Physik des Geonium-Atoms (Präzisionsmessung des gyromagnetischen Faktors des Elektrons)

Transkript

1 Physik des Geonium-Atoms (Präzisionsmessung des gyromagnetischen Faktors des Elektrons) Marc Wagner mcwagner. Dezember 5

2 Einführung Wechselwirkung zwischen Elektronenspin und Magnetfeld (g: g-faktor beziehungsweise gyromagnetischer Faktor des Elektrons): H = µb = g q σ mc B Quantenelektrodynamik (QED): g/ = (135) Ziel: Präzise experimentelle Bestimmung von g (Test der QED) Geonium-Atom (ein Atom, das an die Erde gebunden ist) Elektron (verschiedene oszillierende Bewegungsformen; ω z, ω +, ω, ω s ) Penning-Falle (ein Apparat, der elektrische und magnetische Felder erzeugt, die ein Elektron gefangen halten) ω z =... Messgerät (misst die Frequenzen der Elektronenbewegung; aus den Ergebnissen kann der g-faktor bestimmt werden)

3 Gliederung Penning-Falle Bewegung eines Elektrons in einer Penning-Falle Klassische Bewegung Quantenmechanische Bewegung Spin-Bewegung Bestimmung des gyromagnetischen Faktors aus den verschiedenen Bewegungsfrequenzen Langfristiges zeitliches Verhalten eines Elektrons in einer Penning-Falle Thermodynamik eines Elektrons in einer Penning-Falle Motional-Sideband-Cooling Messung der verschiedenen Bewegungsfrequenzen Schlussbemerkungen

4 Penning-Falle (1) Penning-Falle: Ein Apparat der elektromagnetische Felder erzeugt, die Elektronen einsperren (F. M. Penning: 1936 Vorarbeiten; H. G. Dehmelt: 1959 Entwicklung, 1973 Einsperren einzelner Elektronen, 1989 Nobelpreis) Magnetisches Feld (homogen): Kreisbahn in der x-y-ebene B = B Elektrisches Feld (harmonisch): Schwingung entlang der z-achse ( )) E = φ = φ (z x d y = φ d x y z (die x-terme und die y-terme in φ sind notwendig damit die Maxwell-Gleichung div(e) = φ = erfüllt ist; Quadrupolfeld)

5 Penning-Falle () Feldlinienverlauf in der Penning-Falle (rotationssymmetrisch um z-achse) B = B, E =... = φ d x y z.6.4. z-achse x-achse beziehungsweise y-achse Experimentelle Realisierung des homogenen Magnetfelds: Solenoid (eine lange stromdurchflossene Spule, die das Geonium-Atom umgibt)

6 Penning-Falle (3) Experimentelle Realisierung des elektrischen Quadrupolfelds: Platten die wie Isoflächen von φ geformt sind ( )) E = φ = φ (z x d y =... Deckel (z : Abstand Ursprung-Deckel; Hyperboloid): z x y = z Umgebender Ring (ρ : Abstand Ursprung-Ring; Rotationsfläche einer hyperbolischen Kurve): 6 mm z x y = ρ.6.4. Wähle d so, dass φ Deckel φ Ring = φ -. z-achse x-achse beziehungsweise y-achse

7 Klassische Bewegung eines e (1) Bewegungsgleichung: m r = q(e + ṙ c B) = q φ d z-komponente der Bewegung: x y z + ṙ c B z-komponente der Bewegungsgleichung (harmonischer Oszillator): m z = qφ d z Lösung (qφ > ): Axiale Bewegung ( qφ z = a z cos(ω z t + ϕ z ), ω z = md ) 1/ z(t).1 Axiale Bewegung t (Zeitachse)

8 Klassische Bewegung eines e () x-komponente und y-komponente der Bewegung (qualitativ): Homogenes Magnetfeld in z-richtung Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn (Frequenz ist geschwindigkeitsunabhängig) Schwache Korrektur durch quadratisches elektrisches Potential: φ xy = φ 4d ( x + y ) Elektron ist schneller auf der dem Hang abgewandten Seite Kreisbahn hat größeren Radius auf der dem Hang abgewandten Seite Elektron ist langsamer auf der dem Hang zugewandten Seite Kreisbahn hat kleineren Radius auf der dem Hang zugewandten Seite Insgesamt: Spiralbahn um den Potentialberg herum elektrischer Potentialberg φ xy dem Hang zugewandte Seite hohes elektrisches Potential kleine Kreise -1 niedriges elektrisches Potential große Kreise dem Hang abgewandte Seite

