. Daher ist eine gute experimentelle Eichung und Auflösung wichtig. Um systematisch falsche Messungen zu vermeiden werden entsprechende Entfaltungs - Korrekturen durch Simulation von Ereignissen anhand von theoretischer Rechnungen und von Detektor-Modellen bestimmt. 4.4 Fermi s Goldene Regel Bei Streuprozessen gibt der Wirkungsquerschnitt die Wahrscheinlichkeit für eine Streuung je einlaufendem Teilchen an. Der WQ soll also die Reaktion der Teilchen charakterisieren und gleichzeitig unabhängig von der Anzahl der einlaufenden Teilchen, also Experiment-unabhängig, sein. Ein einzelnes Teilchen mit geometrischer Querschnittsfläche σ = πr 2 befinde sich in einer Ebene der Fläche A. Trifft ein anderes, viel kleineres Teilchen an einem beliebigen Ort auf die Fläche, so ist in der klassischen Physik die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Teilchen treffen, gleich P 1 = σ/a. Ist das eintreffende Teilchen ebenfalls ausgedehnt, so stellt σ die effektive Querschnittsfläche der Reaktion dar, eben den Wirkungsquerschnitt (WQ). 3 Ein Beispiel ist e + e τ + τ bei denen jedes τ in ein Muon und zwei Neutrinos zerfällt. 42

44 In der quantenmechanischen Beschreibung sehr kleiner Elementarteilchen repräsentiert der WQ die effektive Querschnittsfläche oder (Reichweite) 2 der Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Als Einheit des WQ ist ein barn gebräuchlich, wobei 1barn = 1b = m 2. Ein Proton mit Radius r 1fm hat also einen geometrischen WQ von σ 31mb. Trifft anstelle eines einzelnen Teilchens ein Teilchenstrahl mit kleiner Anzahl- Dichte n 1 und Geschwindigkeit v 1 auf die Fläche, so werden in einer Zeit T insgesamt N 1 = n 1 v 1 T A Teilchen die Fläche treffen. Für den Teilchenstrahl ist die Anzahl der Streuprozesse pro Zeit ( Übergangsrate ) daher P S T = P 1 N 1 T = σ n 1 v 1 T A A T = σn 1 v 1. Trifft der Teilchenstrahl nicht auf ein einzelnes Teilchen sondern auf N 2 Teilchen in einem Volumen V (Teilchendichte n 2 ), so ist die Anzahl der Streuprozesse um diesen Faktor N 2 erhöht, P S T = σn 1 v 1 N 2 = σn 1 n 2 v 1 V. Für den allgemeinen Fall, dass sich auch die Teilchen N 2 bewegen, ist die Differenz der Geschwindigkeiten v 1 v 2 maßgebend. Außerdem muss berücksichtigt werden, dass man experimentell bei einer 2 2 Reaktion (p 1 + p 2 = p 3 + p 4 ) die Teilchen im Endzustand im Impulsintervall d 3 p 3 d 3 p 4 beobachtet. Der Lorentz-invariante Phasenraumfaktor hierfür, d.h. die Anzahl der quantenmechanischen Zustände in diesem Bereich ist (siehe D.1 und D.2) V d 3 p 3 V d 3 p 4. (2π) 3 2E 3 (2π) 3 2E 4 Damit ergibt sich insgesamt für den Wirkungsquerschnitt: oder symbolisch dσ = P S / (T V ) n 1 n 2 v 1 v 2 dσ = Dies ist Fermi s Goldene Regel. V (2π) 3 d 3 p 3 2E 3 V (2π) 3 d 3 p 4 2E 4. Übergangsrate x Phasenraum Teilchenfluss 43

45 Der Phasenraum beinhaltet die Kinematik und ist proportional zur Anzahl der möglichen quantenmechanischen Endzustände. Der Flussfaktor dient der Normierung auf den Fluss der einlaufenden Teilchen. Bezogen auf ein Volumen V findet man allgemein (siehe Anhang D.3) F V = n 1 n 2 v 1 v 2 = 4 (p V 2 1 p 2 ) 2 m 2 1m 2 2 oder speziell im Schwerpunktssystem mit p i = p 1 = p 2, V 2 F V = 4 p i s Die Übergangsrate beinhaltet das Matrix-Element und damit die Dynamik der Wechselwirkung. Für quantenmechanische Prozesse ist die Wahrscheinlichkeit P S der Streuung in einen bestimmten Endzustand f S i 2 = S fi 2 Natürlich sollte diese Wahrscheinlichkeit null sein, wenn 4er-Impulserhaltung verletzt ist. S fi enthält also implizit eine δ- Funktion, so dass man schreibt S (1) fi = i (2π) 4 δ 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) M fi Später wird diese Form explizit abgeleitet. Dies ergibt 4 Damit folgt ( δ 4 (P ) ) 2 = δ 4 (P ) V T (2π) 4. S fi 2 = M fi 2 (2π) 4 δ 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 )V T. 4 Bei der Berechnung von S fi 2 wird demnach eine δ Funktion quadriert werden müssen. Hierfür gilt bei Integration δ 4 (p) f(p) = δ 4 (p) f(0) und demnach auch δ 4 (p) δ 4 (p) = δ 4 (p) δ 4 (0). Wegen ( ) 1 δ 4 (p) = lim T,V inf (2π) 4 dt d 3 xe ipx T V folgt δ 4 (0) = lim T,V inf V T (2π) 4. Der Grenzwert für alle Zeiten und den ganzen Raum muss natürlich noch durchgeführt werden. Da jedoch sowohl V als auch T in der endgültigen Formel für den Wirkungsquerschnitt nicht mehr auftauchen ändert der Limes nichts am Endresultat für diese Berechnung und wird daher nicht weiter mitgeführt. 44

46 Der Wirkungsquerschnitt setzt sich für 2 2 Streuprozesse mit p 1 + p 2 = p 3 + p 4 also zusammen aus dσ = P S / (T V ) n 1 n 2 v 1 v 2 V (2π) 3 d 3 p 3 2E 3 V (2π) 3 d 3 p 4 2E 4 = M fi 2 V 4 4 (2π) 4 δ 4 d p 3 d p 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) (p 1 p 2 ) 2 m 2 1m 2 (2π) 3 2E 2 3 (2π) 3 2E 4 Die Spinoren in M fi beinhalten noch die Normierung (E + m)/v, so dass sich V heraushebt. Es wird daher ab jetzt M fi = M fi V 2 verwendet, was so verstanden werden soll, dass bei der Berechnung von Matrixelementen M ab jetzt als Normierung der Spinoren N = E + m verwendet wird. Damit ist der Wirkungsquerschnitt dσ = M fi (p 1 p 2 ) 2 m 2 1m 2 2 }{{} einlaufender Teilchenfluss (2π) 4 δ 4 d p 3 d p 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) (2π) 3 2E 3 (2π) 3 2E }{{ 4 } Lorentz-invarianter Phasenraum (dlips = dq) Dies ist die explizite Form von Fermi s goldener Regel für 2 2 Prozesse. Alle Teile sind explizit Lorentz-invariant. 4.5 Wirkungsquerschnitt im CMS Der Wirkungsquerschnitt ist augenscheinlich vielfach differentiell in d 3 p 3 und d 3 p 4. Er sollte aber nur von zwei dieser sechs Variablen abhängen, denn es gilt 4-er Impulserhaltung. Da die Energien der Teilchen durch die Anfangsbedingungen und die Massen festliegen, müssen die verbleibenden Variablen der Streuwinkel und der Azimuthalwinkel eines der Teilchen sein. Die Richtung des anderen Teilchens ergibt sich dann aus der Impulserhaltung. Das Matrixelement kann aus Symmetriegründen nicht vom Azimuthalwinkel um die Kollisionsachse abhängen. Es ist also M fi = M fi (θ ). Da der Flussfaktor nicht von den auslaufenden Teilchen abhängt kann demnach der Phasenraum getrennt integriert werden, bis auf die Winkelvariablen. Dies ist besonders einfach im CMS System, da die δ- Funktion die 4-er Impulserhaltung garantiert. Man findet (siehe D.4) dq = 1 p f dω 4(2π) 2 s Hierbei ist das Raumwinkelelement dω = d cos θ dφ und p f der Impuls der beiden Teilchen im Endzustand, so dass Energieerhaltung erfüllt ist, s = E 3( p f ) + E 4( p f ). 45

47 Im Schwerpunktsystem ergibt sich aus der goldenen Regel mit dem Flussfaktor für den Wirkungsquerschnitt dσ dω = π 2 s F V = 4 p i s p f p i M fi(θ ) 2 Aus dem Phasenraum folgt, dass σ proportional zum Impuls p f der Teilchen im Endzustand ist. Die Produktion schwerer Teilchen ist also durch den Phasenraum unterdrückt. Bei hohen Energien werden die Massen der Teilchen zunehmend unwichtiger. In diesem Limes (oder bei gleichen Massen m i = m f ) ist p f p i = 1 so dass der Wirkungsquerschnitt quadratisch mit der Schwerpunktsenergie fällt, σ 1 s Da außer den Massen nur s die Dimension einer Energie trägt ist dies auch aus Dimensionsgründen erforderlich. Der Wirkungsquerschnitt hängt nur durch das Matrixelement vom Streuwinkel θ ab. 46

48 5 Feynman - Diagramme 5.1 Helizitätsamplituden Einfache Abschätzungen von Wirkungsquerschnitten kann man bereits erhalten, wenn man nur die Erhaltung der Chiralität am Vertex beachtet. In Abschnitt 2.3 wurde gezeigt, dass sich der Strom der QED in rein linkshändige und rein rechtshändige Komponenten zerlegen lässt, ūγ µ u = ū L γ µ u L + ū R γ µ u R. Da Photonen nur an diesen Strom koppeln kann man daher auch Wirkungsquerschnitte in solche Faktoren zerlegen. Im ultrarelativistischen Limes, E >> m, werden Chiralität und Helizität gleich, u L = u (2) u R = u (1) so dass auch die Spin-Richtungen festliegen. Aus der Drehimpulserhaltung folgt dann die Winkelverteilung der Wirkungsquerschnitte. Als Beispiel betrachten wir den Prozess im Schwerpunktssystem (CMS). e + L e R µ+ R µ L Für Drehimpulszustände j, m gilt allgemein J 2 j, m = j(j + 1) j, m J z j, m = m j, m j = 0, 1, 1,... 2 m = j. j + 1,..., j 1, j 47

49 Im Anfangszustand ist mit der eingezeichneten Wahl der z-achse für die gesamte z-koponente also e : j 1, m 1 = 1 2, +1 2 e + : j 2, m 2 = 1 2, m = m 1 + m 2 = 1. Ebenso gilt für den Endzustand bezüglich der Achse z der Auslaufenden Teilchen: m = 1 Für den Streuwinkel Θ zwischen Anfangs- und Endzustand gilt nun: Für Θ = 0 z = z ist die Drehimpulserhaltung für J z verletzt, da m m. Der Prozess ist also verboten. Für Θ = π z = z ist der Drehimpuls erhalten, der Prozess daher erlaubt. Der Winkel Θ ist also nicht beliebig. Die Wahrscheinlichkeit verschiedener Θ erhält man, wenn man das System des Anfangszustands in die Richtung des Endzustands dreht. Bei Rotation von j, m zum Beispiel um die y-achse gilt d j mm (Θ) := j, m e iθjy j, m. Für das Matrixelement M des Prozesses muß also gelten: M d j mm Die d- Funktionen sind nur vom Spin abhängig, gelten also für alle Prozesse mit gleicher Spin- Konfiguration. Mit der expliziten Form von J y = 1 2 σ y folgt d = d 1 11 = 1 2 (1 cosθ) t s, mit dem erwarteten Verhalten für Θ = 0 oder π. Hier sind s, t, u Mandelstamm- Variablen. Bei Umkehrung der Spins im Endzustand e + L e R µ+ L µ R gilt d 1 11 = d = 1 2 (1 + cosθ) u s. 48

50 Für den unpolarisierten (L und R Zustände gleich häufig) Prozess e + e µ + µ sind wegen Chiralitätserhaltung außer den genannten Amplituden nur noch e + R e L µ+ L µ R ( d 1 11) e + R e L µ+ R µ L ( d 1 1 1) möglich. Addiert man alle Amplituden quadratisch auf, so erhält man M 2 ( u s )2 + ( t s )2 = u2 + t 2 s 2 Im ultrarelativistischen Limes ist dies das gesamte Matrixelement für unpolarisierte Streuung und identisch der vollständigen Berchnung über die Feynman- Regeln. 5.2 Propagatoren Propagator für Fermionen In der QED muss bei einem Streuprozess für ein Dirac-Teilchen die Gleichung (iγ µ µ m) ψ(x) = qγ µ A µ (x)ψ(x) = V (x) ψ(x) gelöst werden. Zur Bestimmung von ψ(x) wird zunächst eine Lösung der Gleichung (iγ µ µ m) D(x x ) = δ 4 (x x ) gesucht. Hier ist die Green sche Funktion D(x x ) die Lösung für ψ(x) im Falle eines punktförmigen Potentials an der Stelle x. Die allgemeine Lösung für beliebige Potentiale folgt dann aus ψ(x) = d 4 x D(x x ) V (x ) ψ(x ) wie man durch Einsetzen zeigen kann 5. 5 Beachtet man, dass die Integration über x läuft und die Ableitung µ bezüglich x ist, so kann man beide vertauschen: (iγ µ µ m) ψ(x) = (iγ µ µ m) d 4 x D(x x ) V (x ) ψ(x ) = d 4 x (iγ µ µ m) D(x x ) V (x ) ψ(x ) = d 4 x δ 4 (x x ) V (x ) ψ(x ) = V (x) ψ(x) 49

51 Da hier die rechte Seite auch von ψ(x) abhängt ist die Lösung nicht einfach sondern muss durch Iteration (Störungsrechnung) bestimmt werden. Im Allgemeinen kann man damit jedoch nur Probleme lösen, bei denen die Störung klein ist. Die Green sche Funktion wird mittels einer Fourier-Transformation berechnet, D(x x ) = 1 (2π) 4 d 4 p e ip(x x ) Setzt man dies in die Definitionsgleichung für D(x x ) ein, (iγ µ µ m) D(x x ) = δ 4 (x x ) D(p). so erhält man wegen 1 d 4 p (iγ µ (2π) 4 µ m) D(p)e ip(x x ) = δ 4 (x x ) = 1 (2π) 4 d 4 p e ip(x x ) für die Fourier-Transformierte (γ µ p µ m) D(p) = 1. Durch Multiplikation von links mit (γ ν p ν + m) erhält man wegen γ ν p ν γ µ p µ = p µ p µ als Lösung D(p) = γµ p µ + m p µ p µ m 2 Dieser Ausdruck hat Polstellen bei p 2 m 2 = p 2 0 p 2 m 2 = (p 0 E p )(p 0 + E p ) = 0, (hier soll E p = p 2 + m 2 sein), also dann, wenn das Dirac-Teilchen reell ist. Es wird daher ein kleiner Imaginärteil iɛ hinzugefügt, um Integrationen über die Greensche Funktion zu erlauben, D(p) = γµ p µ + m p µ p µ m 2 + iɛ Am Ende einer Berechnung muss natürlich der Limes ɛ 0 verwendet werden. Diese Fourier-Transformierte der Green schen Funktion ist der Propagator eines Dirac- Teilchens. Er gilt für alle Wechselwirkungen, nicht nur für die QED. Die Rücktransformation zu D(x x ) erfolgt durch Integration: D(x x ) = 1 (2π) 4 d 4 p e ip(x x ) γ µ p µ + m p µ p µ m 2 + iɛ 50

52 Insbesondere findet man für die Beziehung zwischen den Wellenfunktionen an verschiedenen Orten x und x (siehe Anhang C.4 ): Ψ(x) = i d x D(x x ) γ 0 Ψ(x ) (2) Ψ(x ) = i d x Ψ(x) γ 0 D(x x ) (3) Aus Kausalitätsgründen gelten diese Gleichungen für t > t Propagator für das Photon Mit der Lorentz-Bedingung α A α = 0 vereinfacht sich die Maxwell-Gleichung α F αν = j ν zu α α A ν = j ν. Mit dem Ansatz für die Green sche Funktion α α D µν (x x ) = g µν δ 4 (x x ) ergeben sich als Lösungen für A µ, A µ (x) = d 4 x D µν (x x )j ν (x ), denn daraus folgt α α A µ (x) = d 4 x α α D µν (x x )j ν (x ) = j µ (x) Benutzt man die Fourier-Transformation D µν (x x ) = 1 (2π) 4 so folgt aus α α D µν (x x ) = 1 (2π) 4 d 4 q D µν (q) e iq(x x ), d 4 q D µν (q)( q 2 ) e iq(x x ) = g µν δ 4 (x x ) und Vergleich mit der Exponentialdarstellung der δ- Funktion, Dies ist der Propagator für das Photon. D µν (q) = gµν q 2 + iɛ 51

53 5.2.3 Propagator für Spin-0 und Spin-1 Teilchen Die bisher abgeleiteten Propagatoren für Spin-1/2 Teilchen und masselose Spin- 1 Teilchen lassen sich auch direkt aus den Bewegungsgleichungen für freie Felder ablesen, wenn man den Impuls-Operator durch den Impuls ersetzt, i µ p µ, und symbolisch schreibt: Dirac-Gl.: (γ µ p µ m) ψ = 0 D(p) = 1 γ µ p µ m = γµ p µ + m p µ p µ m 2 + iɛ Analog erhält man für den Propagator eines Spin-0 Teilchens Klein-Gordon-Gl.: ( p 2 + m 2 ) Φ = 0 D(p) = i p 2 m 2 Für ein Spin-1 Teilchen ohne Masse gilt die Maxwell-Gl.: q 2 A ν = 0 (q = Impuls des γ) D µν (q) = gµν q 2 + iɛ Für ein Spin-1 Teilchen mit Masse gilt die Proca-Gl.: ( ν ν + m 2) W µ µ ν W ν = Störungsrechnung D µν (q) = gµν + q µ q ν /m 2 q 2 m 2 + iɛ Aus der Beschreibung der Quanten-Feldtheorie für Fermionen und Bosonen hat R. Feynman einfache Regeln abgeleitet, die sich für die Berechnung von Teilchenprozessen aller Art anwenden lassen. Grundlage hierfür ist die Störungsrechnung, bei der jeder Prozess durch eine Entwicklungsreihe beschrieben wird, die jeweils durch einen Satz von Feynnman- Diagrammen dargestellt werden können. Im Allgemeinen kann man damit jedoch nur Probleme lösen, bei denen die Störung klein ist. Als Beispiel laufe ein Teilchen mit der Wellenfunktion ψ i auf ein Streuzentrum zu. Die gestreute Wellenfunktion sei ψ s = Sψ i 52

54 mit der Streumatrix S. Allgemein kann man ψ s nach ebenen Wellen entwickeln. Für einen bestimmten Endzustand, d.h. eine bestimmte Wellenfunktion der auslaufenden Welle ψ f, ist das Übergangsmatrixelement gegeben durch S fi = < ψ f ψ s >=< ψ f S ψ i > (4) = d x ψ f (x) ψ s(x) (5) wobei S als Streumatrix bezeichnet wird. Anstelle der exakten Formel ψ s (x) = d 4 x D(x x ) V (x ) ψ s (x ) mit dem Dirac-Propagator D muss eine Näherung verwendet werden. Sehr weit vor dem Streuzentrum sollte die einfallende Welle die Lösung der freien Dirac-Gleichung sein, ψ i (x). Man kann daher in erster Näherung für kleine Störungen unter dem Integral die einlaufende Welle ψ i in das Integral zur Berechnung von ψ s (x) einsetzen: ψ s (x) ψ (1) (x) = ψ i (x) + Störung ψ i (x) = ψ i (x) + d 4 x D(x x ) V (x ) ψ i (x ) und so weiter für höhere Ordnungen der Störungsrechnung. In nächster Näherung setzt man das Ergebnis ψ (1) als verbesserte Lösung in das Integral für ψ (2) ein: ψ s (x) ψ (2) (x) = ψ i (x) + Störung ψ (1) (x) = ψ i (x) + Störung ψ i (x) + Störung Störung ψ i (x) = ψ i (x) + d 4 x D(x x ) V (x ) ψ (1) (x ) = ψ i (x) + d 4 x D(x x ) V (x ) ψ i (x ) + d 4 x d 4 x D(x x ) V (x ) D(x x ) V (x ) ψ i (x ) Im Folgenden betrachten wir nur die Näherung erster Ordnung (Born sche Näherung), ψ s ψ (1). Damit findet man für das Übergangsmatrixelement: S fi = d x ψ f (x) ψ s(x) = δ fi + d 4 x d x ψ f (x) D(x x ) V (x ) ψ i (x ) = δ fi + d 4 x d x ψ f (x) γ 0 D(x x ) V (x ) ψ i (x ) = δ fi i d 4 x ψf (x ) V (x ) ψ i (x ) 53

55 wobei γ 0 γ 0 = 1 und ψ = ψ γ 0 und im letzten Schritt eine Eigenschaft des Diracpropagator benutzt wurde (s.o.). Im Falle der QED ist die Störung gegeben durch V (x ) ψ(x ) = q γ µ A µ (x ) ψ(x ) so dass S fi = δ fi i d 4 x q ψ f (x ) γ µ ψ i (x ) A µ (x ) Der erste Term, δ fi, entspricht dabei einer Welle, die nicht gestreut wurde, und ist daher nicht weiter von Interesse. Der zweite Term beinhaltet j µ = q ψ f γ µ ψ i Diese Form eines Stroms, der im Gegensatz zur früher definierten Form zwei Wellen mit unterschiedlichen Impulsen kombiniert, ist im Folgenden das zentrale Element der Feynmanregeln für Fermionen. 5.4 Matrixelement Wir betrachten die Streuung zweier Fermionen aneinander, wobei das Übergangsmatrixelement als Funktion der vorgegebenen Impulse der einlaufenden Teilchen (p 1, p 2 ) und der auslaufenden Teilchen (p 3, p 4 ) berechnet werden soll. e (p 1 ) µ (p 2 ) e (p 3 ) µ (p 4 ) e μ γ e μ Die Übergangsmatrixelement in 1. Ordnung ergibt sich, wenn man das Photon- Feld berechnet, das aufgrund eines Stroms j ν (x ) entsteht, es zum Ort x propagiert und dort auf einen zweiten Strom j µ (x) wirken lässt. Da die Ströme aus ausgedehnten Wellenfunktionen bestehen integriert man dabei über alle Orts-Zeit Koordinaten x und x. Der Strom des Elektrons ist j ν e (x ) = q e ψ3 (x ) γ ν ψ 1 (x ) wobei ψ 1 die Wellenfunktion des einlaufenden Elektrons mit Impuls p 1 bezeichnen soll, etc.. Das Photon-Feld dieses Stroms, berechnet am Ort x, ergibt sich dann aus dem Photon-Propagator zu A µ (x) = d 4 x D µν (x x ) j e,ν (x ). 54

56 Das Übergangsmatrixelement ergibt sich aus der Anwendung dieses Potentials auf den Myon-Strom, = iq m d 4 x ψ 4 (x) γ µ A µ (x) ψ 2 (x). S (1) fi Hier ist q m die Ladung des Myons. In unendlicher Entfernung voneinander sind die ein- und auslaufenden Teilchen durch ebene Wellen gegeben, ψ 1 (x ) = u 1 e ip 1x ψ 3 (x ) = u 3 e ip 3x ψ 2 (x) = u 2 e ip 2x ψ 4 (x) = u 4 e ip 4x Setzt man dies zusammen mit der Fourier-Darstellung des Propagators des Photons D µν (x x 1 ) = d 4 q (2π) D µν (q) e iq(x x ) 4 1 = d 4 q gµν (2π) 4 q 2 + iɛ e iq(x x ), in die Gleichung für das Übergangsmatrixelement ein, so folgt S (1) fi = iq m d 4 x ψ 4 (x) γ µ A µ (x) ψ 2 (x) = iq m d 4 x ū 4 e ip4x γ µ d 4 x 1 d 4 q (2π) 4 i = d 4 q d 4 x e i(p 4 q p 2 )x d 4 x e i(p 3+q p 1 )x g µν q (2π) 4 m ū 4 γ µ u 2 q 2 + iɛ q e ū 3 γ ν u 1 = i(2π) 4 d 4 q δ 4 (p 4 q p 2 ) δ 4 g µν (p 3 + q p 1 ) q m ū 4 γ µ u 2 q 2 + iɛ q e ū 3 γ ν u 1. ( gµν ) q 2 + iɛ e iq(x x q e ū 3 e ip 3x γ ν u 1 e ip 1x ) u 2 e ip 2x Hierbei wurden die e-funktionen so zusammengefasst, dass die Integrale über x, x jeweils δ Funktionen ergeben. Da q der 4-er Impuls des Photons ist bedeutet die Integration über d 4 q, dass alle möglichen Impulse des Photons berücksichtigt werden. Allerdings bedeuten die beiden δ-funktionen, dass Energie und Impulserhaltung an jedem Vertex gilt, und damit auch für die Reaktion insgesamt, p 3 p 1 + q = 0, p 4 p 2 q = 0, p 1 + p 2 = p 3 + p 4 Daher kann der 4-er Impulsübertrag q = p 1 p 3 = p 4 p 2 nur einen Wert annehmen, so dass die Integration über d 4 q das Resultat ergibt S (1) fi = i(2π) 4 δ 4 g µν (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) q m ū 4 γ µ u 2 q 2 + iɛ q e ū 3 γ ν u 1. 55

57 Übergangsmatrixelement S (1) fi und Matrixelement M fi hängen jetzt wie folgt zusammen: S (1) fi = i (2π) 4 δ 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) M fi im fi = iq m ū 4 γ µ u 2 igµν q 2 + iɛ iq e ū 3 γ ν u Feynman-Regeln e e γ μ Der hier gewonnene Ausdruck des Matrixelements M fi für den Prozess e (p 1 ) µ (p 2 ) e (p 3 ) µ (p 4 ) lässt sich graphisch als Feynman-Diagram darstellen. Offenbar entspricht jeder graμ phische Teil einem Ausdruck des Matrixelements. Andererseits kann man bereits an der Lagrange-Dichte die existierenden Teilchen und ihre Wechselwirkungen ablesen und so die erlaubten Feynmangraphen konstruieren. Jedem Feynman-Graph kann man dann mit folgenden Regeln ein Matrixelement zuschreiben, ohne die obige detailierte Rechnung durchführen zu müssen: Externe Fermion-Linien erhalten die entsprechenden Spinoren für einlaufende (u, v) und auslaufende (ū, v) Teilchen oder Antiteilchen. Für jeden Photon-Vertex führt man einen Vertexfaktor iq el γ µ zwischen den Spinoren ein, so dass sich ein Vektorstrom mit der elektrischen Ladung q el ergibt, z.b. iq el ūγ µ u. Die elektromagnetische Kopplung ist z.b. für ein Elektron die Elementarladung, q = e, die mit der Feinstrukturkonstanten über zusammenhängt, so dass α em = e2 4π im hier verwendeten Einheitensystem. 1/137, 036 e 0, 3 Interne Linien werden durch die entsprechenden Propagatoren ausgedrückt, also z.b. igµν p 2 für ein Photon mit 4-er Impuls p. 56

58 Es gilt 4-er Impulserhaltung an jedem Vertex. Matrixelemente mit identischen Anfangs- und Endzuständen müssen addiert werden. Bei Schleifen muß über ale möglichen Impulse der internen Linien integriert werden. Fälle mit anderen externen oder internen Teilchen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Die Faktoren 1, i,..., sind teilweise Konvention, aber bei Interferenzen und Diagrammen höherer Ordnung von Bedeutung. 57

59 58

60 6 Prozesse der QED 6.1 Berechnung des Prozesses e µ e µ e e γ μ μ Beispielhaft soll das Matrixelement des Prozesses e (p 1 ) µ (p 2 ) e (p 3 ) µ (p 4 ) berechnet werden, wobei der 4-er Impuls des ausgetauschten Photons q = p 1 p 3 ist. Das Matrixelement M ergibt sich aus den Feynmanregeln der QED im = ū 3 iq e γ µ u 1 }{{} e-strom ig µν q 2 }{{} γ-propagator M = e2 q 2 ū 3 γ µ u 1 ū 4 γ µ u 2, ū 4 iq m γ ν u 2 }{{} µ-strom mit elektrischer Ladung e 2 = q e q m. Die Spinoren u i = u(p i, s i ) hängen von den Impulsen p i und Spin-Orientierungen s i ab. Das Matrixelement für die Streuung unpolarisierter Teilchen ergibt sich aus der Mittelung über die einlaufenden Spin-Zustände, (zur Normierung, wenn beide Polarisationsrichtungen gleich häufig sind), Summation über die auslaufenden Spin-Zustände (wenn der Spin im Endzustand nicht gemessen wird). M 2 = e4 q 4 Lµν e mit dem Elektron-Tensor (Muon Tensor analog) L µν e = 1 2 = 1 2 e-spin e-spin L Muon µν [ū 3 γ µ u 1 ] [ū 3 γ ν u 1 ] [ū 3 γ µ u 1 ] [ū 1 γ ν u 3 ] wobei der Spin-Faktor 1 für den Mittelwert über verschiedene einlaufende Spin- 2 Richtungen notwendig ist. Hierbei wurde benutzt, dass [ū 3 γ ν u 1 ] = a nur eine Zahl 59

61 ist und daher transponiert werden darf (a = a ) und dass [ū 3 γ ν u 1 ] = [ū 1 γ ν u 3 ]. Ausgeschrieben und getrennt summiert über die einlaufenden und auslaufenden Spin- Zustände ist dies L µν e = 1 2 = 1 2 s 3 ū 3,a γ µ ab u 1,b ū 1,c γcdu ν 3,d s 1 s 3 u 3,d ū 3,a }{{} (/p 3 +m e) da γ µ ab s 1 u 1,b ū 1,c }{{} (/p 1 +m e) bc γ ν cd = 1 2 Spur [ (/p 3 + m e )γ µ (/p 1 + m e )γ ν ] unter Benutzung der Vollständigkeitsrelationen der Spinoren (siehe Anhang A) und der Notation /p = γ α p α. Die Spurtheoreme 6 erlauben die Vereinfachung L µν e = 1 [ ] 2 Spur (/p 3 + m e )γ µ (/p 1 + m e )γ ν = 1 [ ] 2 Spur /p 3 γ µ /p 1 γ ν + m 2 eγ µ γ ν = 2(p µ 3p ν 1 + p ν 3p µ 1 (p 3 p 1 m 2 e)g µν ) Mit dem analogen Resultat für den Myon-Tensor ist das Resultat für das Matrixelement: gleich M 2 = e4 q 4 Lµν e L Muon µν M 2 = 8e4 [ ] (p3 p q 4 4 )(p 1 p 2 ) + (p 3 p 2 )(p 1 p 4 ) m 2 ep 2 p 4 m 2 µp 1 p 3 + 2m 2 em 2 µ Dies ist das exakte Matrix-Element für unpolarisierte e µ Streuung in niedrigster Ordnung. Das Ergebnis ist offensichtlich Lorentz-invariant. Im ultra-relativistischen Limes kann man die Massen-Terme vernachlässigen. Die Skalarprodukte lassen sich durch die in gleicher Näherung geltenden Mandelstam- Variablen ausdrücken. s = (p 1 + p 2 ) 2 = m 2 e + m 2 µ + 2p 1 p 2 2p 1 p 2 2p 3 p 4 t = (p 1 p 3 ) 2 = 2m 2 e 2p 1 p 3 2p 1 p 3 = 2m 2 µ 2p 2 p 4 2p 2 p 4 u = (p 1 p 4 ) 2 = m 2 e + m 2 µ 2p 1 p 4 2p 1 p 4 = m 2 e + m 2 µ 2p 2 p 3 2p 2 p 3 6 Die Spur einer Matrix A ist die Summe der Diagonalelemente, Spur A = i A ii. Die Spur einer ungeraden Anzahl von γ-matrizen ist Null, Spur(γ µ γ ν γ κ ) = 0. Weiter gilt Spur(γ µ γ ν ) = 4g µν, Spur(γ µ γ ν γ λ γ σ ) = 4(g µν g λσ g µλ g νσ + g µσ g νλ ), Spur(/p 1 γ µ /p 2 γ ν ) = 4(p µ 1 pν 2 + p ν 1p µ 2 (p 1p 2 )g µν ), Spur(/a/b/c/d) = 4[(ab)(cd) (ac)(bd) + (ad)(bc)]. 60

62 Wegen t = q 2 folgt der Wirkungsquerschnitt für unpolarisierte ultrarelativistische Streuung, M 2 8e4 t (1 2 4 s u2 ) oder M 2 2e 4 s2 + u 2 t 2 Das Ergebnis stimmt mit dem früher erhaltenen Resultat für Helizitätsamplituden überein. Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zum Quadrat der Ladung an jedem Vertex, für eµ Streuung also proportional zu q 2 eq 2 m = e 4. Der Nenner t ist der Photon-Propagator und unterdrückt Streuung mit großem 4-er Impulsübertrag. Der Term mit s 2 entsteht durch Streuung mit entgegengesetzen Spins, so dass der Gesamtspin J Z = 0 ist, denn s beinhaltet keine Winkelinformation (isotrop, da keine Richtung ausgezeichnet ist). Der Term mit u entspricht demnach Streuung mit J Z = 1, also gleichgerichteten Spins der einlaufenden Teilchen. Mit t = s 2 (1 cosθ ) und u = s 2 (1 + cosθ ) folgt im CMS für ultrarelativistische Streuung dσ dω = 1 = Das Resultat ist in Fig. 8 gezeigt. 1 64π 2 s p f p i M π 2 s 2e4 ( 1+cosΘ ) 2 2 ( 1 cosθ ) Crossing Alle QED Prozesse hängen von Strömen wie j µ = Ψγ µ Ψ ab. Ähnliche Rechnungen für andere 2 2 Prozesse lassen sich daher durch Crossing aus dem eµ eµ Wirkungsquerschnitt ableiten. Für den t-kanal Prozess e µ e µ 61

63 e γ e e γ μ μ μ e + μ + ergab sich M = M 2 = = = p 1 + p 2 = p 3 + p 4 e 2 (p 1 p 3 ) (ū 3γ µ u 2 1 )(ū 4 γ µ u 2 ) e 4 (ū (p 1 p 3 ) 4 3 γ µ u 1 )(ū 3 γ ν u 1 ) s 1,s 3 e 4 s 2,s 4 ( ) (p 1 p 3 ) Spur(( /p m 1 )γ µ ( /p 3 + m 3 ))γ ν Spur( 2 4 ) 8e 4 (p (p 1 p 3 ) }{{ 4 1 p 2 )(p 3 p 4 ) + (p }{{} 1 p 4 )(p 2 p 3 ) p }{{} 1 p 3 m 2 }{{} 2 p 2 p 4 m 2 }{{} 1 + 2m 2 1m 2 2 } s 2 /4 u 2 /4 t/2 t/2 t 2 mit m 1 = m 3 und m 2 = m 4. Entscheidend war die Vollständigkeitsrelation u s ū s = /p + m, v s v s = /p m s Für ähnliche Ströme mit Teilchen und Antiteilchen-Spinoren gilt nun s 1,s 3 (ū 3 γ µ u 1 )(ū 3 γ ν u 1 ) = Spur((/p 1 + m 1 )γ µ (/p 3 + m 3 )γ ν ) v 3 v 1 v 3 v 1 = v 3 u 1 v 3 u 1 = + ū 3 v 1 ū 3 v 1 = + Wendet man dies z.b. auf den s-kanal Prozess e (p 1 ) + e + (p 2 ) µ (p 3 ) + µ + (p 4 ) s M = e 2 (p 1 + p 2 ) 2 ( v 2γ µ u 1 )(ū 3 γ µ v 4 ) 62

64 an, so folgt M 2 = = e 4 (p 1 + p 2 ) Spur(( /p 4 2 m 2 )γ µ ( /p 1 + m 1 )γ ν ) Spur(( /p 3 + m 3 )γ µ ( /p 4 m 4 )γ ν ) 8e 4 (p (p 1 + p 2 ) }{{ 4 1 p 3 )(p 2 p 4 ) + (p }{{} 1 p 4 )(p 2 p 3 ) + p }{{} 3 p 4 m 2 }{{} 1 + p 1 p 2 m 2 }{{} 3 + 2m 2 1m 2 3 } t 2 /4 u 2 /4 s/2 s/2 s 2 und, für kleine Massen (m 1 = m 2, m 3 = m 4 ), M 2 2e 4 t2 + u 2 s 2 Man sieht, dass zwischen t- und s-kanal für kleine Massen eine Crossing-Relation besteht, bei der im Endergebnis lediglich p 2 p 3 vertauscht werden müssen. Anschaulich interpretiert bedeutet dies, dass ein einlaufendes Teilchen mit Impuls p durch ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p ersetzt werden kann. Dies entspricht der Antiteilchen-Interpretation in der Dirac-Gleichung. Die Vertauschung von p 2 p 3 bei der Ableitung des s-kanal Prozesses aus dem t-kanal Prozess bedeutet, dass man (in ultrarelativistischer Näherung) s und t vertauschen muss. t-kanal s-kanal t = (p 1 p 3 ) (p 1 + p 2 ) 2 = s s = (p 1 + p 2 ) (p 1 p 3 ) 2 = t u = (p 3 p 2 ) (p 2 p 3 ) 2 = u M 2e 4 s2 +u 2 M t 2e 4 t2 +u 2 2 s Übersicht der elementaren QED-Prozesse Aus diesen und ähnlichen Relationen lassen sich alle elementaren Matrixelemente und Wirkungsquerschnitte für Fermion-Fermion 2 2 Prozesse aus der Rechnung für e µ e µ ableiten. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick. Die entsprechenden Winkelverteilungen in Abb.?? sind hauptsächlich durch den Propagator 63

65 geprägt, der im t Kanal hohe Impulsüberträge unterdrückt und dementsprechend kleine Streuwinkel stark bevorzugt. Im s kanal ist die Streuung dagegen symmetrisch für Vorwärts- und Rückwärts-Streuung. Einen zusätzlichen Faktor liefern die Spins der ein- und auslaufenden Teilchen. 1.) Paar-Vernichtung und Paar-Erzeugung e s e + + e + e µ + µ M 2 2e 4 u2 +t 2 (1 + cos 2 Θ) s 2 für unpolarisierte e e + symmetrisch in cosθ 2.) Periphere Streuung e e t e µ e µ M 2 2e 4 s2 +u 2 t 2 Peak in Vorwärts-Richtung 3.) Bhabha - Streuung e e + e + e + e e + e e + e e + e e ( + ) M 2 2e 4 s 2 +u 2 + 2u2 + u2 +t 2 t 2 t s s 2 Zwei Diagramme mit gleichem Anfangs- und Endzustand Interferenz von zwei Feynman- Amplituden ( M 1 + M 2 2 ) 4.) Möller - Streuung: identische Fermionen e e + e e e e e e e e e e( ) M 2 2e 4 s 2 +u 2 + 2s2 + s2 +t 2 t 2 t u u 2 Zwei Diagramme mit identischen Teilchen von verschiedenen Vertizes negative Interferenz ( M 1 M 2 2 ) Peak in Vorwärts- und Rückwärts- Richtung 64

