Klein-Gordon-Gleichung. Klein-Gordon-Gleichung für Spin-0-Teilchen. Dirac-Gleichung. Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Teilchen. h 2.

Transkript

1 Klein-Gordon-Gleichung für Spin-0-Teilchen ψ h - Wie erhält man die zeitunabhängige Schrödingergleichung ih H? S ψ ψ M - Ausgangspunkt ist nicht-relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E p ( M) - Anwenden der Quantisierungsvorschrift: E ih und p ih - Eigenschaft: die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ψ ψ ψ > 0 und der Wahrscheinlichkeitsstrom j ( ψ ψ ψ ψ ) erfüllen die Kontinuitätsgleichung: + j 0 ih ρ M - die Schrödingergleichung ist nicht lorentzinvariant, da sie erster Ordnung in der Zeit, aber zweiter Ordnung in den Raumdimensionen ist. Um zu einer relativistischen Wellengleichung zu kommen, geht man von den Vierervektoren aus und definiert ko- und kontravariante Ableitungen: 1 µ bzw. und ordnet dem Viererimpuls folgenden x µ --, µ 1 --, c x µ c Differentialoperator zu: p µ ( E c, p) ih µ - die relativistische Energie-Impuls-Beziehung p µ p µ m c führt damit auf die Klein-Gordon- Gleichung: ( h µ µ + m c )φ( x) 0 Klein-Gordon-Gleichung Mit dem d Alembert-Operator: φ µ µ 1 φ ---- erhält man die kompakte c φ Form: φ mc µ + φ 0. Es ergibt sich ein erhaltener 4er-Strom: j i( φ µ φ φ µ φ ) h mit µ j µ 0. Problem: zwar ist die 0-Komponente ρ j 0 i( φ φ φ φ ) reell, aber nicht positiv. Folglich ist eine Interpretation als Wahrscheinlichkeit nicht konsistent möglich! Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung sind ebene Wellen: φ( x) Nexp( ip µ x µ h), p µ p µ m c, E p 0 c ± m c 4 + p c Lösungen mit negativer Energie unerwünscht. Daher Suche nach alternativer Wellengleichung. N.B. In der Quantenfeldtheorie interpretiert man die Lösungen als Feldoperatoren (ab jetzt wieder h c 1): φ( x) Teilchenvernichter Teilchenerzeuger d 3 p mit ( π) 3 p 0 a ( p )e ip µ xµ b ( p)e ip µ + xµ p 0 + m + p Klein-Gordon-Gleichung und -Felder beschreiben freie Spin-0-Teilchen Dirac-Gleichung für Spin-1/-Teilchen Dirac versuchte 198 eine "Schrödingergleichung" zu finden, bei der der Hamiltonoperator ψ linear in den Ortsableitungen ist: i H mit D ψ H D i( ) + βm Da die Teilchen die relativistische Energie-Impuls-Beziehung erfüllen, soll sich durch zweimaliges Anwenden genau diese ergeben: t ψ H D H D ψ ( ) im( β+ β ) + β M ψ Daraus ergibt sich, dass die E + M p + M i und β keine Zahlen sein können, sondern Matrizen sein müssen, die folgende Bedingungen erfüllen: i β 1 4x4, i β+ β i 0 und i j + j i δ ij. Es zeigt sich, dass die Matrizen mindestens die Größe 4x4 haben müssen. Eine mögliche Lösung ist: 1 β x 0, 0 1 x 0 σ mit den Pauli-Spin-Matrizen σ 1 01, σ σ i, σ 3 i 0 σ i σ j δ ij + iε ijk σ k Die Wellenfunktion ψ( x) besitzt demnach ebenfalls 4 Komponenten: Dirac-Spinor Dirac-Gleichung In der Praxis verwendet man meistens die Dirac Matrizen : γ Für diese gilt folgende 0 γ 0 γ 1 β x x Antikommutatorbeziehung: γ µ ( γ 0, γ ) { γ µ, γ ν } γ µ γ ν + γ ν γ µ g µν γ β 0 σ γ µ g µγ γ ν ( γ 0, γ ) Damit ergibt sich die Lorentzkovariante Form der Dirac- σ 0 Gleichung: ψ β i ( i + βm)ψ iγ 0 + iβ M µ ψ 0 bzw. ( iγ µ M 1 4x4 )ψ 0 Man führt den adjungierten Dirac-Spinor ein: ψ ψ γ 0 ( ψ 1, ψ, ψ 3, ψ 4 ) Der Viererstrom ist erhalten und erfüllt die Kontinuitätsgleichung: j µ ψγ µ ψ µ j µ 0 Teilchendichte: ρ j 0 ψγ 0 ψ ψ ψ > 0, Stromdichte: j ψγψ ψ ψ ψγ µ ψ transformiert sich unter Lorentztransformationen wie 4-Vektor. ψψ ψ γ 0 ψ ist Skalar unter Lorentztransformationen, d.h. eine lorentzinvariante Größe

