Das Bohrsche Atommodell

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1 Das Bohrsche Atommodell Auf ein Elektron, welches im elektrischen Feld eines Atomkerns kreist wirkt ein magnetisches Feld. Der Abstand zum Atomkern ist das Ergebnis, der elektrostatischen Coulomb-Anziehung und der entgegenwirkenden Zentrifugalkraft. Die verfügbaren Bahnen sind auf jene begrenzt, bei denen das Bahndrehmoment die folgende Bedingung erfüllt: h L = n n = 1,,3,... π Die Gesamtenergie bleibt konstant / keine Strahlung. Strahlung dann, Ei E j ν = wenn ein Elektron h die Bahn wechselt: E = hν

2 Das Bohrsche Atommodell Coulomb-Anziehung = Zentrifugalkraft ze v = = = 1,,3,... 4πε m ze mv r n 0 r r πε 0 Bahndrehimpuls L = mvr = ћn L = m v r = ћ n mv r ћ n 1 = = ze r = mr 4πε 0 4πε ћ n ze m 0 ze Potentielle Energie U = 4πε r Kinetische Energie K = = ze mv 4πε r 0

3 Gesamtenergie E = U + K E ze 1 ze = + 4πε r 4πε r 0 0 E n = 4 1 ze ze m mz e 1 = 4πε 4πε ћ n πε 0 0 ( 4 ) n 0 ћ E = mz e ( πε ) n 1 n ћ 1 Berechnung der Energieniveaus der Balmer-Serie und Voraussage der Lyman und Paschen Serien. Korrekte Ergebnisse für Wasserstoff

4 Heisenbergsche Unschärferelation p q Impuls des Teilchens entlang der Achse q p q q ћ p q q q Unschärfe im Impuls Ort des Teilchens Unschärfe im Ort

5 Quantelung der Energie: Teilchen im Kasten Die Wellennatur der Materie bedingt, dass die Energie eines Teilchens, welches durch ein Potential in seiner Bewegung eingeschränkt ist, nur gewisse Werte annehmen kann. So muss ein Teilchen in einem Kastenpotential eine stehende Welle bilden: a = n λ 0 a Quantenzahl

6 λ nh nh a = n = v = mv ma ε ε kin kin 1 1 nh = mv = m = ma n h 8ma Teilchen im Kasten n = 1,,3,... Energie ist gequantelt Bei 3-dimensionalem Kasten: ε kin h n n n h = 8m + + a b c + 8mV ( n ) 1 n + n 3 Quantenzahlen Æ Entartung (Zustände mit gleich Energie)

7 Die Schrödingergleichung Die Bewegung eines klassisches Teilchen in einem Potentialfeld nennt man eine Trajektorie. Die Trajektorie kann bei bekanntem Potential aus den Anfangsbedingungen durch Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichungen berechent werden. An die Stelle der Trajektorie tritt in der Quantenmechanik die Wellenfunktion

8 Eigenschaften der Wellenfunktion Die Wellenfunktion ist (ebenfalls) eine mathematische Funktion Man kann die Wellenfunktion als Lösung der Schrödinger- Gleichung berechnen. Die Wellenfunktion enthält alle Information, die über das System experimentell ermittelt werden kann Je größer der Absolutbetrag der Wellenfunktion an einer Stelle ist, desto eher findet man das Teilchen an dieser Stelle Die Krümmung der Wellenfunktion ist umso größer, je größer die kinetische Energie des Teilchens an dieser Stelle ist.

9 Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse m, welches die Energie E aufweist und sich in x-richtung bewegt (1-dimensionale Wellenfunktion) ћ d Ψ + V ( x) Ψ = EΨ m dx Potentielle Energie am Ort x Ψ = Wellenfunktion Differentialgleichung. Ordnung

10 Lösungen der Schrödingergleichung

11 Die Wellenfunktion ist im allgemeinen Fall eine komplexe Funktion, die nicht beobachtbar ist und keine direkte physikalische Bedeutung hat. Bereiche, in denen die Wellenfunktion stark gekrümmt ist, tragen viel zur kinetischen Energie bei. Ψ Bereich mit grossem Beitrag zur kinetischen Energie Bereich mit geringem Beitrag zur kinetischen Energie Ort x

12 Die 3-dimensionale Schrödingergleichung Grundlage jeder chemischen Anwendung der Quantenmechanik ist die Born-Oppenheimer-Approximation. Dabei nimmt man an, dass sich die Kerne klassisch verhalten, und nur für die Elektronen eine Wellenfunktion gefunden werden muss. ћ m d dy Ψ + V r Ψ = EΨ = + + ( ) ˆ ˆ HΨ = EΨ H = + V r mit d dx ћ m d dz Nabla-Operator ( ) Hamilton-Operator

13 Atomorbitale und Energie Hauptquantenzahl n = 1,,3,.. Energie des Elektrons (Bahn)drehimpuls Quantenzahl l = 0,1,,3.. (n-1) Bahndrehimpuls des Elektrons Magnetquantenzahl (Rotations) m l = 0, ±1,, ±l Drehimpuls des Elektrons um eine bestimmte Achse Elektonenspin durch Quantenzahl m s beschrieben hat immer den Wert ½. Die Richtung des Elekronen Drehimpulses kann im Uhrzeigesinn oder gegenläufig sein: +m s / -m s

