1.4 Die Dirac-Gleichung

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Margarete Vogt
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1 .4 Die Dirac-Gleichung Suche Differentialgleichung. Ordnung in der Zeit, relativistische Kovarianz. Ordnung auch in Ortskoordinaten 2. Vorlesung, H rel Ψ = i Ψ t (ħ = c = ) zu bestimmen Ansatz: H rel = α p + α 2 p 2 + α 3 p 3 + βm = α p + βm mit p = p p 2 p 3 = i x x 2 x 3, α = α α 2 α 3 Es muss gelten H 2 = p 2 + m 2 Bedingungen für α i und β:. α i α j + α j α i = 2δ ij 2. α i β + βα i = 3. β 2 = α i, β sind nicht vertauschbar Behauptung: α i, β müssen n n Matrizen sein mit n 4.

2 Dimension von α i, β: N 4 Beweis:. α j, β hermitesch, weil H hermitesch: α + j = ((α j ) ) t, β + = β 2. α 2 j = β 2 = Eigenwerte von α j, β sind ±. 3. α j, β haben Spur= Beweis: Spur(α j ) = Spur(β βα j ) = Spur(βα j β) = - Spur(ββα j ) = -Spur(α j ) = Spur(β) = Spur(α i α i β) = Spur(α i β α i ) = - Spur(α i α i β) = -Spur(β) = Dabei benutzt: Spur(AB) = Spur(BA) und α j β = βα j 4. Spur(A) = Eigenwerte Da die Eigenwerte ±, muss N gerade sein Falls N = 2: gibt nur drei linear unabhängige Matrizen mit Spur = Pauli Matrizen σ, σ 2, σ 3 N 4 2

3 Darstellung der α j,β : Die Paulimatrizen sind gegeben durch: σ =, σ 2 = i, σ 3 = +i Die Diracmatrizen sind gegeben durch: α i = σ i, β = σ i α = α 3 = (Dirac Darstellung) i +i, α 2 =, i +i, β = existieren andere Darstellungen, z.b. die von Weyl 3

4 Diracgleichung: iħ Ψ = iħc α Ψ + mc 2 βψ t Bedeutung? Was ist Ψ? 4 Komponenten Spinor Ψ = Ψ Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4, Ψ + = (Ψ, Ψ 2, Ψ 3, Ψ 4 ) Vermutung: ρ = Ψ + Ψ = Ψ Ψ + Ψ 2Ψ = Ψ 2 + Ψ Ψ Ψ 4 2 Aufstellung einer Kontinuitätsgleichung: (c = ħ = ) Ψ + Diracgleichung komplex konjugierte Diracgleichung Ψ a) Ψ + i Ψ t = iψ + α Ψ + mψ + βψ b) i Ψ+ t Ψ = +i( Ψ + ) αψ + mψ + βψ ρ = t Ψ+ Ψ = Ψ + Ψ + Ψ+ Ψ = i[a) b)] t t = Ψ + α Ψ ( Ψ + ) αψ = j, mit j = Ψ + αψ 4

5 5 Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung zunächst freies, ruhendes Elektron k = Ψ = Diracgl.: iħ Ψ t = mc 2 βψ iħ t Ψ Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 = mc 2 Ψ Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 4 unabhängige Lsg. Ψ = e iω t, Ψ 2 = e iω t, Ψ 3 = e +iω t, Ψ 4 = e +iω t E = E 2 = ħω = mc 2 E 3 = E 4 = ħω = mc 2 Für folgende Diskussion des nichtrelativistischen Grenzfalles: betrachte nur die positiven Energielösungen

6 Grenzfall: Kleine, aber nichtverschwindende kinetische Energie E = p 2 c 2 + m 2 c 4 }{{} mc 2 + p2 ħω }{{} Ansatz: Ψ( r, t) e iω t ϕ( r, t) χ( r, t) mc 2 (ϕ, χ haben jeweils 2 Kompon.) ϕ, χ nur langsam zeitabhängig: ϕ, χ e iω t mit ħω = p2 Zeige im Folgenden: χ ϕ und ϕ erfüllt Schrödingergleichung ϕ( r, t) Ψ = e iω t in Diracgl. mit α i = σ i ħω ϕ χ χ( r, t) + iħ ϕ χ = c σ p σ p σ i ϕ χ + mc 2 Gl. für χ: iħ χ }{{} ħω χ mc 2 = c σ pϕ c 2 χ χ σ p c ϕ 6

7 χ + χ = ( σ p)2 4m 2 c 2 ϕ+ ϕ = p2 c 2 }{{} ϕ + ϕ d.h. für freies nichtrelativist. Elektronen: χ + χ ϕ + ϕ Einschub: Beweis ( σ p) 2 = p 2 σ p = σ p x +σ 2 p y +σ 3 p z p x p x ip y +ip y p z p z A p z p x + ip y p x ip y p z p z p x + ip y p x ip y p z p z p x + ip y p x ip y p z A p2 z + p 2 x + p 2 y p 2 z + p 2 x + p 2 y A Gleichung für die (grosse) ϕ-komponente ħω }{{} mc 2 ϕ + iħ ϕ = c σ pχ + mc 2 ϕ iħ ϕ t = ( σ p)2 ϕ = p2 ϕ Schroedingergleichung! 7

8 Nichtrelativ. Grenzfall der Diracgl. im elektromagnetischen Feld zur Erinnerung: H Schrödinger ohne Feld = p2 H mit Feld = ( p q A) 2 + qφ Hier A = Vektorpotenzial und qφ = potenzielle Energie im elektrischen Feld p }{{} ohne Feld P = ( p q A) P ist der kanonische Impuls aus Langrangefunktion und p der kinetische Impuls nichtrelativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld: iħ ϕ = ( σ P)( σ P)ϕ + qφϕ ( σ( p qa) )( σ( p qa) ) ϕ + qφϕ = Übungsblatt Pauli Gl. herleiten 8

9 Mit q = e (Elektron) und A = B iħ ϕ t = Pauli-Gleichung und g Faktor [ ( iħ + e A) 2 + eħ ] σ B eφ ϕ Pauli Gleichung Term eħ σ B = µ B = potenzielle Energie des magnetischen Momentes des Elektrons mit dem äusseren Magnetfeld, dieser Term fehlt in der Schrödingergleichung, weil Sie nichts vom Spin des Elektrons weiss! µ Elektron = g e ħ 2 g-faktor gyromagnet. Verhältnis Spin Aus Pauli Gl. g = 2, Gemessen g = 2 a, klassisch nicht erklärbar wichtiger Erfolg der Dirac-Gleichung a kleine Abweichung von g=2 durch QED Effekte, Diskussion später 9

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