[ H, L 2 ]=[ H, L z. ]=[ L 2, L z. U r = Warum haben wir soviel Zeit mit L 2 verbracht? = x 2 2. r 1 2. y 2 2. z 2 = 2. r 2 2 r

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1 Warum haben wir soviel Zeit mit L 2 verbracht? = x 2 2 y 2 2 z 2 = 2 r 2 2 r r 1 2 L r 2 ħ Das Wasserstoffatom H = p2 2 U r μ = Masse (statt m, da m später als Quantenzahl verwendet wird) U r = e2 4 0 r p 2 2 = ħ2 2 = ħ2 2 2 r 2 2 r 2 r 1 r 2 ħ L 2 Wir suchen wieder die stationären Lösungen H ψ = E ψ Der Hamiltonoperator kommutiert mit L z und L 2, aus diesem Grund muss die Lösung die uns schon bekannten Winkelfunktionen enthalten. [ H, L 2 ]=[ H, L z ]=[ L 2, L z ]=0 96

2 Ansatz: nlm r,, = f nl r Y lm, E nlm f nl r Y lm, [ = ħ2 2 f nl r 2 r 2 2 r r f nl r U r f nl r ] Y lm ħ2 2 1 r 2 ħ 2 ħ2 l l1 f nl r Y lm Die Differenzialgleichung für f nl (r) hängt von l ab, aber von keinem Winkel. E nlm f nl r = ħ2 2 2 f nl r 2 r 2 r r nlr f U r f nlr ħ2 l l1 2 r 2 f nl r keine Abhängigkeit mehr von m -> E nl Wir suchen eine Lösung für ein gebundenes Elektron, f nl (r -> ) = 0 f nl (r) = Potenzreihenansatz = e a nl r [b nl c nl r d nl r 2... ] Einsetzen in Differenzialgleichung -> a, b,... bestimmbar -> Lösung Für eine normierbare Lösung muss die Reihe endlich sein, was eine Bedingung für die erlaubten Energien darstellt (siehe Mathematica H-Atom.nb). 97

3 Speziell für U r = e2 4 0 r E nl = E n = 1 n 2 E 0 von l unabhängig E 0 = e a 0 = 13,6 ev = 1 Ry a 0 = ħ2 4 0 = 0, m Bohrscher Radius e 2 Im Allgemeinen hat man für die Energie eine n- und l-abhängigkeit, für das Coulombpotenzial erhält man zufällig nur eine n-abhängigkeit der Energie. Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3,... Nebenquantenzahl (Orbitalquantenzahl) l = 0, 1, 2,..., n-1 Magnetquantenzahl m = -l,..., 0,... l (diese Betrachtung gilt auch für 1 Elektron in He +, Li ++,... in U(r) ändert sich e 2 -> Z e 2 E n = Z 2 n 2 E 0 98

4 n = 1 l = 0 s - Zustand m = 0 1 Zustand n = 2 l = 0 s - Zustand m = 0 l = 1 p - Zustand m = -1, 0, 1 4 Zustände n = 3 l = 0 s - Zustand m = 0 l = 1 p - Zustand m = -1, 0, 1 9 Zustände l = 2 d - Zustand m = -2, -1, 0, 1, 2 Jeder Zustand kann mit 2 Elektronen besetzt werden! Die Ursache dafür ist der Spin. n = 1 K Schale 2 Elektronen n = 2 L Schale 8 Elektronen n = 3 M Schale 18 Elektronen 99

5 11.1 Radialwellenanteil wasserstoffartiger Atome n=1 l=0 n=2 l=0 l=1 n=3 l=0 l=1 l=2 f nl (r) f nl (r) f nl (r) r 2 f nl (r) 2 r 2 f nl (r) 2 r 2 f nl (r) 2 x-achse ist bei allen Bildern r in Einheiten des Bohrschen Radius a 0. Die radialen Anteile haben n-l-1 Nullstellen und können auch negativ werden. 100