66 Abbildung 8: Winkelverteilungen der elementaren QED Prozesse. Gezeigt ist dσ/dω in willkürlichen Einheiten. 6.4 Experimentelle Tests der Quanten-Elektrodynamik Beim PETRA Beschleuniger am DESY wurde mit Schwerpunktsenergien bis s 46 GeV die Winkelverteilungen dσ gemessen. In diesem Energiebereich sind Effekte durch den Photon-Austausch noch deutlich größer als Effekte durch den Z 0 - dω Austausch der schwachen Wechselwirkung. Der totale Wirkungsquerschnitt für e + e µ + µ ergibt sich aus dem differentiellen durch Integration über die Winkel, dσ σ = dω dω = 4π α 2 GeV 2 100nb s 3 s 65

67 R~ as a~/tro with ao=4nag/3s. The energy dependence of the total cross section is shown in fig. 1. The solid line is the QED cross section. Previously published lower energy data have also been included [ 11 ] ~2. The results are in good agreement with the zz The cross section for the 14 GeV point is lower by 19.5% with respect to the value published in ref. [ 11 ] after a better determination of the integrated luminosity. 6. e+ e - ~l~+ # - angular distribution The distribution in polar angle 0 was studied for the complete set of data divided into two ranges with (x/s) =39 GeV and (x/~)=44 GeV, respectively. The same selection criteria as for the total cross-section measurements were used with the additional requirements that the two tracks be reconstructed with opposite charge signs and their acollinearity f I I I [ I I I I I I0 o EELLO Ref. E1~ ee~ijw This paper 10 4 lo -z I I I I I i, r r F ~2 ~6 20 2~ ~o 44 ~8 Fig. 1. The e+e - ~t+lx - cross section. The full line shows lowest order QED prediction. Triangles correspond to this data and squares to lower energy data previously published [ 11 ]. Abbildung 9: Totaler Wirkungsquerschnitt σ für e + e µ + µ als Funktion der Schwerpunktsenergie s. Daten der Cello und Jade Kollaboration am PETRA 213 Beschleuniger (Phys.Lett 191B (1987)). mit c = 1 = 0, 2GeV fm und der Feinstrukturkonstanten 7 α em = e2 4π. Wie in Abb. 9 gezeigt fällt der Wirkungsquerschnitt mit der Schwerpunktsenergie, σ 1/s, wie von der QED und auch aus Dimensionsgründen vorhergesagt. Bei s = 46 GeV ist der Wirkungsquerschnitt nb, die effektive Reichweite der Wechselwirkung also etwa 1000 mal kleiner als der Radius eines Protons. Dies schränkt sehr stark die Hypothese einer Substruktur des Elektrons oder Muons ein. Die mit s normierte Winkelverteilung s dσ für Paarproduktion von Muonen und dω Taus ist in Abb. 10 gezeigt. Die im Vergleich gezeigte Erwartung für reine QED beschreibt annähernd die Daten. Allerdings kann man bereits bei diesen s Werten den Z 0 Austausch der schwachen Wechselwirkung nicht mehr vernächlässigen. In der Summe beschreibt QED und schwache Wechselwirkung die Daten sehr gut. Abb. 11 zeigt die Winkelverteilung für Bhabha-Streuung, e + e e + e. Auch hier stimmen die Daten sehr gut mit der QED-Erwartung, die auf der Interferenz zweier Matrixelemente (Feynmandiagramme) beruht, überein. Auch gezeigt ist die Winkelverteilung für den Prozess e + e γγ, dessen Feynman- Diagram im Gegensatz zu den anderen Prozessen einen Fermion - Propagator bein- 7 Bei diesen hohen Energien ist aufgrund der Renormierung der Quantenkorrekturen die Zahlenwert für α em 1/128 bereits deutlich größer ist als der aus der Atomphysik bekannte Wert 1/

68 the reaction e + e - ~ e + e - # + # -, giving in general a muon pair of lower momenta, and tau pairs were elimi10.0 nated by a cut on the momentum sum of the muon tracks. The cut varied with the acollinearity angle. The 8.0 I remaining background was estimated to amount to 2.7%. The background fraction is reduced to 0.94% if 6.0 an acollinearity cut of 200 mrad is applied as in previous! 9 Data publications Q E D ~ The acceptance was studied using a Monte Carlo -S t a n d a r d Model l 2.0 simulation o f e + e - ~ # + # - to order c~3 by Berends et al. 549 [-9]. The detector effects - resolutions, efficiencies, etc. [ were then simulated for the particles and the same c o d o t /in d 0 the ( n b data. GeV z s rthe -j) cuts applied s -as geometrical detector Background from s ' d a / d f l ( n b GeV 2 s r - l ) 12.0defined.... by [cos0[<0.85 is 73.4%; it is reacceptance -, giving in general a 12,0 i....,....,.... duced to 68.1% by the cuts on track quality and by [ and tau pairs were elimit 10.0 the efficiency of the muon identification. Additional ntum sum of the muon not included in the simulation - were caused acollinearity angle. losses The 8.0 stimated to amountbytothe trigger inefficiency (4.5%), inefficiencies of the I time-of-flight counters (5.2%), and losses due to calibran is reduced to 0.94% if 6.0 tion errors (5.8%). The losses were determined using ap6.0 ) is applied as in previous! propriate data samples, 9 D a t ae.g. the trigger and counter ineffi Data ciencies were determined using tau pair data which were ~ --- Q E D d using a Monte Carlo --- Q E D triggered by independent triggers based on the shower S t a n d a r d Model l 2.0 order c~3 by Berends et al. E.0 -Standard Model The losses due to calibration errors were deterolutions, efficiencies, counters. etc. [ 0, i,,,,,, Iof, the,, data, I,,, the mined by 0.reprocessing ai fraction with particles and the same final calibrations c o c o s e he geometrical detector After correcting 3 contributions from Q E D the s ' d a / d f l for ( n b c~gev 2 sr -l) Fig. 2a, b. Differential Cross-Section for a) e+e -,#+# and b) 0.85 is 73.4%; it is retotal measured 12,0 i.cross-section...,.. is:..,.... n track quality and by e + e- ~ + 1:at I/s= 35 GeV radiative The [ Abbildung 10: Differentieller Wirkungsquerschnitt s dσ/dω fürafter e+qed e µ+ µcorrections. (links) t full lines represent 2-parameter fits to the form N(l+cos20 dentification. Additional 10.0 ~ e+e -~T+T+ + au (]/s = 35für GeV) pb + 8/3 A cosstreuwinkels 0) (the numerical results for A are given the text) s= 35inGeV. und e =e τ τ 1.40 (rechts) als Funktion des Θ bei mulation - were caused while the dotted lines are symmetric QED predictions %), inefficiencies of thedaten der Jade Kollaboration am PETRA Beschleuniger (Z. Phys. C 46, where the first error is statistical and the second contains nd losses due to calibraestimated systematic uncertainties from the luminoere determined usingthe ap-(1990)). 6.0 ) sity measurement, the acceptance calculation and the rigger and counter ineffievents are counted as forward (backward) if the angle background This measurement can be di4.0 determination. 9 Data tau pair data which were of the positive muon with respect to the positron beam --Q E D the Q E D prediction in lowest rectly compared with ers based on the shower direction is smaller (larger) E.0 -C - S SL t ae n dta rt der MS odel P H Y S I 5 May 1than ~. The fit to the data order for l / s = 35 GeV which is 70.9 pb. The new meabration errors were detershown in Fig. 2 a yields the asymmetry: agrees well with this theoretical prediction. The on of the data with surement the deviation from pure Q E D predicted by the standard A n = c o s e pb with present parameter values (for the ributions from Q E D model the is Fig. e+e -,#+# -.. e+e~restricting y'yb) 2a, b. Differential Cross-Section a) standard e+e and numbers see paragraph on comparison withforthe the data sample to an acollinearity of '~Vs= 273< GeV e + e- ~is+too1:-small at I/s=to35 after QED corrections. The mrad as in previous analyses the result remains Gev JADE model), which begev detected givenradiative the exper200 N(l+cos GeV full lines represent 2-parameter fits to the form imental errors. unchanged within the errors. o _ 1.40 pb + 8/3 A cos 0) (theofnumerical results forcross-section A are given in 31.3 the GeV text) For the calculation the differential The new value for A u agrees well with our previous while the dotted lines are symmetric QED predictions the events were split in 10 bins of 10~ cosf 0, where 0 was statistically independent result of _ _0.010 and the second contains the polar angle of the #+ with respect to the flight direcat an energy of ( l / s ) = 34.4 GeV [7]. We have given ainties from the luminotion of the positron. The corrections for event losses a smaller estimate of the systematic error which results nce calculation and and the background were applied as for the calculation of mainly Events are counted as no forward (backward) angle from our better understanding of the charge de103 s measurement can bethe di-total cross-section; they have angular asymmetry.if the termination and the background. of the positive muon respect to the positron beam ewith,d prediction in lowest Radiative corrections for e3 effects from pure Q E D were In lowest order electroweak theory muon pairs are direction (larger)ofthan data applied, they have isansmaller asymmetry about90 ~+. The 1.5%fitinto theproduced s 70.9 pb. The new meaback to back, i.e. within experimental resolushown in Fig.range. 2 a yields the asymmetry: the accepted angular The corrected cross-section heoretical prediction. The,=1,= tion they are collinear. Emission of hard photons either is shown in Fig. 2a. It is well described by a function in the initial or the final state leads to acollinear muon edicted by the standard A n = pairs. The acollinearity distribution of the selected events parameter values (forofthethe form predicted by the standard model: sda/df2 ocrestricting 1 + cos /3 A cos 0. The parameter A is is shown in Fig. 3; it is well described by the standard parison with the standard the data sample to an acollinearity of the integrated angular asymmetry, which is defined as simulation, which includes c~3 effects. detected given the exper< 200 mrad as in previous analyses the result remains NF- NB The muon asymmetry was also studied as a function within the the errors. A = ~, unchanged where NF denotes number of "forward" of acollinearity, see Fig. 4. The theoretical expectation differential cross-section The new value for A u agrees well with our previous 05 be interpreted as follows. 1.fl In pure Q E D collinear number of "backward"result events, s of cos 0, where 0 and was NB the statistically independent of -respectively _ _can neority Angle Oeo)direc- at an energy of ( l / s ) = 34.4 GeV [7]. We have given espect to the [flight ections for event losses a smaller estimate of the systematic error which results ution events. data 3. A n g u l a r d i s t r i bofu tthe i o n scharge for the is e+e - ~ e+e as for for the Bhabha calculation of The mainly from ourfig. better understanding de-rear ee combined. curveabbildung is thetermination pre- 11:and Differentieller Wirkungsquerschnitt s dσ/dω für e+ e e+ e und no angular The asymmetry. and e+e ~ "r3' at x/s = 27.7, 30.1 and 3t 3eV. The curves the background. + ects c~3.from pure Q E D weree e In γγ lowest electroweak muon pairsθare alsorder Funktion des theory Streuwinkels bei s = 27, 7 31 GeV GeV. Daten are the predictions of QED. try of about + 1.5% in produced back to back, i.e. within experimental resolukollaborationemission am PETRA Beschleuniger (Phys.Lett 92B (1980)). e corrected cross-sectionder Jade they are collinear. hardmeasured photons either correctedby for those e+e tion - ~3`3` Fig. 3 showsof the scattering angle distribudescribed a function in the initial or the final state leads to acollinear muon the standard model: in pairs. otons had converted the The acollinearity tions for the twoofreactions distribution the selected studi," events a. The data points in 0. The parameter A is is shown in Fig. 3; it is well described by the standard chamber and the beam, resultthe region 0.70 < Icos 0[ ( 0.82, near the limits of the try, which is defined as simulation, which includes c~3 effects. assified as e+e - ~ e+e -. This barrel's acceptance, have corrected for events 67 The muon asymmetry was also studied as a ~een function he number of "forward" of acollinearity, see Fig. theoretical expectation 2% at 90 scattering angle, at lost due 4.toThe shower el;~rg!, leakage from the lead-glass. ard" events, respectively. can be interpreted as follows. In pure Q E D collinear nearityingle 0istribution unters 0.18 radiation length, scattering angle. The contamient sample by this background 0.0 ~,,, i,, ~,, I,,,,, I,,,, I,,,, ' ' ', 10.0, r ' ' ' ~ e+e -~T+T- '. ' ' I Ic0s OI The systematic error on the acceptance in this region has been estimated at -+5% and was included in the error bars on fig. 3. The curves in fig. 3 were calculated

69 haltet. Auch hier wird die QED bestätigt. Insgesamt findet man bereits bei Rechnungen in führender Ordnung häufig Genauigkeiten im % Bereich. 6.5 Erzeugung von Hadronen in der QED Zur Untersuchung der Eigenschaften der Hadronen und Quarks eignet sich besonders der Prozess e + e Hadronen und als Messgröße das Verhältnis von hadronischem zu leptonischem Wirkungsquerschnitt. e e l e i f e + f _ f= u,d,s,c,b R = σ e + e Hadronen σ e + e µ + µ, Unter der Annahme, dass man die Produktion von Hadronen durch die Produktion von Quarks mit anschließendem Übergang (Wahrscheinlichkeit 1) der Quarks in Hadronen erklären kann (QCD Faktorisierung), gilt R = σ e + e uū,d d,s s,c c,b b,t t σ e + e µ + µ = q M q 2 dq q M µ 2 dq µ Bei s 30GeV kann man den Z 0 Austausch vernachlässigen gegenüber dem γ- Austausch, so dass R sensitiv ist auf die elektrische Ladung der Quarks den Spin der Quarks die Masse der Quarks Die Massen gehen unter anderem in das Verhältnis der Phasenraum-Faktoren ein, dq (mq) dq (m q) = p f(m q ) dq (mµ) dq (mµ=0) p f (m µ = 0) = E2 m 2 q = 1 4m2 q E 2 s das schnell gegen 1 geht für E = 1 2 s > mq. Das Matrixelement für Spin 1/2 Quarks ist bis auf die elektrische Ladung gleich dem für Muonen, so dass M 2 e 2 ee 2 f. 68

70 ρ ω φ ρ J/ψ ψ(2s) Υ Z σ[mb] J/ψ ψ(2s) Υ Z R ω φ ρ ρ s [GeV] Abbildung 12: Oben: Wirkungsquerschnitt für e + e Hadronen als Funktion der Schwerpunktsenergie. Unten: Verhältnis R der Wirkungsquerschnitte von e + e Hadronen und e + e µ + µ. 69

71 Teilchen µ u d c s b t 2 Ladung m t > s! verboten Damit folgt R QED = e2 u + e 2 d + e2 s + e 2 c + e 2 b e 2 µ Die Messung kann wie folgt interpretiert werden: = = 11 9 R konstant für 10GeV s 30GeV. Demnach hat die elektromagnetische WW hat gleiche Struktur für µ und Quarks. Die kinematische Schwellen (Stufen) in R treten auf, wenn s > 2m q, da dann ein neuer Endzustand für Quarks möglich ist. Der Wirkungsquerschnitt in Hadronen wird um einen Faktor 3 größer gemessen als nur aufgrund der elektrischen Ladung zu erwarten war. Dies ist verständlich, wenn die Quarks einen inneren Freiheitsgrad (Farbe) besitzen, der in drei Zuständen auftritt, so dass sich die Anzahl der Endzustände entsprechen erhöht (Phasenraum). Für drei Farben folgt R = Dies ist einer der stärksten Hinweise auf Quarks mit Farbe. Aus der Messung sind auch folgende Korrekturen ablesbar, da R nicht exact 33 ist Nahe der kinematischen Schwelle s = 2m q für neue Quarks haben die entstehenden Quarks nur wenig kinetische Energie, so dass gebundenen Zustände als Resonanzen angeregt werden können, z.b. e e + J/Ψ (J/Ψ = c c und Υ = b b). Nahe der Schwelle ist auch der Phasenraum nicht groß genug, so dass die Erzeugung der Quarks und die Hadronisierung nicht unabhängig sind. 2. Der leichte Abfall von R zwischen s 15GeV und 30GeV ist ein Beitrag höherer Ordnung durch die starke WW, der nur für Quarks auftritt, so dass e q e + q _ g R = R QED (1 + α s π + ). Der Wert von α s 0.12 fällt dabei leicht als Funktion der Energie im Prozess. 70

72 3. Der Anstieg für s 30GeV ist der Beitrag durch Z 0 - Austausch. Da die Kopplung Z µµ nicht gleich derjenigen für Z q q ist steigt R, denn der Z 0 Beitrag aufgrund der unterschiedlichen Propagatoren wird größer mit s. Propagator: γ : 1 s Z 0 : 1 s M 2 z Drell-Yan Prozess In der Hadron-Hadron Streuung (πp, p p oder pp) beobachtet man die Erzeugung von Lepton-Paaren, z.b. πp µ + µ + Hadronen Im CMS System der beiden Muonen ist die Winkelverteilung (1 + cos 2 Θ ), also genau wie beim Prozess e + e µ + µ. Dies ist einer der wichtigsten Hinweise auf Spin 1/2 Teilchen (Quarks) in Hadronen, die sich vernichten können, q q µ + µ. Abbildung 13: Normierte Winkelverteilung 1/σ dσ/dω als Funktion des Streuwinkels cos Θ von Myonen im Prozess πp µ + µ + X. Der Winkel Θ ist gemessen im Schwerpunktssystem der beiden Myonen. 71

73 7 Schwache Wechselwirkung 7.1 Historie der Schwachen Wechselwirkung 1896 Bequerel entdeckt die Radioaktivität 1914 Chadwick entdeckt, dass β-strahlen anders als α-strahlen ein kontinuierliches Energie-Spektrum haben. Heute wissen wir, dass β-strahlen Elektronen oder Positronen sind, die mit kev - MeV Energien von zerfallenden Kernen emittiert werden Ellis und Woostar argumentieren, dass E β E max gilt. Daraus folgt, dass entweder die Energie-Erhaltung verletzt ist (Bohr) oder aber ein 3-Körperzerfall mit einem neuen, unsichtbaren Teilchen vorliegt, dem Neutrino (Pauli). Unsichtbar bedeutet, dass es weder elektromagnetischer noch starker Wechselwirkung unterliegt Fermi formuliert die Theorie des β Zerfalls. Für den Zerfall setzte er als Matrix-Element an: n p + e + ν e M = G F (ū p γ µ u n ) (ū e γ µ v ν ) also eine Theorie mit geladenen Strömen ( charged current ), j µ (eν) = ū eγ µ v ν j µ (pn) = ū pγ µ u n der unterschiedliche Teilchen zusammenfasst. Dies ist eine 4-Fermion Wechselwirkung ohne Propagator 8. Die neue Kopplungskonstante ist die Fermi-Konstante G F = 1, GeV 2 Diese Fermi-Theorie enthält aber nicht die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung Lee und Yang argumentieren, dass in allen schwachen Prozessen Paritätsverletzung auftritt Glashow, Salam und Weinberg formulieren die GSW -Theorie der Elektroschwachen Wechselwirkung, das Standard-Modell. Sie beinhaltet γ, W ± und sagt das Z 0 voraus, also auch neutrale, schwache Ströme. 8 Im Gegensatz dazu ist in der QED z.b.: M = (q p ū p γ µ u p ) 1 q 2 Propagator 1/q (q e ū ue γ µ u e ) mit dem Photon-

74 1973 Entdeckung der neutralen, schwachen Ströme in der Gargamelle Blasenkamer am CERN in der Reaktion: ν µ + e ν µ + e 1984 Entdeckung des W ± und des Z 0 Bosons am UA1 Experiment am CERN (Nobelpreis C. Rubia) 7.2 Paritätsverletzung und V-A Theorie Am Beispiel des β-zerfalls 60 Co 60 Ni + e + ν e lässt sich die Beobachtung der Paritätsverletzung verstehen. Die Spinrichtung des Co wird durch ein Magnetfeld festgelegt. Man beobachtet, dass das e vorzugsweise entgegen der Richtung des Co-Spins emmittiert wird. Da der e - Impuls ein Vektor ist und Spin ein Axialvektor ist folgt, das die relative Richtung der beiden (Observable) nicht invariant unter einer Paritätstransformation ist. In der sogenannten V-A Theorie der schwachen WW werden die Projektionsoperatoren für die Händigkeit (Chirality) benutzt: Hierfür gilt u L = P L u = 1 2 (1 γ5 )u u R = P R u = 1 2 (1 + γ5 )u u = u L + u R ū R γ µ u L = 0 ūγ µ u L = ū L γ µ u L Damit setzt man für die schwachen Ströme an (hier für e und ν e auslaufend) : j µ (eν) = ū e γ µ 1 2 (1 γ5 ) v ν = ū e γ µ P L v ν = ū e γ µ v ν,l = ū e,l γ µ v ν,l Die einzige Änderung im Vergleich zu Matrixelementen der QED ist also die Ersetzung ( ūγ µ u ū γ µ 1 ) 2 (1 γ5 ) u = 1 2 (ūγµ u ūγ µ γ 5 u) 73

75 Dies hat die Form Vektorstrom (ūγ µ u) minus Axialvektorstrom (ūγ µ γ 5 u) und wird daher die V A Theorie der schwachen Wechselwirkung genannt (vergleiche Kapitel 2.5). Das gleichzeitige Auftreten von Vektor und Axialvektor bedeutet, dass diese Wechselwirkung die Parität verletzt: Linkshändige Fermionen (e L, ν L, u L, d L ) und rechtshändige Anti-Fermionen (e + R, ν R, ū R, d R ) nehmen an der Wechelwirkung teil. e R, ν R, u R, d R und e + L, ν L, ū L, d L nehmen nicht an der schwachen Wechselwirkung teil. Dies nennt man eine chirale Theorie. Im Standard-Modell ist diese Verletzung der Parität maximal, d.h. es gibt nur V-A Ströme, aber gar keine V+A Ströme. (Historisch war dies lange Zeit bezweifelt worden.) Damit gilt in der 4-Fermion Wechselwirkung für linkshändige Fermionen z.b. für den Myon Zerfall (und analog für den Neutron-Zerfall): µ ν µ + e + ν e M = 4G F 2 (ū νµ γ µ 1 2 (1 γ5 )u µ ) (ū e γ µ 1 2 (1 γ5 )v νe ) 7.3 P und C: Parität und Ladungskonjugation Aus der Paritätsverletzung folgt auch die Verletzung der Ladungskonjugation (oder C-Parität). Als Beispiel betrachten wir den Zerfall der geladenen Pionen, π + ν µ µ + Da der Spin des Pions null ist muss wegen Drehimpulserhaltung der Spin des Neutrinos und des Muons immer in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Im Ruhesystem des Pions folgt aus den Massen der Teilchen (M π = 139, 6 MeV, M µ = 106 MeV, M ν < 0.1 ev) für diesen 2-Körperzerfall die Energie des Neutrinos zu E ν = M 2 π + M 2 ν M 2 µ 2M π = 29.6MeV Das Neutrino ist also hoch-relativistisch. Damit gilt auch P µ = P ν E ν = 29.6MeV. Wegen der Paritätsverletzung der schwachen WW ist das Fermion ν µ immer linkshändig, das Antifermion µ + immer rechtshändig. Daher ist für das Neutrino die Helizität negativ, der Spin zeigt also entgegengesetzt zur Flugrichtung. Das µ + dagegen ist zwar rechtshändig, aber nicht sehr relativistisch, so dass seine Spinrichtung nicht eindeutig festliegt. Der Muon Spin kann also auch entgegengesetzt zur Flugrichtung 74

76 zeigen, so dass Drehimulserhaltung erfüllt ist. Dieser Zerfall ist daher möglich mit Spin-Ausrichtungen entgegen den Flugrichtungen ( ). π + ν µ + µ + Wendet man eine Paritätstransformation auf diesen Prozess an, so ändert sich die Impulsrichtung aber nicht die Spin Richtung, so dass die Spins parallel zur Bewegungsrichtung sind ( ), π + ν µ + µ + Dieser Prozess ist verboten, da das Neutrino jetzt rechtshändig wäre. Es liegt also Paritätsverletzung vor. Wendet man dagegen Ladungskonjugation an, so folgt π ν µ + µ ein ebenfalls verbotener Prozess. Ladungskonjugation ist also ebenfalls verletzt. Die Kombination von beiden Transformationen, CP, liefert dagegen einen erlaubten Prozess der schwachen WW, da hier das Anti-Neutrino in ultrarelativistischer Näherung rechtshändig ist, π ν µ + µ CP ist also für den Pion-Zerfall erhalten. CP Erhaltung ist jedoch nicht exakt erfüllt. Insbesondere tritt im Kaon-Zerfall und B-Meson Zerfall eine sehr kleine Verletzung der CP-Erhaltung auf. Da in Feldtheorien ganz allgemein CT-Erhaltung 7.4 Fermi-Konstante und W-Propagator In der heutigen Interpretation durch die Theorie der elektroschwachen Vereinheitlichung entsteht der Prozess µ e ν e ν µ durch den Austausch des gleichen, neuen Teilchens W ± mit Spin 1. Für den Muon- Zerfall als Beispiel bedeutet das: 75

77 M g J µ 1 g J 2 µ 2 2 MW 2 q2 2 Die neue Konstante g ist dabei die Kopplungskonstate des W - Bosons an ein Lepton oder Quark Paar. Im Limes kleiner Impulsüberträge q 2 << MW 2 vereinfacht sich der Propagator für das schwere W -Boson dann zu 1/MW 2. Der Vergleich mit der Formel aus der V A Theorie liefert: G F = g2 2 8M 2 W Damit ist die Fermikonstante als Masse eines Teilchens interpretiert worden. Andere Betrachtungen Bei hohen Impulsüberträgen wird der W -Propagator die richtigen Ergebnisse liefern, nicht jedoch die Fermi-Theorie. Vergleicht man den Austausch des masselosen Photons mit dem eines massiven W -Bosons, so entspricht dies den Potentialen (siehe auch Abschnitt D.5): γ-austausch: V Coulomb = e2 4πr W-Austausch: V Y ukawa = g2 4πr e M W r für M W V Y ukawa = g2 δ 3 (r) MW 2 Yukawa-Potential Eine große Masse entspricht daher eine kurze Reichweite. Symbolisch geht damit der Propagator des W -Austausches in eine 4-Fermion Kontaktwechselwirkung über. Die Reichweite der schwachen WW ist damit R W c M W = 200 MeV fm 80 GeV 2, fm Das ist etwa 1/400 der Reichweite der starken Wechselwirkung oder des Radius des Protons. Die schwache Wechselwirkung ist also schwach, weil W und Z Bosonen so schwer sind. Die Kopplungskonstante g ist etwa g = 0, 7 76

78 7.5 Schwache Wechselwirkung von Hadronen Die beiden Prozesse und µ ν µ e ν e n p e ν e können durch W - Austausch mit der gleichen Kopplungskonstante G F beschrieben werden, wenn man den unterschiedlichen Phasenraum der Prozesse und die Effekte durch die Paritätsverletzung berücksichtigt. Für diese Universalität der schwachen Wechselwirkung spielt es offenbar keine Rolle, dass das Muon elementar, das Neutron dagegen zusammengesetzt ist. Dies erklärt sich durch das Quark- Modell der Hadronen und das Faktorisierungstheorem der QCD. Innerhalb des Neutrons zerfällt ein d-quark in ein u- Quark, so dass ein Elektron und ein Neutrino entsteht. Obwohl der Impulsübertrag Q 2 durch das W nur ca. 1 MeV beträgt sorgt die hohe W - Masse für eine Wechselwirkung mit kurzer Reichweite und kurzer Zeitdauer, so dass die anderen Quarks nur als Begleiter (Spectator) wirken, die während dieser kurzen Zeitspanne quasi statisch sind und nicht in die Reaktion eingreifen. Die Universalität der schwachen Wechselwirkung erklärt sich also aus der Ähnlichkeit der Quark und Lepton- Zerfälle, d u e ν e ˆ= µ ν µ e ν e Durch kreuzen ergibt sich daraus auch der Pion-Zerfall (π = ūd): ūd e ν e Ganz analog ergibt sich der Zerfall der schwereren Mesonen, z.b. des K = ūs. Für diese Zerfälle ist allerdings die Rate durch Effekte der Paritätsverletzung deutlich unterdrückt. Beim K Zerfall kommt hinzu, dass eine Kopplung zwischen Quarks verschiedener Generationen vorliegt. Solche Übergänge sind durch die CKM- Matrix der Quark-Mischungen zusätzlich unterdrückt. 77

79 7.6 SU(2) Symmetrie Heute basiert die akzeptierte Theorie der schwachen Wechselwirkung auf der SU(2) L Symmetrie im Flavourraum. Beteiligt sind dabei nur die linkshändigen Fermionen ( L ). Die Eichbosonen sind die W ± und Z 0 Bosonen. Im Vergleich zu den anderen Wechselwirkungen haben diese Eichbosonen eine hohe Masse und sind instabil: γ QED M γ = 0 Γ γ = 0 g QCD M g = 0 Γ g = 0 W ±, Z 0 Schwache WW M W = 80, 425 ± 0, 038 GeV Γ W = 2, 124 ± 0, 041 GeV M Z = 91, 1876 ± 0, 0021 GeV Γ Z = 2, 4952 ± 0, 0023 Hierbei ist Γ die Energieunschärfe aufgrund der endlichen Lebensdauer. Gemäß Standard-Modell werden alle linkshändigen Fermionen in Doubletts, alle rechtshändigen in Singletts eingeordnet. Linkshändige Lepton-Doubletts Linkshändige Quark-Doubletts Übergänge innerhalb eines Doubletts werden durch W -Austausch vermittelt. Dieser Übergang entspricht einer Rotation im SU(2) Raum. Die schwache Wechselwirkung ist damit automatisch universell gleich für Leptonen und Quarks. 78

80 Rechtshändige Lepton-Singletts e R, ν er, µ R, ν µr, τ R, ν τr Rechtshändige Quark-Singletts (u R ), d R, c R, s R, t R, b R Für die rechtshändigen Singletts sind keine Übergänge möglich, sie sind neutral bezüglich der schwachen Ladung und nehmen nicht an der schwachen WW teil. Die Universalität der schwachen WW zeigt sich am direktesten in der relativen Häufigkeit der Zerfälle des W -Bosons. Kinematisch sind Zerfälle möglich in alle Doubletts außer (top-bottom). Aufgrund der Farbe der Quarks gilt so dass 3 Γ W l νl = Γ W qq Γ eνe : Γ µνµ : Γ τντ : Γ du : Γ sc = 1 : 1 : 1 : 3 : 3 gilt. Bei 9 gleichen Zerfallsmöglichkeiten ergibt sich ein Verzweigungsverhältnis von jeweils 11%, wie experimentell beobachtet. Der Austausch von W -Bosonen ist stets mit einer Änderung der Lepton- oder Quark-Flavour sowie der Ladung verbunden. Damit lassen sich Reaktionen wie ν µ + e ν µ + e nicht erklären, da hier kein Übergang innerhalb einer Generation stattfindet. Die Entdeckung solcher neutraler Ströme wird durch das Z 0 Boson erklärt, das ebenfalls Spin 1 hat. Erwarten würde man aufgrund der SU(2) L Symmetrie insgesamt 3 Eichbosonen. Allerdings kann das Z 0 nicht einfach ein neutraler Partner des W - Bosons sein, denn es hat eine andere Masse und koppelt nicht universell gleich an alle 79

81 Quarks und Leptonen. Beispielsweise beträgt das Verzweigungsverhältnis des Zerfalls Z 0 e + e nur ca. 3%. Ursache ist die Mischung zwischen Photon und Z 0 in der vereinheitlichten elektroschwachen Wechselwirkung SU(2) L U(1) Y zusammen mit dem Higgs-Mechanismus. 7.7 Zerfälle als Test von Erhaltungssätzen Instabile Teilchen mit Lebensdauer τ haben gemäß Unschärferelation eine Energieunschärfe ( Breite ) und folgen dem Zerfallsgesetz Γ = 1 τ dn = Γ N dt, N(t) = N 0 e Γt Γ wird daher auch als Zerfallsrate pro Zeit bezeichnet. Treten mehrere Zerfallskanäle mit Partial-Breite Γ i auf, so ist die totale Breite gegeben durch Γ = i Γ i Das Verzweigungsverhältnis BR i = Γ i Γ gibt dann die relative Anzahl der Zerfälle in den Zerfallskanal i an. Die Partial-Breite für Zerfälle a kann gemäß Fermi s goldener Regel aus den Feynman-Regeln berechnet werden, dγ = 1 ( ) d p M 2E 2 i Π i (2π) 4 δ(p a (2π) 3 a p 1 p 2 p 3...) 2E i wobei der erste Faktor 1/2E a die Anzahl der Teilchen im Anfangszustand angibt, M 2 das Spin-Mittel des Matrixelements ist und die δ- Funktion 4-er Impulserhaltung sicherstellt. Die Zerfallsrate Γ ist differentiell in den Impulsen aller Zerfallsprodukte i. Insbesondere ergibt sich für einen 2-Körperzerfall a b+c im Schwerpunktsystem von a dγ i = 1 P 32π 2 M 2 b dω Ma 2 b }{{} Phasenraum(PS) 80

82 7.7.1 Zerfälle durch Starke WW Die starke WW erlaubt keine Umwandlung von fundamentalen Fermionen. Allerdings bilden Hadronen aufgrund ihrer inneren Struktur angeregte Zustände mit höherem Drehimpuls, die in den Grundzustand zerfallen können. Als Beispiel dient das ++ Baryon. Es wurde von E.Fermi entdeckt und besteht aus drei u Quarks mit parallelem Spin ( ++ ˆ=u u u ) und Bahndrehimpuls L = 0. Fermi schloss daraus aufgrund des Pauli-Prinzips für identische Fermionen auf die Existenz der Farbe der Quarks. Es kann in Reaktionen von Pionen und Protonen erzeugt werden, Ein typisches Zerfallsdiagramm ist π + + p ++ π + + p Die Lebensdauer τ s ist typisch für Zerfälle durch die starke WW Zerfälle durch Elektromagnetische WW Auch die elektromagnetische WW kann keine elementaren Quanten umwandeln. In gebundenen Systemen aus Teilchen und Antiteilchen können sich diese allerdings gegenseitig vernichten. Ein Beispiel hierfür ist das π 0 Meson, das leichteste aller Hadronen, π 0 = 1 (uū d d) 2 Es zerfällt mit einem BR von über 99% gemäß π 0 γγ Die Lebensdauer beträgt τ π 0 = 8, s, so dass c τ 25ns ist. Das π 0 zerfällt damit prompt, d.h. auch bei hohen Impulsen immer noch nach unmessbar kleinen Abständen vom Entstehungsort. 81

83 Man könnte erwarten, dass auch der Zerfall π 0 γγγ erlaubt ist und etwa um einen Faktor α em = 1/137 seltener ist als der Zerfall in zwei Photonen. Tatsächlich findet man jedoch BR(π 0 γγγ) BR(π 0 γγ) < Grund hierfür ist die Erhaltung der C- Parität in der elm. WW.. Elektromagnetische Wellen und damit Photonen werden von sich ändernden Strömen erzeugt, die sich unter Ladungsänderung umdrehen. Daher haben diese Ströme und damit auch das Photon negative C- Parität, C γ = 1. Da die elektromagnetische WW die C- Parität erhält gilt C π 0 >= C π0 π 0 >= C γγ >= C 2 γ γγ > und somit C π 0 = 1. Demgegenüber hat ein Zustand mit drei Photonen C γγγ = C 3 γ = 1. Daher ist der Zerfall in drei Photonen verboten Schwache Zerfälle: Muon Zu unterscheiden sind Prozesse der schwachen WW, bei denen genügend Energie vorhanden ist, so dass ein W oder Z Boson als reelles Teilchen im Endzustand produziert wird, z.b. t bw + oder e + e Z 0 (bei E CMS = M Z ) und solche Prozesse, bei denen das nicht der Fall ist, z.b. oder µ ν µ e ν e b c µ ν µ Nur in ersterem Fall sind die W, Z reell, so dass ihre Masse aus den Zerfallsprodukten rekonstruiert werden kann. In letzterem Fall sind die W, Z virtuell, d.h. p 2 W,Z M W,Z. Damit haben die W, Z auch keine feste Energie sondern es ergibt sich ein kontinuierliches, breites Energiespektrum der Zerfallsprodukte (siehe Postulat des Neutrinos im β- Zerfall). Der Prozess muss daher als ein 3-Körperzerfall gerechnet werden. Die Zerfallsrate ist gegeben durch Exemplarisch für den µ - Zerfall dγ = 1 2E M 2 µ ν µ e ν e dq. 82

84 ist das Matrixelement M = G ) ) (ū(νµ)γ µ (1 γ 5 )u (µ) (ū(e) γ µ (1 γ 5 )v (νe) 2 Da der Impulsübertrag durch das W maximal die Masse des µ sein kann, so dass q 2 < Mµ, 2 wird der Propagator des W hier durch die Masse des W genähert. Damit ergibt sich für das Matrixelement nach den gleichen Rechenmethoden wie bei der Berechnung von Streuprozessen: M 2 = 1 M 2 = 64G 2 (p νµ p e ) (p νe p µ ) 2 Spin Integration des Phasenraums mit Hilfe der δ- Funktion ergibt schliesslich die Zerfallsrate als Funktion der Energie des Elektrons, E e, im Schwerpunktsystem des Muons dγ ( = G2 de e 12π 3 m2 µee 2 3 4E ) e m µ Dieses Energie-Spektrum kann unmittelbar mit Messresultaten verglichen werden. Durch Integration über E e erhält man die Lebensdauer τ µ, Γ = 1 τ = mµ/2 0 dγ de e = G2 m 5 µ de e 192π 3 Aus der Lebensdauer des Muons τ µ = 2, sec folgt ein sehr präziser Wert für die Fermi-Konstante für den Muon-Zerfall G µ = 1, ± 0, GeV 2 Für den Neutron-Zerfall stimmt (wegen der Quark-Mischung in der CKM Matrix) der Wert bis auf wenige Prozent genau mit diesem überein. Zu beachten ist, dass die Masse des Muons aufgrund des Phasenraums mit der fünften Potenz in die Zerfallsrate eingeht. Aus diesem Grund zerfallen schwerere Teilchen sehr viel schneller, z.b. liegt die Lebensdauer des c- Quarks nur bei s. Hinzu kommt allerdings die Anzahl der Zerfalls- Moden und die CKM Mischung. 83

85 Spin Orientierung in µ Zerfall Nahe des Endpunkts des Elektron-Energiespektrums hat das e maximale Energie. Dies ist der Fall wenn die beiden Neutrinos genau parallel zueinander entgegengesetzt zum e fliegen. Wegen der V A Kopplung der schwachen Wechselwirkung ist das ν µ nur linkshändig und das ν e nur rechtshändig. Da sie sehr leicht und damit ultrarelativistisch sind folgt, dass ihre Helizitäten ebenfalls entgegengesetzt sind, ihre Spins sich also gegenseitig kompensieren, S νµ +S νe = 0. Wegen Drehimpulserhaltung muss dann der Spin des e parallel zum µ- Spin sein. Da das e linkshändig und sehr schnell ist folgt, dass sein Impuls bevorzugt entgegengesetzt zum Spin des µ sein sollte. Daher ist für polarisierte Müonen der Zerfall nicht isotrop. Unterdrückt: Erlaubt: Polarisierte µ + erhält man z.b. aus dem Zerfall π + µ + ν µ. Die Winkelverteilung der e + ist dann 1 P cos θ, wobei P die Polarisation der µ und θ der Winkel zwischen µ-polarisation und e-impuls ist Schwache Zerfälle: Pion Experimentell findet man für die Zerfälle π + µ ± ( ) ν µ π + e ± ( ) ν e BR π µν BR π eν = 8,

