Der Zeeman - Eekt. Matthias Lütgens und Christoph Mahnke. 16. November betreut von Herrn Toral Ziems. Versuch durchgeführt am 10./11.11.

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1 Der Zeeman - Eekt Matthias Lütgens und Christoph Mahnke 16. November 2005 betreut von Herrn Toral Ziems Versuch durchgeführt am 10./

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Das Energieeigenwertproblem im H-Atom Mehrelektronensysteme Quantenzahlen im Mehrelektronensystem Das magnetische Moment Auswahlregeln Der Zeeman - Eekt Polarisationsverhalten im Magnetfeld Das Spektrum der Cadmium - Lampe Magnetfeldstärkenbestimmung Versuchsbeschreibung Aufgaben Versuchsvorbereitung und Formeln Geräte Aufbau Formeln Durchführung Ausmessen des Magnetfeldes Aufnahme der Magnetussdichte in Abhängigkeit vom Strom Berechnung des Kalibrierungsfaktors und Fehlerrechnung Beobachtungen und Diskussion physikalischer Phänomene Beobachtungen zum annormalen Zeeman - Eekt Beobachtungen zum Polarisationsverhalten Diskussion des beobachteten Polarisationsverhaltens Bestimmung der Niveauaufspaltung Aufnahme der Messwerte Berechnung der Niveauaufspaltung ν Berechnung der spezischen Ladung e 0 /m e Ergebnisse und Auswertung Magnetfeldmessung Polarisationsverhalten und annormaler Zeemaneekt Bestimmung der spezischen Ladung

3 1 Einleitung Niels Bohr lieferte mit seinen Postulaten erstmals Anfang des 20 JH. ein Modell, welches die Spektren des Wasserstoatoms erklärte. Seiner Vorstellung nach umrundet das negative geladene Elektron den positiven Atomkern auf ganz bestimmten festen und strahlungslosen Bahnen. Zwischen Elektron und Kern wirkt dabei die Coulombkraft. Gemäÿ der klassischen Mechanik (Keplerproblem) bendet sich dabei der schwere Kern im Mittelpunkt oder Brennpunkt der kreisförmigen- bzw. elliptischen Bahn. Aus diesen Annahmen lieÿ sich die Energie der Zustände ganz klassisch ermitteln E n = 1 m e Z 2 e (4πɛ 0 ) 2 n 2. (1) Die Spektren des H-Atoms erklärte Bohr durch Übergänge der Elektronen zwischen zwei dieser diskreten Bahnen, und verknüpfte die Frequenz der emittierten Strahlung mit der Energiedierenz der beiden Zustände. ν = E A E E. (2) h Obwohl dieses Modell die Wasserstospektren erklärte, ergaben sich doch eine ganze Reihe von Fragen. Zum einen waren die Annahmen Bohrs nicht zu begründen und zum anderen versagte dieses Modell bei komplizierteren Atomen. Erst mit Überlegungen auch Materie als eine Art Welle zu beschreiben, gelang es mit Hilfe der Schrödinger'schen Wellenmechanik die diskreten Zustände des H-Atoms plausibel zu erklären. Es entwickelte sich die Quantentheorie, deren Ergebnisse, wie zum Beispiel die Existenz des Spins in verschiedenen Experimenten bereits nachgewiesen wurde. In diesem Experiment soll ein weiteres Phänomen der Quantentheorie, der sogenannte Zeeman - Eekt untersucht werden, welcher die Quantisierung des Drehimpulses zeigt. Dabei handelt es sich um ein Eekt, der halbklassisch hergeleitet werden kann, was im Folgenden ausführlicher betrachtet wird. 2 Grundlagen 2.1 Das Energieeigenwertproblem im H-Atom De Broglie stellte sich 1924 die Frage, ob man nicht auch Teilchen als Wellen beschreiben könne. Dabei verknüpfte er typische Wellengröÿen wie Wellenzahlvektor k und Frequenz ω mit den Teilchengröÿen Impuls p = k und Energie E = ω. Schrödinger gri dieses auf und folgerte, wenn ein Teilchen als Welle aufgefasst werden kann, dann muss es möglich sein, das Verhalten aus einer Wellengleichung abzuleiten. Er stellte zum ersten mal die nach ihm benannte Bewegungsgleichung für Teilchen auf: ( ˆp 2m + V ( r) ) Ψ = i t Ψ (3) wobei der Impuls ˆp als Dierenzialoperator ˆp = i r aufzufassen ist. Setzt man ein konservatives System vorraus, führt ein Seperationsansatz Ψ( r, t) = ϕ( r)χ(t) zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung oder Energieeigenwertgleichung Ĥ(ˆ r, ˆ p)ϕ( r) = Eϕ( r) (4) 2 e2 1 mit Ĥ = ( 2m + V ( r)). Angewandt auf das H-Atom-Problem (V (r) = 4πɛ 0 r ) liefert diese Gleichung die Energieeigenwerte (1). Ein Elektronenzustand ist jedoch nicht allein durch seinen Energiewert charakterisiert. Weitere Gröÿen können angegeben werden. Hierzu zählen der Betrag des Drehimpulses l 2 = l(l + 1) 2, (5) die Ausrichtung des Drehimpulses bezüglich einer Quantisierungsachse (hier die z-achse) l z = m l (6) 3

