Das Wasserstoffatom Energiestufen im Atom

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1 Das Wasserstoffatom Energiestufen im Atom Vorwissen: Hg und Na-Dampflampe liefern ein charakteristisches Spektrum, das entweder mit einem Gitter- oder einem Prismenspektralapparat betrachtet werden kann. Um 1900 wurden die Lichtspektren eines Elements mit den diskreten Energieniveaus im Atom in Verbindung gebracht. Emissionsspektrum von Wasserstoff Wasserstoff wird durch Stoßionisation zum Leuchten angeregt. Mit einem Prismenspektralapparat wird das Spektrum erzeugt. 5 kv Man beobachtet 4 Linien: = 656 nm rot = 486 nm grün = 434 nm blau = 410 nm violett 1885 gelang dem schweizer Gymnasiallehrer Jakob Balmer einen mathematischen Zusammenhang zu finden: λ rot * 5/9 = 365 nm λ grün * 12/16 = 365 nm allgemein λ blau * 21/25 = 365 nm λ = 365 nm * λ viol * 32/36 = 365 nm für n 3 n² n² 2² In der heute üblichen Form schreibt man: 1 λ = 1 2² (1 365nm n² )= ( 1 2² 1 1 n² )=1, m ( 1 2² 1 ) n>3,4,5... n² 1, m -1 heißt Rydbergkonstante R H. 1/ heißt Wellenzahl.. Dieser schwedische Physiker erweiterte Balmers Gesetz durch eine kühne Spekulation: 1 λ =R H ( 1 n 1 ² 1 n 2 ² ) n 1=1,2,3,.. n 2 =n 1 +1, n 1 +2 usw... Nach einiger Zeit fand man wirklich die vorhergesagten Wellenlängen: 1906 Lyman für n 1 = 1 UV-Bereich 1885 Balmer n 1 = 2 sichtbar 1908 Paschen n 1 = 3 IR 1922 Brackett n 1 = 4 IR 1924 Pfund n 1 = 5 IR

2 Modellvorstellung zur Entstehung der Emissionslinien : Das Atom hat diskrete Energiezustände. Beim Übergang von einem zum anderen wird ein Photon, das der Energiedifferenz entspricht emittiert ( oder auch absorbiert). Multipliziert man die Serienformel mit hc so erhält man: hc λ =Rhc ( 1 n 1 ² 1 n 2 ² ) Energie des emittierten Lichtquants Energiediffernz vom n 2 ten zum n 1 ten Energieniveau Für das Wasserstoffatom ergeben sich damit folgende Energiestufen: E n = Rhc 1 n² Da die pot Energie im Unendlichen mit Null feastgelegt ist und ferner die pt Energie doppelt so groß wie die kin Energie ist E 1 = 1, m 6, Js m s 1 1 = 21, J = 13,6 ev 13,4 ev E 2 = = 3,4 ev = E 1 E 3 = 1,5eV = 1 9 E 1 E 4 = 0,85 ev = 1 16 E 1 usw. Graphische Darstellung: 0 ev 1/9 13,6 ev 1/4 13,6 ev Balmer sichtbar Paschen IR n= n=4 n=3 n=2 13,6 ev α β γ E n =13,6eV (0 1 n² ) E n =13,6 ev (1 1 n ² ) 13,6 ev n=1 0 ev Lyman UV Als 0-Niveau wählt man meist die Energie des freien Elektrons. E n ist dann diejenige Bindungsenergie, die aufgebracht werden muss, um das Elektron freizubekommen. Insgesamt gibt es so viele Linien wie Termdifferenzen gebildet werden können (Ritz'sches Kombinationsprinzip). Die Ionisationsenergie des Elektrons beim Wasserstoff ist dann:

