Modul 1: RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK

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1 Modul : RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK Zusatz zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik LVA Nr ) H. Leeb, Wintersemester 25 Einleitung Die Schrödingergleichung ist nicht geeignet um die Bewegung eines mit relativistischer Geschwindigkeit bewegten freien Elektrons quantenmechanisch zu beschreiben. Man erkennt dies sofort, wenn man als Lösung die ebene Welle betrachtet, ψr, t) = A exp ik r ɛ t ) ), ) wobei p = k der Impuls des Elektrons ist und ɛ seine nichtrelativistische Energie. Setzt man die ebene Welle in die Schrödingergleichung des freien Elektrons ein, 2m 2 ψr, t) = i ψr, t), 2) t so erhält man die nichtrelativistische Energie-Impuls Beziehung, 2 p 2 2m = ɛ. 3) Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist also nicht invariant unter Lorentz- Transformationen und verletzt damit die Symmetrieforderungen der speziellen Relativitätstheorie. Dies erkennt man auch an der unterschiedlichen Form wie Zeit- und Raumkoordinaten in die Schrödingergleichung eingehen zweite Ableitung für die Raumkoordinaten, erste Ableitung für die Zeitkoordinate). Nach der speziellen Relativitätstheorie transformieren sich die Gesamtenergie E und die Impulse p x, p y, p z ) als Komponenten eines kontravarianten Vektors ) E p µ = p, p, p 2, p 3 ) = c, p x, p y, p z 4) mit invarianter Länge 3 µ= p µ p µ = p µ p µ = E2 c 2 p2 = m 2 o c2 5)

2 Dies ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung, E 2 = m 2 c4 + p 2 c 2, 6) wobei m die Ruhmasse des Teilchens ist. Annahme der kanonischen Quantisierung und Einsetzen der Darstellungen des Energieoperators i / t und des Impulsoperators i für E bzw. p führt von 6) zu der Gleichung i t) 2 [ ψr, t) = m 2 c 4 + i ) 2] ψr, t). 7) Nach Auswerten der Quadrate und entsprechender Umformung erhalten wir die Klein-Gordon-Gleichung [ 2 c 2 t m2 c2 2 ] ψr, t) =. 8) Ein kompaktere Schreibweise der Klein-Gordon-Gleichung, Q + κ 2 ) ψr, t) =, 9) ergibt sich durch Einführung des D Alembert-Operators Q = 2 c 2 t 2 2 ) und κ = m c. ) Die Klein-Gordon-Gleichung 8) bzw. 9) entspricht einer Wellengleichung mit Masseterm. Die hier gegebene Ableitung ist allerdings nur auf die freie Bewegung des Teilchens beschränkt. Für ein Elektron wäre κ/2π = nm die inverse Comptonwellenlänge. Durch die quadratische Form der relativistischen Energie-Impulsbeziehung wurden auch Lösungen mit negativer Energie eingeführt. Diese Lösungen zu negativer Energie werden mit Antiteilchen in Verbindung gebracht. Die Existenz von Antiteilchen unterstützt diese Interpretation. Eine wichtiges Anliegen ist die Konstruktion eines Stromes in der relativistischen quantenmechanischen Beschreibung, für welchen ein Erhaltungssatz gilt. Wir gehen dabei analog wie bei der Schrödingergleichung vor und multiplizieren 9) von links mit ψ und die konjugiert komplexe Klein-Gordon-Gleichung mit ψ. Subtraktion der beiden Gleichungen liefert, ψ [ Q + κ 2] ψ ψ [ Q + κ 2] ψ =. 2) Herausheben einer Ableitung führt auf die kompakte Form µ [ψ µ ψ ψ µ ψ ] =. 3) 2