4 und seinen Spin ( s 2 = ), einer Art Eigendrehimpuls (Elektron ist Punktteilchen!), s z = ± 1. (7) 2 All diese Gröÿen sind quantisiert, wobei ein Zustand durch die vier Quantenzahlen n, l, m l, m s eindeutig charakterisiert ist. Abbildung 1: Möglichkeiten der Drehimpulsausrichtung 2.2 Mehrelektronensysteme Quantenzahlen im Mehrelektronensystem Alle anderen Atome auÿer dem Wassersto enthalten natürlich Systeme von Elektronen. Da Elektronen Fermionen sind, gilt das Pauliprinzip, dass heiÿt keine zwei Elektronen können einen vollständig gleichen Satz an Quantenzahlen besitzen. Trotzdem gibt es Zustände deren Energie trotz unterschiedlichen Sätzen von Quantenzahlen gleich sind (ohne zusätzliche Korrekturen), man sagt die Zustände sind entartet. Wie schon gesehen ist der Drehimpuls jedes Elektrons gequantelt und kann dabei abhängig von der Hauptquantenzahl n verschiedene Werte annehmen (l = 0... n 1, m l = l... l), wobei der Spin nur die beiden Werte 1/2 und 1/2 annehmen kann. In einen Mehrelektronensystem kombinieren die Drehimpulse zu einen nach auÿen hin wirksamen Gesamtbahndrehimpuls und einen Gesamtspin L = i S = i Der nach auÿen hin wirksame Gesamtdrehimpuls setzt sich aus diesen beiden Anteilen zusammen J = L + S Das magnetische Moment Bei den Elektronen handelt es sich um bewegte Ladungen. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass mit einer bewegten Ladung ein magnetisches Moment verknüpft ist. Es gilt klassisch µ = I A = e 2m e l. 4 li s i.

5 Hier muss nun eine Unterscheidung getroen werden. Zum einen kombinieren die Bahndrehimpulse der Elektronen zu einen magnetischen Moment µ L = e 2m e L = µbohr L und zum anderen ergibt sich ein magnetisches Moment, welches von den Gesamtspin der Elektronen herrührt µ S = e m e S = 2µBohr S wobei hier ein zusätzlicher Faktor 2 auftritt. Betrachtet man nun Atome mit gepaarten Spin, so verschwindet das von dem Gesamtspin erzeugt Moment, da sich die einzelnen Spins zu Null addieren. Das resultierende magnetische Moment setzt sich damit nur aus Komponeneten des Bahndrehimpulses zusammen. Dies kann natürlich nur in Atomen mit gerader Elektronenzahl auftreten. Bei ungepaartem Spin kommt es zur Spin - Bahn - Kopplung (auch LS - Kopplung), was zu einer Energieniveauaufspaltung führt. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die bekannte Natriumdoppellinie. Das p - Orbital des Natrium spaltet in zwei Zustände auf und führt so beim Übergang in das s - Orbital zu zwei dicht beieinander liegenden Spektrallinien Auswahlregeln Betrachtet man nun die Energieniveaus und die vermeintlich möglichen Übergänge, so stellt man fest, dass viele Übergänge gar nicht betrachtet werden. Dies liegt daran, das zusätzlich zur Energieerhaltung aus die Erhaltung des Drehimpuls gelten muss. Diese Tatsache führt zu sogenannten Auswahlregeln, Bedingungen die bei Übergängen erfüllt sein müssen. So gilt L = ±1, M L = 0, ±1 sowie S = 0. Die abgestrahlten oder absorbierten Photonen weisen ebenfalls einen Eigendrehimpuls (l γ = ± ) auf, eine Tatsache die durch die Auswahlregeln berücksichtigt wird. Weiterhin ergibt sich für die Ausrichtung entlang einer Achse für M L = ±1 zirkular polarisiertes Licht, während bei M L = 0 sich linear polarisiertes Licht ergibt. Die Regel S = 0 besagt, dass Übergänge von Singulett- in Triplettsystemen verboten sind. 2.3 Der Zeeman - Eekt Als Zeeman - Eekt, erstmals beobachtet von Zeeman 1896, bezeichnet man die Energieniveauaufspaltung eines Zustandes in Anwesenheit eines äuÿeren magnetischen Feldes B in Abhängigkeit vom magnetischen Moment µ. Die Wechselwirkung lässt sich unterscheiden. Zum einen gibt es bei ungepaarten Spin den sogenannten annormalen Zeemaneekt. Hier spaltet jedes durch LS - Kopplung entstandene Energieniveau nochmals auf, was zu einer Vielzahl von Übergangsmöglichkeiten und damit verbunden, zu einer Vielzahl von verschiedenen Spektrallinien führt. Den normalen Zeemaneekt kann man in Atomen mit gepaarten Spin (S = 0) beobachten. Die Energieniveaus spalten jetzt in genauso viele Niveaus auf wie es magnetische Quantenzahlen gibt. So spaltet das p - Orbital in drei, das d - Orbital in fünf Zustände auf. Die Gröÿe der Aufspaltung ist dabei abhängig von der Stärke des Magnetfeldes. Es gilt E n,l,ml = E n e L 2m B (8) und falls das Magnetfeld in z - Richtung zeigt E n,l,ml = E n + m l µ B B z (9) mit µ B = e 2mL. Auf jeden Fall wird hier deutlich, dass der Energiewert nun von m l und damit auch in einer gewissen Art von l abhängt. Damit wird die Energieentartung bezüglich m l aufgehoben. 5