86 Die naive Erwartung wäre hingegen, dass die Kopplungen und Matrixelemente gleich sind, der Impuls der Elektronen in diesem Zerfall jedoch größer ist als der der Muonen (m π ± = 0, 1396GeV, m µ = 0, 1056GeV, m e = 0, GeV ). Damit ist auch der Phasenraum größer, so dass der Zerfall in Elektronen häufiger sein sollte. Das ist aber in klarem Widerspruch zum Experiment. Der Grund hierfür liegt in der V-A Struktur der schwachen WW. Wie bereits oben diskutiert entstehen aus dem π Zerfall linkshändige e bzw. µ, die jedoch positive Helizität haben. Da aber insbesondere das sehr leichte e fast relativistisch ist muss dieser Prozess stark unterdrückt sein gegenüber dem Zerfall in das viel schwerere µ. Zur Berechnung des π ± Zerfalls muss ein Strom für ein gebundenes q q -System gefunden werden. Der einzige relevante Vektor für spinloses Teilchen ist der Impuls. Daher wählt man den Ansatz für die 4-er Vektoren des Stroms den 4-er Impuls des Pions, (p π = p µ + p ν ) J π = f π p π = f π (p µ + p νµ ) wobei die Konstante f π die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass sich die beiden Quarks im Pion hinreichend nahe kommen um eine schwache WW zu efahren. Damit ist das Matrixelement für den Zerfall in ein µ: Die Zerfallsbreite folgt daraus zu M = G 2 f π (p α µ + k α ν ) (ū (µ) 1 2 γ α(1 γ 5 )v (ν) ) }{{} µ ν µ Strom Γ π µν = 1 τ = G2 8π f 2 πm π m 2 µ ( ) 2 1 m2 µ m 2 π Der hintere Klammerausdruck entspricht dem Phasenraumfaktor (hohe Massen sind unterdrückt), der Faktor m 2 µ hingegen ergibt sich aus dem Matrixelement und charakterisiert die V A Wechselwirkung. Das Ergebnis für den Zerfall in e ν e ergibt sich analog. Damit ist das Verzweigungsverhältnis: Γ π + e + ν e Γ π + µ + ν µ = ( me m µ ) 2 ( ) m 2 π m 2 2 ( e = m 2 π m 2 µ 1 8, Dies ist genau der experimentelle Wert, eine glänzende Bestätigung der V-A Theorie. Die Zerfallskette π µ e Stoppt man π + in Material, so beobachtet man die gezeigt Energieverteilung von Elektronen 9. Der sehr seltene π- Zerfall in Elektronen führt zu einer monoenergetischen Energie der e bei fast der halben π- Masse. Die Muonen stoppen ebenfalls 9 π + eignen sich besser, da sie von Kernen elektrisch abgestoßen werden. Dagegen werden π schnell von Kernen eingefangen. 85 ) 1

87 nach sehr kurzer Strecke. Der häufigere Zerfall des π + µ + ν µ mit µ + ν µ e + ν e führt dagegen zu einem kontinuierlichen Energiespektrum, das ein Maximum nahe der halben Muon-Masse besitzt. Der Endpunkt dieses Spektrum wird neben der Elektronen-Masse auch von der Masse der Neutrinos abhängen. Auf diese Weise wurde in Tritium-Zerfällen eine Grenze auf die Masse des Elektron-Neutrinos von m νe < 4 ev ermittelt. 7.8 Neutrino Streuung Pionen und Kaonen lassen sich in großer Anzahl in Proton-Kern Wechselwirkungen (fixed-target) erzeugen. Fokussiert man diese so entstehen auf langen Zerfallsstrecken durch Zerfälle Neutrinos, z.b. π + µ + ν µ K + µ + ν µ 86

88 Abbildung 14: Neutrino-Nukleon Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutrino- Energie. Mit Nukleon ist der Mittelwert für p und n gemeint ( isoskalarer Kern). Im Vergleich auch eine Interpretation des WQ für ep ν e X aus HERA-Daten Geladener Strom Der Charged Current Neutrino - Proton (oder Neutron) Wirkungsquerschnitt für ν µ + p µ + X lässt sich dann über die entsprechenden geladenen Leptonen (hier das µ) messen. Man findet bei den verfügbaren Strahlenergieen einen fast linearen Verlauf des totalen WQ (siehe Abbildung), σ tot 0, cm 2 E ν GeV Für ein fixed-target Experiment ν µ + p µ + X ist das Quadrat der Schwerpunktsenergie s = (p ν + p p ) 2 2E ν m p, so dass auch gilt: σ s Im Quark-Parton-Modell enstpricht der Prozess der ν-quark Streuung, z.b. ν µ d µ u 87

89 mit der Schwerpunktsenergie ŝ = xs. dσ dω = G2 s da s die einzige Variable mit Dimension [G 4π 2 Dieser Prozess ist erlaubt für alle Winkel, da es keine Vorzugsrichtung durch die Spins gibt. ν µ u µ + d dσ dω = G2 s (1 cos θ)2 16π2 In diesem Prozess ist die Rückwärtsstreuung (θ = 180 ) verboten wegen Helizitätsund Drehimpulserhaltung. Mit 1 y = p k = 1 (1 + cos θ) gilt p k 2 ν µ d µ u : ν µ u µ + d : dσ dy = G2 x s π dσ dy = G2 x s (1 y) 2 π Divergenzen in der V-A Theorie Das Matrix-Element für 4-Fermionen- WW ist proportional zur Fermi-Konstante G 10 5 GeV 2 88

90 Für das Beispiel ν µ e ν µ e ist mit dem 4-er Impulsübertrag Q 2 = (p ν p e ) 2 dσ dq = G2 2 π Damit hängt σ tot vom maximalen Q 2 ab, und wegen Q 2 max = s folgt σ tot G2 s π Das kann physikalisch nicht sinnvoll sein! Unitaritätsgrenze: Die Intensität gestreuter Teilchen kann nicht größer werden als die Intensität der einlaufenden Teilchen. Die Grenze wird erreicht für Impulse im CMS von 300GeV. Dies ist ein allgemeines Problem für alle dimensionsbehafteten Kopplungen, denn (Dimensions-Argument) [σ] = (Fläche) ˆ= 1 GeV 2 Wegen [G 2 ] = 1 GeV 2 und [s] = GeV 2 ist bei hohen Energien (s >> m 2 i ) die einzige relevante Größe mit Dimension die Schwerpunktsenergie. Zum Vergleich: Die QED- Kopplung α = 1 hat keine Dimension, dei QED hat 137 damit dieses Problem nicht. Gleiches gilt für die QCD. Beides sind renormierbare Theorien. Lösung in schwacher WW In der schwachen WW wird G als W - Boson Propagator interpretiert. 89

91 so dass oder genauer: σ dσ dω = G2 s 1 4π Q2 MW 2 σ tot G2 M 2 W π für 1 Q 2 + M 2 W Experimenteller Nachweis des W-Propagators 2 s wird σ wird konstant! Hohe Schwerpunktsenergie kann kaum bei fixed-target-experimenten erreicht werden, z.b. für einen ν-strahl bei E ν 200GeV folgt s νp = 2E ν E p = 19GeV. Bei HERA wurden ep νx Prozesse beobachtet, die sich als νp Prozesse interpretieren lassen. Hera: Charged Current Process HERA: s ep = 300GeV e p 27, 5GeV 820GeV Im Ruhesystem des Protons entspricht dies E e 48000GeV. In der Abbildung erkennt man den Effekt des W - Propagators erstmalig in der ν- Streuung. 90

92 7.8.3 Neutrale Ströme: Z 0 Austausch Die Neutralen Ströme wurden 1973 entdeckt, inelastisch: elastisch: νn νx ν µ e ν µ e Experimentell nicht beobachtet hingegen werden Flavour changing neutral currents (FCNC) wie z.b. ν e e ν µ µ oder K 0 µ + µ. Solche FCNC sind im Standard-Model tatsächlich verboten durch den sogenannten GIM Mechanismus, der gilt, wenn alle Generationen vollständig sind. Aus der nicht-beobachtung von FCNCs wurde daher nach Entdeckung des s- Quarks auch das c- Quark vorhergesagt, nach Entdeckung des b- Quarks auch das t- Quark vorhergesagt, nach Entdeckung des τ- Leptons auch das ν τ vorhergesagt. In jedem dieser Fälle wurde das vorhergesagte Teilchen dann auch tatsächlich gefunden. Gleichzeitig schränkt die nicht-beobachtung von FCNCs auch viele Modelle zur Physik jenseits des Standard-Modells ein. Man kann also nicht einfach ein einzelnes weiteres Quark oder Lepton postulieren, ohne auch gleichzeitig den entsprechenden SU(2) Partner mit anzunehmen. Später werden wir sehen, dass man sogar aus der Beobachtung eines einzelnen weiteren Leptons oder Quarks folgen kann, dass die ganze Generation mit allen Leptonen und allen Quarks vorhanden sein muss. 91

93 8 Übersicht Eichtheorien Das heutige Verständnis der Wechselwirkungen der Teilchen beruht im Wesentlichen auf der Erkenntnis, dass diese Wechselwirkungen bestimmten Symmetrien gehorchen. Diese lassen sich durch Symmetriegruppen formulieren; im Standard-Modell sind dies U(1) Y, SU(2) L und SU(3) C. Eichtheorien sind der mathematische Formalismus zur Beschreibung von Symmetrien in der Quantenfeldtheorie. Schematisch folgen diese Theorien den folgenden Gedankenschritten: 1. Postuliere Invarianz der Lagrange-Dichte unter einer Eichtransformation, zumeist einer SU(n): U(1) Y : Phasen-Rotation, Kopplung g, Ladung des Teilchens i ist die Hyperladung Y i e), Kopplung g, La- SU(2) L : Rotation im schwachen Isospin (z.b. ν e dung it der schwache Isospin I 3 SU(3) C : Rotation der Farb-Freiheitsgrade (rot-grün-blau) Kopplung g s, Ladung ist die Farbe 2. Sortiere alle Fermionen in SU(n)-Multipletts, also z.b. ( ) ( ) ( ) u-rot νe νµ t,,, u-grün,..., e e µ b R,..., t R L L L u-blau Postuliere neues Teilchen, falls nötig, um Multiplett zu vervollständigen (siehe z.b: Vorhersage des Top-Quarks) 3. Eichinvarianz erzwingt neue Kopplung g, neue Eichbosonen V und Form der WW. Ersetze dafür µ durch D µ L = i ψγ µ µ ψ L = i ψγ µ D µ ψ mit D µ = µ + igv a µ T a Zur vollständigen Beschreibungen aller möglich Eichtransformationen sind für SU(n) insgesamt n 2 1 neue Vektorfelder Vµ a notwendig, a = 1, 2,...n 2 1. Die Quanten dieser Felder sind die Eichbosonen. Gruppe V a µ a Generatoren T a Eichbosonen U(1) Y : B µ, a = 1, T a = 1 2 Y 1 B SU(2) L : W a µ, a = 1,..., 3 T a = 1 2 σ a 3 W SU(3) C : G a µ, a = 1,..., 8 T a = 1 2 λ a 8 Gluonen 92

94 4. Addiere kinetischen Term: L V = 1 4 V a µνv a µν V a µν = µ V a ν ν Vµ a + gf abc Vµ b Vν c Der letzte Term ist notwendig für Eichinvarianz und beinhaltet die Selbstwechselwirkung der neuen Vektorfelder. Für z.b. die SU(2) sind die Strukturkonstanten f abc = ɛ abc (Levy-Chivita Symbol). 5. Bis hierher bestimmt die Forderung nach Symmetrie die Konstruktion. Diese Forderung verhindert Massen der Eichbosonen (und der Fermionen in chiralen Theorien). Daher wird im Standard - Modell zusätzlich ein neues Higgs - Feld postuliert, dass einem Potential unterliegt. Das Potential ist selber symmetrisch unter den Eichtransformationen, sein Grundzustand verletzt jedoch die Symmetrie. Dies nennt man spontane Symmetrie - Brechung. L φ = D µ φ 2 µ 2 φ 2 λ φ 4 }{{} Potential Da D µ φ = ( µ + igv a µ T a ) φ die Vektorfelder beinhaltet sagt die Eichinvarianz also eine WW zwischen Higgs und Vektorfeldern voraus. Das Potential V (φ) = µ 2 φ 2 + λ φ 4 hat für µ 2 < 0 ein Minimum bei φ 0 ( Spontane Symmetrie-Brechung ). Daraus folgt eine Masse der Eichbosonen. 6. Formuliere die Wechselwirkungen in den Masseneigenzuständen der Bosonen, also Photon und Z Addiere Higgs - Fermion WW um Fermion - Massen zu erzeugen. 93

95 9 Eichtheorie der elektro-schwachen Wechselwirkung Im Folgenden wird die Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung abgeleitet und die daraus folgenen Vorhersagen diskutiert. Zugrunde liegt eine Eichtheorie, die auf der SU(2) L U(1) Y Symmetrie beruht. Für die U(1) Y ist die Lagrangedichte exakt die der QED, wobei nur die Kopplungskonstante der QED durch die Kopplungskonstante g und die elektrische Ladung der Fermionen durch die Hyperladung Y ersetzt wird. Die SU(2) L hingegen ist (genau wie die SU(3) C der starken Wechselwirkung 10 ) eine sogenannte nicht-abel sche Eichgruppe, bei der es mehrere Symmetrie- Transformationen gibt, die von kontinuierlichen Parametern abhängen und im Allgemeinen nicht vertauschbar sind 11. In der SU(2) L U(1) Y kommen allerdings Paritätsverletzung, Mischung zwischen den Eichbosonen der SU(2) L und der U(1) Y und die spontane Symmetriebrechung mit dem Higgs-Feld zur Beschreibung der Masse aller Teilchen hinzu. 9.1 SU(2) L und Verbot der Massen der Fermionen Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird eine SU(2) Symmetrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU(2) L. Als Beispiel dienen die beiden Leptonen der ersten Generationen. Um Paritätsverletzung beschreiben zu können werden diese als ein linkshändiges Doublett ψ L im Raum des schwachen Isospins und als rechtshändige Singletts aufgefasst, ( ) νl ψ L =, e R, ν R e L Wir betrachten unitäre Transformationen im Isospin-Raum, ψ L = Uψ L : ( ) ( ) ν L νl = U, e R = e R, ν R = ν R e L e L und postulieren, dass die Lagrangedichte invariant unter solchen Transformationen sein soll. Hier sei U ein Element der Symmetriegruppe SU(2) L, das durch eine 2 2 Matrix mit U U = 1 und det U = 1 dargestellt werden kann. Die rechtshändigen Singletts werden nicht transformiert. Die Lagrangedichte für freie Fermionen beinhaltet Massenterme L = m ψψ. Für die Massenterme von e und ν in der Lagrange-Dichte gilt mit e = e R + e L und ē R e R = 0, ē L e L = 0, L m = m ν νν m e ēe = m ν ν R ν L m ν ν L ν R m e ē R e L m e ē L e R 10 Der Formalismus entspricht damit exakt dem der QCD, wobei die Farben der Quarks bei allen Fermionen durch den schwachen Isospin ersetzt wird und die λ a Matrizen durch die Pauli-Matrizen. 11 Ein bekanntes Beispiel für solche Gruppen ist die Gruppe O(3) der orthogonalen 3x3 Matrizen, mit denen man Drehungen im 3-dimensionalen Raum beschreiben kann. 94

96 Diese Lagrangedichte kann nicht eichinvariant sein, da sich ν L und e L bei SU(2) L Transformationen ändern, ν R und e R jedoch nicht. Expliziter kann man auch schreiben ( mν 0 L m = ( ν R, ē R ) 0 m e ) ( ) νl e L ( mν 0 ( ν L, ē L ) 0 m e ) ( ) νr Bei einer SU(2) L Eichtransformation wird daraus: ( ) ( ) ( ) ( ) mν 0 νl L m = ( ν R, ē R ) U ( ν 0 m e e L, ē L ) U mν 0 νr L 0 m e e R Dies wäre nur eichinvariant falls m ν = m e und falls sich außerdem auch die rechtshändigen Komponenten transformieren wie die linkshändigen. Beide Voraussetzungen sind nicht gegeben. Symmetrien von chiralen Theorien zur Beschreibung von Paritätsverletzung lassen also prinzipiell keine Massenterme zu; alle Fermionen müssten masselos sein. m e = 0, m ν = 0. Dies ist experimentell natürlich nicht so. Ein Ausweg ist der Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung. 9.2 SU(2) L und schwacher Isospin Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird eine SU(2) Symmetrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU(2) L. Wie oben diskutiert sind in einer solchen Theorie Massen der Fermionen verboten. Betrachtet man daher zwei freie, linkshändige Dirac-Teilchen mit Masse m = 0, so lautet die Lagrangedichte Sei L L = ψ 1,L (iγ µ µ ) ψ 1,L + ψ 2,L (iγ µ µ ) ψ 2,L ψ L = ( ψ1,l ein Doublett im Raum des schwachen Isospin. Damit lässt sich die Lagrangedichte schreiben als L L = ψ L (iγ µ µ ) ψ L Wir betrachten wie oben beschrieben unitäre Transformationen im Isospin-Raum, ψ 2,L ) e R ψ L = Uψ L ψ R = ψ R 95

97 Offensichtlich ist L L invariant unter globalen (d.h. Orts-unabhängigen) SU(2) L Transformationen, denn 12 L L = ψ L(iγ µ µ )ψ L = ψ L U (iγ µ µ )Uψ L = ψ L (iγ µ µ )U Uψ L = L L Globale Symmetrien führen durch das Noether - Theorem wie in Abschnitt 1.7 beschrieben zu Erhaltungssätzen für Ladungen. Die Ladung der SU(2) L nennt man den schwachen Isospin. In Analogie zum Spin ist die dritte Komonente I 3 des schwachen Isospins I 3 (ν L ) = + 1 2, I 3(e L ) = 1 2, I 3(e R ) = 0, I 3 (ν R ) = Lokale Eichinvarianz Als Konstruktionsprinzip für Naturgesetzte werden im Folgenden lokale Eichtransformationen betrachtet, unter denen die Larangedichte invariant bleiben soll. Diese Transformationen verändern ortsabhängig und zeitabhängig - sowohl die Komponenten der Doubletts als auch deren Phasen. Solche unitären Matrizen können immer in der Form ψ L ψ L = Uψ L = e ig αa(x) Ta ψ L dargestellt werden. Die reelle und beliebige Konstante g wird später als Kopplungskonstante der W Bosonen interpretiert werden. Die α a (x) sind willkürliche relle Funktionen von Ort und Zeit und Summation über a ist impliziet. Die 2 2 Matrizen T a müssen dabei linear unabhängig, spurlos und hermitesch sein. Es gibt höchstens drei solche Matrizen 13. Die Generatoren T a der SU(2) L können z.b. mit Hilfe der Pauli Matrizen dargestellt werden, da diese genau die oben genannten Forderungen erüllen. T a = σ a 2 a = 1, 2, Es gilt ψ = (Uψ) γ 0 = ψ U γ 0 = ψ γ 0 U = ψu, denn U und γ 0 wirken auf unterschiedlich Indizes (Isospin bzw. Spinor-Indizes) und lassen sich daher vertauschen. 13 Beliebige n n unitäre Matrizen bestehen aus 2n 2 Zahlen (für Real- und Imaginärteil). Unitarität bedeutet U U = 1, wobei 1 eine 2 2 Einheitsmatrix mit n 2 Elementen ist, so dass dies n 2 Gleichungen sind. Für Elemente der SU(N) kommt die Gleichung detu = 1 hinzu. Insgesammt ergibt das 2n 2 n 2 1 = n 2 1 unabhängige Parameter je SU(N) Matrix. Damit kann jede derartige Matrix als Linearkombination von ebensovielen linear-unabhängigen Matrizen dargestellt werden, die als Basis für diese Matrizen aufgefasst werden können. Demnach gibt es auch nur n 2 1 unabhängige Matrizen T a. 96

98 Die Gruppe ist nicht Abelsch, da die T a nicht vertauschen, sondern Kommutator- Relationen erfüllen, [T a, T b ] = if abc T c wobei im Fall der SU(2) für die Strukturkonstanten f abc der Gruppe gilt: f abc = ɛ abc ɛ = Levi Chivita Tensor Bei lokalen Transformationen sind wegen α a = α a (x) die in der Lagrangedichte auftretenden Ableitungen nicht invariant, L L = ψ L (iγ µ µ ) ψ L µ ψ = µ (Uψ) U µ ψ, so dass auch die Langrange- Dichte nicht eichinvariant ist. Ähnlich wie in der QED wird daher die Ableitung µ durch eine kovariante Ableitung ersetzt, D µ = µ + ig T a W µ a Die W a µ sind dabei 3 neue Vektorfelder, die den Eichbosonen entsprechen (ein Boson für jeden Generator). Damit wird die Lagrange- Dichte zu L = ψ(iγ µ D µ )ψ = ψ(iγ µ µ )ψ g ψ (γ µ T a W µ a ) ψ Der letzte Term stellt eine Wechselwirkung zwischen den Quarks und den Eichbosonen dar, wobei offenbar die Generatoren festlegen, welches Fermion ein bestimmtes Eichboson abstrahlen kann. Diese Lagrange-Dichte ist eichinvariant unter Eichtransformationen, falls W µ a W µ a = W µ a µ α a (x) gf abc α b (x)w µ c Der letzte Term ist neu im Vergleich zur QED und notwendig, da die Generatoren T a nicht vertauschen. Für die kinetische Energie der Eichbosonen werden Feldstärke- Tensoren definiert als W µν a µ W ν a ν W µ a gf abc W µ b W ν c. Auch hier ist der letzte Term neu im Vergleich zur QED und notwendig, damit die kinetische Energie der Eichbosonen, L W,kin = 1 4 W aµνw µν a, 97

99 eich-invariant ist. Es existiert also ein Tensor für jedes Eichboson und über alle Tensoren wird summiert. Bei nicht-abelschen Symmetrien vertauschen die Symmetrie- Operatoren nicht (f abc 0). Daher enthält der Ausdruck L W,kin nicht nur Terme quadratisch in den Ableitungen der Felder, also die kinetische Energie der Eichbosonen, sondern auch Terme mit g(w a µ ) 3 und g 2 (W a µ ) 4. Diese Terme stellen Wechselwirkungen der Eichbosonen mit sich selber dar 14, wobei die Kopplungskonstante g genau gleich zur Kopplung der Fermionen an Eichbosonen sein muss. Damit ergibt sich die gesammte, eich-invariante Lagrange-Dichte zu L L = ψ L (iγ µ D µ ) ψ L 1 4 W aµνw µν a = ψ L (iγ µ µ ) ψ }{{ L } ψ L E kin (Propagator) g ψ L (γ µ T a W a µ ) ψ }{{ L } ψ L = ( ) ν e koppelt mit Stärke g an drei Felder W a µ 1 W 4 aµνw a µν }{{} W 2 ˆ=E kin g W 3 ˆ=3-fach Vertex g 2 W 4 ˆ=4-fach Vertex Die Vertizes der Theorie umfassen damit (wie schon in der QCD) neben dem Fermion- Boson Vertex auch 3-Bosonen und 4-Bosonen Vertizes, alle mit der gleichen Kopplungskonstante g (oder g 2 ). Die Eichinvarianz solcher nicht-abelschen Lagrangedichten wurde schon bei der QCD gezeigt Erfolge der SU(2) L - Theorie Diese SU(2) L Theorie beschreibt die Umwandlung von Teilchen: e ν e t b Sie sagt drei neue Eich-Bosonen voraus: W µ a, a = 1, 2, 3 Sie legt durch Symmetrie die Form der WW zwischen allen Fermionen und den neuen Bosonen fest und verlangt dafür nur eine neue Naturkonstante: g. 14 Eine solche Selbstwechselwirkung existiert nicht für die Photonen der QED, da es für die U(1) nur eine Ladung gibt und daher auch keine Strukturkonstanten. 98

100 Sie sagt Selbst-WW der Bosonen voraus und deren Stärke, g. Ursache hierfür ist, dass bei einer nicht- Abelschen Symmetrie die Eichtransformationen nicht kommutieren: [T a, T b ] = if abc T c Paritätsverletzung wird beschrieben, denn nur die linkshändigen Teilchen, nicht die rechtshändigen, nehmen an der WW teil Probleme der SU(2) L Theorie Massen der Fermionen können nicht beschrieben werden, wie oben diskutiert. Masse der Eichbosonen: Ein Masseterm L mw = m 2 W W a µ W aµ ist nicht eichinvariant und damit wäre die Theorie nicht renormierbar sondern divergent. Daher muss m W = 0 gelten. Experimentell findet man aber zwei verschiedene sehr große Werte, m W = 80, 4 GeV und m Z = 90 GeV. Paritätsverletzung und Kopplung beim Z 0 In diesem Modell würden alle drei Eichbosonen mit der gleichen Stärke an alle linkshändigen Fermionen koppeln. Experimentell findet man hingegen, dass das Z 0 zwar linkshändige Fermionen bevorzugt, aber auch an rechtshändige koppelt. Auch hat das Z 0 andere Kopplungskonstanten als das W, und diese sind nicht gleich sind für Neutrinos, geladene Leptonen und unterschiedlich geladene Quarks. 9.4 U(1) Y und Hyperladung Zur Behebung der oben genannten Probleme mit der Paritätsverletzung und den Kopplungen des Z 0 wird im Standard-Modell eine Kombination aus SU(2) L und U(1) Y eingeführt. Das Resultat wird sowohl Elektromagnetismus als auch schwache WW beschreiben. Nur die Massen der Fermionen und Bosonen können so noch nicht beschrieben werden. Die aus der U(1) Y Symmetrie folgende Wechselwirkung ist ebenso fundamental wie die QCD (SU(3) C ) und die schwache WW (SU(2) L ). Die U(1) Y beruht wie die QED auf einer lokalen Eichtheorie mit U(1) Symmetrie. Anstelle der elektrischen Ladung tritt allerdings eine Kopplungskonstante g und, für jedes Teilchen individuell, eine sogenannte Hyperladung Y. Ausserdem gibt es ein Eichboson, das B µ genannt wird (dies ist nicht das Photon). Die kovariante Ableitung lautet D µ µ + ig Y 2 B µ(x), Die Lagrange-Dichte für eine U(1) Theorie wurde im Kapitel zur QED diskutiert. Hier wird sie für z.b. e und ν e mit Hilfe de Doubletts ψ L und der Singletts e R, ν R 99

101 für masselose Fermionen (m = 0) formuliert: Hierbei ist L Y = ψ (iγ µ D µ ) ψ 1 4 Bµν B µν = ψ (iγ µ µ ) ψ }{{} kin. T erm ψ g Y 2 ψ (γ µ B µ ) ψ }{{} Neue W echselwirkung B µν = µ B ν ν B µ 1 4 Bµν B µν }{{} kin. T erm B µ Auf den ersten Blick unterscheidet diese Wechselwirkung nicht zwischen linkshändigen und rechtshändigen Teilchen. Der Faktor 1/2 bei Y ist reine Konvention. Das Eichboson B µ ist masselos und hat keine Selbst-Wechselwirkung. Die Zahlenwerte für g und die Quantenzahlen der Fermionen Y müssen experimentell bestimmt werden. Wie später gezeigt wird ergeben sich g = 0, 34 und Teilchen ν el, e L ν er e R u L, d L u R d R Hyperladung Y /3 4/3-2/3 Teilchen innerhalb eines linkshändigen Doubletts haben also die gleiche Hyperladung Y, aber es gibt Unterschiede zu den beiden rechtshändigen Singletts, sowohl für die Leptonen als auch für die Quarks. Daher ist auch diese WW paritätsverletzend und der Wechselwirkungsterm in der Lagrangedichte muss interpretiert werden als L Y = ψ (iγ µ µ ) ψ + g Y R 2 ψ R (γ µ B µ ) ψ R + g Y L 2 ψ L (γ µ B µ ) ψ L 1 4 Bµν B µν Teilchen der anderen Generationen haben die gleichen Hyperladungen wie die Teilchen der ersten Generation. Die Zahlenwerte für Y sind, ebenso wie die elektrischen Ladungen der Leptonen und Quarks, zunächst willkürlich. Wir werden im Folgenden sehen, wie die elektrische Ladung der Teilchen aus der Hperladung und dem Isospin abgeleitet werden kann. 9.5 SU(2) L U(1) Y Die Kombination der beiden Eichtheorien (Vereinheitlichung) soll wieder mit Hilfe der schwachen Isospin-Doubletts und Singletts formuliert werden. Die Lagrangedichte wird Paritätsverletzung beschreiben und masselose W ±, Z 0 und γ beinhalten. Die 100

102 Lagrangedichte ist zunächst einfach die Summe der Formeln für die SU(2) L und U(1) Y. L = 1 4 W a µν W aµν 1 4 Bµν B µν + ψl iγ µ D µ ψ L + ψr iγ µ D µ ψ R Die Summen laufen hier über alle linkshändigen Doubletts ψ L und rechtshändigen Singletts ψ R der Quarks und Leptonen des Standardmodells. Die Y Werte sind wie oben angegeben für Doubletts und Singletts unterschiedlich. Die kovarianten Ableitungen unterscheiden sich ebenfalls für die Doubletts und die Singletts, da die Singletts nicht an die SU(2) L Bosonen koppeln. Effektiv ist also: für linkshändige ψ L : D µ L ψ L = ( µ + igt a W µ a + ig Y 2 Bµ ) ψ L für rechtshändige ψ R : D µ R ψ R = ( µ + ig Y 2 Bµ ) ψ R Wie vorher sind g, g sind die Kopplungen der SU(2) L, U(1) Y. Y ist die U(1) Y Ladung ( Hyperladung ) der Fermionen B µ ist das Eichfeld der U(1) Y (nicht das Photon). W µ a sind die drei Eichfelder der SU(2) L. Setzt man in den Ausdruck für D µ die Generatoren und damit die Pauli-Matrizen T a = σ a /2 explizit ein, so findet man: D µ = µ + igt a W a µ + ig Y 2 Bµ = µ + ig (( ) ( ) ( ) 0 1 W µ 0 i 1 + W µ i = µ + ig ( ) µ W3 W 1 iw 2 + ig Y ( B 0 2 W 1 + iw 2 W B W µ 3 ) µ ) + ig Y 2 Bµ In L sind die Wechselwirkungsterme zwischen Eich- Bosonen und z.b. der ersten Generation der linkshändigen Leptonen gegeben durch: ( ) L L = ψ L iγ µ D µ ψ L = ( ν e, ē) L iγ µ D µ νe e Offenbar erzeugen in D µ nur die nicht-diagonalen Elemente der ersten Matrix eine Wechselwirkung, bei der gleichzeitig e und ν e beteiligt sind. Für solche Flavour- und 101 L

103 Ladungs- ändernden WW macht es daher Sinn Aufsteige- und Absteige-Operatoren T ± und entsprechende Eichbosonen W +, W zu definieren: so dass T + = 1 ( ) W ± = 1 2 (W 1 iw 2 ) T ± = 1 2 (T 1 ± it 2 ) T = 1 ( ) In dieser neuen Basis für die Boson-Felder ist die SU(2) L Wechselwirkung dann: D µ = µ + 1 ( ) 0 W + µ 2 W + 1 ( ) gw3 + g µ Y B gw 3 + g Y B = µ + (T + W + + T W ) µ + (gt 3 W 3 + g Y 2 B)µ = µ + D µ W + D µ γz Hierbei wurden die Flavour-ändernden nicht-diagonal Elemente der SU(2) L von den Flavour-erhaltenden Diagonalelementen getrennt. Die einzelnen Terme in der Lagrangedichte L = ψiγ µ D µ ψ haben folgende Bedeutung: ψiγ µ µ ψ ist die kinetische Energie der Fermionen. Die Fermionen haben wie diskutiert keinen Masseterm. ψiγ µ D µ W ψ beschreibt die Wechselwirkungen von W ± Bosonen mit Fermionen. ψiγ µ D µ γz ψ beschreibt die Wechselwirkungen von γ und Z0 mit Fermionen. 9.6 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen Angewendet auf die linkshändigen Doubletts ergibt sich aus D µ W L L = ig ψ L iγ µ (T + W + + T W ) µ ψ L = 1 ( ) 0 W + µ ( ) νe ig ( ν e, ē) L iγ µ 2 W 0 e L = 1 g ( ν el γ µ W +µ e L + ē L γ µ W µ ν el ) 2 die Lagrangedichte Der erste Term beschreibt die Umwandlung eines e L in ein ν L unter Abstrahlung eines W Bosons. Der zweite Term beschreibt den umgekehrten Prozess. 102

104 9.7 Mischung von Photon und Z 0 Der Term mit D µ γz beschreibt neutrale WW mittels der W 3 und B Eichbosonen, die die Flavour und die Ladung nicht ändern. Zur obigen Lagrange-Dichte L L für die linkshändigen Fermionen muss der Term für rechtshändige WW zwischen Fermionen und B hinzuaddiert werden. L γ,z = L W3,B = ψ L iγ µ i(gt 3 W µ + g Y 2 Bµ )ψ L + ψ R iγ µ i (g Y 2 Bµ ) ψ R }{{} e R,ν R = ψiγµ i (gt 3 W µ + g Y 2 Bµ ) ψ ψ=e L,e R,ν L,ν R Für die letzte Zeile ist zu beachten, dass T 3 ν R >= 0, T 3 e R >= 0 ist, denn rechtshändige Fermionen nehmen nicht an der SU(2) L WW teil. Die beiden Eichbosonen W 3 und B koppeln in dieser Schreibweise beide an die gleichen Teilchen. Es ist daher jederzeit möglich auch hier einen Basis-Wechsel vorzunehmen in der Form (W µ ) ) 3 B µ ( ) ( cos θw sin θ = W Z µ sin θ W cos θ W ohne das sich die Physik ändert 15. Dies ist offenbar eine Rotation um den sogenannten Weinberg-Winkel θ W. Später werden wir sehen, dass sich experimentell der Wert ergibt. Damit folgt: sin 2 θ W = 0, 231 A µ L γ,z = i ψiγ µ (g sin θ W T 3 + g Y 2 cos θ W ) A µ ψ eν }{{} KopplungF ermion P hoton + i ψiγ µ (g cos θ W T 3 g Y sin θ µ W ψ }{{ 2} Kopplung Fermion-Z 0 )Z 15 Diese Ersetzung wird erst später notwendig, wenn durch den Higgs Mechanismus dem Z- Boson eine Masse zugeordnet wird, dem Photon A µ aber nicht. 103

105 9.8 Elektromagnetismus Verlangen wir nun, dass das Feld A µ das Photon des Elektromagnetismus ist, ergibt sich für die elektrische Ladung Q eines Teilchens in Einheiten der Elementarladung e, Mit der Definition eq = g sin θ w T 3 + g Y cos θ W 2 Y = e T 3 + e 2 Q = T 3 + Y 2 erhält man als Beziehung zwischen Weinbergwinkel und den Kopplungskonstanten e = g sin θ W = g cos θ W Die Y Werte in der obigen Tabelle der Quantenzahlen wurden gerade so gewählt, dass die Gleichung Q = T 3 + Y/2 erfüllt ist. 9.9 Wechselwirkungen des Z 0 mit Fermionen In der Kopplung der Fermionen an das Z 0 g Z = g cos θ W T 3 g sin θ W Y 2 kann man die U(1) Y Konstanten g und Y zugunsten der Parameter e und Q des Elektromagnetismus eliminieren: so dass g Z = Die Lagrange-Dichte ist somit: e sin θ W cos θ W (T 3 sin 2 θ W Q) D µ γz = ieqaµ + ig Z Z µ L γ,z = eν i ψ iγ µ (eqa µ + g Z Z µ ) ψ Da das Z 0 eine Mischung von W 3 (linkshändig) und B (links und rechthändig) koppelt es sowohl an links- als auch an rechtshändige Fermionen. Für g Z ψ = e sin θ W cos θ W (T 3 sin 2 θ W Q) (ψ L + ψ R ) 104

106 findet man wegen T 3 ψ R = 0 (T 3 sin 2 θ W Q) (ψ L + ψ R ) = (T 3 sin 2 θ W Q)ψ L T 3 ψ R = g L ψ L g R ψ R Die Konstanten g L = T 3 sin 2 θ W Q (6) g R = T 3 (7) spezifizieren also die Kopplungen des Z 0 an die linkshändigen und rechtshändigen Komponenten der Fermionen. Die relative Stärke der Vektor- und Axialvektor- WW lassen sich durch die Konstanten c V und c A beschreiben: Damit ist 1 2 (c V c A γ 5 )ψ = 1 2 g L(1 γ 5 )ψ g R(1 + γ 5 )ψ = g L ψ L + g R ψ R = 1 ( (gl + g R ) (g L g R )γ 5) ψ 2 c V = g L + g R = T 3 2 sin 2 θ W Q V ektorkopplung c A = g L g R = T 3 Axialvektorkopplung Q T 3 Y T 3 sin 2 θ W Q 1 1 ν el ν er e L sin2 θ W e R sin 2 θ W u L u R 0 3 d L d R sin2 θ W sin2 θ W sin2 θ W 1 3 sin2 θ W c V 1 ν e 2 c A 1 2 e sin2 θ W u sin2 1 θ W d sin2 θ W

107 9.10 Mischung von Quarks und Leptonen Die bisherige Darstellung der Quark- und Lepton Doubletts für die schwache WW erlaubt nur Übergänge innerhalb eines Doubletts, also z.b. e ν e, u d Tatsächlich findet man jedoch auch Zerfälle wie K + µ + ν µ Da K + = u s ist muss es also auch Übergänge zwischen den Generationen der Quarks geben. Tatsächlich unterscheiden sich die Quarks der einzelnen Generationen nur durch ihre Masse, nicht aber durch ihre Quantenzahlen. Es kann daher auch sein, dass die W - Bosonen nicht direkt an die einzelnen Generationen koppeln sondern an Linearkombinationen aus den einzelnen Generationen. Diesen Mechanismus nennt man Quark Mischung oder, für die ersten beiden Generationen, den Cabbibo- Mechanismus. Ähnliches existiert für die Neutrinos. Im Folgenden wird unterschieden zwischen Masseneigenzuständen der Quarks, also u = (u, c, t) und d = (d, s, b). Dies sind Zustände, die in elektromagnetischen oder starken Prozessen erzeugt werden. Schwache Eigenzustände der Quarks, also u = (u 1, u 2, u 3 ) und d = (d 1, d 2, d 3 ). Hierbei sollen die u i (d i ) Linearkombinationen der u i (d i ) sein. u = U u d = D d d.h. U und D sind unitäre Matrizen, die Transformationen (Rotationen) im Raum der Generationen bewirken. Schwache WW werden diagonal in den Eigenzuständen der schwachen WW sein, so dass entsprechende Terme für W ± - Austausch in der Lagrangedichte die Form haben: L = ū 1 (iγ µ D µ W )d 1 + ū 2 (iγ µ D µ W )d 2 + ū 3 (iγ µ D µ W )d 3 = ū (iγ µ D µ W ) d = ū U (iγ µ D µ W ) D d = ū (iγ µ D µ W ) U D d = ū (iγ µ D µ W ) V d Damit lässt sich die Mischung der Quarks über eine einzige unitäre Matrix V = U D beschreiben, die nur die d-quarks betrifft. 106