3 Durch Trennung der Zeit- und Raumkoordinaten ergibt sich die Beziehung [ i t 2m c 2 ψ ψ )] [ ] t ψ ψ + ψ ψ ψ ψ ) =. 4) t 2im deren Form sehr stark einer Kontinuitätsgleichung ähnelt. Der Ausdruck in eckigen Klammern im zweiten Term von 4) entspricht der Stromdichte der nichtrelativistischen Quantenmechanik. In Analogie zur nichtrelativistischen Quantenmechanik wäre man nun versucht den Ausdruck in eckigen Klammern des ersten Termes von 4) als Wahrscheinlichkeitsdichte ρ zu interpretieren. Dies ist aber nicht möglich, da der Ausdruck nicht positiv definit ist. Das Problem erkennt man sofort, wenn man eine stationäre Lösung ψ = Ar) exp Et/ ) einsetzt, [ i 2m c 2 ψ ψ t ψ ψ t )] = E m c 2. 5) Für negative Energieeigenzustände wird der Ausdruck 5) negativ. Historisch wurde deshalb die Entwicklung der Klein-Gordon-Gleichung zunächst fallen gelassen und nach einer Gleichung erster Ordnung gesucht. Das Ergebnis dieser Suche wird im nächsten Abschnitt diskutiert. Es soll aber bereits hier festgestellt werden, dass in der relativistischen Quantenmechanik die Klein-Gordon-Gleichung sehr wohl eine Bedeutung hat. Im Laufe der Entwicklung stellte sich heraus, dass es bei physikalischer Interpretation der negativen Energiewerte gar nicht möglich ist, die Einteilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ beizubehalten. Dies gilt für die Klein-Gordon-Gleichung wie für die in Abschnitt 2 eingeführte Dirac- Gleichung. Die Begründung liegt in der Tasache, dass bei physikalischer Interpretation der Zustände mit negativer Energie E, die Wellenfunktion ψ nicht mehr die einfache Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Einteilchen- Theorie hat, da sie auch Erzeugung und Vernichtung von Teilchen-Antiteilchenpaaren berücksichtigen muss. In diesem Sinn können wir die Klein- Gordon-Gleichung zur quantenmechanischen Beschreibung der Entwicklung bosonischer Felder verwenden. Die Gleichung 3) bzw. 4) stellt die entsprechende Kontinuitätsgleichung dar. 2 Die Dirac Gleichung des freien Elektrons Als Ausweg schlug P.A.M. Dirac [] einen relativistischen Hamiltonoperator vor, der den Impulsoperator i ) linear enthält und beim Lösen der entspechenden Differentialgleichung auf die relativistische Energie-Impulsbeziehung 6) führt. Der Diracsche Hamiltonoperator für ein freies Teilchen der Masse m lautet Ĥ = c α p + βm c 2. 6) 3

4 Dabei ist c = 2, ms die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Die Koeffizienten α und β sind dimensionslos. Das Quadrat des Dirac-Hamiltonoperators, Ĥ 2 = c 2 3 i,k= 2 α iα k + α k α i ) ˆp iˆp k + m c 3 3 α i β + βα i ) ˆp i + β 2 m 2 c 4, 7) kann nur dann zu der relativistischen Energie-Impulsbeziehung führen, wenn die Koeffizienten α und β die Antikommutatorrelationen i= {α i, α k } = 2δ i,k, {α i, β} = und β 2 = 8) erfüllen. Der Antikommutator ist dabei folgend definiert: {α i, α k } = α i α k + α k α i. 9) Um 8) zu erfüllen, können die Koeffizienten α, β keine einfachen Zahlen sein, sondern sind zumindest quadratische 4 4-Matrizen. In der Standarddarstellung werden die Koeffizienten durch die Pauli-Matrizen ausgedrückt α = σ σ ), β = wobei die Paulimatrizen die folgenden 2 2 Matrizen sind: ) ) i σ x = σ y = σ i z = ), 2) ). 2) Für die Beschreibung der Bewegung eines relativistischen Elektrons tritt nun statt der zeitabhängigen Schrödingergleichung 2) die Diracgleichung, c α p + βm c 2) Ψr, t) = i Ψr, t). 22) t An die Stelle der Wellenfunktion tritt nun der vierkomponentige Spinor ψ r, t) Ψr, t) = ψ 2 r, t) ψ 3 r, t). 23) ψ 4 r, t) Die Antikommutatorbeziehungen für α i entsprechen jenen der Pauli-Matrizen σ i. Allerdings lässt sich keine 2 2 Matrix bestimmen, welche die Antikommutatorbeziehungen erfüllt. Man kann aber zeigen, dass α i und β spurlose Matrizen gerader Dimension sein müssen. Im Fall verschwindender Masse m = tritt β nicht auf und man kann auf α i = σ i reduzieren. Masselose Neutrinos können daher durch 2-er Spinoren beschrieben werden. 4