6 2.3.1 Polarisationsverhalten im Magnetfeld Im klassischen Rahmen interpretierte man die Emission von Licht als Resultat einer Elektronenschwingung. Das strahlende Elektron wird als linearer Oszillator betrachtet, welches zufällig zu den Magnetfeldlinien des äuÿeren Feldes gerichtet liegt. Die Komponeneten der Schwingung kann nun aufgeteilt werden in eine Komponente parallel zum Magnetfeld und eine Komponente die senkrecht zum Magnetfeld auf einen Kreisring zirkuliert. Die parallele Komponente zum Magnetfeld erfährt klassisch gesehen somit keine Kraft. Es folgt keine Frequenzänderung und die Emission von linear polarisiertem Licht mit einer Polarisationsebene parallel zum Magnetfeld. Die zirkulierenden senkrechten Anteile werden durch das Magnetfeld beschleunigt oder abgebremst, es erfolgt eine Frequenzänderung und eine Emission von zirkular polarisiertem Licht. Man erhält also eine unverschobene, linear polarisierte Komponente mit Polarisationsebene parallel zum Magnetfeld (π Linie für m l = 0) und zwei verschobene, zirkular polarisierte Komponenten mit Polarisationsebenen senkrecht zum Magnetfeld (σ ± Linien für m l = ±1). In unseren Quantensystem entspricht dieses einer Drehimpulspräzision um die z - Achse. Dies resultiert daraus, dass der Drehimpuls durch das äuÿere Magnetfeld (entlang der z - Achse) nicht mehr zeitlich konstant ist, weil ein Drehmoment auf das Elektron wirkt D = µ e B. Durch die Zusatzernergie aus dem Magnetfeld wird die Energieentartung aufgehoben, wie schon in 2.3 erläutert. Nimmt man nun noch die Auswahlregel M l = 0, ±1 hinzu, so wird deutlich das bei jedem Übergang die Spektrallinie in drei Linien aufspaltet, deren Polarisationsverhalten dem des klassischen Modells entspricht. Näheres wird hierzu noch im Verlauf des Protokolls erläutert werden. 2.4 Das Spektrum der Cadmium - Lampe Bei dem folgenden Experiment wird das Licht einer Cadmiumlampe benutzt. Es wird der Elektronenübergang zwischen den angeregten Zustanden [Kr]4d 10 5s 1 5d 1 und [Kr]4d 10 5s 1 5p 1 näher untersucht. Die zugehörige Spektrallinie hat eine Wellenlänge von λ = 643, 8 nm, was im roten Bereich des sichtbaren Lichtes liegt. Legt man nun ein äuÿeres Magnetfeld an ergeben sich mit der Auswahlregel M L = 0, ±1 neun verschiedene Möglichkeiten von Übergängen, wobei jeweils drei energetisch gleich sind, so dass die Aufspaltung der Spektrallinie in drei Nieveaus erkannt werden müsste. Abbildung 2: Niveauaufspaltung der roten Cadmiumlinie durch den Zeeman - Eekt 6

7 2.5 Magnetfeldstärkenbestimmung Eine bewerte Methode Magnetfelder zu messen, ist die Methode mittels einer Hall-Sonde. Hier wird ausgenutzt, dass auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld die Lorentzkraft senkrecht zur Feldrichtung wirkt. Leitet man einen Strom durch einen Leiter in dem Magnetfeld, führt die Ablenkung der bewegten Ladungsträger zu einer Ladungstrennung, die ein Gegenfeld hervorruft. Schnell stellt sich hier ein Gleichgewicht ein. Greift man nun an der Oberäche des Leiters die Spannung ab, kann man durch einen linearen Zusammenhang auf die Stärke des Magnetfeldes schlieÿen. Es gilt I U H = (n/v )de B = α B. Bestimmt man also mit Hilfe eines Eichmagnetes den Proportionalitätsfaktor α ist es prinzipiell möglich beliebige Magnetfelder auszumessen. 3 Versuchsbeschreibung 3.1 Aufgaben 1. Messung der Magnetfeldstärke eines Elektromagneten in Abhängigkeit vom Feldstrom 2. Untersuchung des Polarisationsverhaltens der einzelnen Komponenten einer Spektrallinie einer Cd - Lampe mit einer Lummer - Gehrke Platte 3. Bestimmung der spezischen Ladung über den Zeeman - Eekt 3.2 Versuchsvorbereitung und Formeln Geräte Folgende Geräte wurden benutzt: Cadmium Lampe in einer Art Helmholtz - Spulenanordnung Stromversorgungsgeräte für die Magneten und die Cd - Lampe digitaler Stromesser Flussdichtemesser Spektroskop mit Lummer - Gehrke Platte drehbarer Polarisator Aufbau Die Spektrallinien der Cd- Lampe werden untersucht. Dazu bendet sich die Cd - Lampe zwischen einer Spulenanordnung (max. I = 4A) mit Eisenkern. Das Licht der Lampe kann einmal senkrecht und einmal parallel zum Magnetfeld austreten. Ausaustretende Licht fällt auf ein drehbares Einlenkprisma, welches das Spektrum der Lampe vorzerlegt. Das Prisma lenkt die Strahlen in die Lummer - Gehrke Platte. Dort werden die Lichtstrahlen unter einen Winkel nur wenig kleiner als der Winkel der Totalreexion reektiert. Dies führt dazu, dass nur ein geringer Lichtanteil pro Reektion aus der Platte tritt und das in einem Winkel von ca. 90. Die streifend austretenden Lichtstrahlen interferieren miteinander. Das Interferenzbild kann dann 7