9 Klassische Bewegung eines e (3) x-komponente und y-komponente der Bewegung (quantitativ): x-komponente und y-komponente der Bewegungsgleichung: ( ) ( ( ) ẍ φ x m = q + B ( )) ẏ ÿ d y c ẋ Lösung für starke magnetische und schwache elektrische Felder ((qb/mc) > qφ /md ): Summe zweier Kreisbewegungen ( ) ( ) ( ) x cos(ω+ t + ϕ = r + ) cos(ω t + ϕ y + + r ) sin(ω + t + ϕ + ) sin(ω t + ϕ ) ( ( ω ± = qb ) ) 1/ qb mc ± qφ mc md ω + : Zyklotronbewegung (schnell, kleiner Radius) ω : Magnetronbewegung (langsam, großer Radius)

10 Klassische Bewegung eines e (4) Im Experiment: (ω + ) : (ω z ) : (ω ) (1 7 ) : ( 1 3 ) : (1) ω + : Zyklotronbewegung (schnell, kleiner Radius) ω z : Axiale Bewegung (mittelschnell) ω : Magnetronbewegung (langsam, großer Radius) Zyklotron- und Magnetronbewegung 1 Zyklotron-, Magnetron- und axiale Bewegung z-achse x-y-ebene x-y-ebene 1 z(t).1 Axiale Bewegung t (Zeitachse)

11 Quantenmechanik eines e (1) Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld: H = 1 ( p q ) m c A + qφ Geonium-Atom: Hamilton-Operator ist eine Summe eines ausschließlich von x und y abhängigen Anteils und eines ausschließlich von z abhängigen Anteils: H = H xy + H z H xy = 1 m (( px p y ) qb c ( y x )) qφ 4d (x + y ) H z = p z m + qφ d z x-y-problem und z-problem können unabhängig voneinander gelöst werden

12 Quantenmechanik eines e () z-richtung: Harmonischer Oszillator H z = p z m + qφ d z Lösung mit Hilfe von Auf- und Absteigeoperatoren: mωz 1 a z = z + i p z, a z = m ω ( z H z = ω z a z a z + 1 ) mωz 1 z i p z m ω z ω z wie im klassischen Fall (axiale Bewegung) Eigenwerte von H z : ( E z,nz = ω z n z + 1 ), n z {, 1,,...}

13 Quantenmechanik eines e (3) x-richtung und y-richtung: Hamilton-Operator kann in eine Summe zweier harmonischer Oszillatoren umgeschrieben werden (längere Rechnung) ( H xy = ω + a +a ) ( ω a a + 1 ) Energie ω + wie im klassischen Fall (Zyklotronbewegung) ω wie im klassischen Fall (Magnetronbewegung) Eigenwerte von H xy : ( E xy,n+,n = ω + n ) ( ω n + 1 ) n +, n {, 1,,...} n + = ω + n + = 1 ω ω z Minuszeichen bei der Magnetronbewegung aufgrund des elektrischen Potentialbergs n + = n z =, 1,... n =, 1,...

14 Spin eines e Spinoperator: s = σ Magnetisches Moment: µ = g q σ mc Energie Wechselwirkung mit dem magnetischen Feld: n + = ω s H s = µb = ω s σ z, ω s = g qb mc ω + n + = 1 ω a = ω s ω + Eigenwerte von H s : E s = ω s n s, n s { 1, 1 } n + =

15 Bestimmung von g aus ω +, ω z, ω a (1) Bereits bekannt: ω z = ω s ( ) ( 1/ ( qφ, ω md ± = qb ) ) qb mc ± qφ 1/ mc md = g qb mc Energie Es folgt: ω s = g (ω + + ω ), ω + ω = ω z Man misst die Anomalie ( Abweichung des g-faktors von ): a = g 1 = ω s ω + + ω 1 = n + = 1 ω + n + = ω s =ω a {}}{ ω s ω + ω ω + + ω = ω a ω z /ω + ω + + ω z /ω + ω a = ω s ω +

16 Bestimmung von g aus ω +, ω z, ω a () Anomalie ( Abweichung des g-faktors von ): a = g 1 = ω s ω + + ω 1 = =ω a {}}{ ω s ω + ω ω + + ω = ω a ω z/ω + ω + + ω z/ω + Vorteile der Anomalie-Messung: ω +, ω z und ω a können experimentell hinreichend genau bestimmt werden Anomalie hängt ausschließlich von ω +, ω z und ω a ab (Ungenauigkeiten in m, q, B, φ,... gehen nicht ins Experiment ein) Anomalie ist ein stabil zu messender Ausdruck (keine etwa gleich großen Zahlen werden voneinander abgezogen,...)