108 Beachtenswert ist, dass eine solche unitäre Transformation der Quark-Zustände für neutrale Ströme keinerlei Auswirkungen hat. L = ū 1 (iγ µ D µ γz )u 1 + ū 2 (iγ µ D µ γz )u 2 + ū 3 (iγ µ D µ γz )u 3 = ū (iγ µ D µ γz ) U U u = ū (iγ µ D µ γz ) u Daher gibt daher keine Flavour-ändernden neutrale Ströme (FCNC). Die Matrix V ist die sogenante CKM Matrix nach Cabbibo, Kobayashi und Maskawa. Eine solche 3 3 Matrix besitzt 3 reele Parameter und eine komplexe Phase 16. Da Übergänge innerhalb einer Generation stark überwiegen läst sich die CKM-Matrix nähern durch 1 λ 2 /2 λ Aλ 3 (ρ iη) V = λ 1 λ 2 /2 Aλ 2 Aλ 3 (1 ρ iη) Aλ 2 1 Hierbei wurden nur Terme der Ordnung λ 4 weggelassen. Der Parameter θ c definiert durch λ = sin Θ c wird auch Cabbibo Winkel genannt. Er beträgt etwa 13 0 Grad, so dass Zerfälle von der zweiten in die erste Generation um etwa einen Faktor 20 unterdrückt sind. 16 Drei weitere Phasen können in die Wellenfunktionen der Quarks integriert werden ohne die Langrangedichte zu ändern. 107

109 10 Spontane Symmetrie-Brechung Die bis hier abgeleitete Lagrangedichte beschreibt alle experimentellen Befunde zur elektroschwachen Wechselwirkung mit Ausnahme der Massen von W, Z und γ. Ausserdem verbietet die chirale Struktur der SU(2) L Massen der Fermionen. Explizite Brechung der Symmetrien führt zwangsweise zu einer Theorie, die nicht renormierbar ist und damit in bestimmten Wechselwirkungen unendlich hohe Wirkungsquerschnitte vorhersagt, die physikalisch nicht sinnvoll sind. Diese Unzulänglichkeiten der Theorie lassen sich mit neuen Symmetrie-Argumenten für die Lagrange-Dichte und die WW nicht beheben. Im Standard-Modell wird daher angenommen, dass nur der Grundzustand (das Vakuum) die Symmetrie bricht. Dieser Mechanismus wird spontane Symmetriebrechung genannt. Bei lokalen Eichtheorien entspricht dies dem Higgs Mechanismus. Als anschauliches Beispiel für eine spontane Symmtriebrechung dient ein senkrecht stehender Stab. Dieser Zustand ist invariant unter Rotationen um die Stabachse. Setzt man nun den Stab mit einer Kraft von oben unter Spannung (Potential), so wird er sich spontan in eine beliebige Richtung biegen. Für diesen neuen Grundzustand ist die Symmetrie gebrochen und die Auslenkung des Stabs hat einen Wert, der von Null verschieden ist. Ein weiteres Beispiel ist ein Ferromagnet, der zunächst ungeordnete Ausrichtungen der Spins enthält. Dieser Zustand hat keine ausgezeichnete Richtung, ist also Rotations-invariant. Spontan können sich jedoch Weis sche Bezike ausbilden und damit der Ferromagnet insgesamt seinen Grundzustand ändern, so dass eine von Null verschiedene Magnetisierung entsteht Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell Im Standard-Modell wird zur Beschreibung der Masse aller Fermionen und der Masse der SU(2) L Eichbosonen ein neues, komplexes skalares Feld postuliert. Dieses soll ein 108

110 SU(2) L Doublett sein und Hyperladung Y = 1 haben 17. Aus Q = T 3 + Y 2 elektrische Ladung der beiden Komponenten wie angegeben. ( ) φ + φ = φ 0 T 3 Y Q φ φ folgt die Tatsächlich wurde Y hier so gewählt, dass eine Komponente keine Ladung hat, so dass später das Vakuum auch elektrisch neutral sein kann. Dieses Higgs Doublett ist das einzige elementare Spin-0 Feld im Standard-Modell. Da φ 0 und φ + komplex sein sollen hat dieses Doublett 4 Freiheitsgrade, ( ) ( ) φ + φ1 + iφ 2 φ = = φ 0 φ 3 + iφ4 Für Ausdrücke, die symmetrisch in allen vier Komponenten sein sollen, ist eine einfache Notation z.b. ( ) φ φ 2 = φ φ = (φ +, φ 0 ) + = φ φ 0 2 = φ φ φ φ 2 4 φ 0 (Hier sind + und zu unterscheiden.) Die gesamte Lagrangedichte dieses Spin-0 Doubletts gehorcht der Klein-Gordon Gleichung L φ = D µ φ 2 V (φ) (D µ φ) (D µ φ) V (φ) wobei D µ die bekannte kovariate Ableitung der SU(2) L U(1) Y ist, D µ = µ + igt a W µ a + ig Y 2 Bµ Das Potential V (φ) wird hier ebenfalls neu postuliert und nicht wie die anderen Wechselwirkungen aus einer Eichsymmetrie abgeleitet. Es soll ebenfalls invariant unter Eichtransformationen sein, d.h. invariant unter Änderungen der komplexen Phase und invariant unter Rotationen zwischen φ + und φ 0. Das Potential muss daher symmetrisch in allen vier Komponenten sein und kann daher nur von φ 2 abhängen. Als Ansatz für das Potential wird gewählt: Es gilt: V (φ) = µ 2 φ 2 + λ φ 4 17 Diese Wahl ist die einfachste, mit der man alle Massen erklären kann. Auch komplexere Modelle z.b. mit zwei Higgs-Doubletts sind in Erweiterungen des Standard-Modells möglich. 109

111 µ 2 und λ sind neue, reelle Naturkonstanten. µ hat die Dimension einer Masse. Der φ 4 Term beinhaltet eine Selbstwechselwirkung des Higgs-Feldes. Dabei muss λ > 0 sein, damit das Potential im limes großer Felder φ positiv ist, das Vakuum also nicht instabil ist. Terme φ n mit n > 4 sind nicht möglich, da die Theorie sonst nicht renormierbar wäre. Terme mit φ 3 lassen sich immer durch eine Umdefinierung von φ wegtransformieren. Terme mit φ 1 sind nicht physikalisch. Damit ist die angegebene Form von V die allgemeinst mögliche Wahl. Frei ist noch das Vorzeichen von µ 2. Für µ 2 > 0 bleibt der Grundzustand bei φ = 0, die Symmetrie ist nicht spontan gebrochen. Anders ist es bei µ 2 < 0. Die Graphik zeigt das entprechende Potential als Funktion von zwei der vier Komponenten von φ. Das Potential ist nicht minimal bei φ min = 0, sondern entwickelt ein Minimum bei φ = v mit dem Vakuums-Erwartungswert µ 2 v = λ Tatsächlich gibt es in vier Dimensionen ein Kontinuum von entarteten Grundzuständen und die Lagrangedichte ist ungebrochen. Spontane Symmetriebrechung wird durch die Wahl eines bestimmten Zustands als Vakuum eingeführt. Da experimentell das Vakuum natürlich elektrisch neutral ist wählen wir als Grunzustand: φ V ak = 1 ( ) 0 2 v 110

112 d.h. nur die relle Komponnete φ 3 des neutralen Feldes bleibt. Hierzu wird eine Eichung durchgeführt φ(x) e igαa(x)ta φ(x) bei der die drei beliebigen Funktionen α(x) in der Eichtransformation so gewählt werden, dass die drei anderen Komponenten φ 1, φ 2 und φ 4 Null sind. Da die Lagrangedichte invariant unter diesen Transformation ist ändert sich dadurch die Bewegungsgleichung nicht. Zur Quantisierung entwickelt man das Potential um das Minimum v, φ = 1 ( ) 0 2 v + H(x) Hier stellt H(x) das Feld des physikalischen Higgs-Teilchens dar. Setzt man dies in das Potential ein, so ergibt sich V (φ) = 1 2 µ2 (v + H) λ(v + H)4 4 = (µ 2 + λv 2 )vh + 1 ( µ 2 + 3λv 2) H 2 + λvh λh4 so dass mit v = µ 2 /λ: V (φ) = µ 2 H 2 + λvh λh4 gilt. Dies kann wie folgt interpretiert werden: Der Term mit H 2 beschreibt die Masse des Higgs (vergleiche mit Lagrange- Dichte der Klein Gordon-Gleichung): m H = 2µ 2 Die Terme mit H 3 und H 4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Higgs, also einen 3er- und einen 4er- Vertex Eichboson - Higgs Wechselwirkung Die Terme in der Lagrange-Dichte, in denen das Higgs-Feld und die Eichbosonen gemeinsam auftreten, sind gegeben durch: L φ = D µ φ 2 V (φ) = ( µ + D µ W + Dµ γz ) φ 2 V (φ) = ( µ + ig(t + W + + T W ) µ + ieqa µ + ig Z Z µ) φ 2 V (φ) 111

113 Da das Higgs elektrisch neutral ist, Qφ = 0, entfallen alle Terme mit dem Photon Feld A µ, d.h. das Photon koppelt nicht an das Higgs und das Photon wird masselos bleiben. Bildet man für den Rest D µ φ 2, so bleiben Realteil und Imaginärteil separat. Da außerdem bei obiger Entwicklung φ + = 0 ist gibt es auch keine Mischterme zwischen W ± und Z 0. Daher gilt mit µ (v + H(x)) = µ H(x): L φ = µ φ 2 + D µ W φ 2 + D µ Z φ 2 V (φ) = 1 2 ( µh)( µ H) g2 W + µ W µ (v + H) g2 ZZ µ Z µ (v + H) 2 V (φ) Die einzelnen Terme können wie folgt interpretiert werden: 1 2 ( µh)( µ H) Dies ist die kinetische Energie für ein einzelnes reelles, skalares Feld H. Das Anregungsquant dieses Feldes ist das Higgs- Teilchen. m 2 W W + W m2 Z Z µz µ Da g und v konstant sind können die entsprechenden Terme mit v 2 als Massenterme interpretiert werden. Der Zahlenwert der Massen wird demnach nur von der schwachen Kopplungskonstanten und dem Higgs-Potential festgelegt und ist m W = 1 2 gv m Z = 1 2 v g 2 + g g2 vw + W H g2 Z vzzh Dies sind WW zwischen Higgs und W, Z. Mit den obigen Massentermen folgt, dass die Kopplungen an das Higgs proportional zu den W, Z massen sind. 1 4 g2 W + W HH g2 Z vzzhh Dies sind 4-er Vertizes zwischen den Bsonen mit jeweils zwei Higgs-Teilchen. Das Higgs Potential ergibt die Higgs-Masse und Selbstwechselwirkungen m H = 2µ 2 Die Masse des Higgs ist also nicht vorhergesagt. Ausserdem ergibt sich M Z = 1 2 g Zv = M W cos θ W v = 246GeV 112

114 Wechselwirkungen des Higgs cos θ W = M W = 80, 4 M Z 91, 2 tan θ W = g g 10.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen Die Lagrangedichte für freie Fermionen beinhaltet wie beschrieben Massen-Term L = ψ(iγ µ µ m)ψ L m = m ψψ = m ψ (P L + P R ) ψ = m( ψ R ψ L + ψ L ψ R ) die linkshändige Doublett -Komponenten ψ L und rechtshändige Singletts ψ R kombinieren. Diese transformieren sich unterschiedlich, so dass die Massenterme die SU(2) L Symmetrie verletzen. Mit dem Higgs steht jedoch ein Doublett zur Verfügung, dass mit den Fermion-Doubletts und Singlettts so verbunden werden kann, dass das Resultat eichinvariant ist. Für das Beispiel der Quarks der ersten Generation ( ) ul ψ L = Q L = ; u R, d R d L und dem Higgs-Doublett φ lässt sich z.b. für das d Quark schreiben: L = c d ( QL φ d R + d R φ Q L ) = cd QL φ d R hermitesch konjugiert

115 Setzt man das Higgs-Feld nach spontaner Symmetrie-Brechung φ = 1 ( ) 0 2 v + H(x) ein so ergibt dies so dass L = c d 1 2 ( dl (v + H) d R + d R (v + H)d L ) = c d v 2 ( dl d R + d R d L ) cd 1 2 H ( dl d R + d R d L ) L = m d d d m d v H d d mit der Masse des d-quarks Man beachte, m d = c d v 2 Die Masse der Fermionen wird somit als Kopplungskonstante zwischen Fermionen und Higgs erklärt. Diese Kopplung selber ist aber nicht vorhergesagt, so dass auch die Massen unbekannt sind. Alle Massen im Standard-Modell skalieren mit dem Vakuumserwartungswert des Higgs. Dies ist der einzige Parameter im SM mit der Dimension [GeV]. Das Higgs koppelt vornehmlich an die schwersten Teilchen Der letzte Term entspricht den Prozessen d R + H d L d L d R + H In diesen Prozessen ist sowohl T 3 als auch Y erhalten. Im Gegensatz zu den γ µ Kopplungen der Eichwechselwirkungen ändert sich bei diesen sogenannten Yukawa-Kopplungen c d die Chiralität der Fermionen. Für ähnliche Prozesse mit dem u- Quark wird ein Higgs-Doublett mit Y benötigt. Dies lässt sich als ladungskonjugierter Zustand erzeugen, ( ) (φ φ C = iσ 2 φ = 0 ) (φ + ) = 1 114

116 Damit kann man schreiben: ( ) L = c u QL φ C u R + ū R φ C Q L = c u QL φ C u R + h.c. Nach spontaner Symmetrie-Brechung φ = 1 ( ) v + H(x) 2 0 erhält man L = m u ū u m u v H ū u mit der Masse des u-quarks m u = c u v 2 Der letzte Term entspricht den Prozessen u R + H u L u L u R + H Für die anderen Quark-Generationen und die Lepton-Generationen ergeben sich ganz ähnliche Ausdrücke. 115

117 11 Lagrange-Dichte des Standard-Modells L = 1 4 Bµν B µν 1 4 W µν a W aµν γ, Z 0, W ± : E kin und Selbstwechselwirkung 1 4 Gµν a G aµν Gluonen:E kin und Selbstwechselwirkung + ψ ψiγ µ µ ψ Fermion:E kin + ψ L ψl iγ µ (ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ )ψ L linkshändige Fermionen: Elektroschwache WW + ψ R ψr iγ µ (ig Y 2 Bµ )ψ R rechtshändige Fermionen: Elektroschwache WW + q qiγ µ(ig s λ a 2 G µ a)q Starke WW zwischen Quarks und Gluonen + ( µ + ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ )φ 2 Higgs E kin, Masse von Z 0 W ± WW von Z,W mit Higgs (µ 2 φ 2 + λ φ 4 ) ψ c ψ R ψl φ (C) ψ R Higgs Masse und Selbst-WW Fermion: Masse und WW mit Higgs Das Standard Modell lokale Eichtheorien starke WW SU(3)c QED U(1)e elektro-schwache WW U(1)Y SU(2)L B o W o W +- spontane Symmetrie Brechung g γ Z o W +- Leptonen ν ν µ ντ e e µ τ Higgs Mesonen: π, K,... Baryonen: p,n,... Quarks u c t d s b Wechselwirkungen 116

118 12 Physik des W ± und Z 0 Bosons 12.1 Standard-Modell der elektroschwachen Wechselwirkung Die wichtigsten Aussagen des Standardmodells zur Physik der W und Z Bosonen lassen sich wie folgt zusammenfassen: W und Z Bosonen haben Spin 1. Das W Boson reagiert nur mit linkshändigen Teilchen und rechtshändigen Antiteilchen. Es wandelt dabei e, µ, τ Leptonen in Neutrinos um oder u, c, t Quarks in d, s, b Quarks, z.b. e W ν e, W + e + ν e W + u d Die Kopplungskonstante g 0.7 für alle diese Reaktionen ist gleich groß. Das Z Boson koppelt sowohl an links- als auch an rechts-händige Teilchen, allerdings unterschiedlich stark. In Wechselwirkungen mit dem Z Boson bleibt die Flavour der beteiligten Leptonen und Quarks erhalten, z.b. u uz, e + e Z, Z b b Es gibt jeweils eine Kopplungskonstante für alle geladenen Leptonen e, µ, τ, Neutrinos ν e, ν µ, ν τ, u-artigen Quarks u, c, t, sowie d-artigen Quarks d, s, b. Jeweils 3 oder 4 W und Z Bosonen können auch miteinander wechselwirken, z.b. Z W + W, W + W + Z, W + W ZZ 12.2 Entdeckung von W und Z Entdeckt wurden die schwachen Eichbosonen 1983 am CERN SP P S Collider, der Proton-Antiproton-Kollision p p bei einer Schwerpunktsenergie von s = 540 GeV ermöglichte. (Nobelpreis: Rubia (UA1 Experiment) und Vandermer (Beschleuniger). Das W war vorher nur aus den Zerfällen von z.b. µ sowie s, c Quarks vorhergesagt worden, es war aber nicht bekannt, ob es sich dabei nur um eine effektive Beschreibung der Zerfälle oder tatsächlich um ein Teilchen handelte. Das Z Boson wurde aus der elastischen Neutrino-Streuung ν µ p ν µ p gefolgert. Der Zusammenhang zwischen der Masse des W und des Z war nur theoretisch im heute so genannten Standardmodell postuliert worden. Für das SPPS wurden durch Umkehrung des Neutron-Zerfalls d ue ν e 117

119 !h Abbildung 15: W- Produktion in Proton-Proton Kollisionen die Reaktionen und ūd W e ν e u d W + e + ν e vorhergesagt. Analog aus Crossing der Neutrino-Streuung (mit der Ersetzung ν e): uū Z 0 e + e d d Z 0 e + e Außerdem wurde erwartet, dass W und Z nicht nur in Elektronen sondern auch in Myonen zerfallen können sollten. Die Kinematik der Ereignisse kann wie folgt verstanden werden: Seien x 1, x 2 die Quark-Impuls-Bruchteile im Proton und Antiproton, dann ergibt sich die W - Masse aus M 2 W = (x 1 p 1 + x 2 p 2 ) 2 x 1 x 2 s Da x 1 x 2 möglich ist folgt, dass das W einen Impuls entlang der Strahlachse haben kann. Da das Neutrino nicht gemessen werden kann muss M W mit Hilfe der transversalen Impuls-Bilanz bestimmt werden. Hierfür gilt im Idealfall p T e = p τν Für kleine e, ν Massen gilt p T,max = M W /2, der so genannte Jakobi-Peak. Dieser Wert ist invariant unter Lorentz-Transformationen entlang der Strahlrichtung, also auch unabhängig von den Unbekannten x 1 und x 2. Weitere Hadronen, 118

120 Abbildung 16: Oben: Bild eines Ereignisses im UA1 Experiment am CERN. Gezeigt sind geladene Teilchen als Kreisbahnen im Magnetfeld in der Spurkammer sowie Energien in den Kalorimeter-Zellen. Unten: Das gleiche Ereignis. Gezeigt sind aber nur Spuren mit einem Impuls transversal zum Strahlrohr von p T > 1 GeV. Nur eine Spur bleibt, die als Myon identifiziert wurde. Angedeutet ist auch die Richtung des fehlenden Transversalimpulses p T,miss, der aus Impulserhaltungsgründen folgt. die in den Ereignissen entstehen, tragen nur sehr wenig p T, so dass p T e p T ν auch tatsächlich beobachtet wird. 119

121 Abbildung 17: Jakobi-Peak für die Rate von W-Zerfällen als Funktion des transversalen Impulses der Leptonen aus dem Zerall. Abbildung 18: Im UA1 beobachtete Korreltation zwischen p t,e und p t,ν sowie Winkelverteilung der Leptonen Breit-Wigner Resonanzkurve für instabile Teilchen Für ein freies, stabiles Teilchen gilt im Ruhesystem (E = M, p = 0) ψ(t) e i(et p x) = e imt Für instabile Teilchen lautet das Zerfalls-Gesetz: ψ(t) 2 = ψ(0) 2 e Γt wobei Γ = 1 τ die gesamte Zerfallsbreite, τ die Lebensdauer und Γ als Summe der Partialbreiten aller Zerfallskanäle ist: Γ = Γ i i 120

122 Für instabile Teilchen wird daher als Ansatz gewählt: ψ(t) e imt e Γt/2 e i(m iγ/2) t Das heißt, man kann für instabile Teilchen die Ersetzung vornehmen, z.b. auch für den Propagator M M iγ/2 1 s M 2 1 s (M iγ/2) 2 Für die Erzeugung und den anschließenden Zerfall eines instabilen Teilchens (z.b. eines W oder Z) mit Masse M und bei einer Schwerpunktsenergie s ist der Propagator des instabilen Teilchens entscheidend. Der Propagator und damit auch das Matrixelement M ist für ein stabiles Teilchen proportional zu und daher für ein instabiles Teilchen M M 1 s M 2 1 s (M iγ/2) = 1 2 s M 2 + Γ/4 + imγ 1 s M 2 + imγ wobei die Näherung Γ << M für eine schmale Resonanz benutzt wurde. Für die Zerfallrate wird M 2 benötigt, M 2 1 (s M 2 ) 2 + M 2 Γ 2 Dies ist die relativistische Breit-Wigner Funktion für Erzeugung und Zerfall einer Resonanz. Für eine extrem schmale Resonanz kann man diese Funktion durch eine δ- Funktion nähern, M 2 1 (s M 2 ) 2 + M 2 Γ π 2 MΓ δ(s M 2 ) 121

123 Abbildung 19: Breit-Wigner Rsonanzkurve mit Γ =Halbwertsbreite ˆ= Energieunschärfe W, Z und γ im Standard-Modell Die W und Z Bosonen koppeln an Ströme von Fermionen die die folgende Struktur haben: W : nur linkshändige Fermionen: Z 0 ū ig W 2 2 γµ (1 γ 5 )u V-A ū ig W γ µ (c f V 2 cf A γ5 )u Im Standard-Modell gilt für die Kopplungen des W und des Z: g Z = g W = Hierbei ist die elektromagentische Kopplung e sin θ W e sin θ W cos θ W (T 3 sin 2 θ W Q) e 0.3 und der Weinberg-Winkel θ W 28, 6, also sin 2 θ W

124 Weiter gilt für das Verhältnis der Massen von W und Z: M W M Z = cos θ W Die Vektor und Axialvektor-Kopplungen sind in der Tabelle in Abschnitt 9.9 angegeben. Die Begründung für diese Kopplungen hängt mit der Mischung von γ und Z zusammen. Die SU(2) L hat die Kopplung g und gilt für W ± und W 0. Die U(1) y gat die Kopplung g und gilt für das B 0. B 0 und W 0 mischen zu γ, Z 0 ( ) ( ) ( ) Aµ cos θw sin θ = W B 0 µ sin θ W cos θ W Z µ 12.5 Z 0 -Physik an e + e Beschleunigern Am bisher höchst-energetischen e + e Beschleuniger LEP ( Large Electron-Positron Accelerator ) wurden von bei Schwerpunktsenergien von zunächst 90 GeV (Masse des Z) und später bis zu 208 GeV Daten genommen. LEP-I ( ): Z-Physik, s 90 GeV, Z produziert; LEP-II ( ): W-Physik, 160 < s 209 GeV, W s W 0 µ e + e Z 0 e + e µ + µ τ + τ } Leptonenpaare (einfach) ν e ν e ν µ ν µ ν τ ν τ uū d d s s } } } unsichtbar 2 jets c c b b 2 jets + suche nach c, b Zerfällen Der Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus der Interferenz von Photon- und Z- Beiträgen, d.h. der Summe der Matrixelemente 2 e + e γ/z 0 µ + µ bei Interferenzen s MZ 123

125 POINT 4. LAKE GENEVA POINT 8. GENEVA CERN POINT 2. CERN Prévessin POINT 6. DELPHI SPS - e Electron + e Positron OPAL ALEPH LEP Abbildung 20: Der LEP Beschleuniger am CERN. Aufgrund der Form des Z- Propagators ist zu erwarten, dass bei kleinen s der Photon-Beitrag dominiert, d.h. σ 1/s. Nahe der Z- Masse überwiegt der Z-Beitrag, während der reine Photon- Beitrag nur noch 1% ausmacht. Bei sehr großen s wird die Z Masse im Propagator unwichtig und der Wirkungsquerschnitt fällt wiederum 1/s. Für das Matrixelement des Prozesses gilt e + e Z µ + µ M e + e Z 0 µ + µ = g2 Z 4 ūγµ (c e V c e Aγ 5 )v e + e Für den Wirkungsquerschnitt folgt daraus g µν q µ q ν /MZ 2 s MZ 2 + im ZΓ Z Propagator ūγ µ (c µ V cµ A γ5 )v µ + µ σ e + e Z 0 µ + µ = 12πs M 2 Z 124 Γ ee Γ µµ (s M 2 Z )2 + M 2 Z Γ2 Z

126 '' µµ!! BB!"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/ 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ = Abbildung 21: Ereignisse des ALEPH Experiments bei LEP mit Paaren von Elektronen, Myonen, τ s und Quarks. Abbildung 22: Feynman-Graphen für Fermion-Paar-Produktion in e+e Kollisionen. 125

127 !"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/ 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ 2 Abbildung 23: Wirkungsquerschnitt für e + e Hadronen, von LEP und älteren Beschleuniger-Experimenten. Hierbei ist Γ Z die totale Breite des Z (d.h. 1/Lebensdauer), die sich aus den Partialbreiten ergibt: Γ Z = 3 Γ Z νν + 3Γ ee + }{{} 3 (3Γ dd + 2Γ }{{} uu ) F arbe top zu schwer Γ νν = G F MZ 3 = 167MeV Γ ee = Γ Z 0 e + Γ L e+ R Z 0 e R e+ L Γ dd = 370MeV Γ uu = 287MeV = 4 sin 2 θ W Γ νν = 84MeV 126

128 127

129 Es gilt also Lepton-Universalität σ µµ = σ ττ Für e + e e + e verhält sich der WQ anders, da weitere Diagramme möglich sind. Genau an der Polstelle bei s = M 2 Z σ 1 (s M 2 Z )2 + M 2 Z Γ2 folgt aus siehe Bhabha-Streuung. die Relation: im Peak: σ max = 12π Γ ee Γ ff MZ 2 Γ 2 Z Γ 2 Z enthält alle Fermionen, auch unsichtbare Neutrinos. Daher kann man auch die Anzahl der unsichtbaren Zerfallsprodukte, der Neutrinos, messen. '$("B(?'#C$<%"(>-D'E e + e q q ((((@'8E#$'@'%C("B(6#@<%"E<C-(HI*8A*8J((=(/1!K 128 (((((I*8A*8(9$"EE(E'9C<"%(9869#68C<"%(((((((((L(/1!K (((((2 %F ("$F'$(9869#68C<"%($8F<8C<;'(9"$$+(((((=(/1!K "(C-D'E("(M(B8@<6<'E(N.6

130 Die Daten zeigen: Es gibt nur 3 ν-sorten mit M ν < M Z /2 mit Kopplungen, die den Standard- Modell Zνν- Kopplungen entsprechen. Oft wird das so interpretiert, dass es nur 3 Generationen von Fermionen gibt. Es kann aber durchaus weitere Neutrino-Sorten geben, die schwerer als ca. M Z /2 45 GeV sind. In diesem Fall sind auch weitere Generationen von geladenen Leptonen und Quarks möglich. (siehe auch: Chirale Anomalie). Auch jenseits des Standard-Modells kann es nur dann weitere Teilchen X mit Massen M X < 45 GeV geben, wenn die Kopplungen dieser Teilchen an das Z sehr viel kleiner sind als die der schwachen WW der bekannten Fermionen WW Produktion in e + e Kollisionen Durch Einbau supraleitender Beschleuniger-Elemente wurde die Schwerpunktsenergie des LEP Beschleunigers auf 160 bis 209 GeV gesteigert (LEP-II Phase). Dadurch konnten W - Bosonen paarweise erzeugt werden. e + e W + W Abbildung 24: Feynman-Diagramme für e + e W + W Produktion über γ/z und Neutrino-Austausch. M W - Messung nahe der kinematischen Schwelle Nahe der kinematischen Schwelle hängt der theoretische Wirkungsquerschnitt stark von der Massse des W ab, so dass bei einer genauen Messung der Ereignisrate (und der Schwerpunktsenergie) direkt die Masse M W abgelesen werden kann. 129

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bbildung 25: Links: Theoretischer W W - Wirkungsquerschnitt für verschiedene M W nahe der kinematischen Schwelle, s 2M W. Rechts: Gemessener WQ im Vergleich zur theoretischen Vorhersage für den Wert von M W, der am Besten zu den Daten passt. Auch gezeigt sind die theoretischen Wirkungsquerschnitte falls es nur jeweils eines der beiden Feynman-Diagramme geben sollte. 8$"9&/&)'* %"(/4$"%"'#/* (#* :;8<6!G.+!,%&1=!2-!%.+!$+'*%#20!+ \ + Y!!5 \ 5 Y! '((2@+1!)$+*#,#20!/+',&$+/+0%,!2-!%.+!5!/',,!'01!%.+!)$22-!2-!%.+!'0"#.'1$'*%2*./'*.("3,'*+%#%1"$*&'(.'0*455P!$+A&#$+1!6=!%.+!>?P!D#37Q! ] 7! M W - Messung aus den Zerfallsprodukten Bei etwas höheren s hingegen wird der WQ fast unabhängig von M! W. In diesem Bereich wurde mit! hoher Luminosität gemessen und M W direkt aus den Zerfallsprodukten rekonstruiert. Zur Steigerung der Genauigkeit wurde dabei ein kinematischer Fit durchgeführt, bei dem die Messungen der Teilchen im Rahmen der Fehler so optimiert wurden, dass bei bekannter Strahlenergie die Energie- und Impulserhaltung bestmöglich erfüllt wird und gleichzeitig die beiden W - Bosonen die gleiche Masse haben, M W,1 = M W,2. Da die sehr genau bekannte Strahlenergie benutzt wird kann so auch M W mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Messung der 3-Boson- Kopplung Das erste der gezeigten Feynman-Diagramme beinhaltet die γw W und die ZW W - Kopplung (triple gauge coupling). Diese werden im Standard-Modell exakt vorhergesagt, d.h. Das W ist einfach geladen und hat damit die gleiche Kopplung an das γ wie ein Elektron. Die W W Z Kopplung ist (bis auf Faktoren wie 2) die gleiche Konstante (g) wie die des W an Fermionen, z.b. W eν oder W u d. Wie man sieht beschreibt die Summe aus γ, Z und Neutrino-Austausch die gemessene Rate sehr genau. Dies ist eine sehr wichtige Bestätigung der SU(2) L Symmetrie und 130

132 Tracker Calibration MomentumAbbildung scale calibration 26: Aus den Zerfallsprodukten berechnete W - Masse vor (offene Symbole) Largest systematic und nach for(punkte) muons dem kinematischen Fit im L3- Experiment bei LEP. Links für den Zerfallskanal W W q qe ν, rechts für W W q qq q. Constrain/Calibrate with J/ψ µ + µ des Konzepts der nicht-abelschen Eichtheorie. ϒ(1S) µ + µ Cross-check with Z µ + µ m µµ (ϒ(1S)) 12.7 W und Z Produktion in p p Kollisionen m µµ (Z) m W = 17 MeV Abbildung 27: Aus den Zerfallsprodukten berechnete Z- Masse für Z µ + µ vom CDF Experiment am Tevatron. Die Kalibration der Messung der Myonne wurde so angepasst, dass sich möglichst gemau die von LEP bekannte Z- Masse ergibt. In p p Kollisionen werden bei hohem s die W und Z Bosonen mit sehr hohen Wirkungsquerschnitten produziert. Da aber immer nur ein Teil der Proton-Energie in die WW eingeht muß die W und Z Masse aus den Zerfallsprodukten rekonstruiert werden. Da die Masse und Wechselwirkungen des Z sich nicht sehr von denen des 131

133 Mass Fits W unterscheiden wird die bekannte Z Masse und die gute Massen-Rekonstruktion bei Z e + e und Z µ + µ benutzt um den Detektor zu kalibrieren und so die Messung von M W zu optimieren. Die M W - Bestimmung erfolgt z.b. über die Verteilung des Transversalimpulses der Leptonen im Zerfall W µν, W eν. Genauer (weil unahängiger von einem möglichen Transversalimuls des W ) ist aber die Messung über die sogenannte transversale Masse, m T (eν) 2 = (P T,e + P T,ν ) 2 ( P T,e + P T,ν ) 2 Diese Definition ist ähnlich wie die der invarianten Masse (für masselose e, ν gilt z.b. E e = P e ) M(eν) 2 = (P e + P ν ) 2 ( P e + P ν ) 2 Der Wert von m T liegt immer im Bereich 0 m T (eν) M(eν) und kann direkt aus dem Elektron und dem fehlenden Transversalimpuls im Ereignis berechnet werden. Im Gegensatz zu M(eν) benötigt man also nicht die (nicht messbare) longitudinalen Fits for W Width Impulskomponente des Neutrinos. Die Verteilung zeigt ein klares tron m Electron T Muon m T T Muon m T Abbildung 28: Links: Transversale Masse M T des W für W µν vom CDF Experiment nahe von M W /2. Rechts: Anpassung der Breite des W bei hohen M T. ey give a result of Combined they give a result of Maximum und einen steilen Abfall bei größeren Werten von m T. Die abfallenden m W = ± 34(stat) Flanke ± hängt 34(sys) dabei MeVab Γ W = 2032 ± 71(stat + sys) MeV P(χ 2 )=7% von der experimentellen Auflösung; P(χ 2 )=20% vom Transversal-Impuls des W. Hierfür muss also die P T,W - Verteilung theoretisch berechnet werden; von der Zerfallsbreite Γ W des W. Berücksichtigt man dies so kann man diese Breite durch Anpassung der Vorhersage an die Daten bestimmen. 132

134 W-Boson Mass [GeV] W-Boson Width [GeV] TEVATRON ± LEP ± Average ± χ 2 /DoF: 0.9 / 1 NuTeV ± LEP1/SLD ± LEP1/SLD/m t ± TEVATRON ± LEP ± Average ± χ 2 /DoF: 2.4 / 1 pp indirect ± LEP1/SLD ± LEP1/SLD/m t ± m W [GeV] July Γ W [GeV] July 2010 Abbildung 29: Messungen der W - Masse und Breite Polarisierung im W-Zerfall In der p p Streuung enstehen W Bosonen hauptsächlich durch die Prozesse u + d W + µ + + ν µ ū + d W µ + ν µ Da das u Quark im Mittel höhere Impulsanteile x am Proton trägt als das d wird sich das W + vornehmlich in Richtung des Proton - Impulses bewegen. In der Abbildung ist dazu die Vorhersage der W - Asymmetrie A(y W ) = N W + N W N W + + N W als Funktion der Rapidität y W des W gezeigt, y W = 1 2 ln E + P z E P z Im Zerfall des W enstehen z.b. Myonen, deren Ladung gemessen werden kann. Zu beachten ist aber, dass wegen der Paritätsverletzung der schwachen WW das W polarisiert ist, z.b: W Damit liegt auch die Vorzugsrichtung der µ fest. Gemessen wird dann die µ- Asymmetrie A(η µ ) = N µ + N µ N µ + + N µ 133

135 als Funktion der Pseudorapidität η µ des µ, η µ = ln (tan ( θ 2 )) 3 8 W production Asymmetry Asymmetry 0.2 CTEQ6.6 prediction 0.15 DØ Preliminary p > 20 GeV, p > 20 GeV T, µ T,! Run IIa, p > 20 GeV T p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV T,W 5 < p < 10 GeV T,W Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 Detector GeV level T,W Rapidity Pseudorapidity Muon Charge Asymmetry Asymmetry 0.2 CTEQ6.6 prediction! 0.15 µ DØ Preliminary p > 20 GeV, p > 20 GeV T T Run IIb, p > 20 GeV T p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV T,W 5 < p < 10 GeV T,W Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 Detector GeV level T,W Rapidity Pseudorapidity (a) W production (a) asymmetry, Run IIa, p T p> T,µ 20> GeV 20 GeV (b) Muon charge (b) asymmetry, Run IIb, p T p T,µ > 20 > GeV 20 GeV Abbildung 30: Links: Vorhersage für die W Asymmetry als Funktion der W - Ra pidität, Rechts: CTEQ6.6 prediction Vorhersage und Messungen der µ-cteq6.6 Asymmetrie prediction als Funktion der µ- µ! < p DØ < Preliminary 35 GeV, p > 20 GeV < p DØ < 35 Preliminary GeV, p > 20 GeV T, µ T,! T T Pseudorapidität. Run IIa, 20 < p < 35 GeV Run IIb, 20 < p < 35 GeV T T W production Asymmetry 0.1 Asymmetry p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV -0.1 T,W 5 < p < 10 GeV T,W Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 Detector GeV level T,W Rapidity Pseudorapidity Muon Charge Asymmetry Das Experiment bestätigt damit die Standard-Modell Vorhersage für die W - Eigenschaften: Es hat Spin = 1 und koppelt nur an linkshändige Fermionen und rechts händige Antifermionen. 0.1 Asymmetry p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV -0.1 T,W 5 < p < 10 GeV T,W Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 Detector GeV level T,W Rapidity Pseudorapidity (c) W production (c) asymmetry, Run IIa, < p< T p< T,µ 35< GeV 35 GeV (d) Muon charge (d) asymmetry, Run IIb, < < p T p T,µ < 35 < GeV 35 GeV W production Asymmetry Asymmetry 0.3 CTEQ6.6 prediction DØ Preliminary p > 35 Run GeV, IIa, p > GeV T, µ T, T! p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV T,W 5 < p < 10 GeV T,W -0.2 Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 GeV T,W Detector level Rapidity Pseudorapidity Muon Charge Asymmetry Asymmetry 0.3 CTEQ6.6 prediction DØ Preliminary p > 35 Run GeV, IIb, pp > GeV T, µ T,! T p > 0 GeV T,W < p < 5 GeV T,W 5 < p < 10 GeV T,W -0.2 Generation level < p < 15 GeV T,W p > 15 GeV T,W Detector level Rapidity Pseudorapidity (e) W production (e) asymmetry, Run IIa, p T p> T,µ 35> GeV 35 GeV (f) Muon charge (f) asymmetry, Run IIb, p T p T,µ > 35 > GeV 35 GeV 134 FIG. FIG. 1: Theory 2: Comparison predictionof ofmuon W production charge asymmetry asand a function muon charge of η between asymmetry MCinatdifferent the generation W p T ranges: level (blue) aboveand 0 GeV detector (blue), level 0-5(red) GeV for (red), Run5-10 IIa and GeV Run (green), IIb, for p T > GeV 20 GeV, (cyan), 20 and < p T above < 3515 GeV, GeV and (pink). p T > 35 The GeV. top row is the predictions for muons with p T,µ > 20 GeV, center row is for 20 < p T,µ < 35 GeV, and the bottom row is for p T,µ > 35 GeV.