8 mit einen Fernrohr beobachtet und die Lage der Interferenzstreifen vermessen werden. Den schematischen Aufbau zeigt folgende Abbildung Formeln Abbildung 3: Schematischer Aufbau Aus (9) ergibt sich für die Frequenzdierenz einer einzelnen Spektrallinie ohne Magnetfeld und seiner Zeemankomponente ν = e 0 B m 0 4π. (10) Die Frequenzdierenz läÿt sich aus den Austrittswinkelm β (Winkel zwischen austretenden Strahl und Lot), unter denen die Strahlen die Lummer-Gehrke Platte verlassen, berechnen: c ν = (sin β 2 sin β 1 ) (11) λ(1 n 2 + nλ δn δλ ). Wobei B die Flussdichte des Magnetfeldes, β 1 der Austrittswinkel der Singulettlinie, β 2 der Austrittswinkel der Zeemanlinie, n der Brechungsindex der Platte, λ die Wellenlänge der untersuchten Linie und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit bedeuten. Da β 1 und β 2 beide nahe 90 liegen, muss deren Dierenz genau gemessen werden. Man nutz folgende Näherung. sin β = cos(90 β 1 ) = cos ε 1 = tan 2 ε 1 = Entwickelt man dieses und bricht nach dem zweiten Glied ab erhält man a2 r 2 sin β = 1 a2 2r 2 wobei r, die Entfernung vom Drehpunkt des Fernrohres bis zum Angrispunkt der Mikrometerschraube, mit 156 mm vorgegeben ist. Abbildung 4: Illustration der Messwerte 8

9 Setzt man nun die Entwicklung von sin β für β 1 und β 2 in Gleichung (11) erhält man für die Frequenzdierenz ν = a2 2 a 2 1 2r 2 c λ(1 n 2 + nλ δn δλ ) = a2 2 a 2 1 2r 2 A(λ). (12) Dabei ist A(λ) für eine Spektrallinie eine Konstante und kann aus einer graphischen Darstellung für n und nλ δn δλ, ausliegend am Arbeitsplatz, ermittelt werden. Die a i sind die Abstände der Linien gemessen mit einer Mikrometerschraube. 4 Durchführung 4.1 Ausmessen des Magnetfeldes In unserem Versuch lag eine Messsonde vor, im Prinzip bestehend aus einer Spulenanordnung, die das direkte Ablesen der Flussdichte B eines Magnetfeldes erlaubte. Somit konnte nach einem Abgleich der Messsonde mit dem Magnetfeld im Raum bei abgeschalteten Elektromagneten, sofort mit der Bestimmung der Abhängigkeit des Elektromagneten vom Strom begonnen werden Aufnahme der Magnetussdichte in Abhängigkeit vom Strom Um die Flussdichte des Elektromagneten in Abhängigkeit von der Stromstärke zu bestimmen, wurde die Cadmiumlampe zwischen den beiden Spulen entfernt. Die Messsonde wurde an einem Stativ befestigt und dann an die Stelle der Cadmiumlampe platziert. Dabei war zu beachten, dass die Messsonde senkrecht zum B Feld orientiert platziert werden musste. Anschlieÿend wurde das Magnetfeld abhängig vom Strom vermessen. Dabei wird die Stromstärke in Schritten von ca. 0, 25A erhöht. Nr. I/A B/mT Nr. I/A B/mT 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , Tabelle 1: Vermessen des Magnetfeldes (Messwerte) Zu Bemerken ist, dass beim Stromversorgungsgerät erst die Spannung eingestellt werden musste, um einen Stromuss zu erhalten. Das wirkte sich so aus, dass auch bei ganz abgeregelten Strom trotzdem eine Magnetfeldussdichte zu registrieren war, also trotzdem ein kleiner Strom ieÿen musste. Um dieses Verhalten zu kompensieren werden wir keine Regression der Form Y = AX sondern der Form Y = AX + B durchführen Berechnung des Kalibrierungsfaktors und Fehlerrechnung Es gibt zwischen dem Strom und der Fluÿdichte einen linearen Zusammenhang. I B 9

10 Ist der Propertionalitätsfaktor bekannt, kann die Stromstärke in eine Magnetussdichte B umgerechnet werden. Der Proportionalitäts- oder Kalibrierungsfaktor k wird mittels linearer Regression bestimmt. Hierzu wird das Programm Origin Pro 7.5 verwendet. Abbildung 5: Regressionsgeraden Gut ersichtlich ist, dass eine Regression der Form Y = AX + B ein viel besseres Ergebnis liefert. Die folgende Tabelle liefert die Ergebnisse einmal der Regression Y = AX + B und Y = AX zum Vergleich. Y = AX + B Y = AX A / mt A 175, ,44139 u A / mt A 1,752 4,744 B / mt 42, u B / mt 4,2364 Tabelle 2: Ergebnisse der Regression Da die Ergebnisse der Regression der Form Y = AX + B einen kleineren Fehler ergeben, und dieser Zusammenhang auch unserer geschilderten Erfahrung entspricht, geben wir das Ergebnis für den Kalibrierungsfaktor k wie folgt an: und k = (175, 8 ± 1, 8) mt A = 175, 8(1 ± 1, 0%)mT A B 0 = (43 ± 5)mT = 43(1 ± 10%)mT. 4.2 Beobachtungen und Diskussion physikalischer Phänomene In den nun folgenden Abschnitt werden die Beobachtungen diskutiert. 10