2 Lösungen der freien Dirac-Gleichung Ansatz: ψ( x) u( p) e ip µ xµ. Die Dirac Gleichung wird damit zu: ( γ µ p µ M)u( p) 0 mit u( p) χ ϕ grosse Komponente kleine Komponente. In Matrixschreibweise erhält man: E M σ p χ 0 σ p, woraus sich ϕ ergibt. Mit und σ p E M ϕ E + M χ ( σ p) p E M p folgt: p E M χ 0. Bezüglich der 3-Richtung σ3 1 0 E + M 0 1 entsprechen dabei die folgenden χ den verschiedenen Spinzuständen: χ 1 spin-up, χ 0 spin-down 0 1 Eine gute Quantenzahl des freien Dirac-Teilchens ist die Helizität, d.h. die Projektion des Spins auf die Impulsrichtung: Λˆ Σ p σ p 0, Λˆ 1 Die Eigenwerte von 4x4 Λˆ 0 σ p sind ± 1 und es gilt: [ H D, Λˆ ] [ p + βm, Σ p] 0 (Für massive Teilchen keine Invariante!) Dirac Teilchen Mit der Normierung u( p, s)u( p, s ) Mδ ss ergibt sich für den Vierer-Spinor u : 1 u( p, s) E + M σ p χ s E + M E + M χ 0 1 s bzw. 1 0 χ mit. p z ( E + M) ( p x ip y ) ( E + M) s E M + p ( p x + ip y ) ( E + M) p z ( E + M) Die Antiteilchen Lösungen (mit formal negativer Energie) sind: ψ( x) v( p, s)e ip µ xµ, p 0 + M p + E, i p, 0 σ p v( p, s) E + M E + M χ s 1 In der Quantenfeldtheorie wird ψ( x) - wie das Klein-Gordon-Feld - als Feldoperator d 3 p interpretiert: ψ( x) ( π) 3 p 0 a( p, s)u( p, s)e ip µ xµ b ( ps, )v( p, s)e ip µ + xµ s ± Elektronfeld vernichtet Elektron erzeugt Elektron Kontinuitätsgleichung: µ j µ Grundzüge der Quantenelektrodynamik Das elektromagnetische Feld wird beschrieben durch die Potentiale φ( r, und Art (, ), zusammengefasst im Viererpotential A µ ( x) ( φ( x), Ax ( )) mit x ( r, Maxwellgleichung für freies elektromagnetisches Feld (in der Lorentz-Eichung mit µ A µ 0) : A µ t µ A ( r, 0 φ( x) ρ( x) Ladungsdichte mit Ladungs- und Stromquellen: Ax ( ) jx ( ) Stromdichte A µ ( x) j µ ( x) Vierer-Stromdichte: j µ ( x) ( ρ, j) ρ + j 0 Für Dirac-Teilchen (relativistische Spin-1/-Teilchen wie e, µ, τ ): ρ( x) eψ ( x)ψ( x) eψγ 0 ψ mit γ γ 0 j µ eψγ µ ψ Dirac-Stromdichte jx ( ) eψ ( x)ψ( x) eψγψ Grundzüge der QED ψ Freie Dirac-Gleichung: ( i + βm)ψ Eψ i, oder in kovarianter Form: ( γ µ p µ m)ψ 0 Minimale (eichinvariante) Kopplung von geladenen Teilchen an das elektromagnetische E E eφ( r, Feld: p p ea( r, p µ p µ ea µ A µ ( x) eψ( x)γ µ ψ( x) Zusammenfassung: Gleichungen der QED: ( γ µ ( p µ ea µ ( x) ) m)ψ( x) 0 Wechselwirkungsterm (Hamiltondichte): H int ρ( x) φ( x) jx ( ) Ax ( ) j µ ( x)a µ ( x) eψ( x)γ µ ψ( x)a µ ( x) Störungstheorie: Entwicklung der Lösungen der QED-Gleichungen nach Potenzen der Feinstruktur-Konstante e /4π ausgehend von den Lösungen für freie Teilchen