136 $%)0"/+$'&.0)*+$*)&.)1".,2'.&3%")421)*+")31"$5&'()) "*1-)&.)2'")24)*+")5"-),123%"0.)&'),$1*&/%"),+-.&/.7) /+)$.)*+")=>?)0<.*)+$#")*+"),2*"'*&$%)*2):"*"/*)) 13 Das Higgs-Boson 13.1 Eigenschaften des Higgs- Teilchens Innerhalb des Standard-Modells wird der Higgs-Mechanismus eingeführt um die Massen der Eich-Bosonen W ± und Z 0 und auch die Massen der Fermionen erklären zu können. Hierfür werden jedoch relativ viele neue Parameter eingeführt. Entscheidend ist daher der Nachweis, dass es tatsächlich ein Higgs - Boson gibt. Aus den Parametern µ 2 und λ des Higgs-Potentials ergeben sich der Vakuumerwartungswert v und die Higgs-Masse m H, v = µ 2 /λ m 2 H = 2µ 2 = 2λv 2 Der Vakuumerwartungswert kann aus der W -Masse bestimmt werden, M W = 1 2 gv. Die Higgs-Masse wird nicht vorhergesagt und muß bei Entdeckung des Higgs gemessen werden. Der Higgs Mechanismus macht die entscheidenden Vorhersagen: Das Higgs hat Spin = 0. Dies unterscheidet es von allen anderen elementaren Teilchen. Die Massen der Fermionen und der Eichbosonen W, Z sind Kopplungen. Da die Massen der Teilchen bekannt sind folgen damit aber auch genaue Vorhersagen für die Kopplungen des Higgs an die Fermionen und Bosonen, so dass (bis auf die Higgs-Masse) alle Eigenschaften des Higgs bekannt sind. Insbesondere ergibt sich für die 135

137 Higgs Kopplungen an Fermionen g hf f = m f v an Eichbosonen V = W, Z g hv V = 2m2 V v an Eichbosonen g hhv V = 2m2 V v 2 3-Higgs Kopplung g hhh = 3m2 h v 4-Higgs Kopplung g hhhh = 3m2 h v Higgs Zerfälle Das Higgs koppelt an alle Teilchen mit Masse, also an alle Fermionen und die W - und Z- Bosonen. Da die Massen der Teilchen sehr große Unterschiede aufweisen ergibt sich auch, dass die Kopplungskonstanten sehr unterschiedlich sind. Für die möglichen Zerfälle des Higgs-Teilchens bedeutet dies, dass jeweils der Zerfall in das schwerste Teilchen überwiegt, in das das Higgs überhaupt zerfallen kann, (M H > 2m i ). Es überwiegt daher für kleine Higgs-Massen 10 < m H < 130 GeV der Zerfall für große m H dagegen die Zerfälle H b b H W W, ZZ, t t Für diese 2-Körperzerfälle in reelle Teilchen ergeben sich die Partialbreiten aus den Kopplungen 2 und den Phasenräumen. Mit den Abkürzung: f = Fermion, N C = 136

138 ..., g, Total width contributions) Higgs Boson Decays!" W +, Z, t, b, c,!,..., g, W -, Z, t, b, c, ",..., g, Abbildung 31: Totale Zerfallsbreite Γ H (oben) und Verzweigungsverhältnisse BR H (unten) des Higgs-Bosons im Standard-Modell als Funktion der Higgs-Masse. 137

139 Anzahl Farben und x = m 2 f /M 2 H gilt: G F Γ(H f f) = N C 4π 2 m2 fm H (1 4x) 3/2 Für H W W und H ZZ (mit V = W oder Z, x = m 2 V /M 2 H und δ W = 1, δ Z = 2) Γ(H V V ) = G F 8π 2δ V M 3 H (1 4x) 1/2 ( 1 4x + 12x 2) Die totale Breite (siehe Abbildung) spiegelt also bei kleinen Massen des Higgs die Proportionalität zu m 2 b und M H wieder. Bei M H = 125 GeV ist die Breite etwa 4 MeV. Rekonstruiert man die Masse des Higgs aus seinen Zerfallsprodukten ist daher in diesem Bereich die natürliche Breite vernachlässigbar klein gegenüber der experimentellen Auflösung. Ab ca. 160 GeV ergibt sich ein starker Anstieg durch Zerfälle in W und Z, die bei sehr großen Higgs- Massen zusammen mit Zerfällen in t t- Quarks dominieren. Unterhalb der kinematischen Schwelle (z.b. 160 GeV für H W + W ) muß zumindest eines der Zerfallsprodukte virtuell sein. Trotzdem können diese Zerfälle wichtig sein, wenn die Unterdrückung durch den Propagator des virtuellen Teilchen durch die viel größere Kopplung (hier z.b. HW W -Kopplung) mehr als ausgeglichen wird. Dies ist inbesondere wichtig für Teilchen mit großer Breite, also für die Zerfälle H W W, ZZ, t t Da Photonen und Gluonen masselos sind koppeln sie nicht direkt an das Higgs- Boson. Trotzdem sind Zerfälle H γγ und H gg über Schleifen von Fermionen und Bosonen möglich. In den Schleifen dominieren dann wegen ihrer großen Kopplung an das Higgs die schwersten Teilchen, t, b, W, Z. Durch die Schleifen sind die Formeln deutlich komplizierter. Die wesentlichen Abhängigkeiten sind Γ(H γγ) α 2 G F MH 3 Solche Beiträge können dann auch in der Produktion wichtig sein. Boson Decays..., g,..., g, 138

140 iggs bosons searches at LEP Higgs-Strahlung: e+ e- Z H e+ e- WW-Fusion: Z H e+ WW-Fusion: e- H e+ Abbildung 32: Feynman-Graphen für die Produktion von Higgs-Bosonen in der e + e Streuung durch Higgs-Strahlung (links) und VBF (rechts). ing Higgs ratios decay for mbranching ratios for m H =115 GeV/c 2 H =115 GeV/c 2 : 13.3 Higgs-Suche bei e + e Beschleunigern :, BR BR (H(H bb), = WW, 74%, gg) BR = 7% (H each,, WW, BR(H gg) cc) = 7% = 4% each, BR(H c Bei e + e Beschleunigern wird der WQ für Higgs-Produktion dominiert durch den Prozess der Higgs-Strahlung (Abb. 32), rched Decay for: modes searched for: e + e Z ZH Je nach Schwerpunktsenergie und Masse des Higgs wird dabei mindestens eines der Z-Bosonen virtuell sein. Wenn aufgrund Schwerpunktsenergie und Higgs-Masse beide Z-Bosonen virtuell sein müssen ist die Rate für diesen Prozess allerdings bereits zu el: - Four Jet channel: HZ bb qq HZ bb qq klein um nachweisbar zu werden. Noch deutlich kleiner ist der Beitrag der Vektor- Boson-Fusion (VBF), e + e ν e ν e W + W ν e ν e H channel: - Missing energy channel: bb bb Experimentell ist daher vornehmlich der Endzustand mit reellem Z und reellen H interessant. Für den bisher höchst-energetischen e + e Beschleuniger LEP mit einer maximalen Schwerpunktsenergie von 209 GeV ergibt sich damit eine maximale Sensitivität el: - Leptonic channel: bb ee, bb für M H von bis zu etwa 117 GeV. In diesem Bereich dominiert bb deree, Zerfall Hbb b b (gefolgt von τ + τ ). Je nach Zerfallskanal des Z hat man in folgenden Zerfalls-Moden nach ZH Produktion gesucht: - Tau channels: bb, and! qq 4-Jet Kanal HZ b b q q bb, and! qq Fehlende Energie HZ b b ν ν e, µ leptonischer Kanal HZ b b e + e, b b µ + µ τ -Kanal HZ b b τ + τ, τ + τ b b Untergrund durch andere Standard-Modell Prozesse sind alle Endzustände mit 4 Fermionen, also z.b. e + e qqg qq bb 139

141 Abbildung 33: Endzustände für die Suche nach Z + H Produktion. e + e ZZ νν bb e + e Zγ e + e bb Eine Unterscheidung zwischen Signal und Untergrund kann also recht gut anhand der kinematischen Eigenschaften der Fermion-Paare getroffen werden. Der verbleibende Untergrund ist danach so klein, dass ein Higgs Signal sichtbar sein sollte. Gegen Ende der Datennahme von LEP im Jahr 2000 bei der dann maximalen Energie von 209 GeV wurden ein kleiner Überschuss in den Daten gegenüber der Untergrund-Vorhersage gefunden. Dies ist aber insgesamt (alle LEP Experimente zusammen) nur ein 1,7 sigma Effekt. Abb. 34 zeigt einen der Higgs Kandidaten des ALEPH Experiments. Insgesamt ist das Ergebniss von LEP, dass ein Standard-Modell Higgs mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ( confidence-level ) nur noch im Massenbereich M H > 114, 5 GeV erlaubt ist. Bei der maximal erreichten LEP-Schwerpunktsenergie von 209 GeV und einer Higgs-Masse von 125 GeV ist offenbar M Z + M H = ( )GeV > s, so dass beide Z - Bosonen virtuell sein müssten. Die Rate für diesen Prozess ist dementsprechend zu klein, so dass ein Nachweis nicht möglich war. 140

142 Higgs Kandidat mit 4 Jets, davon 2 mit b-tag, des Aleph Experi- Abbildung 34: ments. 141

143 13.4 Higgs-Produktion an Hadron-Beschleunigern Inelastische Wirkungsquerschnitte in pp- oder p p- Kollisionen lassen sich bei hohen Impulsüberträgen allgemein berechnen durch σ pp = i,j dx 1 dx 2 f i (x 1 ) f j (x 2 ) ˆσ ij Hierbei ist f i (x 1 ) dx 1 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Parton i einen Impulsbruchteil des jeweiligen Protons im Intervall zwischen x 1 und x 1 + dx 1 trägt. Der Wirkungsquerschnitt im partonischen Sub-Prozess von i und j ist ˆσ ij. Für die Produktion des gleichen Endzustands mit invarianter Masse ŝ sind bei LHC im Vergleich zu Tevatron wegen ŝ = x 1 x 2 s deutlich kleinere Parton- Impulsbruchteile x 1, x 2 notwendig. Daraus folgen aufgrund der Form der Parton- Dichten im Proton, f(x), deutlich höhere WQ für alle Prozesse mit Gluonen im Anfangszustand, also z.b. gg H. Im Gegensatz dazu sind Prozesse mit q q im Anfangszustand am Tevatron p p- Beschleuniger über Valenzquarks, am LHC aber nur über See-Quarks möglich. Hier ist also kein so großer Vorteil durch die höhere Schwerpunktsenergie zu erwarten. Da weder in e + e noch in pp Collidern schwere Teilchen einfach im Anfangszustand zur Verfügung stehen und die Kopplungen an leichte Fermionen verschwindend klein sind ist die Higgs-Produktionsrate in aller Regel noch kleiner als für andere Prozesse der schwachen WW. Dies ist der wesentliche Grund, warum es so schwierig war das Higgs zu entdecken. Die wichtigsten Produktionsprozesse sind daher höherer Ordnung und hier für das Beispiel eines pp-colliders gezeigt. Man unterscheidet 142

144 gg h SM σ(pp _ h SM +X) [pb] s = 2 TeV M t = 175 GeV CTEQ4M 10-1 qq h SM qq qq _ h SM W 10-2 gg,qq _ h SM tt _ bb _ h SM qq _ h SM Z 10-3 gg,qq _ h SM bb _ M h [GeV] SM Abbildung 35: Wirkungsquerschnitt für Higgs-Produktion in p p-kollisionen am Tevatron Beschleuniger bei s = 2 TeV. Gluon-Gluon-Fusion VBF: Vektor-Boson-Fusion Assoziierte Produktion mit t t (oderb b) Higgs-Strahlung (mit W, Z (oder t) gg H qq qq V V qq H gg t t t t t t H q q V V H Abb.35 und 36 zeigen den Wirkugsquerschnitt für Higgs-Produktion am Tevatron und LHC Beschleuniger. In beiden Fällen überwiegt die Produktion durch Gluon- Gluon-Fusion. Bei 2 TeV Schwerpunktenergie am Tevatron-Beschleuniger beträgt der WQ ca. 1 pb 1. Der Beschleuniger lief von 1989 bis 2011 und erreichte eine Luminosität von ca. 15 fb 1. Am LHC wurde zunächst 2011 bei einer Schwerpunktsenergie von 7 TeV eine Luminosität von 5 fb 1 erreicht. Im Jahr 2012 wurde der Beschleuniger bei s = 8 TeV betrieben und 20 fb 1 erreicht. Ab 2015 wird LHC voraussichtlich bei 14 TeV betrieben werden. Langristig soll eine Luminosität von 300 fb 1 pro Jahr erreicht werden. Abb. 36 zeigt den Higgs-WQ für 7 und 14 TeV Schwerpunktsenergie. Bei 7 TeV beträgt er für M H = 125 GeV 20pb beziehungsweise 80pb bei 14 TeV. Abb. 37 zeigt viele verschiedene WQ bei LHC als Funktion der Schwerpunktsenergie. Wie man sieht ist der totale Wirkungsquerschnitt σ tot π(1fm) 2 um viele 143

145 σ(pp H+X) [pb] 10 1 pp H (NNLO+NNLL QCD + NLO EW) pp qqh (NNLO QCD + NLO EW) pp WH (NNLO QCD + NLO EW) pp ZH (NNLO QCD +NLO EW) s= 7 TeV LHC HIGGS XS WG pp tth (NLO QCD) M H [GeV] (pp H+X) [pb] pp H (NNLO+NNLL QCD + NLO EW) pp qqh (NNLO QCD + NLO EW) pp WH (NNLO QCD + NLO EW) s= 14 TeV LHC HIGGS XS WG 2010 pp ZH (NNLO QCD +NLO EW) 1 pp tth (NLO QCD) M H [GeV] Abbildung 36: Wirkungsquerschnitt für Higgs-Produktion in pp-kollisionen am LHC Beschleuniger bei einer Schwerrpunktsenergie von 7 TeV und 14 TeV. Größenordnungen höher als der WQ für Higgs-Produktion. Aufgrund kleiner Wirkungsquerschnitte und hohem Untergrund durch QCD-Ereignisse mit Jets und durch elektroschwache Prozesse ist die Suche nach Higgs an Hadron-Beschleunigern sehr schwierig. Dies gilt insbeondere bei kleinen Higgs-Massen wo der Zerfall H b b dominiert, da an Proton-Kollidern immer viele Jets und auch b-jets durch QCD- Prozesse produziert werden. Häufig werden viele Zerfallskanäle kombiniert um eine signifikante Aussage machen zu können. 144

146 Abbildung 37: Wirkungsquerschnitt und Ereignisrate/s (bei Design-Luminosität) für Prozesse in pp- Kollisionen als Funktion der Schwerpunktsenergie. 145

147 pening angle between leptons in Higgs decays Manchester) Abbildung 38: Suche nach Higgs-Zerfällen H W + W am Tevatron: WinkelTevatron High Mass Higgs Searches Moriond EW March / 27 Abstand zwischen den Leptonen, Rll = ((φ1 φ2 )2 + (η1 η2 )2 ) Higgs Suche am Tevatron Signifikante Resultate am tevatron gehen besonders auf die Suche nach den Zerfällen H W + W l+ ν l ν zurück, da hier der QCD Untergrund sehr klein ist: Die signifikantesten Resultate liegen um den Bereich MH 2MW, da hier dass Produkt BR σ am größten ist. Forderung nach Leptonen unterdrückt den QCD-Untergrund. Forderung nach fehlendem Transversalimpuls underdrückt Z-Untergrund Da das Higgs Spin=0 hat sind die W aus dem Higgs-Zerfall polarisiert. Forderung nach kleinen Öffnungswinkeln zwischen den beiden Leptonen bevorzugt daher Higgs gegenüber anderen W W -Prozessen. Trotzdem ist die Signifikanz dieses Kanals nicht groß. In keinem der Kanäle ist ein signifikantes Signal gesehen worden. Die Tevatron-Experimente konnten daher HiggsMassen im Bereich um 160 GeV ausschließen. 146

148 13.6 Higgs am LHC Ziel der LHC-Experimente war es im gesamten Massen-Bereich von 100 GeV bis 1 TeV nach dem Higgs-Boson zu suchen. Im Juli 2012 haben die LHC-Kollaborationen ATLAS und CMS die Entdeckung eines neuen Bosons mit einer Masse von 125 GeV berichtet, dessen Eigenschaften mit denen des theoretisch vorhergesagten Higgs-Teilchens kompatibel ist. Obwohl noch nicht abschliessend geklärt ist ob es sich tatsächlich um eine Higgs-Teilchen handelt werden hier diese Resultate aus der Perspektive der Higgs-Physik zusammengefasst. Abb. 39 gibt eine Übersicht über die verschiedenen Produktions- und Zerfallskanäle und den jeweils relevanten Massenbereich. Endzustände, die experimentell SM Higgs Channels Studied Channels included! Mass range (GeV) H!!! VBF H! "" VH, H!bb (highly boosted) VH, H!WW!lvjj H!WW!2l2v + 0/1 jets VBF H!WW!2l2v H!ZZ!4l H!ZZ!2l2v H!ZZ!2l2b Abbildung 39: Zerfallskanäle und relevante M H -Bereiche für die Higgs Suche am LHC. durch zu kleine Rate oder zu hohen Untergrund nicht beobachtbar sind, wurden dabei ausgelassen. Hierzu gehört vor allem der Prozess gg H b b der zwar bei kleinen Massen das höchste Verzweigungsverhältnis aber auch einen viel zu großen Untergrund durch QCD-Prozesse mit vituellen Quarks oder Gluonen wie gg b b. Aus ähnlichen Gründen sind auch andere Zerfälle des Higgs in zwei andere Quarks oder zwei Gluonen nicht beobachtbar. H γγ Das Signal besteht nur aus zwei Photonen. Dies ist trotz des geringen Verzweigungsverhältnisses einer der wichtigsten Kanäle für eine Entdeckung des Higgs bei einer Masse von 125 GeV. Die Gründe hierfür sind 147

149 Abbildung 40: Feynman-Diagramme für Prozesse mit zwei Photonen im Endzustand aus QED-prozessen und aus Higgs-Zerfällen. die sehr gute Energieauflösung von ca. 1% für Photonen. Dies führt auch zu einer Massenauflösung für das Higgs-Teilchen von ebenfalls ca. 1%. Man kann daher nach einer schmalen Resonanz suchen. ) ) s 130 ev] der Untergrund entsteht durch Photonen aus QED Prozessen wie q q γγ mit einem virtuellen Quark im t-kanal. Solche Ereignisse sind im Einzelfall ununterscheidbar, bilden aber keine Resonanzen sondern eine kontinuierliche Verteilung in der invarianten Masse der beiden Photonen. Andere Untegrundprozesse, bei denen z.b. Photonen aus π 0 -Zerfällen entstehen, können weitgehend unterdrückt werden, indem man fordert, dass die Photonen nicht in der Nähe eines Jets aus anderen Hadronen im Detektor nachgewiesen weren sondern isoliert ATLAS-CONF sind. ATLAS CONF Abb. 41 zeigt Ereignisse der ATLAS und CMS Experimente mit diesem Endzustand 18 Abb. 42 zeigt die Verteilung der gemessenen Ereignisse als Funktion der invarianten Masse M γγ der Photon-Paare. In beiden Experimenten zeigt sich über dem ansonsten stetig abfallenden Untergrund eine signifikante Anhäufung von Ereignissen bei etwa M γγ 125 GeV. Ermittelt man die Signalstärke aus einer gemeinsamen Anpassung einer abfallenden Funktion für den Untergrund und einer Gauß-Funktion für das Higgs-Signal an die Daten, so ergibt sich eine Signifikanz des Signals von jeweils Good agreement mehr als 4 σ. found between H ZZ data and simulation using data driven methods Bei hohen Massen M H 120GeV ist der Zerfall H ZZ l + l l + l 18 Neben den beiden hochenergetischen Photonen sind jeweils viele niederenergetische Hadronen (π ±, p,...) und Photonen (aus π 0 Zerfällen) zu erkennen. Diese entstehen durch weitere Prozesse der starken Wechelwirkung in der gleichen Proton-Proton-Wechselwirkung ( Underlying Event ) oder aber Wechselwirkungen anderer Proton-Proton-Paare ( Pile-up ) ity of

150 H ZZ Abbildung 41: Ereignisse mit zwei Photonen im Endzustand bei den LHCExperimenten Atlas und CMS. Die invariante Masse der Photon-Paare beträgt in beiden Fällen etwa 125 GeV. ;!D!K!F$%G!H!D!-<(!IJC( ;!D!E!F$%G!H!D!-<+!IJC( M:N$3456$7 (-)) (-)) ())) ())) -)) ) (*) (+) 'γ γ!"#$%& =>6>.01!?36 1!?36!@A'BA:$:6 ±( σ ±* σ (() (*) (+) (,) (-) 'γ γ!"#$%& Figure 3: The diphoton invariant mass distribution with each event weighted by the S/(S + B) value of its category. The lines represent the fitted background and signal, and the coloured bandsm represent ±1 and ±2 standard deviation uncertainties on the background estimate. Massenverteilung LHC-Experimenten Atlas und CMS γγ beitheden The inset shows the central part of the unweighted invariant mass distribution. Abbildung 42: (Daten bis Mitte 2012). 149

151 4 Signal extraction Z The trigger and selection criteria used in this analysis closely follow the H ZZ 4 search by CMS [10]. We use data collected with dielectron and dimuon triggers selecting events with at least two electrons or two muons with transverse momentum p T > 17 and 8 GeV. To match the trigger selection, we require that at least two leptons reconstructed offline have p T > 20 and 10 GeV. In this phase-space region, we expect and observe a high trigger efficiency of 96 99%, depending on the final state. Muon candidates are reconstructed using two algorithms, one in which tracks in the silicon strip tracker are matched to hits in the muon detectors, and another in which a combined fit is performed to signals in both the silicon strip tracker and the muon system [11]. The muon Z Figure 1: (Left) Diagram of the Z 4 process. (Right) Diagram of the Zγ 4 process for the irreducible background of Z 2 production with the initial-state radiation undergoing an internal conversion γ 2. Both Z and γ are present in all propagators. The choice of propagators shown in the figures corresponds to the dominant contributions in the phase space 80 < m 4 < 100 GeV. Abbildung 43: Links: Feynman-Diagramm für Higgs-Produktion und Zerfall in zwei Z-Bosonen, die wiederum in Leptonen zerfallen. Rechts: Untergrundprzesse mit einem Z-Boon und 4 leptonen im Endzustand. in 4 geladenen Leptonen besonders einfach nachweisbar, insbesondere wenn es sich um e + e oder µ + µ handelt. Die Massenauflösung für das Higgs aus der Summe der vier Leptonimpulse ist dann wieder sehr gut. Irreduzibel ist der Untergrund durch andere Standard-Modell Prozesse mit ZZ im Endzustand, z.b. q q ZZ mit Quarks im t-kanal. Allerdings sollte hierdurch dann keine Anhäufung bei einer bestimmten M ZZ Masse auftreten. Bei M H < 2M Z ist eines der Z-Bosonen mit großer Wahrscheinlichkeit reel, bei M H > 2M Z sind beide Z reel. Daher kann man im Bereich um M H = 125 GeV aus zwei der Leptonen die Masse eines Z rekonstruieren und damit Untergrund bereits sehr gut reduzieren. Der wichtigste reduzible Untergrund entsteht durch Endzustände Zb b (oder Zc c,...) mit den Zerfällen Z µ + µ und b cµν µ für beide b-quarks. Aufgrund der relativ kleinen b-masse (c-masse,...) werden die Myonen hierbei nahezu parallel zum b-jet fliegen. Verlangt man, dass alle 4 Myonen im Winkel isoliert von anderen Teilchen und insbesondere Jets sind, so wird dieser Untergrund sehr klein. Abb. 44 zeigt Ereignisse der ATLAS und CMS Experimente mit diesem Endzustand. Die entsprechende 4-Lepton Masse ist in Abb. 45 gezeigt. Der Peak bei M 4l = M Z entsteht durch die Produktion einzelner Z, also q q Z 4l. Die Ereignisse bei M 4l > 2M Z gehen auf die Paarproduktion reeller ZZ-Paare zurück. Wieder zeigt sich in beiden Experimenten eine signifikante Anhäufung von Ereignissen bei etwa M 4l 125 GeV. Die Signalstärke beträgt etwa 4 σ. Auch in Endzuständen mit anderen ZZ-Zerfällen wird nach Higgs-Produktion gesucht, z.b. H ZZ l + l ν ν, H ZZ l + l τ + τ, oder H ZZ l + l q q. Hierfür ist allerdings die Massenauflösung sehr viel schlechter, so dass die Resultate weniger senstiv sind. 150

152 Abbildung 44: Ereignisse mit e+ e µ+ µ im Endzustand von Atlas (oben) und e+ e e+ e von CMS (unten). In beiden Ereignissen beträgt die invariante Masse der 4 Leptonen etwa 125 GeV. 151

153 4.0 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± cross section (17 20%) and branching fraction (2%) are taken from Ref. [41 6 Results The reconstructed four-lepton invariant-mass distributions for the 4, com and 2e2µ channels, are shown in Fig. 1 (left) and compared with the expecta ground processes. The observed distribution is in good agreement with th ts, tt ev) ATLAS Preliminary fb fb (*) H"ZZ "4l Events/10 GeV ATLAS Preliminary Data (*) Background ZZ Background Z+jets, tt Signal (m =125 GeV) H Syst.Unc. (*) "4l H"ZZ -1 s = 7 TeV:!Ldt = 4.6 fb s = 8 TeV:!Ldt = 13.0 fb m 4l [GeV] m 4l [GeV] ) (b) Figure 1: Distribution of the four-lepton reconstructed mass in full mass ra the 4e, 4µ, and 2e2µ channels (left), and for the sum over all + τ + τ chan f the four-lepton invariant Abbildung mass, m 45: 4, for Massenverteilung the selected candidates M 4l compared bei ion for the combined s = 8 TeV and represent den LHC-Experimenten the data, shaded histograms Atlasrepresent und CMS the background and unsh (Daten bis ca. Oktober s = 72012). TeV data sets in the signal low expectations. The expected distributions are presented as stacked his surements are presented for the sum of the data collected at s = 7 TeV a ev and the full mass range (b) GeV. The signal expectation for event is observed for m 4 > 800 GeV or m 22τ >600 GeV. is is also shown. The Hresolution WWof the reconstructed Higgs boson mass is ution at low m H values and by the Higgs boson width at high m H. Bei mittleren Massen M H 120 GeV ist peak der Zerfall of the Z 4 candle around m 4 = m Z is observed as expected. Th bution at higher mass is dominated by the irreducible ZZ background. A m 4 = 126 GeV is seen, confirming the results reported in [10]. The reconst 21 H W W l + ν l ν distributions for the 22τ selection, combining all the + τ + τ final states (right) and compared to SM background expectation. The background sha besonders wichtig. Hier sind zwei isoliertemc Leptonen simulation zuand erwarten. the ratesaufgrund are normalised dertoneu- trinos entsteht fehlender Transversalimpuls, data. The aber measured die Higgs-Masse distribution iskann well described nicht re- by the SM background e the values obtained using konstruiert werden. Der reduzible Untergrund The number kann of weitgehend candidates observed unterdrückt as well werden as the estimated background durch ble 1, for the selection in the full mass measurement range for the SM-like H 100 < m 4, m 22τ < 1000 GeV. The expected number of signal events is als Veto auf zusätzliche Jets gegen t t-produktion, t t bw + bw bl + ν bl ν Veto gegen M ll M Z und Forderung nach fehlendem Transversalimuls gegen den Drell-Yan Prozess, q q Z/γ l + l Irreduzibel ist z.b. der Untergrund durch Der W W -Prozess q q ZZ ν νl + l q q W W l + ν l ν kann wie bei Tevatron durch Ausnutzung der W -Polarisation etwas reduziert werden. Oft werden in komplexen Analysen mit vielen Teiclhen im Endzustand und vielen verschiedenen Untergründen Optimierungsverfahren wie Neutronale Netze, Boosted 152

154 A ZZ!µµ"" Candidate in ATLAS Data Mµµ = 94 GeV, ETmiss = 161 GeV MET 26 Abbildung 46: Bild eines Ereignisses im Atlas Experiment mit 2 Myonen (Mµµ = 94GeV ) und fehlendem Transversalimpuls (161 GeV). Decision Trees und andere benutzt, um im viel-dimensionalen Raum der TeilchenImpulse Signal und Untergrund optimal zu trennen. Damit gelingt in diesem HiggsKanal zumindest bei hohen Luminositäten eine signifikante Messung. Besonders schwierig bleibt der Bereich unter ca. 130 GeV, da hier das Verzweigungsverhältnis BR(H W W ) und damit die Ereignisrate sehr klein wird. Auch ist die Masse nicht rekonstruierbar, so dass die Signifikanz der Entdeckung bei 125 GeV auch aus diesem Grund bisher gering ist. H τ +τ Zerfälle von τ -Letonen in Hadronen leiden unter einem sehr hohen Untergrund durch QCD-Ereignisse mit Jets. Dagegen ist der Untergrund für rein leptonische Endzustände H τ + τ l+ νl ν τ l ν l ντ deutlich kleiner. Das Verzweigungsverhältnis BR(τ lνν) 0, 17 ist allerdings klein. Da zudem die geladenen Leptonen recht niederenergetisch sind und sich die Higgs-Masse nicht rekonstruieren lässt ist die Suche in diesem Kanal für ein StandardModell Higgs noch nicht sensitiv. 153

155 H b b Zerfälle in b-quarks leiden unter hochem Untergrund. In assoziierter Produktion mit b t, b b, W + W besteht allerdings bei hoher Luminosität die Ausssicht auch diese Zerfälle zu beobachten. Zusammenfassung der Resultate zum Higgs vom LHC Higgs-Suchen finden in allen möglichen Endzuständen statt und die Ergebnisse aller Suchen werden statistisch kombiniert. Die Resultate der statistischen Analyse lassen sich wie folgt zusammenfassen: Die Wahrscheinlichkeit, die beobachteten Ereignisse ohne Higgs-Boson sondern mit anderen Standardmodell-Prozessen zu erklären ist nahe M H = 125 GeV am kleinsten und entspricht einer Fuktuation um ca. 7 σ (Standardabweichungen). Die Signalstärke, bestimmt aus der Anzahl der beobachteten Ereignisse, ist im Rahmen von ±20% mit dem Standardmodell verträglich. Diese Information stammt bisher dominant von den Endzuständen H γγ, ZZ. Die anderen Zerfallskanäle haben noch viel zu große statistische Fehler. Die Beobachtung im γγ Kanal, zeigt, dass es sich um ein Boson mit Spin 0 oder Spin 2 handeln muss. Im Moment kann die Vermutung nicht wiederlegt werden, dass es sich um ein Higgs- Teilchen handelt wie im Standardmodell vorhergesagt. Den Spin des neuen Teilchens wird man anhand der Winkelverteilungen schon bald bstimmen können. Langfristig wird besonders wichtig sein, ob man die Kopplungen des Higgs sowohl in Fermionen als auch in Bosonen messen kann, denn deren Vorhersagen sind im Standard-Modell unabhängig voneinander. Dies wird voraussichtlich in mehreren Zerfallskanälen mit einer Genauigkeit von besser als 10% möglich sein. Da die Rate σ prod,f für einen bestimmten Endzustand f auch vom Produktionsmechanismus abhängt gilt σ prod,f Γ prod Γ f Γ tot = Γ prod Γ f i Γ i Mann muß daher versuchen möglichst viele Produktionsmechanismen und Zerfallskanäle zu messen um alle Größen bestimmen zu können. 154

156 4.2 Significance of the observed excess 13 p ATLAS Preliminary Combined observed Combined expected -1 s = 7TeV, Ldt = fb -1 s = 8TeV, Ldt = 13 fb 5! 0 1σσ 6! 2 3σ 7! 4σ 5σ 8! 6σ H " ZZ -11 7σ 10 7σ m H H [GeV] m(gev) H [GeV] Figure 3: The Abbildung local probability 47: p 0 Wahrscheinlichkeit for a background-only experiment einertostatistischen be more signal-likefluktuation than the als Funktion der 3: The local observation probability a function p 0 of for The m a dashed background-only lines show the expected experiment local p-values to be for more a SMsignal-like Higgs boson than with athe mass m H. Higgs-Masse. H. The dashed curve shows the median expected local p Links: Atlas. Rechts: CMS. 0 under the hypothesis of a production of a Standard Model Higgs boson with that mass. The horizontal dashed lines ation as a function of m H. The reaches dashed 5.8 σ, curve as can be shows seen inthe Fig. median 6 (left). Figure expected 6 (right) local shows p 0 the under combination the for the indicate the p-values corresponding to significances of 0σ to 7σ. Mass scale systematic uncertainties are esis of a production of a Standard channels Model with Higgs poor mass boson resolution, with that namely: mass. WW, Thebb, horizontal and ττ. Thedashed jagged behaviour lines is due included. to analyses that consider different Higgs boson mass hypotheses in steps proportional to the -1-1 te the p-values corresponding tomass significances resolution of of that 0σchannel. to 7σ. Mass scale systematic CMS Preliminaryuncertainties s = 7 TeV, L = 5.1 fb s are 2.5 = 8 TeV, L = 12.2 fb 68% CL band ed. Signal Strength (µ) 0 Local p-value p CMS Preliminary s = 7 TeV, L = 5.1 fb s = 8 TeV, L = 12.2 fb 1! 2! 3! ATLAS Preliminary Combined observed 10 Combined expected s = 7TeV, Ldt = fb -1 s = 8TeV, Ldt = 13 fb 0 1σσ 2 Combined obs. 3σ Exp. for SM H 4σ H " bb H " ## 5σ H " $$ H " WW 6σ H " WW (VBF tag) 4: The combined best-fit signal Combined strength Higgsµ Boson = 1.35 ˆµ ± as 0.24 Decay a function of m H. The interval around ˆµ corresponds -1 s = 7 TeV: Ldt = fb (m H =125 GeV) H " WW (VH tag) -1 s = 8 TeV: Ldt = 13 fb riation of 2 ln Λ(µ) < 1. Mass scale VH systematic Vbb uncertainties 0.4 ± 1.0 are included, H " ZZ which leads to a broad characterized by the value of the test statistic s described in Ref. [5]. H ττ 0.8 ± 0.7 H " bb 2: Summary of the best-fit values and uncertainties for the signal strength µ for the individual 95% CL contours for the H γγ and H ZZ ( ) Untagged Abbildung 48: Signal-Stärke 4l channels are insgesamt shown Fig. 6. (oben) In this case, und neither je Zerfallskanal (unten) relativ zu els at a Higgs the m H value boson that minimizes mass ofp nor the GeV. one that maximizes ˆµ are unbiased H " estimates a very $$ of the SM Higgs low event count and the presence of systematic uncertainties and their correlations. boson mass m H as einem they arestandardmodell computed using a fixed m H Higgs-Boson hypothesis. 9 The maximum mit likelihood einer Masse estimate von 125 GeV. VBF tagged presented in Section 5 is the appropriate estimator for the mass. H µ " corresponds ## to an asymptotic p-value of Higgs Boson Decay 4.5 (m H =125 GeV) VH tagged H " WW ATLAS Preliminary Data 4 VH Vbb -1 combined 0.4 ± s = 7 TeV: Ldt = fb -1 H γ γ 3.5 s = 8 TeV: Ldt = 13.0 fb H " ZZ tth tagged (*) H ττ 0.8 4l ± 0.7 H ZZ 3 H WW ( ) ± 0.6 Best fit!/! SM 2 H γγ 1.8 ± H ZZ ( ) Best fit 1.0 ± 0.4 4! Local p-value CMS Preliminary s = 7 TeV, L = 5.1 fb s = 8 TeV, L = 12.2 fb 1! 2! 3! Combined obs. Exp. for SM H H " bb H " ## H " $$ H " WW H " ZZ m H (GeV) Figure 5: The observed local p-value for the five decay mode and the overall combination as a function of the SM Higgs boson mass in the range GeV (left) and GeV (right). Signal Strength (µ) 4.4 Compatibility of the observed state with the SM Higgs boson hypothesis 17 Table 3 3 summarises the median expected and observed2.0local significances for a SM Higgs boson ATLAS Preliminary mass hypothesis of s Combined = 7TeV, GeV Ldt for = the fb individual decay modes and their various combinations. -1 The2median ± s 1σ expected significance = 8TeV, Ldt = 13 fb 1.5 is evaluated for a pseudo-observation equal to the median 1.5 expected background plus signal rate. The ±1 range1.0 around the median significance should 3 1 contain 68% of the statistical ATLAS Preliminary 4.4 Compatibility fluctuations of thethat observed could state occur 0.5 with the in data. SM Higgs boson hypothesis s = 7TeV, Ldt = fb Table Combined 0 3: The significance of the median-1expected and observed 0.0 event excesses in individual decay ± σ modes and their various combinations for a SM Higgs boson mass hypothesis of GeV. 2 s = 8TeV, Ldt = 13 fb The-1expected range of possible statistical deviations from the median expected significance is 1 about -1.5 ± m H [GeV] m Decay mode or combination Expected (σ) Observed (σ) H (GeV) 0.5 Figure 9: The observed best-fit signal strength, -1σ/σ ZZ SM, as a function -1 of the SM Higgs boson s = 7 TeV, L = 5.1 fb s = 8 TeV, L = 12.2 fb mass m H in the range GeV for the combined 7 and 8 TeV data sets. The symbol σ/σ Figure 4: The combined0 ATLAS Preliminary m SM H = 125 GeV CMS Preliminary m best-fit signal strength ˆµ γγ as a function of mdenotes H. The theinterval production around cross2.8 section ˆµ corresponds times the relevant 4.0 H = GeV branching fractions, relative to the SM W,Z H bb H " bb (VH tag) -1 to a variation of 2 ln-0.5 Λ(µ) < 1. Mass scale systematic WW uncertainties expectation. are included, The band which corresponds 4.3 leads to the a broad ±1 standard 3.0 deviation uncertainty in σ/σ SM. s = 7 TeV: Ldt = 4.7 fb -1 s = 8 TeV: Ldt = 13 fb H " bb (tth tag) peak as described in Ref. H [5]. τ τ bb Figure 10 shows the ˆµ values 2.2obtained in different 1.8 sub-combinations of search channels for -1-1 s = 7 TeV: Ldt = 4.6 fb H " $$ (0/1 jet) -1 s = 8 TeV: Ldt = 13 fb ττ m H = GeV, organized by 2.1decay mode and by 1.8 additional tags used to select preferentially (*) events from a particular H " $$ (VBF production tag) H WW lνlν mechanism. The expected purities of the different tagged s = 8 TeV: Ldt = 13 fb γγ 125+ ZZ 130 samples 135vary substantially. H " $$ (VH 5.7 tag) For example, assuming 5.8 the SM Higgs boson cross sections, the H γ γ γγ + ZZ + WW channels + ττ m H + [GeV] with bb the H " di-jet ## (untagged) VBF7.8 tag always have a6.9 substantial fraction (20-50%) of gluon-gluon -1 Table 2: Summary of thes best-fit values and uncertainties for the fusion signal events. strength Therefore, µ these for the compatibility individual = 7 TeV: Ldt = 4.8 fb -1 plots must not be interpreted literally as compatibility tests for pure production mechanisms and decay modes. s = 8 TeV: Ldt = 13 fb (*) H " ## (VBF tag) channels at a Higgs bosonh mass ZZ of4l 125 GeV. -1 s = 7 TeV: Ldt = 4.6 fb H " WW (0/1 jet) -1 s = 8 TeV: Ldt = 13 fb The plots show a satisfactory level of compatibility between all the channels contributing to µ the combination. None of the sub-combinations depart from the SM Higgs boson hypothesis, µ = 1, by a significant deviation with respect to their current individual sensitivities. The level of compatibility of any sub-combination with the SM Higgs boson cross section can be Signal strength (µ) 1 68% CL Best fit!/! SM H WW ( ) Signal strength (µ) Best fit!/! SM 1.5 ± 0.6 q µ 2 ln L = 2 ln L(data µ, ˆθ -1-1 µ) -1-1 s = 7 TeV, L = 5.1 fb s = 8 TeV, L = 12.2 fb s = 7 TeV, L = 5.1 fb s = 8 TeV, L = 12.2 (7) fb H γγ 1.8 ± 0.4 L(data ˆµ, ˆθ) Figure 5: Measurements of the signal strength parameter H ZZ ( ) µ for m H =125 GeV for CMS the individual Preliminary mchannels H = GeV CMS Preliminary m 1.0 ± 0.4 at µ = 1, which, asymptotically in the limit of large statistics, has a χ 2 H = GeV distribution. For N subcombinations, the sum of the individual q µ(µ = 1) values is expected to behave asymptotically and for their combination. Combined 1.35 ± 0.24 as a χ 2 distribution with N degrees of freedom. In addition to the asymptotic p-value corresponding to the obtained 2 ln L value, we assess the true p-value by generating pseudoobservations. This procedure allows one to take into account that some channels may still have The 11 sub-channel combination shown in Fig. 10 (top) gives a χ 2 /n.d.f. = 8.7/11, which The p-value obtained by generating a large number of pseudo-experiments is The 5 sub-combinations by decay mode shown in Figure 10 (bottom-left) give a χ 2 /n.d.f. = 4.3/5, an asymptotic p-value of 0.51 and a p-value from pseudo-experiments of Figure 10 (bottom-right) gives a χ 2 /n.d.f. = 1.3/4, an asymptotic p-value=0.86 and a p-value from pseudo-experiments of These numbers indicate that 4! 5! 6! 7! 8! Best fit!/! SM Figure 10: Values of σ/σ SM for the combination (solid vertical line), for individual decay modes (point) or sub-combinations of decay modes. The vertical band shows the overal σ/σ SM uncertainty. The symbol σ/σ SM denotes the production cross section times the relevant branching