11 4.2.1 Beobachtungen zum annormalen Zeeman - Eekt Durch das Einlenkprisma vor der Lummer - Gehrke Platte wird der Lichtstrahl so aufgeweitet, dass nur Wellen denierter Wellenlänge auf die Platte fallen kann. Durch Drehen an den Prisma kann erreicht werden, dass die verschiedenen Spektrallinien auf die Platte gelangen. Die Cadmiumlampe liefert eine blaue, eine grüne und eine rote Spektrallinie. Durch das Fernrohr sind die Spektrallinien je nach Prismastellung sichtbar. Es ergibt sich eine ganze Reihe von Linien, die durch Interfenz der streifend austretenden Strahlen aus der Platte entstehen. Ohne Magnetfeld sind bei allen drei Wellenlängen relativ scharfe Spektrallinien zuerkennen, wobei zur jeder Interferenzordnung eine Linie gehört. Legt man nun ein Magnetfeld an (wir haben eine Stromstärke von ca. 4A genutzt) ändert sich das Bild. Bei der blauen und grünen Spektrallinie tretten eine Viellzahl weiterer Linien auf, die fast kontinuierlich erscheinen. Hingegen spaltet die rote Linie nur in ein Triplett aus. Die Erklärung für diese Unterschiede liegt in der LS - Kopplung. Da bei der blauen und grünen Linie der Gesamtspin der Atome sich nicht zu Null addiert, kommt es zu einer Verknüpfung der magnetischen Momente resultieren aus den Gesamtbahndrehimpuls und den Gesamtspin, so dass es eine ganze Vielzahl von Einstellmöglichkeiten gibt und damit auch eine Viellzahl von Spektrallinien. Bei der roten Linie ist nur der normale Zeeman - Eekt zu beobachten. Das Singulett spaltet in ein Triplett auf. Durch das Magnetfeld wird zusätzlich auch das Polarisationsverhalten manipuliert Beobachtungen zum Polarisationsverhalten Das Polarisationsverhalten wurde mit Hilfe eines einfach Pollters untersucht. Hierzu wurde das austretende Licht einmal in Richtung parallel zum Magnetfeld und einmal senkrecht dazu beobachtet. Ohne äuÿeres Magnetfeld wurde aus beiden Positionen nur eine Linie pro Ordnung gesehen. Ein in den Strahlengang gebrachter Pollter verringerte zwar etwas die Intensität der Strahlung, in keiner Stellung konnte jedoch eine Linie ausgeblendet werden, was auf ungerichtete Polarisation schlieÿen lässt. Bei Anlegen des äuÿeren Magnetfeldes ergaben sich beim Betrachten senkrecht zur Magnetfeldlinie die bereits erwähnten Tripletts. Bringt man den Pollter in den Strahlengang verändert sich das Bild je nach Pollterstellung. Ist der Pollter in Richtung parallel zum Magnetfeld (φ 90 ) so ist nur die mittlere Spektrallinie, die Linie ohne Frequenzveränderung zu sehen. Ist hingegen der Pollter senkrecht zur Magnetfeldrichtung (φ = 0 ) gestellt, verschwinden die beiden äuÿeren Linien. Es lässt sich jetzt bereits folgern, dass die Linie ohne Frequenzverschiebung parallel polarisiert (π polarisiert) und die beiden äuÿeren Linien senkrecht (σ polarisiert) zum Magnetfeld polarisiert sind. Schaut man nun parallel zur Magnetfeldrichtung, sind nur die zwei äuÿeren Linien sichtbar. Damit lässt sich nun folgern das, dass die mittlere Linie linear polarisiert sein muss, da sie sonst sichtbar werden müsste. Bringt man nun den Pollter in den Strahlengang wird klar, dass bei keiner Einstellung die beiden äuÿeren Linien ausgeblendet werden können. Es lässt sich nun folgern: Die σ- polarisierten Linien können nicht linear polarisiert sein. Sie sind zirkular polarisiert Diskussion des beobachteten Polarisationsverhaltens Wie schon in Kapitel betrachtet, kann das Polarisationsverhalten durch einen oszillierendes Elektron leicht verständlich erklärt werden. Nimmt man sich ein oszillierendes Elektron und legt es beliebig in ein Magnetfeld, hängt die Beobachtung von der Blickrichtung relativ zum Magnetfeld ab. Abbildung ** zeigt das oszillierende Elektron. Schaut man senkrecht auf das Elektron, so lässt sich die Oszillation in eine parallele und eine senkrechte Komponente zerlegen, die beide linear polarisiert wirken. Dies erklärt die Möglichkeit bei geeigneter Pollter stellung alle Linien abwechselnd ausblenden zu können. 11

12 Abbildung 6: Polarisationsverhalten bei unterschiedlichen Blickrichtungen Betrachtet man das ganze nun in Richtung des Magnetfeldes und stellt sich die senkrecht polarisierte Linie als zirkular und die parallel polarisierte Linie als linear polarisiert vor, so werden auch die Beobachtungen aus dieser Richtung verständlich. Erklärt werden kann das Verhalten folgendermaÿen. Bei jeden Übergang eines energetisch höheren in einen tieferen Zustand wird ein Photon emittiert. Dieses Photon erhält nicht nur eine Energie, sonder trägt auch einen Drehimpuls l = 1 mit sich, womit die Auswahlregel L = 1 erklärt wird. Mit dem Übertrag des Drehimpulses erfolgt auch ein Übertrag der Drehimpulsausrichtung L z. Für m L = ±1 entsteht zirkular polarisiertes Licht (einmal rechts und einmal links drehend) und für m l = 0 linear polarisiertes Licht. Ohne Magnetfeld werden die Photonen in einer einzigen Spektrallinie sichtbar, die nun natürlich völlig unpolarisiert ist. Legt man nun ein äuÿeres Magnetfeld an, werden die Unterschiede sichtbar. Auf die Anteile die parallel zur Magnetfeldrichtung polarisiert sind, wirkt keine Kraft und somit hat das Magnetfeld keinen Einuss auf die Spektrallinie ( ν = 0). Für die beiden anderen Anteile erzeugt das Magnetfeld eine Energieniveauverschiebung. 4.3 Bestimmung der Niveauaufspaltung In diesem Abschnitt wird die Niveauaufspaltung qualitativ beobachtet, d.h. es wird die Freuqenzdierenz in Abhängigkeit von der Stärke des Magnetfeldes bestimmt, und anschlieÿend die spezische Ladung errechnet. Die zu Grunde liegenden Formeln sind (10) und (12) Aufnahme der Messwerte Als erstes wird bei variierten Magnetfeld die Lage der Interferenzstreifen an der Mikrometerschraube abgelesen. Dabei verändern wird die Stromstärke I in einen Bereich von ca. 1,5A bis 4,0 A. Abbildung 7: Skizze zur Ablesung der Spektrallinien 12

