3. Feinstruktur von Alkalispektren: Die gelbe D-Linie des Na ist ein Dublett, sollte aber nur eine Linie sein.

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1 13. Der Spin Experimentelle Fakten: 2. Normaler Zeeman-Effekt ist die Ausnahme: Meist sieht man den anormalen Zeeman-Effekt (Aufspaltung beobachtet, für die es keine normale Erklärung gab wegen Spin). 3. Feinstruktur von Alkalispektren: Die gelbe D-Linie des Na ist ein Dublett, sollte aber nur eine Linie sein. 4. Stern-Gerlach Versuch Bilder und Informationen zum Stern-Gerlach Versuch entnommen aus Physics Today Dezember 2003: Friedrich und Herschbach, "Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics" 114

2 13.1 Stern-Gerlach Versuch (1921/1922) In einem inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft auf ein magnetisches Moment, da F = - grad E F= M B = B ħ L z B z = m d B z B dz Auf Teilchen mit verschiedenem m wirken unterschiedliche Kräfte, so dass man eine Aufspaltung des Teilchenstrahles erwartet. 115

3 Stern-Gerlach-Versuch Otto Stern Sohrau Berkeley Physik-Nobelpreis 1943 W. Gerlach Biebrich am Rhein München Postkarte 8 February 1922 an Niels Bohr Aufspaltung in genau 2 Strahlen bei Ag, keine Aufspaltung bei Ag +. Das ermittelte Moment für Ag beträgt 1 µ B. 116

4 Stern-Gerlach-Versuch für Wasserstoff Beobachtet wurde Aufspaltung bei Alkali-Atomen, Ag, Cu,H Phipps and Taylor, Phys. Rev. 29, (1927) The Magnetic Moment of the Hydrogen Atom Problem: Aufspaltung in zwei Strahlen l=0 -> 1 Strahl l=1 -> 3 Strahlen l=2 -> 5 Strahlen Erwartung: Aufspaltung des Teilchenstrahles in 2l+1 Strahlen keine Aufspaltung für Atome im s-zustand, z.b. Wasserstoff (n=1,l=0, m=0) 117

5 13.2 Erklärung des Stern-Gerlach-Versuchs Erklärung 1925 durch Uhlenbeck und Goudsmit nach einer Idee von Pauli: Elektronen besitzen ein permanentes magnetisches Moment = Spin In Analogie zum Drehimpuls definieren wir Spinoperatoren mit Spinquantenzahlen s und m s. L z Y lm, =m ħ Y lm, L 2 Y lm, =l l 1 ħ 2 Y lm, s= 1 2, s m s s m s ±1 2 S z s,ms =m s ħ s,m s =± 1 2 ħ s,m s S= S x, S y, S z S 2 s,ms =s s 1 ħ 2 s,ms = 3 4 ħ2 s,ms Identische Kommutatoren zu L: [S x, S y ]=i ħ S z [ L x, L y ]=i ħ L z 118 Goudsmit Uhlenbeck Pauli

6 13.2 Pauli-Matrizen Mögliche Darstellung von S mit Hilfe von Pauli-Matrizen σ = (σ x,σ y,σ z ): = 1 0 z 0 1 = = x 1 y S= ħ 2 0 i i 0 Diese Matrizen erfüllen die entsprechenden Kommutationsregeln (Hausaufgabe :-). Die Wellenfunktion lässt sich dann durch einen Vektor mit zwei Komponenten (Spinor) ausdrücken. = 1 r,t r,t 0 1 = 1 r,t + 2 r,t - 119

7 Mit dieser Darstellung wird auch der Hamiltonoperator zu einer Matrix H = H H 0 eb 2m L z 0 0 L z e m ħ 2 B Quantitative Analyse der Experimente Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich durch Vektoraddition des orbitalen Moments und des Spins J=L+S. Das Gesamtmoment ist allerdings nicht proportional zu J, sondern ergibt sich als: M = e 2m e L e m e S = e 2m e L g S Für ein Elektron ist der Landé-Faktor g =2 (Dirac-Theorie), die Quantenelektrodynamik liefert g= (1+α/2π +...). 120

8 Anormaler Zeeman-Effekt: Spin-Bahn + Zeeman H SO = S L Spin-Bahn Zeeman mj = 3/2 mj = 1/2 l = 1 s = 1/2 j = 3/2 mj = 1/2 mj = 3/2 mj = 1/2 mj = 1/2 j = 1/2 l = 0 s = 1/2 j = 1/2 mj = 1/2 mj = 1/2 Quantenzahlen m j (j-j Kopplung) wichtig für Elemente mit großer Ordnungszahl. 121

9 13.4 Vollständiger Satz von Quantenzahlen für das H-Atom Hamiltonoperator für ein H-Atom im Magnetfeld: H = H 0 B ħ B L g S Um einen Zustand des H-Atoms zu beschreiben, benötigen wir die Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl l, Magnetquantenzahl m und die Spinquantenzahl m s. n l m ms r = R nl r Y lm, ms 1/2 = 1 0 1/2 = 0 1 Die Spinfunktionen χ sind unabhängig von Ort und Zeit. Sie repräsentieren einen inneren Freiheitsgrad, der keine klassische Entsprechung besitzt. 122

10 13.5 Elementarteilchen Nicht nur Elektronen haben einen Spin, sondern auch Neutronen, Protonen, Positronen usw. Teilchen mit halbzahligem Spin nennt man Fermionen, die mit ganzzahligem Spin Bosonen. Fermionen: e, n, p, e+ (s=1/2), Ω - (s=3/2) (alle Materie besteht aus Fermionen) Bosonen: Photon (s=1), Graviton (s=2) (alle Wechselwirkungen vermittelt durch Bosonen) Auch Spin aus vektorieller Addition einzelner Teilchen möglich (z.b. Atomkerne: s=3/2 Zustand von 57 Fe) 123

11 13.6 Spin und Statistik: Pauli Prinzip Bosonen können einen Einteilchenzustand mehrfach besetzen und werden durch symmetrische Wellenfunktionen beschrieben. Fermionen werden durch antisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben, sie können einen Einteilchenzustand nicht doppelt besetzen. Pauli-Prinzip: Teilchen können nicht in allen Quantenzahlen gleich sein. Wichtige Folgerungen daraus: Verständnis des Periodensystems 124