3 E ion =Rhc ( 1 1² 1 )=Rhc=13,6 ev Bemerkungen: a) Durch Druckerhöhung verbreitern sich die Linien. Im magnetischen und elektrischen Feld spalten die Linien auf. b) Für andere Atome konnte keine ähnliche Formel gefunden werden. Übungen zur Serienformel: 1. Berechne die Wellenlänge und die Energie der langwelligsten Balmerlinie. 2. Wie kann man aus der Lyman-Serie die langwellige Balmerlinie berechnen? 3. Beschreibe anhand einer Skizze, wie das Emissionsspektrum eines Gases aufgenommen wird? 4. Das Emissionsspektrum von Wasserstoff wird mit einem Gitter (b = 2 μm) aufgenommen. Eine Linie erscheint dabei in 2. Ordnung unter dem Winkel 29,1. a) Berechne die Wellenlänge der Linie b) Welche Energie muss man dem Wasserstoff im Grundzustand mindestens zuführen, damit man diese Linie beobachten kann? Absorptionsspektren Einführungsversuch: Natriumdampf lampe Die Na- Atome in der Gasflamme absorbieren das Licht, weil die Wellenlänge des Na-Lichts zu den Energieniveaus der Na Atome im Kochsalzdampf passt. Wenn die Atome anschließend wieder vom angeregten Zustand in den Grundzustand fallen emittieren sie Licht in alle Richtungen - deshalb die Schattenbildung. Man nennt den Vorgang Resonanzfluoreszenz. Entsprechend erhält man auf dieselbe Weise im kontinuierlichen Spektrum der Kohlenbogenlampe eine dunkle Absorptionslinie an der Stelle der Na-Doppelllinie. Man spricht von Umkehrung der Na-Linie. Versuch: Bogenlampe Spalt f=100 Gitter Wand Man erhält so das Absorptionsspektrum. Grundsätzlich gibt es zu jeder Emissionslinie eine Absorptionslinie.

4 Bemerkung: Fraunhofer (Straubing) entdeckte schon 1814 Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Das Element Helium wurde so entdeckt noch bevor es auf der Erde nachgewiesen werden konnte Die Lösungen der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom Das Elektron des Wasserstoffatoms befindet sich im Coulombfeld der Protons. Die pot. Energie im Abstand r vom Kern ist demnach e² 1. Dies verkompliziert die 4 πε o r Schrödinger-Gleichung nochmals, so dass im Schulbetrieb eine Lösung unmöglich ist. Mit dem Computerprogramm Schrödingers Schlange (freeware) kann man aber leicht ψ Funktionen zeichnen lassen. Man sieht dabei, dass diese ψ- Funktionen fast immer divergent sind. Nur für ganz bestimmte Energiewerte werden die Randbedingungen ψ(0) = 0 und ψ( ) = 0 (die ψ Funktion muss im Unendliche Null sein) erfüllt. Gesucht ist demnach eine Funktion ψ, die durch zweimaliges Ableiten bis auf Proportionalitätsfaktoren wieder in sich selbst übergeht und die beiden Randbedingungen erfüllt. Damit erhält man dann die Energieeigenwerte. n=2 13,6 ev n=1 Für die Annäherung an die Wirklichkeit muss berücksichtigt werden, dass sich die Elektronen im Atom dreidimensional bewegen können. Cladnische Figuren Einen Eindruck von zweidimensionalen stehenden Wellen geben die Chladnischen Klangfiguren wieder. Dazu wird eine Glasscheibe mit feinem Sand bestreut und mit einem Geigenbogen angeregt. Es bilden sich dann Muster mit Knotenlinien aus an denen das Glas nicht schwingt. Die Nullstelle einer Wellenfunktion gibt im Raum die Knotenfläche an, für die die Antreffwahrscheinlichkeit null ist. Die räumliche Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte ψ² heißt Orbital. In der Übersicht unten sind für n 3 die Orbitale für das Wasserstoffatom dargestellt. Für jeden Anregungszustand n gibt es n² Lösungen der Schrödingergleichung und damit auch n² Orbitale. Um die Orbitale übersichtlich beschreiben zu können, verwendet man weitere Quantenzahlen, deren Bezeichnungen von Arnold Sommerfeld stammen und ursprünglich das Bohrsche Atommodell erweiterten: Hauptquantenzahl n ; sie kennzeichnet das Energieniveaus

5 Nebenquantenzahl (Bahndrehimpulsquantenz ) l = 0, 1,, n-1 ; sie kennzeichnet die Form des Orbitals Magnetquantenzahl m mit -l m +l ; Orientierung im Raum

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c = Ausbreitungsgeschwindigkeit (2, m/s) λ = Wellenlänge (m) ν = Frequenz (Hz, s -1 ) 2.3 Struktur der Elektronenhülle Elektromagnetische Strahlung c = λ ν c = Ausbreitungsgeschwindigkeit (2,9979 10 8 m/s) λ = Wellenlänge (m) ν = Frequenz (Hz, s -1 ) Quantentheorie (Max Planck, 1900) Die

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