157 14 Starke Wechselwirkung 14.1 Quarks und Gluonen Experimentell gibt es durch zahlreiche Messergebnisse Evidenz für eine innere Struktur der Nukleonen (Protonen und Neutronen). Das Volumen von Atomkernen nimmt linear mit der Anzahl der Protonen und Neutronen zu. Dies deutet auf eine feste geometrische Ausdehnung der Nukleonen mit einem Radius von ca. 1 fm hin. In der tief-inelastischen Elektron-Proton Streuung, e + p e + X wird ein Wirkungsquerschnitt gemessen, der nicht dem einer homogenen, strukturlosen Ladungsverteilung innerhalb des Protons entspricht, sondern der sich aus der Summe von Streuprozessen der Elektronen an einzelnen, punktförmigen Ladungsträgern (den Quarks) erklären lässt. Auf diese Art wurden die Quarks an Experimenten am SLAC entdeckt. Der totale Wirkungsquerschnitt von Proton-Anti-Proton Kollisionen ist etwa gleich groß wie die daraus berechnete Querschnittsfläche eine Protons von A = π(1fm) 2 = 0.31mb und steigt leicht mit der Schwerpunktsenergie s. Dies ist ca mal größer als der Wirkungsquerschnitt für e + e Streuung bei s = 1GeV, der zudem mit der Schwerpunktsenergie fällt. Durch Streuung mit Photonen oder anderen Protonen lassen sich ein Spektrum von angeregten Zuständen der Protonen erzeugen, die anschließend wieder in Protonen, Neutronen und Pionen zerfallen. Das Proton ist also ausgedehnt und damit nicht elementar, sondern besteht aus Partonen. Die Natur der Partonen ist ebenfalls bekannt: Quarks: In der e + e Streuung wird die Produktion von Jets von Teilchen beobachtet. In den meisten Fällen entstehen 2 entgegengerichtete Jets gleicher Energie, deren Winkelverteilung gegenüber den einlaufenden Teilchen genau wie bei der Produktion von µ + µ ist, also dσ dω 1 + cos2 Θ Es ist daher anzunehmen, dass die Jets aus der Produktion von Spin 1/2 Teilchen, den Quarks, entstehen. u und d Quarks Der Aufbau der leichtesten Hadronen lässt sich mit nur zwei Quark-Sorten erklären, den up und down Quarks mit den elektrischen Ladungen q u = 2/3 e, q d = 1/3 e. 156

158 p (p) p K p Σ p π p 1 Total cross section (mb) γp 10-3 γγ s GeV p p Re (T ) Im (T ) π p K p pp π + p K + p -0.2 s GeV s GeV s GeV

159 Baryonen Mesonen p = (uud) π + = u d n = (udd) π 0 = 1 2 (uū + d d) 0 π = du Gluonen: In der e + e Streuung wird in typisch 10 % Fälle nicht nur zwei sondern 3 Jets beobachtet, wobei die Winkelverteilung der Jets untereinander mit der Erwartung für die Abstrahlung eines Spin 1 Teilchens ( Gluon ) von einem Spin 1/2 Teilchen (Quark) übereinstimmt. Auf diese Weise wurde das Gluon am PETRA Beschleuniger bei DESY entdeckt. Starke Kopplungskonstante α s : Die Häufigkeit von etwa 10% dieser 3-Jet Ereignisse deutet auf eine große Kopplungskonstante zwischen Quarks und Gluonen hin, α s 10 α em. Die Natur der Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen hängt, in Analogie zur elektromagnetischen Wechselwirkung, mit einer erhaltenen Ladung der Starken Wechselwirkung, zusammen:: Farbe: Eine der Baryon-Resonanzen, dass ++, trägt doppelte elektrische Ladung und Spin 3/2. Es besteht demnach aus 3 u Quarks. Wegen des Pauli- Prinzips können aber identischen Fermionen nicht im gleichen Zustand sein. Daher müssen die drei Quarks des ++ = (uuu) in drei unterschiedlichen Zuständen einer neuen, inneren Quantenzahl, der Farbe, vorkommen können. Das W ± Boson der schwachen Wechselwirkung zerfällt drei mal häufiger in Quark-Paare als in Lepton-Paare. Das Verhältnis R = σ e + e Hadronen, σ e + e µ + µ der Streuung in Hadronen oder Myonen zeigt Resonanzen und erhöht sich stufenweise um Beträge von ( ) 2 ( ) oder was auf die Paar-Weise Erzeugung neuer Quarks e + e hindeutet. uū, d d, s s, c c, b b Skala der QCD: Die Zerfallsbreite (oder Energieunschärfe = 1/Lebensdauer) der Hadron-Resonanzen beträgt typisch etwa 200 MeV. In der gleichen Größenordnung liegt die Masse des Pions (leichtestes Hadron), und auch 1/Radius des Protons. Der Wert Λ QCD 200MeV wird daher als Skala der QCD bezeichnet. Die Existenz und Größe dieser Skala wird später aus der Energie-Abhängigkeit von α s und damit dem Confinement erklärt. 158

160 14.2 Nicht-Abelsche Eichtheorie Die Therie der starken Wechselwirkung ist die Quantenchromodynamik (QCD), eine lokale, nicht-abelsche Eichtheorie, die auf der Symmetrie-Gruppe SU(3) C der drei Farben der Quarks beruht (C steht für Colour ). Solche Einchtransformationen stellen eine Verallgemeinerung der aus der Elektrodynamk bekannten Eich-Invarianz dar und sind die Grundlage für die Theorien der Teilchenphysik und ihrer Vorhersagekraft. Exemplarisch wird zunächst die QCD (SU(3) C ) behandelt und das gefundene Prinzip anschliessend auch für die elektroschwache Wechselwirkung angewendet (SU(2) L U(1) Y ) Übersicht zu Eichtheorien Die einzelnen Schritte zur Ableitung der Naturgesetze aus dem Prinzip der lokalen Eichinvarianz sind (ohne Higgs-Mechanismus) 1. Postuliere Fermion-Felder für Quarks und Leptonen 2. Postuliere lokale Eich-Invarianz der Lagrange-Dichte Für die QED ist dies eine U(1) Phasen-Rotation. Für die QCD ist dies eine SU(3) C Rotation der Farb-Freiheitsgrade rot-grünblau. 3. Sortiere Fermionen in SU(N)-Multipletts Für die QCD sind dies die Quark-Zustände u-rot u-grün u-blau 4. Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgen neue, masselose Spin-1 Bosonen (N 2 1 Bosonen für SU(N)). eine neue Kopplungskonstante zwischen Fermionen und Eichbosonen eine bestimmte Form der WW (γ µ - Kopplung) L = i ψγ µ D µ ψ mit D µ = µ + ig s T a G µ a 5. Addiere kinetische Energie für Vektorfelder L G,eich = 1 4 Gµν a G a,µν G µν a = µ G ν a ν G µ a + gf abc G µ b Gν c 159

161 6. Die Vorhersage einer Selbst-Wechselwirkung der Bosonen, mit gleicher Kopplungskonstante, ist in diesem Term bereits enthalten, falls die Eichtransformation nicht kommutieren (nicht-abelsche Eich-Gruppe) Lagrange-Dichte der QCD [T a, T b ] = if abc T c Grundlage der Quanten-Chromo-Dynamik (QCD) und der schwachen Wechselwirkung sind nicht-abelsche Eichtheorien, bei denen also die Symmetrie- Transformationen von einem kontinuierlichen Parameter abhängen und im Allgemeinen nicht vertauschbar sind. Die QCD basiert auf der Symmetriegruppe SU(3), also der unitären Transformationen in drei Dimensionen mit detu = +1. Viele der hier beschriebenen Eigenschaften gelten aber auch z.b. fuer die SU(2) der schwachen Wechselwirkung. Man betrachtet drei wechselwirkungsfreie Dirac-Teilchen (Quarks) mit gleichen Massen aber verschiedenen Farben r=rot, g=grün, b=blau) L = ψ r (iγ µ µ m)ψ r + ψ b (iγ µ µ m)ψ b + ψ g (iγ µ µ m)ψ g. Man führt nun ein Triplett im 3-dim Raum der Farb-Zustände ein, das eine verallgemeinerte Form des Dirac-Feldes darstellt, ψ r ψ = ψ b ψ g oder in etwas anderer Notation: ψ r = 0, ψ b = 1, ψ g = Damit kann man die Lagrange-Dichte auch einfach schreiben als L = ψ(iγ µ µ m)ψ, wobei sowohl über die Spinor-Indizes als auch die Farb-Indizes summiert werden soll. Dies funktioniert nur bei gleichen Massen der drei Farb-Zustände. Diese Lagrange- Dichte ist invariant unter Rotationen im Farb-Raum. Postuliert man, dass diese Symmetrie auch lokal gelten soll, so kann man die Rotationen darstellen als unitäre Transformationen, die sowohl die Komponenten ψ r,b,g verändern als auch deren Phasen. ψ ψ = Uψ. Hier ist U eine 3 x 3 Matrix im Farbraum, mit U U = 1, so dass man U schreiben kann als ψ = e igsαa(x)ta ψ. 160

162 g s ist eine reelle Konstante, die wir später mit der starken Kopplungskonstanten identifizieren werden. Die reellen Funktionen α a (x) sollen von Ort und Zeit abhängen, d.h. wie bei der QED fordern wir, dass die Symmetrie lokal gültig sein soll. Die Größen T a sind linear unabhängige hermitesche 3 x 3 Matrizen im Farbraum, die man die Generatoren der SU(3) C nennt (Index C für Colour ). Die T a müssen so gewählt werden, dass mit α a T a (Summation über a) jede beliebige Rotation beschrieben werden kann. Für eine solche 3x3 Matrix benötigt man im Allgemeinen 9 relle Zahlen. Wegen der Bedingung detu = +1 folgt jedoch, dass es für die SU(3) nur 8 linear unabhängige T a gibt. Wir werden sehen, dass daraus auch die Existenz von 8 verschiedenen Gluonen folgt 19. Die Gruppe ist nicht Abelsch, da die Generatoren im Allgemeinen nicht vertauschen, sondern Kommutator-Relationen erfüllen, [T a, T b ] = if abc T c. Die Konstanten f abc werden Strukturkonstanten der SU(3) genannt. Aus der Unitarität U = U 1 folgt α a T a = αat a. Eine mögliche Darstellung der Generatoren T a = λ a /2 sind die sogenannten λ Matrizen, i 0 λ 1 = λ 2 = i λ 3 = λ 4 = i λ 5 = λ 6 = i λ 7 = 0 0 i λ 8 = i Die Strukturkonstanten sind antisymmetrisch bei Vertauschung von zwei Indizes, f 123 = 1, f 458 = f 678 = 3/2 f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = Allgemein hat eine SU(N) Gruppe demnach N 2 1 Generatoren und die entsprechende Eichtheorie N 2 1 unterschiedliche Eichbosonen. 161

163 Alle nicht durch Vertauschung zweier Indizes hieraus ableitbaren f abc sind Null. Wegen α a = α a (x) sind die Ableitungen µ ψ = µ (Uψ) U µ ψ, so dass die obige Langrange- Dichte nicht eichinvariant ist. Ähnlich wie in der QED wird daher die Ableitung µ durch eine kovariante Ableitung ersetzt, D µ = µ + ig s T a G µ a Die G µ a sind dabei 8 neue Vektorfelder, die den Gluonen entsprechen (ein Gluonfeld für jeden Generator). Damit wird die Lagrange- Dichte zu L = ψ(iγ µ D µ m)ψ = ψ(iγ µ µ m)ψ g s ψ (γµ T a G µ a) ψ Der letzte Term stellt eine Wechselwirkung zwischen den Quarks und den Gluonen dar, wobei offenbar die Generatoren festlegen, welches Quark mit welcher Farbe ein bestimmtes Gluon abstrahlen kann. Diese Lagrange-Dichte ist eichinvariant unter infinitesimalen SU(3) C Transformationen, falls G µ a G µ a = G µ a µ α a (x) g s f abc α b (x)g µ c Der letzte Term ist neu in der SU(3) C im Vergleich zur QED und notwendig, da die Generatoren T a nicht vertauschen. Für die kinetische Energie der Gluonen werden Feldstärke-Tensoren definiert als G µν a µ G ν a ν G µ a g s f abc G µ b Gν c. Auch hier ist der letzte Term neu im Vergleich zur QED und notwendig, damit die kinetische Energie der Gluonen, L G,kin = 1 4 G aµνg µν a, eich-invariant ist. Es existiert also ein Tensor für jedes Gluon und über alle Tensoren wird summiert. Bei nicht-abelschen Symmetrien vertauschen die Symmetrie- Operatoren nicht (f abc 0). Daher enthält der Ausdruck L G,kin nicht nur Terme quadratisch in den Ableitungen der Felder, also die kinetische Energie der Gluonen, sondern auch Terme mit g s (G µ a) 3 und g 2 s(g µ a) 4. Diese Terme stellen Wechselwirkungen der Gluonen mit sich selber dar 20, wobei die Kopplungskonstante g s genau gleich zur Kopplung der Quarks an Gluonen sein muss. Die Selbstwechselwirkung der Gluonen ist verantwortlich für 20 Eine solche Selbstwechselwirkung existiert nicht für die Photonen der QED, da es für die U(1) nur eine Ladung gibt und daher auch keine Strukturkonstanten. 162

164 die große Anzahl von Feynman-Diagrammen zu Prozessen der QCD, den Anstieg der (renormierten) Kopplung bei großen Abständen zwischen Farbladungen. Dies ist auch der Grund für das Confinement zwischen den Quarks und Gluonen, also der Beobachtung, dass es keine freien Farb-Ladungen sondern nur freie Farb-Singletts gibt. Die Selbstwechselwirkung der Gluonen bedeutet auch, dass die Gluonen selber Farbe tragen. Die gesamte, sogenannte Yang-Mills Lagrange-Dichte der QCD ist damit L = ψ(iγ µ D µ m)ψ 1 4 G aµνg µν a = ψ(iγ µ µ m)ψ g }{{} s ψ (γµ T a G µ a) ψ }{{} Massen-Term Quark ψ koppelt +E kin (ψ) mit Stärke g s an 8 Propagator Gluon-Felder G ν a 1 G 4 aµνg µν a }{{} 8 Gluonen E kin (G a ) G g s G 3 3-Vertex +... g 2 sg 4 4-Vertex 14.3 QCD in der e + e Vernichtung Wie bereits erwähnt werden bei dem Prozess e + e Hadronen hauptsächlich 2-Jet Ereignisse und nur in etwa 10% der Fälle 3-Jet Ereignisse beobachtet. Diese Ereignisse werden in der QCD interpretiert als Produktion von 2 Quarks beziehungsweise von 2 Quarks, die ein weiteres Gluon mit großem Öffnungswinkel zur Quark-Richtung abstrahlen. In der 3-Jet Produktion kann man den Spin der Gluonen direkt aus den Winkelverteilungen der Jets bestimmen. Dazu sortiert man die Jets nach ihren Energien E 1 > E 2 > E 3 und bestimmt, im Schwerpunktssystem der beiden niederenergetischen Jets j 2 + j 3, den Winkel zwischen diesen Jets und dem höchstenergetischen Jet j 1. Diese Verteilung dieser Winkel Θ aus vielen Ereignissen am PETRA Beschleuniger zeigt, dass Gluonen Spin-1 haben. 163

165 Abbildung 50: 2-Jet Ereignis (links) und 3-Jet Ereignis (rechts) im OPAL Experiment am LEP e + e Beschleuniger. Abbildung 51: Verteilung der Winkel zwischen 3 Jets bei PETRA mit Vorhersagen für Spin-0 und Spin-1 GLuonen. 164

166 In der 4-Jet Produktion ist der Wirkungsquerschnitt sensitiv auch auf die Selbstwechselwirkung der Gluonen, da sowohl die Quarks als auch Gluonen weitere Gluonen abstrahlen können. Eine hierauf sensitive Messgröße ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen, die von den beiden Jets höchster beziehungsweise niedrigster Energie aufgespannt werden (Bengsten-Zerwas Winkel). Im Vergleich zu den Messdaten zeigt Abbildung 52: Jet Raten für 2,3, und 4 Jets bei LEP als Funktion des Abstandsmaßes zwischen den Jets (links), sowie die Verteilung des Bengtson-Zerwas Winkels zwischen den 4 Jets (rechts). die QCD Vorhersage eine gute Übereinstimmung mit den Jet-Raten und Winkelverteilungen. Aus den Verhältnissen der Jet-Raten und den Winkelverteilungen lassen sich die Farb-Faktoren bestimmen, die die relative Wahrscheinlichkeit der Abstrah- 165

167 lung von Quarks oder Gluonen angeben. In der QCD liegen durch die Eichsymmetrie die Verhältnisse fest, C A /C F = 4/9, T F /C F = 3/8. Beide Werte sind mit den Daten sehr gut in Übereinstimmung. Vorhersagen für viele Abbildung 53: Bestimmung der Farb-Faktoren der starken Wechselwirkung in der e + e Streuung bei LEP im Verleich zu theoretischen Vorhersagen verschiedener Eichgruppen. andere Eichgruppen können dagegen ausgeschlossen werden. Insbesondere für eine nicht-abelsche Gruppe, bei der es keine Selbstwechselwirkung der Gluonen gibt, ist C A = 0. Interpretiert man die 3 Farb-Freiheitsgrade als drei unabhängige Ladungen entsprechend einer Gruppe U(1) 3, so wäre C F /T F = 3. Dies ist jedoch komplett ausgeschlossen, wie die Messung zeigt Streuprozesse mit Hadronen Grundsätzlich sind Streuprozesse mit Hadronen im Anfangs- oder Endzustand sehr komplex, denn: Jedes Hadron besteht aus mehreren Partonen, die fortwährend miteinander wechselwirken. Solche Vielteilchenprozesse sind in der Regel theoretisch nicht detailliert berechenbar. 166

168 Die Selbstwechselwirkung der Gluonen führt zu einem Anstieg der Kopplungsstärke mit dem Abstand und erreicht bei ca. 1 fm einen Wert nahe eins, so dass eine Störungsrechnung in Potenzen von α s nicht mehr konvergiert. Trotzdem haben Streuprozesse mit Protonen im Anfangszustand zu wichtigen Erkenntnissen in der Teilchenphysik geführt. Hierzu gehören die tief-inelastischen Elektron- Proton Streuung (Entdeckung der Quarks im Proton am SLAC) und p p Kollisionen (Entdeckung der schweren b und t Quarks am Fermilab sowie der W und Z Bosonen am CERN). Wie im Folgenden erklärt können diese und andere Prozesse mit Hadronen bei hohen Impulsüberträgen im Rahmen der perturbativen QCD beschrieben werden, indem man Parton-Verteilungen der Protonen mit partonischen Wirkungsquerschnitten faltet. Grundlage hierfür sind Faktorisierungstheoreme der QCD Tief-inlastische Streuung Abbildung 54: Feynman-Diagramm für tief-inelastische Streuung. Die tief-inelastische Elektron-Proton Streuung (oder allgemeiner Lepton-Nukleon Streuung, Abkürzung DIS für deep inelastic scattering ) ist der Prozess e + p e + X wobei X einen Endzustand aus Hadronen darstellt. Tief-inelastisch bedeutet, dass sowohl der 4-Impulsübertrag Q 2 = t zwischen Elektron und Proton als auch die invariante Masse M X aller Hadronen im Endzustand groß ist gegenüber der Skala der starken Wechselwirkung (hier die Masse des Protons). Q 2 M 2 p M X M p Diese Forderungen stellen sicher: 167

169 Das räumliche Auflösungsvermögen x 1/ Q R p reicht aus um Strukturen im Inneren des Proton-Radius R p aufzulösen. = (200MeV) 1 Die Reaktionsdauer des DIS- Prozesses t DIS 1/ Q t QCD ist deutlich kleiner als die typische Fluktuationsdauer t QCD des Protons in ein Parton und einen wie immer gearteten Rest des Protons. Diese Zeit ist typisch gegeben durch die Skala der QCD, also etwa (200 MeV) 1. Für große Q 2 ist die starke Kopplungskonstante zahlenmäßig klein und damit der Beitrag von QCD- Diagrammen höherer Odnung ebenfalls klein und berechenbar. Bei großen Werten von M X M p in einem Ereignis wurde offenbar mehr als nur das Proton im Endzustand erzeugt, d.h. der Prozess ist inelastisch. M X entspricht dann der gesammten Energie aller Hadronen und ist damit auch ein Mass für den Phasenraum der Hadronen. Bei großen Werten von M X zeigt es sich experimentell, dass auch M X M Hadronen erfüllt ist, so dass der Phasenraumfaktor für den Übergang Parton Hadron eins ist. Anders ausgedrückt können die produzierten Quarks und Gluonen mit Wahrscheinlichkeit eins in Hadronen übergehen. Damit kann der Prozess der Streuung an Hadronen auf Rechnungen mit Quarks und Gluonen zurückgeführt werden. Insgesamt bedeutet also ein hoher Werte des Impulsübertrags Q 2, dass eine Momentaufnahme der Fluktuationen des Protons aufgenommen wird, wobei große Werte von Q 2 einer hohen Zeitauflösung von kleinen Strukturen innerhalb des Protons entsprechen. Aus vielen Streuprozessen bei hohen Q 2 und hohen M X läst sich damit ein statistisches Bild der Fluktuationen der Partonen im Proton ermitteln Faktorisierung Die oben diskutierte Vorstellung einer Momentaufnahme des Protons bei harten Prozessen (d.h. hohen Impulsüberträgen) ist auch die Grundlage des Faktorisierungstheorems der QCD. Dieses sagt aus, dass sich der Wirkungsquerschnitt für DIS und andere Prozesse mit Protonen in Faktoren zerlegen lässt: Parton-Dichtefunktionen (PDFs) für Quarks und Gluonen, f q/p (x, Q 2 ) f g/p (x, Q 2 ) 168

170 B&(>*(=0?%&( X>6#1;7*>6A!*>J(??(6!"#$%&&' B&(>*(C#7(*,-.D### E##F GH) I F GH) I Abbildung 55: Zeitlicher Ablauf einer Proton-Proton-Streuung und Elemente der B*(6656@ 06#46=(0'( C0= <5*J(* 567#';6@(* 3(0%&K(0=( Faktorisierung.! 1;*=( LLD#@*>M(* 26(*@0(N/(*=*;@ OPP#QR(ST###### <5*J( 3(0%&K(0=( OUU#Q#FCT V;=*0WA2'(C(6=(D##)(*=5*/;=0X( 3(%&656@ 06#Y*7656@(6 X>6#? O, Z T C5M FN* [(7(6!*>J(?? 6(5 /(*(%&6(= K(*7(6! L(0%&( 46=(0'(D#C0= ';6@(* 3(0%&K(0=(+#60%&= p i = x p p )(*=5*/;=0X!;*=>6A S(*=(0'56@(6+#!;*=>6A$%&;5(*+#1;7*>60?0(*56@ \60X(*?(''D#@'(0%& FN* ;''(!*>J(??( Hierbei ist und damit beschreibt x der Bruchteil des 4-er Impulses p i, den ein Parton i am 4er-Impuls p p des Protons trägt 21. Die PDFs sind damit charakteristisch für die innere Struktur des Protons, d.h. die langreichweitigen Wechselwirkungen der Partonen untereinander und das Confinement. Die PDFs lassen sich daher auch nicht perturbativ berechnen. Sie werden allerdings auch vom Auflösungsvermögen Q des Prozesses abhängen und diese Abhängigkeit von Q ist berechenbar (Skalenverletzung der PDFs).!"#$%&'()(*+###,-.#/(0 1234#567#81-################################################### 9 Wirkungsquerschnitt für den elastischen, harten Sub-Prozess, also z.b. für e+u e+u oder d+g d+g. Dieser wird von der Schwerpunktsenergie ŝ des Subprozesses und dem Impulsübertrag Q 2 abhängen, ˆσ(ŝ, Q 2 ). Er kann mit den bekannten Mitteln der Störungsrechnung beschrieben werden. Für DIS ist z.b. der Wirkungsquerschnitt (bis auf die Quark-Ladung q q ) gleich dem eµ eµ Wirkungsquerschnitt (Q 2 = t): dσ eq dt = qqq 2 e 2 1 ŝ 2 + û 2 8πŝ 2 t 2 Insgesamt ist damit der Wirkungsquerschnitt für DIS gegeben durch die Summe über alle Quark-Flavour dσ ep ex = i dx f i/p (x, Q 2 ) dˆσ eq eq 21 Dies ist nur sinnvoll in einem Intertialsstem, in dem sich das Proton mit großer Energie E p >> M p bewegt, so dass die Massen von Proton und Parton keine Rolle spielen und x gleichzeitig den Impulsbruchteil und den Energiebruchteil des Partons beschreibt. 169

171 14.6 Messung der Parton-Dichteverteilungen Die PDFs wurden zuerst am SLAC und später bei höheren Schwerpunktsenergien in fixed-target DIS Experimenten vermesen. Die genauesten Daten stammen vom HERA Beschleuniger am DESY, der bis 2007 Elektronen mit 27,6 GeV und Protonen mit 920 GeV zur Kollision brachte. In diesen Experimenten wird F 2 = i q 2 i x f i/p (x, Q 2 ) gemeesen, also eine Linearkombination der Quark-PDFs. Andere Messungen z.b. Abbildung 56: Bild eines DIS Ereignisses im ZEUS Experiment bei HERA. Elektronen laufen von links ein, protonen von rechts. Erkennbar ist das gestreute Elektron, ein gestreuter Jet und die Fragementationsreste des Protons ganz links. mit W -Austausch oder an Deuteronen ergeben andere Linearkombination. An alle verfügbaren Messungen werden dann Funktionen für die PDFs angepasst. Hierbei wird ausserdem sichergestellt, dass die Summenregeln für die Quark-Flavour und den Gesammt-Impuls erfüllt sind. 170

172 Abbildung 57: Messung von F 2 von HERA bei ausgewählten Werten von Q 2. xf 1 H1 and ZEUS 2 2 Q = 10 GeV HERAPDF1.0 exp. uncert. model uncert. parametrization uncert. xg ( 0.05) xu v xs ( 0.05) xd v x Abbildung 58: Die Parton-Dichteverteilungen xf(x) für die Valenz-Quarks (xu v, xd v ), die See-Quarks (xs = 2x(ū + c + d + s)) sowie die Gluonen (xg) bei einem Impulsübertrag von Q 2 = 10 GeV 2. Die Gluon-Dichte und die See-Quark-Dichte wurde um einen Faktor 20 verkleinert dargestellt. Die Breite der Bänder entspricht den Unsicherheiten. 171

173 14.7 Perturbative QCD in der Quark und Gluon Streuung Abbildung 59: Feynman-Graphen für 2 2 Prozesse zur Jet-Produktion an Hadron- Beschleunigern. An Hadron-Beschleunigern treten Quarks und Gluonen sowohl im Anfangs- als auch im Endzustand auf. Feynman-Diagramme für 2 2 Prozesse von Quarks und Gluonen haben eine sehr ähnliche Struktur wie die fundamentalen Prozesse der QED, da die Quarks Spin-1/2 haben und über eine γ µ - Kopplung mit den Spin-1 Gluonen wechselwirken. Es gilt also ebenfalls Chiralität-Erhaltung am Vertex, so dass die Matrixelemente neben den Propagatoren für Quarks und Gluonen auch die entsprechenden Winkelverteilungen, ausgedrückt in Mandelstam-Variablen, haben. Neu ist jedoch, dass bei unbestimmter Farbe im Anfangs- und Endzustand über alle möglichen Farb-Kombinationen summiert werden muss. Hierdurch erklären sich die Vorfaktoren für die Matrixelemente. Für einen Vergleich der QCD Berechungen mit Daten z.b. von p p Beschleunigern benötigt man allerdings noch zusätzlich die Impulsverteilung der Quarks und Gluonen im Proton. 172

174 Abbildung 60: Matrixelemente für 2 2 Prozesse zur Jet-Produktion an Hadron- Beschleunigern. 173

175 Abbildung 61: Eine Messung der Jet-Wirkungsquerschnitte am Tevatron p p Beschleuniger bei einer Schwerpunktsenergie von 2 TeV als Funktion des transversalen Impulses P T und der Pseudorapidität η der Jets. 174

176 15 Renormierung und Anomalien Aus der Form der Lagrangedichte lassen sich die vorhergesagten Vertizes der Theorie und die entsprechenden Vertexfaktoren ablesen. Die bisher gezeigten und berechneten Feynman-Diagramme sind jedoch jeweils nur die Diagramme der niedrigsten Ordnung. Bei der Berechnung von Matrixelemente für Wirkungsquerschnitte oder Zerfallswahrscheinlichkeiten entspricht die Summe aller möglichen Feynman-Diagramme einer Störungsreihe, d.h. einer Reihenentwicklung des Matrixelements nach Potenzen der Kopplungskonstanten α = g 2 /(4π) (siehe auch Abschnitt 5.3). Für das Beispiel e + e µ + µ in der QED (d.h. nur Photon-Austausch) unterscheidet man: 1. Niedrigste Ordnung (LO: Leading Order, Born Diagramm): σ α 2 2. reelle Korrekturen e + e µ + µ γ σ α 3 initial state radiation (ISR) final state radiation (FSR) 3. Virtuelle Korrekturen (Schleife, Loop) σ α 4 a) Propagator-Loop (Vakuum-Polarisierung) b) Vertex-Korrektur 175

177 c) Korrektur der externen Linien Bei der Berechnung dieser Diagramme bestehen prinzipielle Probleme. Bei ISR und FSR, d.h. der Abstrahung reeller Teilchen (hier Photonen), können diese z.b. sehr niederenergetisch sein ( infrarot ) oder parallel zum abstrahlenden Fermionen ( collinear ). In diesen Fällen wird der Propagator des Fermions sehr groß werden. Bei Schleifen-Diagrammen gilt 4-er Impulserhaltung an den Vertizes, aber trotzdem kann der Impuls der Fermionen in der Schleife beliebig große oder beliebig kleine Impulse annehmen. Zur Berechnug dieses Matrixelements muss daher über alle möglichen Impulse der internen Fermionen integriert werden. Diese Integrale sind aber in der Regel unendlich, so dass man sie nur bis zu einer Obergrenze der umlaufenden Impulse ausführen kann. Dies ist ein ganz allgemeines Problem der Quantenfeldtheorie und führt dazu, dass die Kopplungskonstanten von dieser Grenze anhängen werden und ist der Ursprung für die laufenden Koplungskonstanten. Auch Massen zeigen das gleiche Verhalten. Beide Effekte sind im Folgenden näher erklärt QED: Laufende Kopplungskonstanten Wir betrachten den Prozess e + e µ + µ. In niedrigster Ordnung ergibt sich das Matrixelement aus den Feynman-Regeln mit dem Fermion-Strom z.b. des Elektrons j µ 12 = v 1 γ µ u 2 und dem Photon-Propagator zu ig µν q 2 M = g 2 e j µ 12 g µν q 2 jν 34 Wir betrachten die erste Schleifen-Korrektur mit einem Fermion (dominant ein Elektron) der Masse m. Der 4-er Impuls des Photons q teilt sich, so dass der 4-er Impuls des einen Fermions p sei und der des anderen Fermions dementsprechend q p. Damit 176

178 gilt 4er-Impulserhaltung an jedem Vertex, ohne dass es eine Einschränkung für die Komponenten von p gibt. Da p nicht beobachtbar ist muss man über alle möglichen Werte von p integrieren. Mit den Propagatoren i(γ α p α + m) p 2 m 2 ; i(γ β (q p) β + m) (q p) 2 m 2 für die umlaufenden Fermionen folgt für dieses Matrixelement [ ] M = ig4 e j µ d 4 p q 4 12 (2π) T r γµ (γ α p α + m) γ ν (γ β (q p) β + m) 4 p 2 m 2 (q p) 2 m 2 j ν 34 Im Vergleich zur niedrigsten Ordnung ergibt sich also für beide Diagramme zusammen eine Veränderung des Propagators in der Form: Mit dem Ansatz ergibt sich als Lösung I(q 2 ) = g2 e 12π 2 [ i g µν q 2 i g µν q 2 1 q 4 I µν I µν = ig µν q 2 I(q 2 ) m 2 dp 2 p ( )] dz z(1 z) ln 1 + q2 z(1 z) m 2 Der erste Term ist logarithmisch divergent. Man erzetzt den maximalen Impuls p 2 durch einen cut-off M 2 (und setzt später: M 2 ). Das zweite Integral, f(q 2 /m 2 ), ist endlich. Das Integral hat dann die Grenzwerte q 2 << m 2 : f(q 2 /m 2 ) q2 I(q 2 ) g2 e 5m 2 12π 2 lnm2 m + g2 e q π 2 m 2 q 2 >> m 2 : f(q 2 /m 2 ) ln q2 I(q 2 ) g2 e m 2 12π 2 lnm2 q 2 177

179 Das Matrix-Element für beide Diagramme zusammen ist dann ( M = ge 2 j µ g µν 12 1 g2 e [ln M ]) 2 q2 f( q 2 12π 2 m2 m ) 2 j ν 34 Man führt nun die renomierte elektrische Kopplung ein g R g e 1 g2 e 12π ln M 2 2 m 2 Diese ersetzt die nackte Kopplung g e aus der Lagrange-Dichte. Damit ist das ME (bis zur Ordnung gr 4 ): ( ) M gr 2 j µ g µν g2 R q2 f( q 2 12π2 m ) j ν 2 34 Der cut-off der Divergenz, M, ist absorbiert in der renormierten Kopplung g R. Beobachtbar ist nur der WQ des Prozesses. Dieser hängt nur von g R ab. Die nackte Kopplung ist also keine Observable, sondern nur ein Parameter in der Lagrange- Dichte, der erst renormiert werden muss. Allerdings gibt es eine weitere q 2 -abhängige Korrektur im Matrixelement. Man kann diese ebenfalls in eine jetzt q 2 -abhängige Kopplungskonstante g R (q 2 ) absorbieren. Mit ist dann g R (q 2 ) = g R (0) 1 + g2 R (0) q2 f( 12π2 m ) 2 M g 2 R(q 2 ) j µ 12 g µν q 2 j ν 34 Offenbar lässt sich also die Korrektur durch das Schleifendiagramm komplett in eine Skalen-abhängige Kopplung absorbieren, die laufende Kopplungskonstante. Da nach Unschärferelation Impulsübertrag q 2 1/Abstand der Wechselwirkung ist entspricht diese Rechnung anschaulich dem Bild der Abschirmung der nackten Ladung durch die Vakuumpolarisation: großer Abstand virtuelle e + e -Paare kleiner Abstand 178

180 Häufig benutzt man statt g R (q 2 ) auch die Feinstruktur-Konstante für die entsprechend gilt α R (q 2 ) = α R (0) α R (q 2 ) = g2 R (q2 ) 4π ( 1 + α ) R(0) q2 f( 3π m ) 2 Gemessen wurde das Laufen der elektromagnetischen Kopplung in der Bhabha- Streuung e + e e + e bei LEP. Tatsächlich findet man: q 2 klein: α Dies entspricht dem bekannten Wert für α em aus der Atomphysik. q 2 100GeV : Hier ist α 1. Der Effekt der Skalenabhängigkeit der Kopplungskonstanten ist also klar nachgewiesen und entspricht den Vorhersagen von 128 Rechnungen höherer Ordnung. 179

181 15.2 QCD: Laufende Kopplung QED In der QED tragen zum Photon-Propagatoren in Schleifen praktisch nur die geladenen Fermionen bei (Das W ± als einziges geladenes Boson wird erst bei Q 2 > M 2 W relevant.). Der Effekt der Fermionen ist ein Anstieg von α(q 2 ) mit größer werdender Energie, also bei kleinerem Abstand. QCD In der QCD gibt es wie in der QED die Fermion-Beiträge der Quarks, aber zusätzlich zur QED die Gluon-Selbstwechselwirkung. Die Vakuum-Polarisation durch Gluonen trägt entgegengesetzt zum Quark-Anteil bei. Dies liegt am unterschiedlichen Spin für Quarks und Gluonen. Man findet α s (Q 2 ) = α s (µ 2 ) 1 + αs(µ2 ) (33 2n 12π f) ln Q2 µ 2 wobei µ eine beliebige Referenzskala und n f die Anzahl der Quark-Flavour mit m 2 q < Q 2 ist. Mit ( ) Λ 2 QCD = µ 2 12π exp (33 2n f )α s (µ 2 ) 180

