Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und Supersymmetrie. Klausur 1,

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1 Universität Duisburg-Essen Wintersemester 2009/ Campus Duisburg - Fakultät für Mathematik Wolfgang Hümbs Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und Supersymmetrie Klausur 1, Name: Matrikelnummer: Für jede Aufgabe kann man maximal zehn Punkte erhalten.

2 Aufgabe 1: Topologische Räume Gegeben sei X = {a, b, c}. (a) Verifizieren Sie, dass B = { {a, b}, {b, c} } keine Basis für eine Topologie auf X sein kann. (b) Überprüfen Sie, ob X mit ein Hausdorff-Raum ist. τ 1 = { X,, {a}, {b, c} } (c) Geben Sie eine Topologie τ 2 auf X an, so dass jede Menge aus τ 2 offen und abgeschlossen ist.

3 Aufgabe 2: Algebraische Grundlagen Verifizieren Sie das Monomorphiekriterium: Ein Gruppenhomomorphismus ϱ : G H ist genau dann injektiv, wenn ist. Kernϱ = {e G }

4 Aufgabe 3: Die Fundamentalgruppe (a) Berechnen Sie die Fundamentalgruppe der Einheitssphäre S 2 := { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 }. Hinweis: Sie dürfen dabei alle bekannten Tatsachen aus der Topologie und Funktionentheorie benutzen. Sie dürfen ohne Beweis die Fundamentalgruppe der Riemannschen Zahlenkugel benutzen. (b) Geben Sie die Fundamentalgruppe des Einheitskreises an. S 1 := { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1 }. (c) Geben Sie die Fundamentalgruppe von der Einpunktvereinigung des Einheitskreises mit einem Geradenstück an. (d) Beweisen oder widerlegen Sie: Der Einheitskreis und die Einpunktvereinigung aus Teil (c) sind homöomorph. (e) Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum und x, y X. Begründen Sie, warum die Fundamentalgruppe unabhängig vom Fußpunkt x bzw. y ist.

5 Aufgabe 4: Lineare Operatoren auf Hilberträumen Wir benötigen zuerst folgende Definition: Ein beschränkter Operator auf einem Hilbertraum H heißt unitär, wenn T T = T T = id auf H gilt. (a) Zeigen Sie: Ein Operator T ist unitär genau dann, wenn er invertierbar ist und T 1 = T gilt. (b) Sei H der Hilbertraum aller Folgen komplexer Zahlen x = (..., x n 1, x 0, x 1,...), so dass x 2 = n= x n 2 < gilt. Das Skalarprodukt sei definiert durch x, y = x nȳ n. n= Zeigen Sie, dass der Operator T mit ein unitärer Operator ist. (T x) n = x n 1

6 Aufgabe 5: Das Tensorprodukt Seien P und Q Projektionsmatrizen, d. h. es gilt P 2 = P und Q 2 = Q, und E sei die entsprechende Einheitsmatrix. (a) Zeigen Sie (P Q) 2 = P Q (b) Zeigen Sie ( P (E P ) ) 2 = P (E P ) (c) Berechnen Sie (Q Q)(P P ) für QP = 0. Gegeben seien die Vektoren ( 1 u 1 = 0 ), u 2 = ( 0 1 ), v 1 = 1 2 ( 1 1 ), v 2 = 1 ( ). (d) Konstruieren Sie aus u 1 und u 2 bzgl. des Tensorprodukts die Standardbasis des R 4. (e) Konstruieren Sie aus i) u 1 und u 2 ii) v 1 und v 2 die (2 2)-Einheitsmatrix.

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8 Aufgabe 6: Nichtrelativistische Strings (a) Geben Sie die Wellengleichung für einen nichtrelativistischen String an. (b) Zeigen Sie, dass der Wellengleichung genügt. µ0 y(t, x) = sin t cos x T 0 (c) Überprüfen Sie, ob y(t, x) aus (b) kompatibel mit den Neumann- bzw. Dirichlet- Randbedingungen ist. (d) Beweisen oder widerlegen Sie: Ein String kann niemals mit der (Kreis-)Frequenz von 1 Hz schwingen.

9 Aufgabe 7: Kategorientheorie Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Überprüfen sie, ob Mat(R) eine Kategorie bildet. Objekte sollen die natürlichen Zahlen sein. Die Morphismen Mor(m, n) sind die Mengen der (n m)-matrizen über R.

10 Aufgabe 8: Mannigfaltigkeiten Betrachten Sie die offenen Teilmengen U und V des Einheitskreises die gegeben sind durch S 1 := { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1 } R 2, U = { (cos α, sin α) α ]0, 2π[ } und V = { (cos α, sin α) α ] π, π[ }. Zeigen Sie, dass A := { (U, ϕ), (V, ψ) } mit ϕ : U R, ϕ(cos α, sin α) = α für α ]0, 2π[ ψ : V R, ψ(cos α, sin α) = α für α ] π, π[ ein Atlas auf S 1 ist.

11 Aufgabe 9: Die drei fundamentalen Naturkonstanten G, c und sind gegeben durch 11 m3 Gravitationskonstante G = kg s 2 Lichtgeschwindigkeit c = m s Plancksches Wirkungsquantum = h 2π = kg m2 s Im Planckschen System, welches eine fundamentale Rolle in der Stringtheorie spielt, lauten diese Konstanten G = l3 p m pt 2 p c = lp t p = mpl2 p t p, wobei l p die Planck-Länge, t p die Planck-Zeit und m p die Planck-Masse bedeutet. Drücken Sie jeweils l p, t p und m p durch G, c und aus und berechnen Sie diese Größen im cgs-system, also in Zentimeter [cm], Sekunden [s] und Gramm [g].

12 Aufgabe 10: Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Korrigieren Sie gegebenenfalls die Aussagen. (a) Ein σ-modell ist eine Feldtheorie, in der das klassische Feld eine Abbildung Φ : X M von einer Raumzeit X in einen beliebigen topologischen Raum ist. Gewöhnlich ist M jedoch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. (b) Der wichtigste dimensionslose Parameter in der Stringtheorie ist die String-Kopplungskonstante g s, die die Intensität der Wechselwirkung zwischen Strings misst. (c) Supersymmetrie bedeutet, dass eine Theorie Bosonen und Fermionen beinhaltet und es Symmetrien gibt, die diese ineinander umwandeln.

13 Kreuzen Sie jeweils die richtige Antwort an: (d) Die bosonische Stringtheorie ist nicht realistisch, weil sie 26 Raumdimensionen erfordert. sie keine Calabi-Yau-Kompaktifizierung erlaubt. sie keine Fermionen beinhaltet und daher keine Materie beschreiben kann. (e) In der Stringtheorie wird der Teilchenzerfall erklärt durch: Ein String spaltet sich in mehrere Tochterstrings auf. den Quantentunneleffekt. Noch ist keine Erklärung gefunden. (f) Ergänzen Sie die folgenden Sätze: Das Graviton ist ein Spin... -Partikel. Materie besteht aus Spin... -Fermionen, z. B. Elektronen.