3 Beispiel: Wechselwirkung zweier Elektronen 4-Strom von Elektron ( j µ ( y) eψ ( y)γ ν ψ( y) erzeugt 4-Potential A µ ( x) Lösung von A µ ( x) j µ ( x) mittels Greens-Funktion: A µ ( x) e d 4 yd µν ( x y)j ν ( y) statischer Grenzfall: D µν ( x y) 4-Strom von Elektron 1 ( j µ ( x) ) koppelt an dieses 4- Potential Wechselwirkungsmatrixelement ist zweiter Ordnung Störungstheorie in der Wechselwirkungsdichte H int : δ( t t' ) g µν 4π x y M e 4 d x d 4 y Elektron 1 vernichtet x virtuelles Photon Strom 1 Strom ψ( x)γ µ ψ( x) D µν ( x y) ψ( y)γ ν ψ( y) H int ( x)h int ( y) e ψ( x)γ µ A µ ( x)ψ( x)ψ( y)γ ν A ν ( y)ψ( y) Elektron 1 erzeugt virtuelles Photon erzeugt/vernichtet y Strom 1 Propagator Strom Elektron erzeugt Elektron vernichtet Feynmanregeln der QED I Elektron im Anfangszustand u( p, s) Elektron im Endzustand: u( p, s) Positron im Anfangszustand v( p, s) Positron im Endzustand: v( p, s) Photon im Anfangszustand ε µ ( k) Photon im Endzustand: ε µ ( k) Wechselwirkungsvertex: Photon-Propagator: Elektron-Positron-Propagator: ieγ µ i g µν k i γ µ p µ m i( γ µ p µ + m) p m Feynmanregeln der QED II Energie und Impulserhaltung an jedem Vertex: ( π) 4 δ 4 ( k 1 + k + k 3 ) worin die k s die in den Vertex einlaufenden Viererimpulse sind d 4 q Integration über die internen Impulse: ( π) 4 Streichen der Gesamt-Energie- und Impulserhaltungs Deltafunktion: ( π) 4 δ 4 ( p 1 + p + p n ) Ergebnis ist im für das entsprechende Diagramm alle Diagramme bis zur gewünschten Ordnung erstellen für jedes Diagramm im berechnen p4,s 4 p 5,s 5 p 1,s 1 p,s p 3,s 3 p 6,s 6 Antisymmetrisierung: relatives Minuszeichen zwischen zwei Diagrammen, die sich nur durch Austausch zweier einlaufender (oder auslaufender) Elektronen (Positronen) oder eines einlaufenden Elektrons mit einem auslaufenden Positron (oder umgekehr unterscheiden q i Beispiel Elektron-Myon Streuung Unter Anwendung der Feynmanregeln bewegt man sich entlang jeder Fermionlinie p 3, s 3 p 4, s 4 e µ q e µ p 1, s 1 p, s "rückwärts" durch das Diagramm: ( π) 4 µ ig µν u( p 3, s 3 )( ieγ )u( p 1, s 1 ) q u( p 4, s 4 )( ieγ ν )u( p, s ) δ 4 ( p 1 p 3 q)δ 4 4 ( p + q p 4 ) d q Integration über q und Streichen der allgemeinen Deltafunktion führt zu: e M ( p 1 p 3 ) [ u( p 3, s 3 )γ µ u( p 1, s 1 )][ u( p 4, s 4 )γ µ u( p, s )] das Ergebnis ist eine Zahl, die berechnet werden kann, sobald der Spin bekannt ist.