182 cture functions and other determinations of similar accuracy. This 9.2 (left), where the various inputs to this combination, evolved to shown. Fig. 9.2 (right) provides strongest evidence for the correct f the scale dependence of the strong coupling.!") α &* +,-!"( K"+;)4LLM 0..B)1'.+#<,(-)2-#,,.$('J. >.?)) I''(A(+#,(&' G.#H;)!"#$%&'(#!"%!"$ / )!"#$!"#% α & (Μ ')!"#!E0 α (Μ ) = ± < F # #! #!!,*./012 t: Summary of folgt: measurements of α s (MZ 2 ), used as input for the e; Right: Summary of measurements α s (Q 2 of α s as a12π ) = function of the scale Q. BothplotsaretakenfromRef.172. (33 2n f ) ln Q2 Λ 2 QCD Der Zahlenwert für Λ QCD 250MeV ist typisch die Skala, bei der die starke WW stark wird, α s 1. Dies definiert die Bindungsenergie und gleichzeitig den Radius der Hadronen. Daraus ergibt sich auch die Masse z.b. des Protons. Ebenfalls begründet dies, dass Quarks gebunden sind ( confinement ) sowie die Asymtotische Freiheit. Die Messungen von α s sind inzwischen sehr genau. Der Zahlenwert wird in der Regel an der Skala Q 2 = MZ 2 der Z-Masse angegeben, da bei dieser Energie die Messungen bei LEP besonders genau waren. July 30, :57 α S (M 2 Z) = ± Wie man sieht bestätigen die Messungen bei verschiedenen Q 2 die theoretische Vorhersage der Energie-Abhängigkeit der Kopplungskonstanten sehr exakt. 181

183 15.3 Renormierung in höheren Ordnungen Um allgemeiner die Form der Renormierungs-Gleichungen zu verstehen betrachten wir eine dimensionslose Observable R (z.b. eine Winkelverteilung in einem Streuprozess). Im Grenzfall hoher Impulse und hoher Impulsübeträge Q 2 wird R nicht mehr von den Massen der Teilchen abhängen, so dass die einzige dimensionsbehaftete Größe Q 2 ist. Bei der Berechnung von Loop-Beiträgen zu R muss man zur Vermeidung der ultravioletten Divergenz (also unendlich hoher Impulse in der Loop) einen wilkürlichen cut-off µ 2 einführen. Der Wert der Observablen R darf schlußendlich aber nicht von µ 2 abhängen. Damit kann R nur noch vom Verhältnis Q 2 /µ 2 und von der Kopplung α abhängen, und es muss gelten: R = R( Q2 µ 2, α) d dµ 2 R = 0 Damit folgt die Renormierungs-Gruppengleichung (RGE) ( µ 2 d dµ 2 R(Q2 µ, α) = µ 2 ) α + 2 µ2 R = 0 µ 2 µ 2 α Jede explizite µ 2 -Abhängigkeit von R muss daher in jeder Ordnung der Störungstheorie durch eine entsprechende Abhängigkeit bei α/ µ 2 kompensiert werden. Mit den dimensionslosen Größen t = ln Q2 α, β(α) = µ2 µ 2 µ 2 und µ 2 / µ 2 = / t folgt ( t + β ) α R = 0 Um µ zu eliminieren definiert man die laufende Kopplungskonstante α(q 2 ) durch t = α(q 2 ) α(µ 2 ) dx 1 β(x) und leitet dies nach Q 2 ab, t Q = 1 2 Q = 1 α(q 2 ) 2 β(α(q 2 )) Q 2 182

184 oder β(α(q 2 )) = Q 2 α(q2 ) Q 2 = α t Setzt man diesen Ausdruck für β in die RGE ein so ist diese offenbar immer erfüllt. Die Observable R und auch β kann als Störungsreihe in α berechnet werden, β(α) = bα 2 ( 1 + b α + b α ) In der QED findet man In der QCD ist b = 1 3π i e 2 i b = 33 2n f 12π b = n f 2π(33 2n f ) Bricht man diese Reihenentwicklung nach einer bestimmten Ordnung ab, so ergibt sich die Formel für α in dieser Ordnung. Für nur die erste Ordnung heist das z.b. β(α(q 2 )) = Q 2 α(q2 ) Q 2 = bα 2 (Q 2 ) und damit α(q 2 ) = α(µ 2 ) 1 + α(µ 2 ) b ln Q2 µ 2 183

185 15.4 Renormierung der Massen Die Loops in den externen Linien tragen zur Selbstenergie der Teilchen bei. Dies führt ganz analog zur laufenden Kopplung zu einer laufenden Masse. Gemessen wurde dies bisher nur mit ausreichender Genauigkeit beim b-quark bei LEP. Für andere Quarks ist entweder die Massenbestimmung zu ungenau (u, d, s, c), oder der Q 2 -Bereich nicht groß genug. Für Leptonen ist der Effekt zu klein für eine Beobachtung. 184

186 15.5 Renormierbarkeit des Standard-Modells In einer renormierbaren Theorie sind alle berechenbaren Observablen endlich. Das Standard-Modell ist eine solche Theorie. Bedeutend ist der Beweis von G. t Hooft: Nur lokale Eichtheorien sind renormierbar. Beispiele im Standard-Modell: 1. ν-wirkungsquerschnitt νp ex In der Fermi-Theorie der schwachen WW hat die Kopplung G F die Dimension GeV 2. Für hohe Energien s folgt aus Dimensionsgründen σ G 2 F s Im Standard-Modell wird das W eingeführt und damit G F g. Daraus MW 2 +Q2 folgt, dass σ endlich bleibt. Tatsächlich beobachtet man bei kleinen Energien in der Neutrino-Streuung diesen Anstieg σ s, aber nicht mehr bei HERA im Prozess ep νx bei s = 300 GeV. Allgemein gilt, dass Kopplungskonstanten dimensionslos sein müssen. 2. Loops: Divergenzen durch Impuls = in Loop Bei großem Auflösungsvermögen in Streuprozessen (großes Q 2 ) werden Quantenfluktuationen wichtig, und Screening durch Vakuumpolarisation bewirkt das Laufen der Kopplungen und Massen. Divergenzen werden absorbiert in laufende Kopplungen α(q 2 ), α s (Q 2 ), α W (Q 2 ) Diese Divergenzen heben sich gegenseitig auf in Eichtheorien, d.h. kein Beitrag dieser Schleifen zum Laufen der Kopplung, aber die Masse der Teilchen muss renormiert werden, M(Q 2 ). Die Q 2 Abhängigkeit ist eine Vorhersage des Standard-Modells. Renormierung funktioniert für alle Ordnungen der Störungsrechnung. 185

187 3. νw νw : Neutrino-Streuung an W-Bosonen Dieser Prozess ist realisierbar z.b. als Die Berechung des Teilprozesses νw νw ergibt Der WQ σ divergiert also für s. σ = G2 F 3π s Im Standard-Modell ist aber das Z 0 vorhergesagt. Dadurch gibt es eine Interferenz In der Interferenz heben sich die unendlichen Beiträge beider Diagramme gerade gegenseitig auf, so dass der gesamte Wirkungsquerschnitt endlich bleibt. Es kann kein W ± ohne Z 0 geben. Für die Vertizes νew und W W Z muss die gleiche Kopplungskonstante gelten. W ±, Z 0 müssen ein vollständiges Multiplett der schwachen WW bilden. Alle diese Aussagen wurden durch das Standard-Modell vorhergesagt. 4. W + W W + W : Streuung von W mit Masse M W 0 186

188 Jedes Diagramm einzeln divergiert für M W > 0. Im Standard-Modell wird die Masse aber nur durch das Higgs vermittelt. Der Higgs-Mechanismus sagt aber auch die Higgs-Diagramme voraus. Die Summe aller Diagramme ist endlich, wenn folgende Forderungen erfüllt sind: Die Boson-Selbst-WW (W W γ) erfordert auch die Selbst-WW (W W Z). Die 3-Boson Kopplung verlangt auch die Existenz der 4-Boson Kopplung. Das Higgs-Teilchen muss als Skalar (Spin 0) existieren. Die Kopplung HHW muss proportional zur Masse M W sein! Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die SU(2) L Symmetrie eine W -Masse verbietet, ausser bei spontaner Symmetrie-Brechung Chirale Anomalie Die SU(2) L ist eine Chirale WW, d.h. es gibt unterschiedliche Kopplungen für linkshändige Fermionen ψ L und rechtshändige Fermionen ψ R. Betrachtet man den Prozess Z γγ so ergibt sich die sogenannte Dreiecks-Anomalie. Dieser Prozess wurde bei LEP gemessen. Für jedes Fermion f ergibt sich im Matrix-Element M c A Q 2 mit der axialen Kopplung c A = T 3 und der Ladung Q. Für jedes einzelne Fermion ergeben diese Loops σ 187

189 Dies ist unvermeidbar, es sei denn Beiträge verschiedener Fermionen heben sich genau gegenseitig weg. Tatsächlich gilt für die erste und jede weitere Generation: f=ν,e,u,d ν e {( )}}{ ({}}{ 1 T 3f Q 2 f = ) {}}{ ( 1) ( ) { 2 ( }}{ ) ( 1 2 = 0!! ) N C = 3 Farben der Quarks Interpretation: Die Divergenz wird nur dann vermieden, wenn alle Lepton- und Quark-Dubletts vollständig sind ( Existenz des top-quarks) die Quantenzahlen der Quarks und Leptonen nicht unabhängig sind! für ( ν e )L, ( ) u ist T d L 3 gegeben. Daraus folgt die Anzahl der Farben der Quarks. u d N C = Q2 e Q 2 u Q 2 d = 3 Farben Daraus folgt eine Aussage, die sehr bedeutend ist: Weil die SU(2) L chiral ist und SU(3) C drei Farben beschreibt müssen Quarks 1/3 -fach elektrisch geladen sein. Die Ladungen der Leptonen und Qurks sind aber im Standard-Modell nicht vorhergesagt sondern ergeben sich aus der willkürlichen Wahl der Hyperladung. Dieser innere Zusammenhang zwischen elektrischer Ladung und Farbe ist nicht erklärt im Standard-Modell und ein starker Hinweis auf Physik jenseits des Standard-Modells. Insbesondere im Rahmen von Theorien der Grand Unification kann die Ladung der Teilchen vorhergesagt werden. 188

190 16 Kritik des Standard-Modells 16.1 Forderungen an eine fundamentale Theorie Grundannahmen: Die Theorie sollte auf wenigen Grundannahmen beruhen wie Kausalität, Relativitätstheorie (Raum-Zeit), Quantentheorie, Symmetrien. Im SM ist das erfüllt. ja! Konsistenz: Es darf keine theoretischen Inkonsistenzen / Divergenzen geben, d.h. die Theorie sollte eine lokale Eichtheorie sein um Renormierbakeit zu sichern. Im SM gilt das aber wegen den Chiralen Anomalie nur deshalb, weil die Quantenzahlen der Leptonen und Quarks zufällig passen. ja! Experiment: Die Theorie sollte experimentell falsifizierbar sein und alle experimentellen Daten erklären. Das SM-Modell stimmt mit allen Labor-Experimente überein, falls das am LHC neu entdeckte Boson bei M=125 GeV tatsächlich das Higgs-Teilchen ist. ja! Vorhersagekraft: Die Theorie sollte nicht nur vorhandene Experimente beschreiben, sondern auch neue Effekte korrekt vorhersagen können. Das SM hat z.b. neue Quanten korrekt vorhergesagt: ν τ, t, W, Z ja! und das Higgs evtl.! Vollständigkeit: Eine fundamentale Theorie sollte vollständig sein, d.h. alle Phänomene der Natur beschreiben. Das SM beinhaltet nicht die Gravitation, Materie-Antimaterie-Asymmetrie, Dunkle-Materie, Dunkle Energie nein! Extrapolierbarkeit: Die Theorie sollte auch bei höheren Energien oder kleinern Abstäden gelten, d.h. bis zur Skala der Quanten-Gravitation von GeV. Damit sollte auch die Physik des frühen Kosmos beschrieben werden können. SM Im SM ist die Higgs-Masse divergent bei hohen Energien. Dieses Hierarchieproblem ist im SM nicht gelöst. nein! Die Materie-Antimaterie-Asymmetrie kann nur erklärt werden, wenn es eine Phase sehr schneller Expansion des Universums (Inflation), Proton- Zerfall und CP Verletzung gibt. Im SM gibt es keinen Proton-Zerfall und die CP Verletzung ist zu gering um die Asymmetrie zu erklären. nein! Dunkle Materie ist experimentell etabliert. Im SM -Modell gibt es dafür keinen Teilchen-Kandidaten. Falls es sich um Teilchen handeln sollte, so muss es eine bisher unbekanntes Teilchen sein. nein! 189

191 Dunkle Energie ist nicht im SM erklärt. Im Prinzip entspricht der Vakuumerwartungswert des Higgs-Potentials einer dunklen Energie, allerdings ist der Zahlenwert völlig falsch. nein! Einfachheit: Eine fundamentale Theorie sollte einfach sein. Das SM beinhaltet 17 Teilchen, 26 Naturkonstanten, 3 Eich-WW und viele Yukawa-WW des Higgs nein! Erklärbarkeit: Warum ist die Natur so wie sie ist? Das SM ist eine willkürliche Kombinantion bestimmter Symmetrien und Fermionen. nein! Experiment Theorie 16.2 Vorhersagen des Standardmodells Experimentell bestätigte Vorhersagen: (Nur die wichtigsten) Eichbosonen: W, Z und GLuonen wurden vorhergesagt und experimentell mit den vorhergesagten Eigenschaften gefunden. Kopplungen g, g, g s : Im SM sind die Kopplungen gleich für alle Generationen. Die Kopplungen laufen. Mulitipletts sind komplett: Dies ist notwendig um Divergenzen zu vermeiden (Chirale Anomalie). Daraus wurde korrekt die Existenz von ν τ und top vorhergesagt. Selbst-WW der Eichbosonen existiert: Dabei müssen die Kopplungskonstanten die gleichen wie zu den Fermionen sein: (W eν) : (W W Z) : (W W W W ) = g : g : g 2 Ob die Verrtizes mit 4 Eichbosonen existieren ist allerdings noch nicht völlig klar. Massen von W und Z: Diese folgen für M γ = 0 aus den Kopplungskonstanten: MZ 2 MW 2 = g2 + g 2 g 2 190

192 Experimentell (noch) nicht bestätigte Vorhersagen: Higgs-Teilchen existiert: Masse wird durch WW mit dem Higgs-Feld erklärt. Kopplung an Higgs: Vorhergesagt wird Kopplung M/v Ein Higgs Doublett reicht für M W, M Z, M e, M ν, M u, M d Q = T 3 + Y/2 e R : (T = 0, Y = 2) e L : (T = 1/2, Y = 1) H : (T = 1/2, Y = 1) Das passt für alle Fermion Massen und die Massen von W und Z Naturkonstanten im Standard-Modell g, g, g s 3 Kopplungskonstanten (oder α elm, α W, α s ) λ, µ 2 Parameter des Higgs-Potentials (λ, µ v, M H ) Quark-Higgs-Kopplung 6 Parameter für Quark-Massen Quark-Mischungswinkel 4 Parameter der CKM-Matrix Lepton-Higgs-Kopplung 6 Parameter für Lepton-Massen Lepton-Mischungwinkel 4 Parameterder der PMNS-Matrix QCD-Phase 1 Parameter 26 Parameter Hinzu kommt die Gravitationskonstante (1 Parameter) als etablierte weitere Naturkonstante (außerhalb des SM). Es fällt auf, dass 20 der 26 Parameter mit den Fermion-Massen und Mischungen zusammenhängen. Offenbar wird hier nur für jeden neuen Effekt eine neue Naturkonstante eingeführt. Die Zahlenwerte dieser Naturkonstanten sind extrem unterschiedlich: M t = 175 GeV... M e = GeV M νe GeV 0.01 ev Die Massen unterscheiden sich damit um ca. einen Faktor Dafür gibt es im SM keine Erklärung. Der QCD-Phasen-Parameter beschreibt eine mögliche CP-Verletzung durch die starke WW. Er ist extrem klein oder Null (siehe starkes CP Problem und Axion ). 191

193 16.4 Präzisions-Test des Standard-Modells Um zu testen, ob das Standard-Modell tatsächlich mit diesen Naturkonstanten alle experimentellen Daten beschreibt werden sogenannte elektorschwache Fits durchgeführt. Ziel ist es hiermit aus den Daten gleichzeitig die Nuturkonstanten selber zu Indirect constraints bestimmen und zu überprüfen, ob alle Messresultate damit im Rahmen ihrer Fehler korrekt vorhergesagt werden können. EW precision data: Viele Messungen insbesondere an e + e Theory: Beschleunigen sind so präzise, dass in den M Z,M W, sin theoretischen Rechnungen Schleifen-Diagramme 2 θ lept eff,... SM, MSSM,... berücksichtigt werden müssen (siehe Abb. 62. Da die Rechnungen Beiträge auch der schwersten Teilchen (W, H und top) Test of theory at quantum level: loop corrections tion of sin 2 (θ l eff) New Calculation of sin 2 (θ bb eff) H 1 + κ) rrection of higher ion about 10!5 ned with ic ) [M Awramik et al, Phys. Rev. Lett. 93, (2004)] Calculation of sin 2!eff for b-quarks [M Awramik et al., JHEP 11, 048 (2006)] a) (b more involved, because (d) of top quark propagators in the Z bb vertex Sensitivity to effects from!,zunknown parameters: M H, M t,...!,z,w H t t Window to new physics Direct and indirect bounds on Higgs bosons, Georg Weiglein, Zurich Phenomenology Workshop: Higgs search confronts theory, Zürich, 01 / 2012 p.10 Investigation of known discrepancy Z between sin 2!eff from leptonic and (a) (b) hadronic asymmetry measurements H W W W W!,Z W [M Awramik et al, Nucl. Phys. B813, 174 (2009)] Two-loop EW correction only recently completed, effect of O(10!4 t ) Now sin 2! bb t t eff known at the same order as sin 2!eff for leptons and light Abbildung quarks 62: Beispiele für Schleifen-Diagramme mit Beiträgen vom Higgs, W und t top in NLO-Rechnungen zum Prozess e Uncertainty assumed to be of same + e f f (oben) und NNLO-Rechnungen zum Z Zerfall in size as for sin 2 Fermionen (unten links) und speziell in b b-quarks t (untent rechts). t!eff :. t "sin 2! bb eff !5 beinhalten lassen sich so auch indirekt die Massen M W, M t und M H bestimmen. Diese indirekten Bestimmungen werden dann mit den direkten Messungen verglichen. Roman Kogler 22 The global electroweak SM fit Allgemein wird für jede Observable O i der theoretisch berechnete Wert O th,i von den Naturkonstanten c j abhängen. Die c j werden so gewählt, dass die Summe aller Abweichungen zwischen Theorie und Messwerten O m,i ± σ m,i minimal wird. t t t 21 The global electroweak SM fit χ 2 (c j ) = i ( ) 2 Oth,i (c j ) O m,i + Korrelationen σ m,i Für den elektroschwachen Fits zeigt Abb. 63 für die verwendten Observablen die 192

194 Messwerte und die Fit-Resultate 22. Die Abweichung (Pulls) zwischen den Fit-Resultaten O fit und den Messungen, normiert auf die Messfehler, zeigen, dass keine Messung 3 Results 4 mehr als drei Standard-Abweichungen vom Theorie-Wert abweicht. Der Wert von Global Fit: Results! 2 min/ndf = 21.8/14 p-value = 0.08 Free Fit result Fit result Fit result incl. M Parameter Input value H in fit incl. M H not incl. M H but not exp. input in row large value of " 2 min not due to inclusion of MH measurement M H [GeV] ( ) ± 0.4 yes ± M W [GeV] ± ± ± ± without MH measurement: " 2 min /ndf = 20.3/13 naive p-value = 0.09 Γ W [GeV] ± ± ± ± M Z [GeV] ± yes ± ± ± Γ Z [GeV] ± ± ± ± σhad 0 [nb] ± ± ± ± R ± ± ± ± Pull values after the fit A 0, FB ± ± ± ± () A ± ± ± ( ) sin 2 θeff (QFB) ± Pull defined as P = O fit O meas ± A c σ ± meas ± A b ± No pull value exceeds deviations ± of ± more A 0,c FB ± ± ± than 3! (good consistency of SM) A 0,b FB ± ± ± Rc ± ± ± ± Small values for MH, Ac, R 0 c, mc and mb indicate that their input accuracies exceed R 0 b ± ± ± ± m c [GeV] yes m b [GeV] the fit yesrequirements m t [GeV] ± 0.94 yes ± ± α (5) had (M Z 2 ) () 2757 ± Largest 10 yes deviations 2755 ± 11 in 2757 the ± 11 b-sector: α S(MZ 2 ) yes ± ± ± A 0,b FB and R 0 b with 2.5! and -2.4! δ thm W [MeV] [ 4, 4] theo yes 4 4 δ th sin 2 θeff () [ 4.7, 4.7] theo yes Roman 1.4 Kogler Table 1: Input values and fit results for the observables and parameters of the global electroweak fit. The first and second columns list respectively the observables/parameters used in the fit, and their experimental values or phenomenological estimates (see text for references). The subscript theo labels theoretical error ranges. The third column indicates whether a parameter is floating in the fit. The fourth column quotes χ 2 the results of the complete fit including all experimental data. The fifth column gives the fit results for each parameter without using the M H measurement in the fit. In the last column the fit results are given without using the corresponding experimental or phenomenological estimate in the given row. sin A l (LEP) A l (SLD) 2 lept eff (Q ) FB A c (5) had M W 0 had R M H W M Z Z 0 lep 0,l A FB A b 0,c A FB 0,b A FB 0 Rc R m c m b m t 2 (M ) Z 0 b (O fit The global electroweak SM fit - O meas ) / meas G fitter SM Abbildung ( ) Average of ATLAS 63: (MH =126.0 Links: ± 0.4 (stat)± Messwerte 0.4 und (sys))andcms(mh =125.3 Fit-Resultate ± 0.4 (stat)± 0.5 (sys)) für die benutzten Observablen LEP im (A = elektroschwachen ± ) and SLD (A = ± ) Fit measurements, der GFITTER used as two measurements Gruppe. in the fit. Rechts: Pulls (in Standard- ( ) The fit w/o the LEP (SLD) measurement gives A = (A = measurements assuming no correlation of the systematic uncertainties (see discussion in Sect. 2). () Average of Abweichungen) ). () In der units of Observablen () Rescaled due tofür αs dependency. den Fit, der die direkte M H Messung berücksichtigt. im Minimum entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 7% (oder 1,8 Standard- Abweichungen). Damit ist gezeigt, dass das Standard-Modell mit einem Higgs-Teilchen bei M H = 125 GeV mit allen in Laborexperimenten gewonnen Daten, die verwendet wurden, verträglich ist. Allerdings zeigen auch Fits mit anderen Modellen als dem Standard-Modell eine ähnlich gute Beschreibung der Messwerte. Abb.64 zeigt die Form der χ 2 Funktion als Funktion jeweils einer Naturkonstanten (c J = M H, M t, M W, sin 2 Θ W ). Hierfür wurden verschiedene Fits durchgeführt, bei denen die direkte Messung der gezeigten Observablen (und die Higgs-Masse) jeweils nicht berücksichtigt wurde. Die Unterschiede zwischen den Fits mit und ohne Higgs- Masse zeigen, dass die Messung von M H als letztem vorher unbekannten Parameter des Standard-Modells auch die anderen gezeigten Naturkonstanten stark einschränkt: 22 Die hier nicht verwendeten Naturkonstanten haben wenig Einfluss auf die gezeigten Observablen. Ähnliche Fits werden auch für die Parameter der CKM Matrix und im Neutrino-Sektor durchgeführt. Sep

195 3 Results 7 "! SM fit SM fit w/o M H measurement ATLAS measurement [arxiv: ] CMS measurement [arxiv: ] 2# "! measurement SM fit w/o m t measurements and M H SM fit w/o m t mt kin ATLAS measurement [arxiv:1203:5755] mt kin CMS measurement [arxiv:1209:2319] m kin Tevatron average [arxiv: ] t 3# pole m obtained from Tevatron # [arxiv: ] t tt 2 4 2# # # [GeV] M H [GeV] m t "! SM fit w/o M W measurement SM fit w/o M and M W H SM fit with minimal input measurements world average [arxiv: ] M W 3# #" l SM fit w/o meas. sensitive to sin (! eff ) 2 l SM fit w/o meas. sensitive to sin (! ) and M meas. eff H SM fit with minimal input LEP/SLD average [arxiv: ] 3$ # 4 2$ # 1 1$ 3 Results [GeV] M W 2 2 l sin (! eff ) Figure 3: χ 2 profiles 80.5 as a function of the Higgs mass (top left), the top quark mass (top right), the W boson mass (bottom left) and the 68% effective and 95% CL weak fit contours mixing angle (bottom mkin Tevatron right). average The ± 1! t data points placed along χ 2 w/o M = 1 represent direct measurements W and m of t measurements the respective observable and their ±1σ uncertainties. The grey (blue) bands show the results when 68% and excluding 95% CL fit contours (including) the new M H measurements from (in) the fits. w/o M For the blue bands as a function of W, m and M measurements t m t, M H W and sin 2 θeff the direct measurements of the observable have been excluded from the fit in addition (indirect determination). The solid black curves in the lower plots 80.4 M world average ± 1! W represent the SM prediction for sin 2 θeff and M W derived from the minimal set of input measurements, as described in the text. In all figures the solid (dotted) lines illustrate the fit results including (ignoring) theoretical uncertainties 80.35in the fit. [GeV] M W band) gives 80.3 sin 2 θ eff = ± mt ± MZ ± αhad (5) M H =50 GeV M H =125.7 ± αs ± MH ± theo, (6) M H =300 GeV M H =600 GeV 140= ± tot, (7) m which is compatible and more precise than the average of the LEP/SLD measurements t [GeV] [9]. The total uncertainty is dominated by that from α had and m t, while the contribution from the uncertainty Figure in M4: H Contours is againof very 68% small. and 95% Adding CL obtained quadratically from scans theoretical of fixed Mand W and experimantal m t. The blue uncertainties (grey) areas illustrate the fit results when including (excluding) would lead to a total uncertainty in the sin 2 θeff the new M prediction H measurements. The direct measurements of of M W and m t are always excluded in the fit. The vertical and horizontal bands (green) indicate the 1σ Finally, regions the of top the direct quarkmeasurements. mass, cf. Fig. 3 (top right, blue band), is indirectly determined to be Abbildung 64: Oben: Messfehler und χ 2 Kurven für M H, M t, M W und sin 2 θ W. Verglichen sind jeweils direkte Messungen (Fehlerbalken) und Fit-Resultate, bei denen die Higgs-Masse frei gelassen oder zu 125, 7 ± 0, 4 GeV gesetzt wurde. Unten: Korrelation zwischen M t, M W und M H. (Gfitter Gruppe) m t = GeV, (8) The measured value of M H together with the fermion. masses, the strong coupling strength α S (MZ 2 ) in agreement and the three withparameters the direct measurement defining the electroweak and cross-section sector based and its determination radiative corrections (cf. Footnote (chosen 5). here to be M Z, G F and α (5) had (M Z 2 )) form a minimal set of parameters allowing one, for the first time, to predict all the other SM parameters/observables. A fit using only this minimal set of input measurements 6 yields the SM predictions M W = ± GeV and sin 2 θeff = ± The χ 2 profile curves of these predictions are shown by the solid black lines in Fig. 3 (bottom left) and (bottom right). The 194 agreement in central value and precision of these results with those from Eq. (4) and (7) (cf. blue bands in the plots) illustrates the marginal additional information provided by the other observables. Figure 4 displays CL contours of scans with fixed values of M W and m t, where the direct measurements of M W and m t were excluded from the fit. The contours show agreement between the direct measurements (green bands and data point), the fit results using all data except the M W, m t and

196 Auch ohne Verwendung der direkten Higgs-Massenmessung ist die Higgs Masse auf etwa 30 GeV genau eingeschränkt (logarithmiche Abhängigkeit in den Schleifen). Die direkte Messung bei 125 GeV stimmt mit der indirekten Bestimmung im Rahmen der Fehler überein. Die direkten Messwerte von M t, M W und Weinbergwinkel sin 2 θ W sind nur im Fall von M t genauer als die indirekten Bestimmungen aus dem Fit, aber mit diesem verträglich. Durch das gemeinsame Auftreten von W, t, H in den Schleifen sind die indirekten Bestimmungen der Massen dieser Teilchen miteinander korreliert. Die Messungen von M W und M t müssen beide verbessert werden und auch Modelle jenseits des Standard-Modells testen zu können Das Hierarchie-Problem des Standard Modells In der Natur gibt es sehr unterschiedliche Energie-Skalen: Λ QCD 200 MeV. Skala der QCD (Im SM durch Laufen von α s ) v 246 GeV. Skala der Elektroschwachen Symmetrie-Brechung (SM- Higgs-Vakuumerwartungswert M W ) M GUT GeV. Skala der Vereinheitlichten Theorien M P lanck GeV. Skala der Quanten-Effekte durch Gravitation. Diese großen Unterschiede bezeichnet man als Hirarchie der Energieskalen. Für die Extrapolation zwischen den natürlichen Skalen dieser Theorien zu den jeweils anderen Skalen bedeutet dies, dass große Quantenkorrekturen zu erwarten sind. Quantenkorrekturen legen die Beziehung zwischen den nackten Parameteren in der Lagrange-Dichte und den beobachtbaren Parametern fest. g, α s, λ, µ,... }{{} Messung = nakte Parameter. }{{} Lagrange Dichte + Quantenkorrekturen }{{} Berechnung in höheren Ordnungen Quantenkorrekturen für Eich-Kopplungen Für Kopplungskonstanten gilt: g 2 = g cg 4 ln Λ2 Q 2 Hierbei ist Λ die maximale Energie in der Schleife, d.h. die Energie, bis zu der das SM 195

197 gültig ist. Daraus ergibt sich, dass Kopplungskonstanten nur logarithmisch divergent sind, also nicht sehr stark von der Energieskala abhängen. Quanten-Korrekturen des Higgs-Potentials Aus dem Higgs-Potential ergibt sich die Higgs-Masse zu V ( φ ) = µ 2 φ 2 + λ φ 4 m 2 h = 2µ 2 = 2λv 2 v = µ 2 Quanten-Korrekturen hierzu ergeben sich durch die Diagramme λ m 2 h(λ) = m 2 h(m W ) + Cg 2 Λ 2 Im Gegensatz zu den Eich-Kopplungen ist die Higgs-Masse nicht logarithmisch, sondern quadratisch von der Energie-Skala Λ abhängig. Dies liegt vor allem daran, dass das Higgs ein Skalar (Spin-0 Teilchen) ist. Dieses Problem tritt nur für das Higgs auf, nicht aber für die Massen der Spin 1 und Spin 1 Teilchen. Extrapoliert 2 man daher die Higgs-Masse z.b. bis zur Skala M GUT, so ist diese Quantenkorrektur extrem groß. Damit m h (M W ) wie erwartet in der Größenordnung von M W ist, muss eine der folgenden bedingungen erfüllt sein. m h (Λ) ist mit großer Genauigkeit entgegengesetzt gleich Cg 2 Λ 2 sein. Dafür gibt es aber keine Motivation. Dies wird als fine tuning Problem bezeichnet. C = 0. Dies ist nicht der Fall im SM (aber in der Supersymmetrie). Λ 1 TeV. Damit liese sich das SM nur bis zu dieser Energie extrapolieren, es müsste also neue Physik an dieser Skala auftreten. Insgesamt wurde also zur Vermeidung von Divergenzen durch Fermion- und Boson- Massen eine Higgs-Masse eingeführt, die aber selber divergiert. Fine tuning ist im SM die einzige Erklärung, wird aber vielfach als Problem betrachtet. 196

198 16.6 Theoretische Grenzen für die Higgs-Masse 1. Unitarität Im SM ohne Higgs (oder mit M h ) divergieren Wirkungsquerschnitte für schwere W, Z für große s. Insbesondere ist für W L W + L ZZ die Unitarität nicht verletzt für m h < 1 T ev 2. Trivialität Radiative Korrekturen ändern die Higgs-Masse, aber auch direkt die Higgs-Kopplungen, λ, µ, und damit das Higgs-Potential. Es überwiegt der Beitrag durch die große Higgstop Kopplung C t = m t /v : dλ dt λ2 + λc 2 t C 4 t mit t = ln Q2 Λ 2. Bei großen M h ist auch λ groß, d.h. die Higgs-Selbstkopplung λ wird groß und nicht perturbativ. Daraus folgt eine obere Grenze für m h. 3. Vakuum Stabilität Falls m h sehr klein ist ist auch λ klein, so dass dλ dt C4 t negativ wird. Damit fällt λ mit Λ 2 und wird negativ bei großem Werten. Damit hat das Potential kein Minimum mehr, es gibt kein definiertes Vakuum mehr. Je nach experimentellen Wert der Higgs-Masse lässt sich damit auch die maximale Energie ablesen, bis zu der das SM gültig ist. 4. Fine-tuning Wie groß darf m h sein, damit sich m h (Λ)/m h (M W ) sich nur wenig ändert beim Übergang von von M W Λ? Die genaue Definition ist willkürlich m h (Λ) m h (M W ) m h (M W ) < 0.1, 0.01,... Daraus ergibt sich eine Einschränkung von typisch Λ (1T ev ) für die Skala neuer Physik jenseits des Standard-Modells. 197

199 Higgs quartic coupling ΛΜ M h 125 GeV 3Σ bands in M t GeV Α s M Z M t GeV Α s M Z Top mass Mt in GeV Instability Metastability Stability Nonperturbativity Pole top mass Mt in GeV Instability scale Μ in GeV RGE scale Μ in GeV Α s M Z M t GeV Higgs mass M h in GeV RG evolution of the gauge couplings g 1 = 5/3g M t 173.1, g0.7 2 = GeVg, g 3 = g s,ofthe wa couplings (y t,y b ), and of the Higgs10quartic 16 Α sm Z coupling λ. All couplings are eme. The thickness indicates the ±1σ uncertainty. Right: RG evolution of by ±3σ. these two-loop terms are needed to match the sizable two-loop scale ound the weak scale, caused by the 32yt 4 gs 2 +30yt 6 terms in its beta ult of this improved determination 10 of 10 λ(µ), we are able to obtain a of the theoretical error on M h compared to previous works. Instability scale in GeV NLO ingredients together, we estimate an overall theory error on M h of on 3). Our final results for the condition of absolute stability up to the Σ band in Higgs mass M h in GeV Figure 10 5: Regions of absolute stability, meta-stability a 16 Α sm Z M h plane. Right: Zoom in the region of the preferr 10 gray 14 areas denote the allowed region at 1, 2, and 3σ) α s (M Z )= ± , and the grading of the colo The dotted contour-lines show the instability scale Λ in Phase diagram of the SM The final result for the condition of absolute stabi Figure 4: The instability scale Λ I at which the SM potential becomes negative as a function of the Mt [GeV] Higgs mass αs (M(left) Z ) and of the top mass (right). The theoretical error is not shown and corresponds to0.5 a ±1 GeV uncertainty in M± 1.0 th. (2) h. value of the stability bound at NNLO on M h is sh (where the matching scale is fixed at µ = M t )byab ature the theoretical uncertaintythe with O(αα the s experimental )term,thatistheparametricallysmallestcorrection,isequivalenttoatinyshift errors on M t and can be decomposed as follows: M h > ± 1.8uncertainty GeV. on the top-quark mass determined (3) at hadron colliders (see e.g. ref. [35]), that is responsible for the theoretical error in eq. (62). More explicitly, we estimate an irreducible theoretical error of ±Λ QCD ±0.3GeV in M t from non-perturbative effects, and an conclude that vacuum stability of the SM up to the Planck scale is C.L. one sided) for M h < 126 GeV. additional uncertainty of ±0.15 GeV from missing O(αs)thresholdcorrections GeV due to the QCD threshold correctio +0.2 GeV due to the Yukawa threshold correc 0.2GeV from RG equation at 3 loops (from ntral values of Higgs and top masses Next, do applying not favor the threshold a scenario corrections with adiscussed in section 2, we determine the following coupling at the Planck scale (Mvalue Pl ) apossibilityoriginallyproposed for the Higgs self coupling in the MS scheme renormalized at the pole top mass: Mh 2 λ(m t )= GeV Mt GeV ± th. (63) Instability scale in GeV Mh 124 GeV Mh 126 GeV Top mass M t in GeV 1Σ bands in Abbildung 65: Links oben: Quanten-Korrekturen zum Parameter λ des Higgs- Potentials. Rechts oben: Grenzen der Vakuum-Stabilität. Unten: Skala der Instabilität des Vakuums als Funktion des Higgs und top - Masse (Degrassi et al.).. in M t below 0.1 GeV. This effect is well below the O(Λ QCD )irreduciblenon-perturbative 0.1GeV from the effective potential at 2 loo As a result of these corrections, the instability scale The residual theoretical uncertainty, that is equivalent to an error of ±0.7 GeVinM h,has been estimated varying the low-energy matching scale for λ between M Z and 2M t. GeV, after including NNLO effects. The value of th The phase diagram of the SM Higgs potential For completeness, we also include in the one- and two-loop RG equation the contributions

200 17 Suche nach Physik jenseits des Standard Modells 17.1 Experimentelle Methoden Die Suche nach Phänomenen einer Physik jenseits des SM bezieht sich auf neue Teilchen, die noch nicht gefunden wurden, weil sie sehr schwer sind oder nur sehr schwach wechselwirken; neue Wechselwirkungen; Fehler im Standard-Modell, deren Folgen zu klein sind um bisher messbar zu sein; neue Konzepte. Dies ist nicht exklusiv gemeint, denn z.b. kann ein neues Konzept zu einer neuen Wechselwirkung mit neuen Austauschteilchen führen. In zahlreichen Experimenten wird nach Physik jenseits des Standard-Modells gesucht. Folgende Methoden lassen sich unterscheiden: Direkte Suche nach neuen Teilchen an Beschleunigern: Neue Teilchen, die WW mit den bekannten Teilchen haben, werden in der Regel in diese zerfallen, so dass man die Masse M X des neuen Teilchens in den Massenspektren von Zerfallsprodukten beobachten können sollte. Danach wird bei allen Beschleunigerprojekten gesucht, z.b. bei LEP - HERA - Tevatron - LHC - (SLHC - VLHC - ILC - CLIC). Beispiele: Entdeckung des Z 0 oder derzeit die Suche nach neuen Z Bosonen in Zerfällen Z e + e. Vorteile: Klarer Beweis, eindeutig interpretierbar, Masse, Spin, etc. messbar. Nachteile: Beschränkt durch die Scherpunktsenergie, M X < s Indirekte Suche an Beschleunigern: Neue Teilchen mit M X > s können virtuell ausgetauscht werden und so die Wirkungsquerschnitte für bekannte Prozesse verändern. Der virtuelle Austausch eines neuen Teilchens ist durch Kopplungskonstante und Propagator bestimmt. Für eine Interferenz aus SM und neuem Teilchen gilt σ gsm 2 g 2 2 X + Q 2 MSM 2 Q 2 MX 2 Für kleine Impulsüberträge Q 2 werden Beiträge großer Massen M X gegenüber kleinen Massen M SM unterdrückt. Neue Teilchen sind daher am ehesten bei hohen Imulsüberträgen Q 2 sichtbar, so dass auch hier hochenergetische Beschleuniger Vorteile haben. Nötig ist aber auch eine gute Messgenauigkeit. 199