17 Typische experimentelle Parameter Typische experimentelle Parameter eines Geonium-Atoms: Ausdehnung der Geonium-Apparatur: d = z = ρ /.3 cm Potentialdifferenz: φ 1 V Magnetfeld: B/c 6 T Daraus folgende Energiedifferenzen: Zyklotronbewegung: ω ev Axiale Bewegung: ω z ev Magnetronbewegung: ω ev Anomaliedifferenz: ω a ev Deckelelektroden Ringelektrode Hilfselektroden Feldemissionselektrode Nickelring (magnetische Flasche)

18 Thermodynamik eines e (1) Wie sieht das langfristige zeitliche Verhalten eines Elektrons in einer Penning-Falle aus? Welchen Einfluss hat die Temperatur auf das Experiment? Wie stabil ist ein durch n +, n z, n und n s gegebener Quantenzustand? Welche Quantenzustände werden bei welchen Temperaturen bevorzugt? Was die mittlere Auslenkung der Elektronenbewegung bei gegebener Temperatur? Ist die Penning-Falle groß genug? Mit welchen Verfahren können bestimmte Quantenzustände erzwungen werden ( Kühlung )?

19 Thermodynamik eines e () Zwei mögliche Prozesse zum Energieaustausch: Kopplung an die Schwarzkörperstrahlung der Geonium-Apparatur (Wärmebad, T = 4. K): Alle vier Bewegungsformen (ω +, ω z, ω, ω s ) Kopplung an das Messgerät (Wärmebad, T = 4. K): Nur die axiale Bewegung (ω z ), da ausschließlich diese Bewegungsform gemessen wird Zwei Klassen von interessanten Größen: Mittlere Besetzungszahlen n + T und n z T bei gegebener Temperatur T im thermodynamischen Gleichgewicht ( E... = ω... n ) = T T (1/kT) ln(z...) T Übergangsraten γ +, γ z, γ und γ s (Wie lange dauert es, bis das System im thermodynamischen Gleichgewicht ist?) n... (t) = n... () T e γ...t (zeitabhängige Störungstheorie) T

20 Thermodynamik eines e (3) Typische experimentelle Parameter (Kühlung mit flüssigem Helium, 4. K): Zyklotronbewegung: n + 4. K.5 quantenmechanische Behandlung γ + 1.5/s thermodynamisches Gleichgewicht wird schnell erreicht n + =.5 r + n + =.5 1/ m Axiale Bewegung: n z 4. K 15 klassische Behandlung γ z 6.5/s (dominiert von der Kopplung an das Messgerät ) thermodynamisches Gleichgewicht wird schnell erreicht n z = 15 a z n z = 15 1/ m Magnetronbewegung: n Motional-Sideband-Cooling 15 klassische Behandlung γ Bewegung stabil n = 15 r n = 15 1/ m Spin: γ s Spin stabil

21 Motional-Sideband-Cooling (1) Zur präzisen experimentellen Bestimmung der Frequenzen ω z, ω + und ω a sind kleine Magnetronradien erforderlich (im Experiment führen schwache Abweichungen von einer idealen Penning-Falle bei großen Magnetronradien zu starken Verschmierungen der Messkurven) Kühlung der Magnetronbewegung notwendig (wegen des negativen Vorzeichens im Hamiltonoperator: Kühlung = Zuführen von Energie) ( H xy = ω + a +a ) ( ω a a + 1 ) Einstrahlen von Photonen der Energie ω scheidet aus, da dies den Magnetronradius vergrößert (die Magnetronbesetzungszahl nimmt ihren thermodynamischen Erwartungswert an: n T = )