5 Für viele Überlegungen ist es zweckmäßig, den vierkomponentigen Spinor Ψr, t) mit einem Paar von zweikomponentigen Größen ψ A r, t) und ψ B r, t) anzuschreiben, ) ) ) ψa r, t) ψ r, t) ψ3 r, t) Ψr, t) =, ψ ψ B r, t) A r, t) =, ψ ψ 2 r, t) B r, t) =. ψ 4 r, t) 24) In dieser zweikomponentigen Darstellung zerfällt die Diracgleichung in zwei gekoppelte Differentialgleichungen für ψ A und ψ B σ ˆp ψ B = i t ) c m c 2 ψ A, 25) σ ˆp ψ A = i t ) c + m c 2 ψ B. 26) Betrachten wir nun eine stationäre Lösung Ψr, t) = Ψr, t = ) exp i Et ), 27) so muß der Energieoperator in den Gleichungen 25) und 26) durch den Energieeigenwert E ersetzt werden und man erhält eine zeitunabhängige Form der Diracgleichung. Für ein ruhendes Teilchen ˆpψ A = und ˆpψ B = ) erhalten wir zwei linear unabhängige Lösungen von 25,26). Zwei zu positiver Energie E = m c 2 ), Ψ ) p= = e i m c 2t, Ψ 2) p= = und zwei zu negativer Energie E = m c 2 ), Ψ 3) p= = e i m c 2t, Ψ 4) p= = e i m c 2t, 28) e i m c 2t. 29) Die Lösungen zu positiver Energie werden als die beiden Spinzustände des Teilchens, die Zustände negativer Energie als die Spinzustände des Antiteilchens interpretiert. Man erkennt daraus, daß der Impuls nicht mehr eindeutig die Energie festlegt. Haben wir ein bewegtes Teilchen p x = p y =, p z ), so kommt es zu einer Kopplung der zweikomponentigen Funktionen ψ A und ψ B im Gleichungssystem 25, 26). Die vier linear unabhängigen normierten Spinoren 5

6 haben dann die Form Ψ ) = N + χ, Ψ2) = N + wobei N ± = E + + m c 2 2E + χ, Ψ3) = N exp i ) p r E ±t), χ = χ, Ψ4) = N 3) cp E + + m c 2. 3) Die Energie erfüllt die relativistische Energie-Impulsbeziehung E ± = ± p 2 c 2 + m 2 c4. 32) Macht man nun wieder die Aufteilung in zweikomponentige Vektoren, so sieht man, daß für positive Energien die Elemente von ψ B wesentlich kleiner sind als jene von ψ A. Man spricht daher von großen ψ A ) und kleinen ψ B ) Komponenten. 3 Stromerhaltung in der Dirac Gleichung Bei Konstruktion einer Kontinuitätsgleichung geht man wieder analog zur Schrödingergleichung vor, wobei man allerdings beachten muss, dass wir im Fall der Dirac Gleichung mit 4-er Spinoren arbeiten. Wir führen zunächst den hermitesch konjugierten 4-er Spinor Ψ ein, Ψ = ψ, ψ 2, ψ 3, ψ 4 ), 33) und multiplizieren die Dirac Gleichung 22) von links χ, i c 3 k= Ψ α k Ψ x k + m c 2 Ψ β Ψ = i Ψ Ψ t. 34) Dann multiplizieren wir die zu 22) hermitesch konjugierte Gleichung mit Ψ von rechts, i c 3 k= Ψ x k α kψ + m c 2 Ψ β Ψ = i Ψ t Ψ, 35) wobei wir α i = α i und β = β verwendet haben. Durch Subtraktion von 35) von 34) erhält man eine Kontinuitätsgleichung ρ + j = 36) t 6

7 mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = Ψ Ψ 37) und dem dreikomponentigen Wahrscheinlichkeitsstrom j = cψ αψ. 38) Integrieren wir über den gesamten Raum und verwenden den Greenschen Satz so ergibt sich d 3 xψ Ψ =. 39) t Dies weist darauf hin, dass ρ als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann. Allerdings muss man noch zeigen, dass ρ und j unter Lorentz- Transformation einen 4-er Vektor bilden, um die Kovarianz der Kontinuitätsgleichung und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu gewährleisten. 4 Erhaltungsgrößen Für das freie Elektron vertauscht der relativistische Hamiltonoperator 6) mit dem Impulsoperator ˆp, d.h. man kann daher Wellenfunktionen finden, die gleichzeitig Energie- und Impulseigenfunktionen sind. Die Energie und der Impuls sind Erhaltungsgrößen des freien Elektrons. Keine Erhaltungsgrössen sind ˆL und ˆL 2 wie man aus den Vertauschungsrelationen sofort ersehen kann: [ ˆL, H] = i c α ˆp), 4) [ˆL 2, H] = 2i c α ˆp) ˆL c α ˆp. 4) Die Notwendigkeit der vierkomponentigen Spinoren enthält neben Zuständen positiver und negativer Energie noch einen weiteren Freiheitsgrad, den wir als Spin bezeichnen. In der Paulidarstellung ist der Spinoperator durch Ŝ = ) σ. 42) 2 σ Dieser Operator erfüllt die Vertauschungsbeziehung [Ŝk, Ŝl] = i ɛ klm Ŝ m 43) welche, wie bereits in.4.2 angeführt, vollkommen analog zu jener des Bahndrehimpulses ist. Auch der Spin ist keine Erhaltungsgröße, da Ŝ nicht mit dem Hamiltonoperator vertauscht, [ Ŝ, H ] = i c α ˆp). 44) 7