14 Unterschalen und Orbitale Orbitale mit gleichem Wert für n, verschieden Werten für l bilden Unterschalen l = 0, 1,, 3, 4 s, p, d, f, g.. n = 1 eine Unterschale mit l = 0 n = zwei Unterschalen, s (l=0) und p (l=1) Unterschale mit n = mit l = 1 ist p Unterschale mit p Orbitalen jede Unterschale l + 1 Orbitale korresp. mit l + 1 Werten für m l für jeden Wert von l Unterschale s p d f Zahl Orbitale V. Ribitsch, C. Kratky PC-LAK Kap. 8 14

15 Schalen, Unterschalen und Orbitale n Schale Unterschale Orbitale Summe 1 K s 1 1 Orb (l=0, m l = 0) 1 L s,p 1 Orb.(l=0, m l = 0, 4 3 Orb (l=1, m l = 0,+1,-1) 3 M s,p,d 3 1 Orb (l=0, m l = 0) 9 3 Orb (l=1, m l = 0,+1,-1) 5 Orb (l =, d-orbitale) 4 N s,p,d,f 4 Bei Wasserstoffähnlichen Molekülen alle Orbitale einer Schale die gleiche Energie!!

16 Wellenfunktionen des Wasserstoffatomatoms radiale Wellenfunktionen qs der ersten drei Hauptquantenzahlen des Wasserstoffatom ψ zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichten ψ Die s-orbitale haben am Kern von null verschiedene, endliche Werte

17 Die ersten drei s-orbitale wasserstoffähnlicher Atome (a) Die Elektronendichte wird durch den Grad der Schattierung dargestellt. (b) Die Bindungsfläche, innerhalb derer sich das Elektron mit 90 % Wahrscheinlichkeit aufhält

18 Bindungsflächen der p - Orbitale Die Knotenebene verläuft jeweils durch den Kern und trennt die beiden Bereiche eines jeden Orbitals. Die unterschiedlichen Schattierungen symbolisieren die entgegen gesetzten Vorzeichen der Wellenfunktion

19 D- Orbitale Orbitale mit l = sind d Orbitale In jeder Schale für n 3 existieren fünf d- Orbitale mit ml = 0, ± 1 und ± D-Orbitale ähnlich p-orbitalen, je Knotenflächen schneiden sich im Kern und bilden 4 Lappen

20 Wasserstoffähnliche Atome Diese Atome bestehen aus dem Kern und einem Elektron Verteilung des Elektrons um den Kern durch Wellenfunktion beschrieben, durch 3 Quantenzahlen: n,l, m beschreiben Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektons. Der Spin des Elektrones durch vierte Quantenzahl m s festgelegt, + ½ oder ½ Zustand niedrigster Energie: 1s Orbital. Das Elektron ist nahe am Kern, radialsymetrisch, Bahndrehimpuls um den Kern = 0 In Schalen mit höheren Hauptquantenzahlen kann das Elektron Orbitale höherer Energie besetzen. In diesen sind unterschiedlich grosse Bahndrehimpulse möglich, (Wert l für das jeweilige Orbital). Der Spin-Drehimpuls ist stets konstant und unabhängig vom Bahndrehimpuls.

21 Aufbau von Mehrelektron-Atomen Orbitalnäherung: jedes Elektron besetzt ein eigenes Orbital, ähnlich den H ähnlichen Atomen; Kernladungszahl ist durch die Anwesenheit aller Elektronen moduliert Pauliverbot: nicht mehr als El in einem Orbital, unterscheiden sich durch Spin, der gepaart sein muss +/- Beispiel Helium: erste El in 1s-Orbital, kompakter als H wegen Kernladungszahl =. Das zweite El ebenfalls in 1s, die Konfiguration im Grundzustand 1s 1 s Das dritte EL nicht mehr in der K-Schale sondern in L-Schale (n=) mit s und p-orbitalen

22 Aufenthaltswahrscheinlichkeit Ein Elektron in einem s-orbital (hier 3s) wird mit größerer Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Kerns gefunden als ein Elektron in einem p-orbital derselben Schale. Aus diesem Grunde erfährt das s- Elektron eine geringere Abschirmung und wird enger gebunden.

23 Aufbauprinzip Besetzungsreihe der Unterschalen 1s s p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s Besetzung von 4s bevor 3d besetzt wird da geringer an Energie Die El besetzen verschieden Orbitale einer Unterschale bevor sie ein Orbeital doppelt besetzen Hundsche Regel: Atom im Grundzustand hat die grösstmögliche Anzahl ungepaarter El. Elektronen in unterschiedlichen Schalen mit gleichem Spin weniger Energie als in gleicher Schale mit ungleichem Spin - Spinkorrelation Beispiele: C-Atom: zwei einzelne p-el mit gleichem Spin N-Atom: drei einzelne p-el mit gleichem Spin O-Atom: El im px Orbital mit gepaarte Spin; zwei einzelne p-el mit gleichem Spin Ne-Atom: (He)s p 6 abgeschlosse Aussenschale Z=10 Li-Atom: (He)s 1 ein einzelnes s-el ausserhalb abgeschlossener Schale Na-Atom: (Ne)3s 1 - ein einzelnes s-el ausserhalb abgeschlossener Schale