Verletzung der Ward-Identitäten in zeitgeordneter Störungstheorie und Seiberg-Witten-Abbildungen in allen Ordnungen

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Harald Eberhardt
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1 Verletzung der Ward-Identitäten in zeitgeordneter Störungstheorie und Seiberg-Witten-Abbildungen in allen Ordnungen Thorsten Ohl, Reinhold Rückl, Jörg Zeiner Universität Würzburg 36. Herbstschule für Hochenergiephysik, Maria Laach 2004

2 Teil I 1 Teil I Verletzung der Ward-Identitäten in zeitgeordneter Störungstheorie

3 Nichtkommutative (NC) Raumzeit bedeutet: Einleitung 2 [ˆx µ, ˆx ν ] 0 analog zur Quantenmechanik: [ˆx, ˆp] 0 Die Motivationen: Mechanik Quantenmechanik [x, p] = 0 [ˆx, ˆp] 0 Kommutative Raumzeit nichtkommutative Raumzeit [x µ, x ν ] = 0 [ˆx µ, ˆx ν ] 0 Verknüpfung der allgemeinen Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik Nichtkommutative Yang-Mills-Theorien ergeben sich als Niederenergielimes der String-Theorie [N. Seiberg und E. Witten hep-th: ] Natürliche Fortsetzung der quantenmechanischen Prinzipien auf die Raumzeit

4 Hier: sogenannte kanonische nichtkommutative Raumzeit: Grundlagen 3 [ˆx µ, ˆx ν ] = i θ µν Λ 2 NC wobei θ µν reell, antisymmetrisch und konstant - Nichtkommutativer Parameter θ µν analog zum Planck schen Wirkungsquantum h [ˆx µ, ˆx ν ] = i Λ 2 NC θ µν i h = [ˆx, ˆp] - Nichtkommutative Skala Λ NC : zwischen einigen TeV und der Planck-Skala - Konstantes θ einzige Verletzung der Poincaréinvarianz

5 Grundlagen 4 Konsequenzen: Unschärferelation zwischen zwei Raumzeit- Punkten : ˆx µ ˆx ν 1 2 kleinste Länge Brechung der Lorentzinvarianz, da θ festgehalten Gesucht: Stern -Produkt, so dass: θ µν Λ 2 NC x µ x ν x ν x µ [x µ, x ν ] = i θµν Λ 2 NC = ˆx µ ˆx ν ˆx ν ˆx µ [ˆx µ, ˆx ν ] Man findet Moyal-Weyl-Produkt: [ (f g)(x) = lim e i ξ η f(x + ξ)g(x + η) ] ; p q = 1 p µ θ ξ,η 0 2Λ 2 µν q ν NC

6 Nichtkommutative Feldtheorien 5 Korrespondenzprinzip: (L, ) (L, ) das heisst für n-punkt-vertex: Fouriertransformation: (Φ 1 Φ 2... Φ n )(x) (Φ 1 Φ 2... Φ n )(x) (Φ 1 Φ 2 Φ n )(x) F.T. e iϕ(,p 2,...,p n ) Φ 1 ( )Φ 2 (p 2 ) Φ n (p n ) mit nichtkommutativer Phase: ϕ(, p 2,..., p n ) = i<j p i p j ; p q = 1 p µ θ 2Λ 2 µν q ν NC

7 Nichtkommutative Feldtheorien 6 Nichtkommutative Raumzeit nennt man raumartig: θ 12 = θ 13 = θ 23 0 aber θ 01 = θ 02 = θ 03 = 0 zeitartig: θ 12 = θ 13 = θ 23 0 und θ 01 = θ 02 = θ 03 0 θ µν = 0 θ 01 θ 02 θ 03 θ 01 0 θ 12 θ 13 θ 02 θ 12 0 θ 23 θ 03 θ 13 θ 23 0 = 0 E 01 E 02 E 03 E 01 0 B 12 B 13 E 02 B 12 0 B 23 E 03 B 13 B 23 0 Theorie konsistent für raumartige Nichtkommutativität θ ij 0, θ 0i = 0 Theorie nicht unitär für zeitartige Nichtkommutativität θ 0i 0 Grund: Verletzung der Schnittregeln bei Anwendung der gewöhnlichen kovarianten Störungstheorie! [J. Gomis und T. Mendes hep-th: ] Möglicher Ausweg: Zeitgeordnete Störungstheorie (Time-Ordered Perturbation Theory, TOPT): Manifest unitärer, nicht kovarianter Zeitentwicklungsoperator