8 Im Gegensatz zu ˆL 2 vertauscht aber Ŝ 2 = ) mit dem Hamiltonoperator und ist somit eine Erhaltungsgröße. Der zugehörige Eigenwert ss + ) 2 entspricht einem Teilchen mit der Spinquantenzahl s = 2, also einem Fermion. Bildet man nun den Operator Ĵ = ˆL + Ŝ, so vertauscht dieser mit dem Hamiltonoperator ] [Ĵ, H =, 46) wie man aus 4) und 44) sofort ersieht. Der Operator Ĵ wird als Gesamtdrehimpuls oder oft einfach als Drehimpuls bezeichnet. Dies ist eine direkte Konsequenz der Symmetrie des Systems, d.h. der Hamiltonoperator ist gegenüber der Transformation Û = exp i Ĵ ϕ ) 47) invariant. Bedingt durch die spezielle Form von Ŝ transformieren sich bei den räumlichen Drehungen jeweils zwei Komponenten untereinander. Es handelt sich also um zwei zweikomponentige Spinoren, die sich zu einem Viererspinor ergänzen, um der Lorentztransformation zu genügen. Abschließend soll noch erwähnt werden, daß der Operator ˆp Ŝ mit dem Hamiltonoperator vertauscht, [ ] ˆp Ŝ, H =. 48) Berücksichtigt man, daß das Quadrat des Operators ˆp Ŝ die Beziehung ) 2 ˆp Ŝ = ˆp ) erfüllt, so ist es naheliegend die Größe s p = p S p 5) zu definieren. Diese wird als Helizität bezeichnet und stellt eine Erhaltungsgröße dar. Die Eigenwerte der Helizität sind mit s p = ± /2 gegeben. 8

9 5 Kovariante Formulierung Die Diracgleichung ist gegenüber Lorentztransformationen invariant. Es ist nun üblich die Orts- und Zeitkoordinaten in einem Vierervektor zusammenzufassen x = ct, x, y, z), d.h. x = ct, x = x, x 2 = y, x 3 = z. 5) Statt der Matrizen α und β werden die Diracmatrizen γ = β, γ = α x β, γ 2 = α y β, γ 3 = α z β 52) verwendet. Diese sind 4 4 Matrizen mit den Eigenschaften {γ µ, γ ν } = 2g µν 4, γ µ = γ γ µ γ, 53) wobei 4 die vierreihige Einheitsmatrix und g µν = 54) der metrische Fundamentaltensor sind. Mit diesen Definitionen läßt sich die Diracgleichung in eine kovariante Formulierung bringen ) γ µ µ) + iκ Ψx) =, 55) wobei die Einsteinkonvention anzuwenden ist, d.h. es muß über zwei gleiche in einem Term vorkommende Indices µ summiert werden µ =,, 2, 3). Weiters haben wir die Definitionen µ) = und κ = m c x µ 56) verwendet. In dieser Form läßt sich die Invarianz der Diracgleichung eines freien Teilchens gegenüber Lorentztransformationen zeigen. Die Diracgleichung kann man auch aus einer Lagrangedichte ableiten. Dies ist analog zur Lagrangeformulierung der klassischen Mechanik bei der die Euler-Lagrangegleichungen die Bewegungsgleichungen des Systems sind. Der formale Unterschied liegt nun darin, daß man statt den verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten die Spinoren und ihre Ableitungen als Variable des Systems auffaßt. Die Lagrangedichte L übernimmt dabei die Rolle der Lagrangefunktion. Wie schaut nun die Lagrangedichte für ein freies relativistisches Fermion aus? Diese ist einzig dadurch festgelegt, daß ihre Euler-Lagrangegleichung L Ψ L µ µ Ψ) = 57) 9

10 auf die Diracgleichung führt. Die Lagrangedichte eines freien Spin- 2 Teilchens ist, L = Ψ ) γ µ µ) + iκ Ψ, 58) wobei Ψ = Ψ γ ist. Die Verwendung des Lagrange-Formalismus hat entscheidende Vorteile für die Formulierung von Theorien mit Wechselwirkung und deren Quantisierung. Die Diracgleichung ist ein gekoppeltes Gleichungssystem für Spinorkomponenten. Durch Multiplikation der Diracgleichung mit γ ν ν) + iκ) von links lassen sich die Gleichungssysteme entkoppeln und man erhält für jede Spinorkomponente die Klein-Gordon-Gleichung g µν µ) ν) + κ 2) Ψ = 59) Während die Klein-Gordongleichung auch für spinlose Teilchen gilt, ist die Diracgleichung nur für Teilchen mit s = 2 erfüllt. Die zugehörige Lagrangedichte für ein skalares Teilchen ist daher L = Ψ g µν µ) ν) + κ 2) Ψ 6) Literatur [] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London) A 7, 6 928); ibid A 8, ).