13 Die Ablesung erfolgt an den Interferenzstreifen erster und zweiter Ordnung, jeweils links und rechts der Lummer-Gehrke Platte. Die Interferenzen werden bei konstanter Magnetfeldstärke jeweils drei mal vermessen, bevor das Magnetfeld wieder variiert wird. Die Ablesung (in mm) der Messwerte zeigt folgende Tabelle. -2. Ordnung -1. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung I / A x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 3,505 8,47 8,68 8,79 9,32 9,53 9,76 14,65 14,86 15,08 15,58 15,74 15,90 8,55 8,71 8,85 9,31 9,56 9,79 14,64 14,85 15,08 15,58 15,76 15,93 8,55 8,74 8,85 9,33 9,56 9,78 14,60 14,84 15,03 15,56 15,71 15,88 4,01 8,55 8,74 8,88 9,36 9,59 9,88 14,56 14,82 15,08 15,56 15,70 15,90 8,55 8,71 8,87 9,36 9,63 9,85 14,52 14,78 15,04 15,56 15,66 15,88 8,54 8,73 8,92 9,37 9,62 9,87 14,53 14,77 15,03 15,52 15,68 15,88 2,015 8,64 8,78 8,83 9,50 9,65 9,77 14,63 14,77 14,89 15,58 15,68 15,78 8,64 8,76 8,85 9,52 9,66 9,78 14,63 14,75 14,88 15,59 15,68 15,78 8,66 8,77 8,86 9,53 9,68 9,79 14,59 14,74 14,87 15,56 15,66 15,75 3,003 8,64 8,83 8,93 9,47 9,71 9,88 14,52 14,72 14,93 15,49 15,65 15,79 8,64 8,82 8,93 9,48 9,71 9,87 14,50 14,72 14,88 15,47 15,65 15,78 8,65 8,83 8,92 9,51 9,72 9,90 14,48 14,71 14,89 15,49 15,64 15,77 1,502 8,70 8,81 8,86 9,60 9,76 9,83 14,58 14,66 14,77 15,54 15,61 15,68 8,74 8,83 8,88 9,59 9,71 9,85 14,54 14,65 14,76 15,53 15,59 15,68 8,73 8,82 8,87 9,63 9,72 9,82 14,54 14,64 14,73 15,50 15,59 15,68 2,506 8,69 8,86 8,92 9,56 9,75 9,90 14,46 14,63 14,78 15,43 15,56 15,68 8,69 8,83 8,93 9,56 9,73 9,88 14,45 14,63 14,81 15,45 15,56 15,72 8,68 8,83 8,93 9,57 9,74 9,91 14,44 14,64 14,81 15,44 15,56 15,71 2,752 8,70 8,87 8,96 9,57 9,75 9,92 14,44 14,64 14,83 15,44 15,61 15,74 8,70 8,86 8,96 9,56 9,77 9,95 14,45 14,64 14,84 15,43 15,59 15,72 8,71 8,84 8,97 9,57 9,76 9,94 14,45 14,64 14,85 15,44 15,58 15,72 3,251 8,72 8,84 9,02 9,55 9,78 10,00 14,39 14,64 14,84 15,41 15,59 15,75 8,68 8,85 9,01 9,55 9,77 10,01 14,40 14,62 14,84 15,40 15,57 15,76 8,71 8,85 9,00 9,56 9,78 9,99 14,42 14,63 14,83 15,39 15,58 15,75 Tabelle 3: Messwerte (Angaben in mm) Zur Berechnung der Freuquenzen sind nun allerdings die Werte a 1 und a 2 erforderlich. Diese Werte geben die Lage der Interferenzstreifen im Bezug zur Mitte der Lummer-Gehrke Platte an. Die Lage der Mitte der Platte x mitte wird bestimmt, indem über die Lage der nicht aufgesspalteten Spektrallinien gemittelt wird. Es ergeben sich somit folgende Werte (a 1,2 = x i x Mitte ): 13