201 Beispiele: Beobachtung virtueller Effekte von e + e Z 0 bei PETRA schon bei s 40 GeV oder derzeit die Suche nach neuen 4-Fermion WW ( Contact Interactions ) z.b. durch neue W Bosonen. Vorteile: Zugang zu sehr hohen Massen neuer Teilchen Nachteile: benötigt sehr hohe Messgenauigkeit, bei sehr hohen M X ist nur das Verhältnis gx 2 /M X 2 messbar, Spin etc. schwierig, mehrdeutig Suche nach seltenen oder verbotenen Prozessen: Im SM sind viele Prozesse explizit verboten oder nicht enthalten. Jede Beobachtung solcher Untergrundfreien Prozesse wäre also ein Zeichen neuer Physik. Beispiele: Ladungszahlverletzung Baryonenzahlverletzung, z.b. im Proton-Zerfall p e + π 0 Flavour-Changing Neutral Currents (FCNC) z.b. µ eγ oder b sγ Vorteile: Sehr hohe Sensitivität auf g X /M X. Nachteile: Apparativer Untergrund und Verwechselungen der Prozesse müssen extrem genau verstanden sein, mehrdeutig bezüglich neuer Modelle. Quantenkorrekturen: Die Quantenkorrekturen durch Schleifen beinhalten virtuelle Effekte durch neue Teilchen. Hierdurch gibt es Korrekturen z.b. zu (g 2) e,µ des Elektrons und Myons und oder zu e + e f f. Durch Vergleich mit sehr präzise Messungen kann man daher die Konsistenz des SM oder neuer Modelle testen. Beispiel: Elektroschwacher Fit. Vorteile: Zugang zu vielen neuen Modellen. Nachteile: Präzisions-Messungen notwendig, mehrdeutig. Extrapolation des SM zu hohen Energien: In theoretischen Modellen können mittels Renormierungsgruppengleichungen die Zahlenwerte der Kopplungen und Massen von den Messwerten bei kleinen Energien zu hohen Energien extrapoliert werden. Damit kann nach einem gemeinsamen Ursprung dieser Werte gesucht werden. Beispiele: Vereinheitlichung der Kopplungskonstanten in GUT und SUSY-GUT. Vorteil: Zugang zu Energie bis zur Planck-Skala von GeV. Nachteile: Nur wenige laufende Konstanten stehen genau genug zur Verfügung, mehrdeutig. Kosmologie: Die Eigenschaften und Entwicklung des frühen Kosmos sind durch Teilchenphysik bestimmt. Messungen hierzu lassen Rückschlüsse auf die Art und Wechselwirkung der Teilchen bei sehr hohen Energien zu. 200

202 Beispiele: Dunkle Materie, Dunkle Energie. Vorteile: Umfasst alle Sorten neuer Teilchen (Thermodynamik). Nachteile: Interpretation Abhängig von Modellen der Kosmologie, mehrdeutig Theorien jenseits des Standard Modells Das Standard-Modell beschreibt die Ergebnisse sehr vieler Labor-Experimente konsistent und mit hoher Präzision. In der Konstruktion neuer Modelle wird daher zumeist angenommen: Das Standard-Modell wird benutzt als gute Näherung für E 100 GeV ( M W, v). Eine fundamentalere Theorie, die bei höheren Energien die Natur beschreibt, geht im Limes kleiner Energien in das Standard-Modell über (oder in eine Theorie, die mathematisch nahezu äquivalent ist). Historische Analogien hierzu sind der Übergang zwischen klassischer Mechanik und spezieller Relativitätstheorie z.b. in der Beziehung E = γmc 2 = 1 1 v2 /c 2 mc2 mc mv mv4 c oder zwischen klassische Gravitation und allgemeine Relativitätstheorie oder zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik. Eine fundamentalere Theorie sollte möglichst erklären können: Auswahl und Unterschied der drei Wechselwirkungen (+ Gravitation). Unterschied zwischen leptonen und Quarks Unterschied oder Zuammenhang der drei Generationen Zahlenwerte der Naturkonstanten Higgs-Potential Tatsächlich konstruierte Modelle geben mögliche Antworten zu einzelnen dieser Fragen. Neue Substrukturen Analog zu Atome Kern + Hülle - Compositeness: Quarks und Leptonen bestehen aus Preonen - Technicolour: Higgs (und W, Z) sind nicht elementar 201

203 Neue Symmetrien - neue Eichgruppen: neue U(1), neue Eichbosonen + WW - Vereinheitlichung der WW des SM: GUT GUT = Grand Unified Theories, beinhaltet das SM und mehr - Suppersymmetrie: Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen Neue Konzepte - neue Raum-Zeit Dimensionen (5, 10, 11) - String Theorie anstatt Teilchen + Mischungen The (3d) Space of Symmetries Lorentz : M M antimatter Supersymmetry : M M superparticles? Unification : All M reducible to a? 202

204 18 Compositeness von Quarks und Leptonen 18.1 Motivation Die starke Ähnlichkeit zwischen Quarks und Leptonen legt einen gemeinsamen Ursprung nahe. Analogien: Festkörperphysik: Kristalle Chemie: Elemente Elemente: Kern+Hülle Kernphysik: p + n Quarks + Leptonen: Preonen Preon wird hier als generischer Name für Teilchen verwendet, aus denen die Quarks und Leptonen bestehen. Diese Preonen tragen eine neue Ladung, Hypercolour, durch die sie gebunden werden (Confinement). Colour: Quarks werden durch Colour (SU(3)) immer zu Mesonen und Bayonen gebunden. Hypercolour: Preonen werden durch Hypercolour (G H ) immer zu Quarks und Leptonen gebunden Beispiel für ein Compositeness-Modell Fritzsch-Mandelbaum (1981) Preonen seien 2 Fermionen (α, β) und zwei Bosonen (x, y). Die Wechselwirkung sei SU(3) C Q Spin H α 3-1/2 1/2 n β 3 +1/2 1/2 n x 3-1/6 0 n y 3 +1/2 0 n SU(3) C U(1) em G H 203

205 Confinement: Alle SM-Teilchen sind G H -Singletts (Index der SU(3) C ). Alle Quantenzahlen passen! u = (ᾱ x) 3 ν e = (ᾱȳ) 1 d = ( β x) 3 e = ( βȳ) 1 W + = (ᾱβ) 1 W = ( βα) 1 Z 0 = (ᾱα) 1 + (β β) 1 Schwache WW = Residual WW von G H (ähnlich van der Vaals-Kraft) Analogie: QCD - gebundene Systeme - starke WW durch π = (u d) Austausch G H - gebundene Systeme - schwache WW durch W, Z = (αβ) Austausch 1. Generation = Grundzustand 2. und 3. Generation sind angeregte Zustände (mit Eichboson h von G H ) µ = ( βȳh) τ = ( βȳhh) 18.3 Probleme von Compositeness Die Paritätsverletzung der Schwachen WW ist nicht beschrieben, da es keinen Unterschied zwischen e L und e R gibt. Das könnte gelöst werden wenn z.b. nur e L aus Preonen besteht, e R aber elementar bleibt (Masse?). Leptonen mit Farbe: Neben dem Farb-Singlett e 1 muss es auch ein Farb-Oktett e 8 geben, also Lepto-Gluonen. Diese müssten durch Gluonen erzeugt werden können e 1 + g e 8 e + j Das wird nicht beobachtet. FCNC: Die 2. und 3. Generation müsste in den Grundzustand zerfallen können, Experimentell findet man aber µ e + γ BR(µ e + γ) / BR(µ ν µ eν e ) < Radius der Fermionen (s.u.) und Massen der Fermionen passen nicht mit Unschärfe- Relation zusammen: R M << 204

206 18.4 Suche nach Compositeness Radius Z.B. mit Photonen kann man den Radius einer ausgedehnten Ladungswolke messen, dσ dq = dσ 2 dq 2 P unkt (1 1 6 R2 Q 2 ) 2 Der Formfaktor hängt dabei vom Auflösungsvermögen Q 2 ab. Daraus ergibt sich für die Fermionen (HERA, LEP) R < m Resonanzen: Man sollte für Compositeness auch angeregte Zustände e, q beobachten können. Aus der erfolglosen Suche bei Bschleunigern folgt M 1 T ev Preon-Preon und quasi-freie Preonen mit anschliessender Preon-Fragmentation in Jets aus mehreren Quarks und Leptonen wurden nicht beobachtet Zusammenfassung Compositeness Compositeness bleibt attraktiv, denn Der Zusammenhang zwischen Quarks und Leptonen ist natürlich. Die Ladungen der Quarks und Leptonen werden erklärt. Die Generationen können erklärt werden. Die Fermionen- Massen können erklärt werden. Die Quark- und Lepton-Mischungen sind evtl. erklärbar. Dadurch ergibt sich eine starke Reduktion der freien Parameter des SM. Jedoch: Es gibt derzeit kein erfolgreiches Modell und keinen experimentellen Hinweis auf Compositeness. Insbesondere legt das Zahlenverhältnis von Fermion-Massen und Fermion-Radien nahe, dass die Fermionen tatsächlich elementar sind. 205

207 19 Grand Unified Theories Literatur: Gordon Kane, Modern Elementary Particle Physics, S. 277 ff 19.1 Konzept der GUTs Der Ähnlichkeit der mathematischen Formulierung der drei Eichwechselwirkungen des SM legt es nahe, dass sie aus einem gemeinsamen Konzept heraus abgeleitet werden können. Da davon auch die Ladungen der Quarks und Leptonen betroffen sind sollten diese ebenfalls gemeinsam dargetellt werden können. Solche Große Vereinheitlichungstheorien ( Grand Unified Theories, GUT) gehen zumeist von den Annahmen aus: Es gibt nur 1 Eichgruppe G GUT mit nur einer Kopplung g G (M G ) an der Skala M G. G GUT enthält das SM: G GUT U(1) Y SU(2) L SU(3) C G GUT ist spontan gebrochen durch ein GUT Higgsfeld mit Vakuumerwartungswert vev = M G >> M W Die einfachste Symmetriegruppe, in die das SM eingebettet werden kann, ist die Gruppe SU(5). Dies ist keineswegs die einizge Möglichkeit, wird aber im Folgenden exemplarisch verwendet um das Prinzip der GUTs zu erklären. Eine SU(n) hat n 2 1 Generatoren T a, die als hermitesche, spurlose n n Matrizen dargestellt werden können. Damit können alle unitären Transformationen U = exp( ig G α a (x)t a ) erzeugt werden. Die kovarianten Ableitungen sind dann D µ = µ + ig G T a X µ a mit den Eichfeldern X µ a (x). Für die SU(5) gibt es also nur eine Kopplungskonstante g G für die 24 Generatoren und 24 Eichbosonen. Unter diesen Eichbosonen sollen auch diejenigen des Standard-Modells sein, so dass D µ = µ + ig G T a X a µ 3 = µ + ig G (T i G µ i + T jw µ j + Y Bµ ) mit den 8 Gluonen G i der SU(3) C, den 3 W j -Bosonen der SU(2) L und dem einen Boson B der U(1) Y. Die Normierungskonstante 3 5 wird später erklärt. 206

208 Alle Fermionen müssen sich in Multipletts der SU(n) einordnen lassen. Bei der SU(5) passen, bis auf das ν R, alle Fermionen einer Generation in ein 5-plett plett d r 0 ū b ū g u r d r d g ū b 0 ū r u g d g 5 = 10 = d b e ν e L ū g ū r 0 u b d b u r u g u b 0 e + d r d g d b e + 0 Für die anderen Generationen wird dieses Schema entsprechend wiederholt. Im 5- plett steht das SU(2) L Doublett (ν e, e ) L. Dies kann nur mit ebenfalls linkshändigen Fermionen kombiniert werden, da SU(5) Transformationn sonst auch den Spin ändern würden. Da nur drei Plätze übrig sind und es drei Farben geben soll kann es sich nur um linkshändige Antiquarks handeln, denn linkshändige Quarks sollten mit ihren SU(2) L Doublett-Partnern kombiniert werden. Es bleibt also nur ein linkshändiges Antiquark. Dies wird d-quark genannt. Damit stehen Leptonen und Quarks erstmals in gemeinsamen Darstellungen, so dass es automatisch Übergänge zwischen ihnen geben muss (siehe Vortrag Protonzerfall). Dies ist eine generelle Eigenschaft der meisten GUTs Quantisierung der elektrischen Ladung Die SU(5) soll die Symmetrien der SU(2) und U(1) Y erhalten. Im SM ändern das B, W 3 (oder γ, Z 0 ) die Fermion-Flavour nicht. Damit müssen die entsprechenden Generatoren T j=3 und Y diagonale (und spurlose) Matrizen sein. Wegen Q = T 3 +Y/2 gilt dies auch für den Generator der Elektromagnetischen WW. Damit ist also T r (Q(5)) = 3Q( d) + Q(e ) + Q(ν e ) = 0 oder Q( d) = +1/3. Das bedeutet, dass die elektrischen Ladung der Quarks und Leptonen voneinander abhängen muss und das wegen der drei Farben der d-quarks deren elektrische Ladung, in Einheiten der Elektron-Ladung, drittel-zahlig sein muss. Damit ist das Proton ganzzahlig geladen und Atome elektrisch neutral. Diese Vorhersage ist das stärkste Argument für GUTs. GUTs erklären damit die Abwesenheit der chiralen Anomalie im SM aus der Symmetrie der SU(5) Generatoren und Kopplungen Im Standard-Modell ist die elektrische Ladung eine Linearkombination aus T 3 und Y. Wenn bei Skalen oberhalb M G die Gruppen SU(2) L und U(1) Y Bestandteil einer gemeinsamen Symmetriegruppe sind, dann ist das Verhältnis der Kopplungskonstanten g und g und damit auch der Weinbergwinkel, sin θ W, kein freier Parameter mehr. 207

209 In GUTs muss die relative Normierung der Generatoren aus der Symmetrie folgern, d.h. alle Generatoren müssen der Normierungsbedingung T r(t a T b ) = N R δ ab genügen, wobei N R für jede Darstellung eine Konstante ist. Seien T 3 und T Y die Generatoren der SU(5) für die dritte Komponente des schwachen Isospins und die U(1) Y. In Analogie zur Beziehung Q = T 3 + Y/2 im Standard- Modell wählen wir als Ansatz für den Generator der elektrischen Ladung Q = T 3 + c T Y und einer zu bestimmenden Normierungskonstanten c. Für die Normierung ergibt sich (mit T r(t 3 T Y ) = 0 und T r(t 2 3 ) = T r(t 2 Y )) T r(q 2 ) = T r((t 3 + c T Y ) 2 ) = T r(t 2 3 ) + c 2 T r(t 2 Y ) = T r(t 2 3 ) (1 + c 2 ) Setzt man die Werte für das 5-plett ein, T r(q 2 ) = 3( 1 3 )2 + ( 1) = 4 3 T r(t 2 3 ) = ( 1/2) 2 + (1/2) 2 = 1/2 so ergibt sich aus den Ladungen der Fermionen als Vorhersage für Energien bei der GUT Skala 1 + c 2 = 8 3 oder c 2 = 5/3 Es gilt also 5 Q = T T Y Die kovariante Ableitung der lagrange-dichte der SU(5) enthält die Elemente D µ = µ + ig G X µ a T a = µ + ig G (T 3 W µ 3 + T Y B µ +...) Ersetzt man hier T Y = 1 c (Q T 3) so folgt für den B µ Term der SU(5) g G T Y = g G c (Q T 3) Ein Vergleich mit dem Standardmodel an der Skala M G, g Y 2 = g (Q T 3 ) ergibt g G = cg := g 1 oder 5 g 1 = 3 g Damit ergeben sich analog zum SM (z.b. α em = e 2 /4π) die Definitionen α G = g2 G 4π α 1 = g2 1 4π α 2 = g2 4π α 3 = α s = g2 s 4π 208

210 6 15. Grand Unified Theories the thehiggs mass bound itself. Abbildung 66: Laufende Koplungskonstanten: Startpunkte sind die Messwerte bei ca Figure 15.1: Gauge coupling unification in non-susy GUTs on the left vs. SUSY 100 GeV, wobei für α GUTs on the right using 1 die Normierung der SU(5) benutzt wurde. Links: Standardthe LEP data as of Note, the difference in the Modell ohne weitere Teilchen. Rechts: Standard-Modell bis 1 TeV, danach minimale running is Supersymmetry. for SUSY Die is the Dicke inclusion der Linien of kennzeichnet supersymmetric den Fehler partners der Messwerte of standard (Stand model particles at of 1991). at Derscales Punktof rechts orderbei a ca. TeV (Fig. GeVtaken gibt theoretische from Ref. Fehler 21). Given durch the Schwelleneffektemeasurements neuer teilcehn an. of of the three low energy couplings, in particular α s (M Z ), present accurate GUT scale threshold corrections are now needed to precisely fit the low energy data. The in 19.4 dark blob Laufende in the plot Kopplungen on the right represents these model dependent corrections. An der GUT Skala M At G (und oberhalb) gibt es nur eine Kopplungskonstante α G (Q 2 ). At present, Diese läuft gauge noch coupling stärker als unification α within SUSY GUTs works extremely well. Exact at s (Q 2 ), da es in der SU(5) keine weiteren Fermionen unification aber 24 at (anstatt M G,withtwo-loop-RGrunningfromM 8) Eichbosonen gibt. Unterhalb der G GUT to MSkala Z,andone-loop-threshold M at to G ist die SU(5) corrections Symmetrie at thegebrochen weak scale, undfits dasto Standard-Modell within 3 σ of the gilt. present Beide Modelle precise müssen low-energy an der data. A small threshold GUT-Skala correction gleiche Ergebnisse at at M (ɛ data G (ɛ 3 3to 4%) is sufficient to fit the low-energy data precisely [22 24]. 2 liefern, so dass This may be compared to non-susy GUTs, where the fit misses by by 12 12σ, σ, andaprecisefitrequiresnewweak-scalestatesinincompletegut α G (M G ) = α 1 (M G ) = α 2 (M G ) = α 3 (M G ) multiplets, or ormultiple GUT-breaking scales. 3 Unterhalb M G tragen in den Renormierungsgruppengleichungen nur noch die leichten 22 This This Eichbosonen result resultimplicitly des Standard-Modells assumes universal bei. Die GUT Q2 Abhängigkeiten boundary conditions von α 1,2,3 for sind soft aus SUSYbreaking dem parameters SM bekannt und at at M können. In so the mit den experimetellen Werten für α i (MZ 2 G. In the simplest case, we have a universal ) verglichen werden. gaugino mass M 1/ /2,auniversalmassforsquarksandsleptonsm Alternativ kann man die experimentellen Werte 16,andauniversalHiggsmassm α 10,as motivated motivatedby byso(10). In Insome somecases, threshold corrections i (MZ 2 ) zu hohen Skalen extrapolieren und testen, ob sich diese bei einer hohen Skala M G treffen. Die Abbildung unification to to gauge coupling can canbe be zeigt, exchanged exchanged dass for forthreshold thresholdcorrections to to soft soft SUSY parameters. See for example, Ref. Ref and andreferences referencestherein. 33 Non-SUSY Non-SUSY Die Verbindung GUTs GUTs with with mit a experimentellen more more complicated complicated Werten breaking breaking verlangt pattern pattern eine Extrapolation can can still still fit über the data. data. For For example, example, viele non-susy non-susy Größenordnungen. SO(10) SO(10) In diesem SU(4) SU(4) Energie- SU(2) oder Massenbereich SU(2) SM, dürfen withwie the beisecond C SU(2) L SU(2) R SM, with the second breaking breaking scale scale of of order order an an intermediate intermediate scale, scale, determined determined by by light light neutrino neutrino masses masses using using the the see-saw see-saw mechanism, mechanism, can can fit fit the the low-energy low-energy 209 data data for for gauge gauge couplings couplings [26], [26], and and at at the the same same time time survive survive nucleon nucleon decay decay bounds bounds [27], [27], discussed discussed in in the the following following section. section. July 30, :36 July 30, :36

211 der SU(5) gezeigt entweder keine neuen Teilchen auftreten ( Big Dessert ), oder die Theorie muss die Massen dieser Teilchen vorhersagen (wie bei SUSY gezeigt). Die Präzision der Messwerte und deren Extrapolation ist sehr gut. Die Kopplungen des SM nähern sich tatsächlich bei einer hohen Skala an. Größte Näherung tritt auf bei etwa M G GeV α G (M G ) 1 40 Die Kopplungen treffen sich im SM mit SU(5) Normierungsfaktor nicht genau bei einer großen Skala. Für Supersymmetrische SU(5) GUTs treffen sich die Kopplungen im Rahmen der Genauigkeit von wenigen Prozent. M G GeV α G (M G ) 1 25 Daraus schliesst man, dass SU(5) als einfachstes GUT Modell nicht in der Natur realisiert ist. Bei anderen GUT Modellen mit komplizierteren Brechungen dagegen beobachtet man, dass sich die Kopplungen treffen können, wenn man mehrere Brechungsskalen entsprechend wählt. Das Treffen der Kopplungen bei Supersymmetrie wird als starker Hinweis auf SUSY-GUTs interpretiert Vorhersage für den Weinbergwinkel θ W Mit der Definition des Weinbergwinkels B µ = A µ cos θ W Z µ sin θ W W µ 3 = A µ sin θ W + Z µ cos θ W folgt aus D µ = µ + ig G X a µ T a = µ + ig G (T 3 W µ 3 + T Y B µ +...) für das Photon-Feld A µ D µ = µ + ig G sin θ W (T 3 + cot θ W T Y )A µ +... Z µ +... = µ + ieqa µ

212 Mit dem Generator der elektrischen Ladung folgt e = g G sin θ W, Q = T 3 + c T Y c = cot θ W sin 2 θ W (M G ) = c 2 = 3 8 Unterhalb der GUT Skala M G ist die SU(5) Symmetrie gebrochen und das Standard- Modell gilt. Der Wert von sin 2 θ W (M W ) kann aus den laufenden Kopplungskonstanten berechnet werden, denn im SM gilt (bis zur Skala M G ): sin 2 θ W = g 2 g 2 + g 2 Durch das Laufen der Kopplungskonstanten folgt daraus als Vorhersage sin 2 θ W (M W ) = ± Dies passt fast, aber nicht genau, zum experimentellen Wert von sin 2 θ W (M W ) = ± der aus den LEP Messungen zu M Z und M W gewonnen wird Proton-Zerfall Da in den GUTs Leptonen und Quarks in den gleichen Multipletts auftreten werden Übergänge zwischen ihnen durch die Eichbosonen der GUT vermittelt. Damit bleibt also die Anzahl der Leptonen und der Quarks nicht erhalten und Leptonzahl sowie Baryonenzahlerhaltung ist verletzt. Im Prinzip ist dies erwünscht, da im Urknall Materie und Antimaterie in gleicher Anzahl erzeugt worden sein sollte. Nach einem Theorem von Sakharov ist neben anderen Kriterien aber Baryonzahl-Verletzung eine der Voraussetzung um die Entstehung des Überschusses von Materie gegenüber Antimaterie zu erklären, der im jetzigen Universum besteht. Proton der Neutronen zerfallen, wenn die GUT Eichbosonen X, Y gleichzeitig Kopplungen haben an Quark-Lepton und Quark-Quark Vertizes. Eine einfache Abschätzung der Übergangsrate ergibt sich durch die Kopplungskonstante α G (M G ) und den Propagator des X Eichbosons, ( ) 2 Γ αg 2 1 α2 G Q 2 + MX 2 MG 4 211

213 Abbildung 67: Feynman-Diagramme zum Proton-Zerfall in GUTs. Hier wurde Q 2 + MX 2 M G 2 approximiert, da die Masse der Eichbosonen etwa die GUT Skala sein sollte, M X M G, und der maximale Impulsübertrag durch die Masse des Protons limitiert ist, Q 2 M p << M G. Die Proportionalitätskonstante für Γ erhält man aus einem Dimensionsargument. Da Γ die Dimension GeV hat und muß αg 2 /M G 4 mit der Masse des Protons M p 5 multipliziert werden, denn ausser M X und M p gibt es keine andere relevante Größe der Dimenion GeV in diesem Prozess. Γ C α 2 G M 5 p M 4 X Hierbei ist C eine hadronische Korrektur der Größenordnung 1. Aus einer etwas genaueren Rechnung folgt als Proton-Lebensdauer in der SU(5) τ p = ±1,7 Jahre Im Vergleich zum Alter des Universums, T 1, Jahre, also eine sehr große Zahl. In Experimenten mit bis zu 50 kt Masse und damit ca Protonen und Neutronen wurde bisher erfolglos nach Proton- und Neutronzerfällen gesucht. Daraus ergeben sich für verschiedene Zerfallskanäle als Grenzen: p e + π 0 p e + e e + p eππ n νk p nuk + τ p > 1, Jahre τ p > Jahre τ p > Jahre τ n > Jahre τ p > Jahre Damit ist die Vorhersage der minimalen SU(5) ausgeschlossen. Bei komplizierteren GUT Modellen können jedoch auch höhere Lebensdauern vorhergesagt werden, die noch nicht ausgeschlossen sind. Insbesondere ist für SUSY-GUTs wie gesehen die Skala M G GeV, so dass wegen der starken Abhängigkeit von M G eine deutlich höhere Lebensdauer von Γ Jahren vorhergesagt wird. Zukünftige Experimente versuchen solche Lebensdauern zu messen. 212

214 19.7 Zusammenfassung GUT GUTs haben viele attraktive Eigenschaften: Vereinheitlichung der WW, nur noch eine Kopplungskonstante Teilcheninhalt des Standard Modells passt in SU(5)(ohne ν R ) oder in SO(10) (mit ν R und allen Generationen) Leptonen und Quarks haben gleichen Ursprung Ladungsquantisierung und ein paar Probleme: Es gibt keine exakte Vereinheitlichung der SM Kopplungskonstanten ohne neue Teilchen mit m < M G. Also auch keine Langeweile (Big Dessert) Viele neue Eichbosonen mit M X M G, komplizierter Higgs-Mechanismus Protonzerfall nicht beobachtet Einfachste Modelle funktionieren nicht ohne Weiteres. Daher werden größere Eichgruppen untersucht, für die z.b. gilt E 6 SO(10) SU(5) U(1) Y SU(2) L SU(3) C Z.B. beinhaltet die SO(10) auch rechtshändige Neutrinos ν R und exakt alle Fermionen des SM, also alle 3 Generationen, in einem Multiplett. 213

215 20 Supersymmetrie... das bessere Standard Modell Literatur: Barger, Pillips, Collider Physics Literatur: S. Martin, A Supersymmetry Primer, Konzept der Supersymmetrie Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen. Im SM sind die Fermionen gegeben, d.h. sie müssen postuliert werden um den Experimenten Rechnung zu tragen. Die Spin-1 Bosonen hingegen folgen aus den Symmetrien als Eichfelder. Einziges Spin-0 Boson ist das Higgs, eine Folge der spontanen Symmetriebrechung. In der Supersymmetrie (SUSY) hingegen sind Fermionen und Bosonen gleichberechtigt. Man postuliert: Zu jedem Teilchen im SM gibt es ein neues Teilchen (SUSY-Partner), das sich im Spin um 1 2 unterscheidet. Namensgebung: Fermion S-Fermion Boson Boson-ino Eichboson Gaug-ino von Gauge theory Elektron e (1/2) Selektron ẽ (0) Quark q (1/2) Squark q (0) Photon γ (1) Photino γ (1/2) W W (1) Wino W (1/2) Higgs H (0) Higgsino H (1/2) In der Regel wird das Minimale Supersymmetrische Standard-Modell (MSSM) diskutiert. In diesem SUSY-Modell wird angenommen: Es gibt genau die gleichen Leptonen und Quarks wie im SM. Es gibt genau die gleichen Eich-Symmetrien und -Wechselwirkungen wie im SM. Die SM-Teilchen und ihre SUSY-Partner werden in den gleichen Multipletts zusammengefasst, den Super-Multipletts (e, ẽ,...). Damit haben sie auch die gleichen Eich - WW wie im SM. Damit liegen die Quantenzahlen, Vertizes und Kopplungskonstanten der SUSY-Teilchen weitestgehend fest, und ihre Produktion und Zerfälle können sofort berechnet werden. 214

216 Abbildung 68: Teilchen im Minimalen Supersymmetrischen Standard-Modell (MSSM). Links: Teilchen des SM mit zwei Higgs-Doubletts. Rechts: Supersymmetrische Partner-Teilchen und ihre Mischungen zu Masseneigenzuständen. 215

217 Es gibt spontane Symmetrie-Brechung mit zwei Higgs-Doubletts und zwei Vakuumerwartungswerten v 1, v 2. Diese Erweiterung ist notwendig, da man mathematisch für die Beschreibung der Massen der Supermultipletts ein Higgs- Doublett für u, c, t, ν e, ν µ, ν τ und ein anderes, mit anderen Quantenzahlen, für d, s, b, e, µ, τ benötigt. Die SUSY-Teilchen können zu neuen Eigenzuständen (analog zu W 3, B Z, γ) mischen. Da beispielsweise Higgsinos und Gauginos beide Spin 1 haben mischen sie 2 zu Neutralinos χ 0 1,2,3,4 = ( γ, Z, H 0 1,2) Charginos χ ± 1,2 = ( W ±, H ± ) Da die Massen-Eigenzustände Linearkombinationen der Gauginos/Higgsinos sind folgt auch, dass ihre Kopplungen von Ladung, Isospin und Masse abhängen. Ähnliches gilt für die Sfermionen. Die Partner von t L, t R, also t L, t R unterscheiden sich in ihren WW, nicht aber im Spin. Sie mischen zu t L, t R t 1, t 2 und nehmen beide an der SU(2) L teil. Offensichtlich hätte man ein Teilchen mit den Ladungen und der Masse des Elektrons und Spin 0 längst finden müssen. Das Selektron muss also viel schwerer sein als das Elektron. Tatsächlich hat keines der bekannten Bosonen die gleichen Quantenzahlen und die gleiche Masse wie eines der bekannten Fermionen. Daraus folgt: Supersymmetrie kann keine exakte Symmetrie sein sondern ist gebrochen (ähnlich der spontanen Symmetrie-Brechung im SM). Der theoretische Grund, aus dem SUSY Teilchen schwerer sein müssen als ihre SM Partner, wird später angegeben. Aus Argumenten zur Dunklen Materie, Hierarchie-Problem, Vereinheitlichung der Kopplunskonstanten ergibt sich, dass die Masse der SUSY-Teilchen bei ca. 1 TeV liegen sollte Produktion und Zerfall von SUSY-Teilchen Da SUSY-Partner die gleichen WW haben wie die SM Teilchen ist Paarproduktion die einfachste Methode der Erzeugung. Beispiele sind: 216

218 e + e ẽ + ẽ, µ + µ, τ + τ p p q q, g g Der Zerfall der SUSY-Teilchen erfolgt am einfachsten durch Eich-WW in 2-Körperzerfällen in die SM-Partner und andere SUSY-Teilchen, z.b. ẽ eχ 0 1 ẽ ν e χ 1 χ + 1 W + χ 0 1 g q q q qχ 0 2 Die möglichen Zerfallskanäle und Details hängen davon ab, wie hoch die Massen der SUSY-Teilchen sind. Bei Erhaltung der R- Parität sind Paarerzeugung, Paarvernichtung und der Zerfall in andere SUSY-Teilchen die einzigen möglichen WW der SUSY-Teilchen mit ihren SM-Partnern (siehe Abschnitt über R- Parität). Dadurch ergeben sich für die schweren SUSY-Teilchen lange Zerfallsketten, an derem Ende immer das leichteste SUSY-Teilchen (LSP) steht Motivation für SUSY SUSY ist die einzige mögliche Erweiterung der Poincare-Gruppe der speziellen Relativitätstheorie, bei der gleichzeitig Eichtheorien möglich sind. (Poincare: Translation, Rotation, Lorentz-Trafo, C,P,T) SUSY führt zur Vereinigung der Kopplungskonstanten und ermöglicht GUTs. Dazu muss die typische Masse der SUSY-Teilchen in der Größenordnung von O(1) TeV liegen. 217

219 SUSY löst das Hierarchie-Problem des SM, falls die Masse der SUSY-Teilchen in der Größenordnung von O(1T ev ) liegt. Das leichteste SUSY-Teilchen (LSP) ist ein Kandidaten für die Dunkle Materie, falls R-Parität erhalten ist. Die Masse des LSP sollte (falls es der schwachen WW unterliegt) unter 1 TeV liegen. Im Limes kleiner Energien ergibt sich das Standard-Modell als Grenzfall. SUSY ist mit allen experimentellen Ergebnissen verträglich. SUSY erlaubt Vereinigung mit Gravitation. SUSY ergibt sich als Grenzwert der Stringtheorie bei kleinen Energien. Die Entdeckkung der SUSY wäre der entscheidende Schritt zur Physik jenseits des SM, ähnlich wie die Entdeckung der Antimaterie. SUSY ist daher die am meisten diskutierte und akzeptierte mögliche Erweiterung des SM Vereinigung der Kopplungskonstanten SUSY-Teilchen mit Masse M SUSY tragen bei Energie Q 2 > MSUSY 2 zum Laufen der Kopplungskonstanten bei. Da die Teilchen und ihre Kopplungskonstanten festliegen ist auch die Steigung der Funktionen 1/α i (Q 2 ) exakt vorhergesagt. Vereinigung der drei Kopplungskonstanten ergibt sich für eine SUSY-Masse von M SUSY 1 TeV bei M G GeV α G (M G ) 0.04 = 1 25 Siehe Fig.. Die genauen Zahlenwerte hängen dabei von den exakten Werten der Massen der SUSY-Teilchen und den Details der Symmetriebrechung an der GUT-Skala ab. Insbesondere hängt die Vereinigung nur schwach (logarithmisch) von M SUSY ab, so dass der Zahlenwert hierfür nicht genau bestimmt werden kann R-Parität Im Standard-Modell sind Baryonzahl (B) und Leptonzahl (L) automatisch erhalten, da die Eichsymmetrien und Lorentz-Invarianz Vertizes mit Leptonen und Quarks verbieten. 218

220 In SUSY-Modellen ist das im Allgemeinen nicht mehr so, denn es gibt skalare Partner der Leptonen und Quarks. Experimentell sind aber die Grenzen an B und L Erhaltung sehr stark, so dass in der Regel auch in SUSY-Modellen B und L Erhaltung angenommen wird. Dazu führt man eine neue Quantenzahl ein, die R- Parität R P = ( 1) 3(B L)+2S wobei S der Spin des Teilchens sein soll. Postuliert man die Erhaltung der R P, so sind in der Lagrange-Dichte der SUSY genau die Terme verboten, die B und L verletzen, aber keine anderen. R P - Erhaltung hat zur Folge, dass es keine B und L Verletzung und damit auch keinen schnellen Zerfall des Protons gibt. Setzt man in diese Formel für die Teilchen des SM die Werte für B, L und S ein, so zeigt sich: Alle SM Teilchen haben R P = +1. Da sich die SUSY-Partner im Spin um 1/2 unterscheiden folgt mit R P auch: ( 1) 2S Alle SUSY-Partner haben R P = 1. Offenbar ist R P eine multiplikative Quantenzahl ähnlich der normalen Parität, so dass R P für einen Zustand mit mehreren Teilchen gleich R P = R P,1 R P,2... ist. Erhaltung der R-Parität bedeutet, dass sich die Anzahl der SUSY-Teilchen in einer Reaktion immer nur um eine gerade Anzahl (also 0, 2, 4,...) ändern darf, so dass R P = R P ( 1) 2nsusy = R P. Daraus folgt: SUSY-Teilchen können nur paarweise erzeugt werden. SUSY-Teilchen können nur in andere SUSY-Teilchen zerfallen. Das leichteste SUSY-Teilchen (LSP) ist stabil und kann nicht zerfallen. Man sollte beachten, dass es keine wirkliche theoretische Motivation für R P - Erhaltung gibt, so dass auch nach Prozessen mit B und L Verletzung gesucht wird. 219

221 20.6 Dunkle Materie Alle SM- und SUSY-Teilchen sind im frühen Universum, also bei hohen Temperaturen, hohen Teilchendichten und hohen Reaktionsraten, in großer Anzahl produziert worden. Die dabei produzierten stabilen Teilchen sollten daher die jetzige Materie ausmachen. Hierzu gehören Elektronen, Neutrinos und Protonen 23 und (bei R P - Erhaltung) das leichteste SUSY-Teilchen (LSP). Aus astronomischen Beobachtungen ergibt sich, dass die Dunkle Materie (siehe Vorträge) ca. 23% der Energiedichte des Universums ausmacht. Hierfür kommen nur nicht-leuchtende, also ungeladene Teilchen in Fage. Außerdem dürfen diese Teilchen nicht stark wechselwirken, da sie sonst in den Protonen gebunden wären und zur Masse der Protonen beitragen würden. Im SM ist der einzige Kandidat das Neutrino. Die Messungen der Neutrino-Massen ergeben jedoch Werte, die etwa einen Faktor 100 zu klein sind um die Dunkle Materie zu erklären. Im SM gibt es keine Teilchen, die als Dunkle Materie in Frage kommen. In der SUSY ist das LSP ein Kandidat für die Dunkle Materie, wenn es elektrische neutral ist und nicht stark wechselwirkt. Nimmt man an, dass das LSP den Hauptbestandteil der Dunklen Materie ausmacht, so lassen sich Eigenschaften des LSP aus der Thermodynamik des frühen Universums ableiten (siehe Abbildung). (1) Bei sehr hohen Temperaturen stehen Produktion und Zerfall des LSP im thermischen Gleichgewicht und die Dichte der LSPs ist konstant. (2) Bei Temperaturen kt M LSP ist Paarverichtung noch möglich, aber in Stößen der SM-Teilchen ist zunehmend nicht mehr genug Energie zur Produktion der LSPs vorhanden. Die Anzahl der LSPs wird entsprechend einem Bolzmann-Faktor abnehmen, N LSP e M LSP kt (3) Zu einem späteren Zeitpunkt wird die Dichte der LSPs zu klein, so dass Stöße der LSPs selten werden. Die Paarvernichtung wird aufhören und eine konstante Dichte der LSPs übrig bleiben ( ausfrieren ). Die verbleibende Dichte wird dabei vom Mittelwert von Wirkungsquerschnitt der Paarvernichtung und Geschwindigkeit der LSPs abhängen, Ω 1 DM < σv > 23 Neutronen existieren nur deshalb noch, weil sie in Kernen gebunden wurden bevor sie zerfallen konnten. Zerfall innerhalb der Kerne ist bei stabilen Kernen energetisch verboten. 220

222 <- 5 M$!###?K 1&(*E-,%&(,#H'(-%&;(F-%&1 IF-,%&(0#9*I(?7@ K#L#5 M$!## N0I3&'#M$!#O#(P)?4 5 M$! QK@ =?R@ <-%&1(#I:#.'(-0>##$1SG(#D60#M$!4!33*(0 I: Abbildung 69: Anzahl-Dichte der Teilchen der Dunklen Materie als Funktion von Masse/Temperatur (oder Zeit) im frühen Universum. Die Dichte ist als comoving angegeben, beinhaltet also bereits Effekte durch die Ausdehnung des Universums mit der Zeit. Die Dichte bei großen Zeiten hängt vom Produkt von Wirkungsquerschnitt σ der Selbstvernichtung und Geschwindigkeit v der Teilchen ab. 221