6 11.2 Konstruktion reeller Winkelfunktionen s-wellenfunktion ist kugelsymmetrisch (keine Winkelabhängigkeit) l = 0 Y 00, = 1 4 Alle sphärischen Harmonischen für m 0 sind komplex! Durch Linearkombinationen der Kugelwellenfunktionen, lassen sich die entsprechenden rein reellen Orbitale konstruieren. p-wellenfunktion l = 1 Y 10, = 3 4 cos Y 1±1, = 3 8 sin e±i p x = 1 2 Y 1 1 Y 11 = sin e i e i = 3 4 sin cos = 3 4 p y = i 2 Y 11 Y 1 1 = i sin ei e i = 3 4 sin sin = 3 4 x r y r p z =Y 10= 3 8 cos 101

7 s-orbital l=0 p-orbitale l=1 Alonso/Finn: Quantenphysik 102

8 entsprechend werden d-orbitale konstruiert l = 2 Y 20 = cos2 1 Y 2±1 = 8 sin cos e±i d-wellenfunktion Y 2±2 = sin 2 e ±2i m=0 d z 2 2= r m=1 d xz = m=1 d yz = m=2 d x 2 y 2= m=2 d xy = cos2 1 = 4 4 sin cos cos = sin cos sin = 4 sin2 cos 2 = 4 sin2 sin 2 = xz r 2 yz r 2 3z 2 r 2 x 2 y 2 xy r 2 r 2 r 2 103

9 d-orbitale l=2 Alonso/Finn: Quantenphysik 104

10 f-orbitale l=3 m=±1 m=±2 m=±3 m=0 Noch mehr Plots und Animationen von Orbitalen und Dichten für Atome: 105

11 Zusammenfassung keine Planetenbahnen es existieren gebunden Zustände mit negativer Energie E n = Z 2 n 2 E 0 E 0 = ev Lösungen zu positiver Energie entsprechen Streuung (Wirkungsquerschnitte) Die vollständige Lösung der Wellenfunktion hängt von 3 Quantenzahlen n, l und m ab. nlm r = Z 3 a n 2 n l 1! nl! 2 Z r n a 0 l 2l1 L 2 Z r n l 1 n a 0 exp 2 Z r n a Y lm, 0 Die Wellenfunktion ist orthonormiert: d 3 * r n' l ' m' r nlm r = n' n l ' l m Für jedes l existieren 2l+1 Zustände. Der Entartungsgrad eines Zustandes n beträgt n 1 M n= 2 l1=n 2 l=0 Der Grundzustand n=1 ist nicht entartet, der erste angeregte Zustand n=2 ist vierfach 106 entartet (2s und 3 2p Zustände gleicher Energie).

12 Spektrallinien für optische Übergänge gelten Dipolauswahlregeln mit l = ±1 m = 0, ±1 E n /E 0 n = 3 n = 2 n = 1 s p d l Bei einem Elektronenübergang, z.b. 2p-> 1s wird ein Photon emitiert bzw. absorbiert. Die Energie dieses Photons entspricht der Energiedifferenz der beteiligten Niveaus mit n 2 > n 1 zwischen denen der Übergang stattfindet.. E=ħ =2 ħ =2ħ c/ 1 = E 2 ħ c = Z 2 e a 0 ħ c n n 2 =R H 1 n n 2 2 Es werden Serien von Spektrallinien beobachtet (n 1 =1 Lyman, n 1 =2 Balmer). R H =Rydberg Konstante 107

13 11.3 weitere Näherungen Statt der Elektronenmasse, müsste man eigentlich die reduzierte Masse nehmen. 1 = m e M Kern m e Aus diesem Grund findet man einen Isotopeneffekt für optische Spektren. Nachweis von Deuterium 1932 aus Messung der Rydbergkonstanten R H /R D = Feinstruktur: relativistische Korrekturen (Spin-Bahn Kopplung, Dirac-Gleichung) Aufspaltung von p, d und f-zuständen. Hyperfeinstruktur: Wechselwirkung des Kernspin mit Elektronenspin Lamb-shift: Wechselwirkung mit dem Vakuum (Quantenelektrodynamik) führt zur Aufspaltung (5μeV) von 2s 1/2 und 2p 1/2,die auch relativistisch noch entartet sind. Feinstrukturkonstante 4 0 ħ 2 = me 2 1/137 Fließbach:Quantenmechanik 108

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