14 -2. Ordnung -1. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung I / A a 2,li a 1 a 2,re a 2,li a 1 a 2,re a 2,li a 1 a 2,re a 2,li a 1 a 2,re 3,505-3,74-3,53-3,42-2,89-2,68-2,45 2,44 2,65 2,87 2,44 2,65 2,87 x Mitte = 12, 21-3,66-3,50-3,36-2,90-2,65-2,42 2,43 2,64 2,87 2,43 2,64 2,87-3,66-3,47-3,36-2,88-2,65-2,43 2,39 2,63 2,82 2,39 2,63 2,82 gemittelt -3,69-3,50-3,38-2,89-2,66-2,44 2,42 2,64 2,85 3,36 3,53 3,69 4,01-3,65-3,46-3,32-2,84-2,61-2,32 2,36 2,62 2,88 3,36 3,50 3,70 x Mitte = 12, 20-3,65-3,49-3,33-2,84-2,57-2,35 2,32 2,58 2,84 3,36 3,46 3,68-3,66-3,47-3,28-2,83-2,58-2,33 2,33 2,57 2,83 3,32 3,48 3,68 gemittelt -3,66-3,48-3,31-2,84-2,59-2,34 2,33 2,59 2,85 3,34 3,48 3,68 2,015-3,58-3,44-3,39-2,72-2,57-2,45 2,42 2,56 2,68 3,37 3,47 3,57 x Mitte = 12, 21-3,58-3,46-3,37-2,70-2,56-2,44 2,42 2,54 2,67 3,38 3,47 3,57-3,56-3,45-3,36-2,69-2,54-2,43 2,38 2,53 2,66 3,35 3,45 3,54 gemittelt -3,57-3,45-3,37-2,70-2,55-2,44 2,40 2,54 2,67 3,36 3,46 3,56 3,003-3,59-3,40-3,30-2,76-2,52-2,35 2,29 2,49 2,70 3,26 3,42 3,56 x Mitte = 12, 23-3,59-3,41-3,30-2,75-2,52-2,36 2,27 2,49 2,65 3,24 3,42 3,55-3,58-3,40-3,31-2,72-2,51-2,33 2,25 2,48 2,66 3,26 3,41 3,54 gemittelt -3,58-3,40-3,30-2,74-2,51-2,34 2,27 2,49 2,67 3,26 3,42 3,55 1,502-3,50-3,39-3,34-2,60-2,44-2,37 2,38 2,46 2,57 3,34 3,41 3,48 x Mitte = 12, 20-3,46-3,37-3,32-2,61-2,49-2,35 2,34 2,45 2,56 3,33 3,39 3,48-3,47-3,38-3,33-2,57-2,48-2,38 2,34 2,44 2,53 3,30 3,39 3,48 gemittelt -3,48-3,38-3,33-2,59-2,47-2,37 2,35 2,45 2,55 3,32 3,40 3,48 2,506-3,50-3,33-3,27-2,63-2,44-2,29 2,27 2,44 2,59 3,24 3,37 3,49 x Mitte = 12, 19-3,50-3,36-3,26-2,63-2,46-2,31 2,26 2,44 2,62 3,26 3,37 3,53-3,51-3,36-3,26-2,62-2,45-2,28 2,25 2,45 2,62 3,25 3,37 3,52 gemittelt -3,51-3,35-3,27-2,63-2,45-2,30 2,26 2,44 2,61 3,25 3,37 3,51 2,752-3,51-3,34-3,25-2,64-2,46-2,29 2,23 2,43 2,62 3,23 3,40 3,53 x Mitte = 12, 21-3,51-3,35-3,25-2,65-2,44-2,26 2,24 2,43 2,63 3,22 3,38 3,51-3,50-3,37-3,24-2,64-2,45-2,27 2,24 2,43 2,64 3,23 3,37 3,51 gemittelt -3,51-3,36-3,25-2,65-2,45-2,28 2,23 2,43 2,63 3,22 3,38 3,51 3,251-3,49-3,37-3,19-2,66-2,43-2,21 2,18 2,43 2,63 3,20 3,38 3,54 x Mitte = 12, 21-3,53-3,36-3,20-2,66-2,44-2,20 2,19 2,41 2,63 3,19 3,36 3,55-3,50-3,36-3,21-2,65-2,43-2,22 2,21 2,42 2,62 3,18 3,37 3,54 gemittelt -3,51-3,36-3,20 2,20 2,42 2,63 2,20 2,42 2,63 3,19 3,37 3, Berechnung der Niveauaufspaltung ν Tabelle 4: Messwerte a i (Angaben in mm) Für die Berechnung der Frequenzdierenz nach Gleichung (12) muss A(λ) bestimmt werden. Hierzu lesen wir n und nλ δn δλ aus graphischen Darstellungen ab und geben die Werte an mit Damit ergibt sich A(λ) mit λ = 643, 8 nm zu: n = 1, 5305 ± 0, 0005 und nλ δn = 0, 0710 ± 0, δλ A(λ) = c λ(1 n 2 + nλ δn δλ ) = 3, s 1. Der Fehler für A(λ) ergibt sich aus der Ablesung von n und nλ δn u A = A n u n + A (nλδn/δλ) u (nλδn/δλ) = 2cn λ(1 n 2 + nλ δn 14 δλ. δλ )2 u n + c λ(1 n 2 + nλ δn δλ )2 u (nλδn/δλ)

15 = 3, s 1 + 1, s 1 = 4, s 1 Die Konstante A(λ) lässt sich somit angeben: A(λ) = ( 3, 295 ± 0, 005) s 1 = 3, 295(1 ± 0, 16%) s 1. Damit ergeben sich nun die folgenden Frequenzdierenzen: -2. Ordnung -1. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung I / A ν 1 ν 2 ν 1 ν 2 ν 1 ν 2 ν 1 ν 2 gemittelt ν 1,502 4,49 2,27 4,23 3,38 3,14 3,50 3,34 3,88 3,53 2,015 5,85 3,54 5,21 3,94 4,57 4,46 4,46 4,59 4,58 2,506 7,12 3,88 6,08 5,04 5,83 5,69 5,37 6,67 5,71 2,752 7,13 4,77 6,67 5,65 6,10 6,84 7,00 6,22 6,30 3,003 8,66 4,53 8,06 5,59 6,99 6,41 7,38 6,29 6,74 3,251 6,66 7,25 7,69 7,01 7,08 7,06 8,00 8,12 7,36 3,510 9,08 5,59 8,65 7,82 7,53 7,93 7,61 8,14 7,79 4,01 8,69 7,51 9,19 8,45 8,44 9,57 6,16 10,02 8,50 Tabelle 5: Frequenzdierenzen ν ( in 10 9 Hz) Berechnung der spezischen Ladung e 0 /m e Aus Gleichung (10) lässt nach umstellen die spezische Ladung bestimmen e 0 m 0 = 4π B ν. Die Stromstärke I lässt sich über B = k I + B 0 in die Magnetussdichte umrechnen. Die spezische Ladung kann nun einmal direkt aus den Wertepaaren errechnet und gemittelt werden: Nr. I / A B / T ν / 10 9 Hz e 0 /m 0 in C kg 1 1,502 0,307 3,53 1,44 2 2,015 0,397 4,58 1,45 3 2,506 0,484 5,71 1,48 4 2,752 0,527 6,30 1,50 5 3,003 0,571 6,74 1,48 6 3,251 0,615 7,36 1,50 7 3,510 0,660 7,79 1,48 8 4,01 0,748 8,50 1,43 Mittelwert 1,47 Tabelle 6: Berechnung der spezischen Ladung Damit ergibt sich die spezische Ladung, bestimmt über den Zeeman - Eekt, zu e 0 m 0 = 1, C kg. Die zweite Variante die spezische Ladung zuerhalten, ist eine lineare Regression anzuwenden. Es gilt: ν = e 0 m 0 B 4π ν = A B 15