4 Experimentelle Tests der QED Die Quantenelektrodynamik ist das Musterbeispiel für eine höchst erfolgreiche und präzise Eichtheorie. Frage: Wie genau werden die experimentellen Daten beschrieben? Präzisionstest bei kleinen Energien (10-10 ) Tests bei hohen Energien 10-4 (PETRA, LEP) Bisher hat die Theorie alle Tests glänzend bestanden. Die Suche nach Abweichungen bietet also gleichzeitig Möglichkeit für eine Suche nach neuen, bisher unbekannten Effekten. sind e,µ,τ wirklich punktförmig? sind Wechselwirkungen mit e,µ,τ identisch, d.h. gilt Leptonuniversalität? entspricht die Energie- (Abstands-) Abhängigkeit der Kopplungskonstanten em den Erwartungen? gibt es neue Teilchen (z.b. angeregte Elektronen e* etc)? Lamb-Shift m e Energiezustände im Wasserstoffatom: E n mit Hauptquantenzahl n. n Klassisch sind die Zustände mit verschiedenen l-werten entartet Experiment von Lamb in 1947 findet kleine Aufspaltung Erklärung: Emission und Reabsorption von virtuellen Photonen verschmiert die Elektron-Bahn geringfügig im Vergleich zur Dirac-Theorie. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ursprung, wo die Wechselwirkung mit dem Feld des Kerns am größten ist, ist für die s-welle sehr viel größer. Dies führt zu einer Verschiebung des Energieniveaus Theorie: ± MHz Experiment: ± 0.06 MHz sehr empfindlicher Test der Quantenelektrodynamik am CERN ist ein Experiment in Vorbereitung, um den Lamb-Shift von Wasserstoff und Anti-Wasserstoff miteinander vergleichen nl j S 1/ 1S 1/ r 1058 MHz.47x10 9 MHz R(r) n, l0 R(r) n, l1 P 3/ P 1/ r Magnetisches Moment Klassisch: µ ( Strom x Fläche) c µ ( e ( mc) )L Das magnetische Moment eines Elementarteilchens hängt mit seinem Spin zusammen: e µ g s mc Geladene Leptonen sind Dirac Teilchen, die mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirken gemäß: [ iγ µ ( µ + iea µ ) m]ψ 0 mit A µ ( φ, A) Wechselwirkungsenergie eines magnetischen Moments mit einem elektromagnetischem Feld: W µ B In erster Ordnung gilt in der Dirac Theorie: g Abweichungen von diesem Wert ergeben sich durch QED Diagramme höherer Ordnung: a ( g ) - Emission und Absorption virtueller Photonen führt zu einer effektiven Verschmierung durch die Unschärferelation (Rückstoß). Identisch für e und µ. - Vakuumpolarisation: Diese Terme sind empfindlich auch auf hadronische Terme (und neue Wechselwirkungen/Teilchen) und sind unterschiedlich für e und µ. Magnetisches Moment des Elektrons 1 Experiment: a e ( Experimen ( ± 4.3) 10 (Dehmelt et al 87, Nobelp.) Theorie: 1-Loop (J.Schwinger 1947): -Loop: 3-Loop (E. Remiddi 1999): a e ( -Loop) a e ( 1-Loop) -- π π 197 π π ln + --ς ( 3) π ( ) a e ( 3-Loop) -- π 3 1, Loop (: a e ( 4-Loop) -- (891 Diagramme!) π 4 ( ( 384 )) 1 a e ( Theorie) ( ± 8) 10 Das Meßergebnis stimmt mit einer Genauigkeit von mit der Theorie überein. Die experimentelle Unsicherheit ist momentan kleiner als die theoretische (QCD). Da die QED-Rechnung unter der Annahme eines punktförmigen Elektrons gemacht wurde, läßt sich umgekehrt eine obere Grenze für den Elektronradius von r e < m ableiten.

5 Standard Model Wert für a µ (g µ -)/ QED Beiträge zu (g-) µ Beiträge bis zur Ordnung -- 3 π (g-) µ Experiment in Brookhaven (g-) µ Experiment in Brookhaven Spin-Präzession Nachweis Präzession mit Spin 1/ und Lande Faktor g : eb ω s g γm γ g ω c γ g eb ϕ() t ( ω s ω c ) t t m

6 Zerfallsspektrum der Myonen Ergebnis Zerfallsspektrum der Myonen ist moduliert mit der Winkelfrequenz ω s ω c durch Fit an die Daten wird g bestimmt Neueste theoretische Rechnungen Hochenergietests der QED: e + e - l + l - µ + µ τ + τ γ + µ + µ τ + τ Z 0 PETRA : (s) << m Z e e + e e + µ + µ τ + τ LEP: (s) > m Z µ + µ Vorzeichen des "light-by-light" Beitrags war verkehrt Diskrepanz Exp. vs Theo. reduziert!