8 Zeitgeordnete Störungstheorie 7 Aufspaltung des Feynman-Propagators in negativen und positiven Energieanteil p 2 t t p 2 t t p 2 p 2 p 1 = p 2 q (+) p 1 + p q ( ) 2 p 1 Viererimpulse sind auf Massenschale: q (±) = (± q 2 + m 2, q ) Das heisst: Keine Energieerhaltung in nichtkommutativen Phasen! Daraus folgt: Phasen nicht mehr zyklisch invariant in den Impulsen: ϕ(, p 2,..., p n ) ϕ(p 2,..., p n, ) Zeitartige NCQFT ist unitär! [Y. Liao und K. Sibold hep-th: , hep-th: ]

9 Frage: Auch Eichtheorien unitär? Insbesondere: Kann Ward-Identität erfüllt werden? Ergebnisse 8 [T. Ohl, R. Rückl, J. Zeiner Nucl. Phys. B 676 (2004), hep-th: ] Daher: Test der Ward-Identität anhand Compton-Streuung: p 2 p 2 p 2 q s q u q t k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 Amplitude: ε µ 1 (κ) (k 1)ε µ 2 (κ) (k 2) ( M s µ 1 µ 2 + M u µ 1 µ 2 + M t µ 1 µ 2 ) Ward-Identität mit Photon-Polarisation κ = ±: k µ 1 1 εµ 2 (κ) (k 2) ( M s µ 1 µ 2 + M u µ 1 µ 2 + M t µ 1 µ 2 )! = 0

10 Ergebnisse 9 Notwendige Voraussetzungen, damit Ward-Identität erfüllt werden kann: Punkt 1: Pole von s-, u- und t-kanal müssen sich wegheben p 2 p 2 p 2 1 s 1 u 1 t k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 Ist erfüllt, wie bei QCD!

11 Ergebnisse 10 Punkt 2: Nichtkommutative Phasen dürfen nicht vom Kanal abhängen p 2 p 2 p 2 q s qu q t k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 s-kanal : ϕ( p 2, k 2, q s ) + ϕ( q s, k 1, ) = ϕ( p 2, k 2, k 1, ) u-kanal : ϕ( p 2, k 1, q u ) + ϕ( q u, k 2, ) = ϕ( p 2, k 1, k 2, ) t-kanal : ϕ( p 2, q t, ) + ϕ( k 2, k 1, q t ) ϕ(, p 2, k 2, k 1 ) Das heisst: s- und u-kanal unabhängig von internen Impulsen, aber t-kanal nicht! Grund: Interne Impulse auf Massenschale Keine zyklische Invarianz in Impulsen Interne Impulse heben sich nicht weg Zusammenfassung: Die zeitgeordnete Störungstheorie (TOPT) kann nicht das Unitaritätsproblem bei zeitartigen nichtkommutativen Eichtheorien lösen

12 Teil II 11 Teil II Seiberg-Witten-Theorie in allen Ordnungen in θ

13 Neue Klasse nichtkommutativer Eichtheorien Motivation: Aus Stringtheorie (a.a.o.) Natürliche Forderung für Eichtheorien Seiberg-Witten Eichtheorien 12 Neue zusätzliche Forderung: Realisierung der nichtkommutativen Eichtransformation ˆδˆλÂ Eichtransformation δ λ A: durch gewöhnliche Â(A; θ) + ˆδˆλÂ(A; θ) = Â(A + δ λ A; θ) Zu bestimmen: Seiberg-Witten-Abbildungen (SWM) Â(A; θ) und ˆλ(λ, A; θ), die Eichäquivalenzbedingung erfüllen. SWM: Abbildung nichtkommutativer Felder auf gewöhnliche Felder