22 Motional-Sideband-Cooling () Motional-Sideband-Cooling: Kombinierte Aufheizung beziehungsweise Abkühlung der axialen Bewegung und der Magnetronbewegung Einstrahlen von Photonen der Energie (ω z + ω ): k + 1 k k 1 n z n x... l 1 l l (ω z + ω ) l 1 l l + 1 (ω z + ω ) l 1 l l + 1 (n z, n ) (n z + 1, n 1) (Abkühlen der Magnetronbewegung) (n z, n ) (n z 1, n + 1) (Aufheizen der Magnetronbewegung) Wahrscheinlichkeiten dieser Übergänge enthalten den Faktor (n z + 1)n beziehungsweise n z (n 1) (grundlegende Eigenschaft von Bosonen) n > n z Abkühlung der Magnetronbewegung dominiert n < n z Aufheizung der Magnetronbewegung dominiert n z wird nur temporär verändert (axiale Bewegung ist stark an das Messgerät und die Schwarzkörperstrahlung gekoppelt) Maximal erreichbare Abkühlung: n n z n z 4. K 15

23 Messung von ω z ω z tritt in der Anomalie auf: a = g 1 = ω a ω z/ω + ω + + ω z/ω + Axial schwingendes Elektron induziert eine Wechselspannung U(t) = RI(t) der Frequenz ω z Messen dieser Wechselspannung ist sehr schwierig, da Signal äußerst schwach Antreiben der Schwingung durch eine Wechselspannungsquelle und Messung der Resonanzfrequenz ermöglicht die Bestimmung von ω z e : ω z Geonium-Atom Amplitudenmessung antreibende Wechselspannung R U(t) = RI(t)

24 Einsperren eines einzelnen Elektrons Anlegen einer hohen Spannung an der Feldemissionselektrode injiziert hochenergetische Elektronen in die Penning-Falle Einige der Elektronen stoßen mit Restgas-Atomen zusammen und werden dabei so stark abgebremst, dass sie von den Feldern der Penning-Falle gefangen werden Starkes Antreiben der axialen Bewegung treibt die Elektronen gegen die Wände der Penning-Falle Die Stufenstruktur in U zeigt an, wann genau ein Elektron in der Penning-Falle verblieben ist U circa 15 Minuten t

25 Messung von ω + und ω a (1) ω + und ω a treten in der Anomalie auf: a = g 1 = ω a ω z/ω + ω + + ω z /ω + Verwendung einer magnetischen Flasche B (schwache Korrektur des homogenen magnetischen Felds B; x-terme und y-terme sind notwendig, damit die Maxwell-Gleichungen div( B) = und rot( B) = erfüllt sind): B B + B, B = b xz yz z (x + y ) / Magnetisches Moment µ in z-richtung: Veränderung der axialen Frequenz ω z durch magnetische Flasche H B = µ B = µ z bz + Korrektur der x-y-bewegung

26 Messung von ω + und ω a () Mit den Frequenzen ω + (Kreisstrom) und ω a (Kreisstrom und Spin) beziehungsweise deren Besetzungszahlen ist das magnetische Moment µ verknüpft Einstrahlen von Photonen der Energie ω + beziehungsweise ω a verändert das magnetische Moment µ und führt damit zu einer quantitativ messbaren Veränderung δω z der axialen Frequenz ω z Aus δω z folgt ω + beziehungsweise ω a

27 Schlussbemerkungen (1) Ausgezeichnete Übereinstimmung von Theorie und Experiment (erfolgreicher Test der QED): Messungen am Geonium-Atom: g/ = (4) (Van Dyck et al. 1984) Quantenelektrodynamik (QED): g/ = (135) (Kinoshita et al. 1984)

28 Schlussbemerkungen () Weitere Anwendungen: Fehler im QED-Wert von g aufgrund von Unsicherheiten in der experimentellen Bestimmung der Feinstrukturkonstante α = e /4πǫ c Indirektes Messen von α über eine Messung von g Messen der gyromagnetischen Faktoren anderer geladener Teilchen (e +, p,...) Präzises experimentelles Bestimmen von Massenverhältnissen verschiedener Teilchensorten (m p /m e = (76),...) Test der CPT-Symmetrie ( Teilchen wird zu Antiteilchen ) durch Vergleich der gyromagnetischen Faktoren von Elektron und Positron Literatur: Geonium theory: Physics of a single electron or ion in a Penning trap, L. S. Brown und G. Gabrielse, Reviews of Modern Physics, Vol. 58, No. 1, , 1986