16 mit A = 1 e 0 4π m 0. Eine Regression mit Origion liefert die Werte Abbildung 8: Regressionsgerade Anstieg A / C kg Standardabweichung s A / C kg Fehler u A / C kg 1, , , Tabelle 7: Ergebnis der Regression Aus dem Anstieg ergibt sich die spezische Ladung durch Multiplikation mit 4π Gleiches gilt für den Fehler e 0 m 0 = 4π A = 1, C kg u e0 /m 0 Damit lässt sich das Ergebnis angeben zu = 4π u A = 2, C kg e 0 m 0 = (1, 472 ± 0, 027) C kg = 1, 472(1 ± 1, 8%) 1011 C kg 5 Ergebnisse und Auswertung 5.1 Magnetfeldmessung Das Magnetfeld konnte mit Hilfe einer Magnetfeldussdichtensonde in Abhängigkeit vom Spulenstrom bestimmt werden. Es gilt B = k I + B 0. 16

17 Die Parameter k und B 0 konnten bestimmt werden zu k = (175, 8 ± 1, 8) mt A = 175, 8(1 ± 1, 0%)mT A und B 0 = (43 ± 5)mT = 43(1 ± 10%)mT. Zu bemerken ist, dass die Gerade eigentlich durch den Ursprung gehen müsste. Da wir allerdings erst die Spannung so geregelt haben, dass eine Stromstärke von 4A mögliche wurde, wurde schon bei Strömen von I 0, 05A eine beträchtliches Magnetfeld von B 0 40mT erzeugt. Des weiteren ist hinzuzufügen, dass bei 4,00A eine Messbereichsumstellung am Digitalmultimeter statt fand. Die Abhängigkeit B = ki + B 0 erlaubt es nun das Magnetfeld durch alleinige Kenntnis des Spulenstromes zu bestimmen. 5.2 Polarisationsverhalten und annormaler Zeemaneekt Das Polarisationsverhalten von Licht bei Übergängen konnte durch den Zeeman-Eekt studiert werden. Dabei konnte die Auswahlregeln m l = 0, ±1 anhand der Polarisation veriziert werden. Die Spektrallinien spalteten in Abhängigkeit ihrer magnetischen Quantenzahl auf. Zusammenfassen wurde an den roten Spektrallinien folgendes beobachtet. mag. quantenzahl m_l ν Polarisation 0 0 linear, parallel zum Magnetfeld (π polarisiert) e 1 0 B m 0 4π zirkular, senkrecht zum Magnetfeld (σ polarisiert) -1 e 0 B m 0 4π zirkular, senkrecht zum Magnetfeld (σ polarisiert) Tabelle 8: Zusammenfassung des Polarisationsverhaltens Der annormale Zeeman-Eekt konnte an anderen Linien des Cadmium-Spektrums beobachtet werden. Es wurde eine vielfache Aufspaltung der Spektrallinien bei Anlegen eines B-Feldes sichtbar. 5.3 Bestimmung der spezischen Ladung Die spezische Ladung konnte aus den Freuquenzdierenzen ν, erzeugt durch das äuÿere Magnetfeld, berrechnet werden. Es ergibt sich: Der akzeptierte Wert ist e 0 m 0 = (1, 472 ± 0, 027) C kg = 1, 472(1 ± 1, 8%) 1011 C kg. ( e0 m 0 ) akz. = 1, C kg. Damit ist die Abweichung des experimentell ermittelten Wertes signikant. Als Gründe für diese Abweichung ist folgendes anzumerken: groÿes Spiel der Mikrometerschraube sehr kleine Aufspaltung der Linien (besonders bei geringer Magnetfeldstärke) Linien waren teilweise verschwommen (Linienbreite...) 17

18 Beugungseekte an der Ablesemakierung im Fernrohr Erwärmungseekte an den Spulen bleiben unberücksichtigt es wurde teilweise ein (wenn auch ein kleiner) Abfall der Stromstärke beobachtet Des weiteren muss gesagt werden, dass auch die groÿe Anzahl an Messwerten nach einer Weile zu unkonzentrierten Arbeiten führt. Auch wurden die Werte, gemessen am ersten Versuchstag, verworfen, nachdem sie nicht reproduziert werden konnten. Trotzdem wurde die Gröÿenordung des akzeptierten Wertes reproduziert. Die Aufhebung der Energieentartung bezüglich der Ausrichtung des Impulses im Bezug zu einer Quantisierungsachse wurde beobachtet und damit ein Phänomen der Quantenphysik experimentell bestätigt. 18

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