14 Grundlegende Forderungen 13 Jetzt zwei grundlegende Forderungen. Zusätzlich zu: Forderung: [ˆx µ, ˆx ν ] = i Λ 2 NC θ µν Konsequenz: (L, ) (L, ) Neu: [ (f g)(x) = lim e i ξ η f(x + ξ)g(x + η) ] ; p q = 1 ξ,η 0 2Λ 2 p µ θ µν q ν NC Forderung: Â(A) + ˆδˆλÂ(A) = Â(A + δ λ A) Konsequenz: L(A, λ) L(Â(A), ˆλ(λ, A)) Zusammengefasst für Seiberg-Witten-Theorie: ( L(A, λ), ) ( L(Â, ˆλ), )

15 Seiberg-Witten-Abbildungen 14 Erste Herrausforderung: Bestimmung der SWMs in erster Ordnung in θ Vorgehen: Eichäquivalenzbedingung in erste Ordnung in θ entwickeln Beispiel für Lösung: Â µ (A) = 1 4 θρσ {A ρ, σ A µ + F σµ } + O(θ 2 ) Problem gelöst. SWMs auch in 2. Ordnung in θ vorhanden Zweite Herrausforderung: Bestimmung der SWMs in beliebig hoher Ordnung in θ Vorgehen: Lösung der Seiberg-Witten-Differentialgleichung Beispiel: θ ρσ Âµ = 1 4 [Âρ ( σ Â µ + ˆF σµ ) + ( σ Â µ + ˆF σµ ) Âρ ] Vollständiges Ergebnis existiert noch nicht

16 Ziele 15 Beobachtung von rekursiven Lösungen der SWMs. Entwicklung nicht nur in θ: Â(A) = A + Â (1) + Â (2) +... Â (i) θ i sondern auch in kommutativen Eichfeld A: Â(A) = A + Â [2] + Â [3] +... Â [i] A i Vorläufiges Ziel: Berechnung der Compton-Streuung in allen Ordnungen in θ mit Test der Ward-Identitäten Benötigt: SWM in allen Ordnungen in θ aber nur 2. Ordnung im Eichfeld A, da nur zwei externe Photonen.

17 Allgemeine Lagrangedichte 16 Im Allgemeinen ergibt sich für die NCQED durch die Brechung der zyklischen Invarianz folgender Vertex: ψ /A ψ (c 1 ψ α A µ ψ β + c 2 A µ ψ β ψ α + c 3 ψ β ψ α A µ )γ µ αβ F.T. 3 c i e iϕ i( p,k,p) ψ( p) /A(k)ψ(p) i=1 mit c 1 + c 2 + c 3 = 1 und c 1i µ A ν A µ A ν + c 2A µ A ν i µ A ν + c 3A ν i µ A ν A µ c 1i µ A ν A ν A µ c 2A ν A µ i µ A ν c 3A µ i µ A ν A ν 3 F.T. c i ( k µ 2 1 gµ 1µ 3 k µ ) ( ) 3 1 gµ 1µ 2 e iϕ i(k 1,k 2,k 3 ) e iϕ i(k 1,k 3,k 2 ) i=1 mit c 1 + c 2 + c 3 = 1 + zyklisch {1, 2, 3}

18 Vollständiger Phasenvergleich 17 s-kanal: e i(ϕ i( p 2, k 2,q (λ) s )+ϕ j ( q (λ) s,k 1, )) = e i p 2 e ik 1 k 2 1 e 2iδq(λ) s p 2 e 2iδq(λ) s q s e 2iδq(λ) s q s e 2iδq(λ) s k 2 1 e 2iδq(λ) s e 2iδq(λ) s q t e 2iδq(λ) s k 1 ij u-kanal: e i(ϕ i( p 2,k 1,q (λ) u )+ϕ j ( q (λ) u, k 2, )) = e i p 2 e ik 1 k 2 1 e 2iδq(λ) u p 2 e 2iδq(λ) u q u e 2iδq(λ) u q u e 2iδq(λ) u k 1 1 e 2iδq(λ) u e 2iδq(λ) u q t e 2iδq(λ) u k 2 ij t-kanal: e i(ϕ i( p 2,q (λ) t, )+ϕ j (k 1, k 2, q (λ) t )) + (k 1 k 2 ) = e i p 2 e ik 1 k 2 e 2iδq(λ) t e 2iδq(λ) t q s e 2iδq(λ) 1 e 2iδq(λ) t p 2 t k 1 e 2iδq(λ) t q t e 2iδq(λ) t q t e 2iδq(λ) t k 2 1 ij + (k 1 k 2 )

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