f 1 (U) = i I V i (1) f Vi : V i U Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus. {s S f(s) = g(s)} (2)

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1 Liftung von Kurven Def inition 0.1 Eine stetige Abbildung f : Y X topologischer Räume heißt ein lokaler Homöomorphismus, wenn jeder Punkt y Y eine offene Umgebung V beseitzt, so dass die Einschränkung von f auf V ein Homöomorphismus auf eine offene Menge U X ist. Eine stetige Abbildung f : Y X topologischer Räume heißt eine Überlagerung, wenn jeder Punkt x X eine offene Umgebung U besitzt, so dass f 1 (U) = i I V i (1) wobei die V i disjunkte offene Mengen von Y sind, und f Vi : V i U für alle i I ein Homöomorphismus ist. Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus. Lemma 0.2 Es sei π : Y X ein lokaler Homöomorphismus. Es sei S ein topologischer Raum und es seien f, g : S Y zwei Abbildungen, so dass π f = π g. Dann ist die Menge eine offenen Teilmenge von S. {s S f(s) = g(s)} (2) Beweis: Es sei s S, so dass f(s) = g(s). Wir wählen eine offene Umgebung V von f(s) Y, die bei f homöomorph auf eine Umgebung U von π(f(s)) X abbgebildet wird. Es existiert eine Umgebung W von s S, die sowohl bei f als auch bei g in V abbgebildet werden. Aber dann stimmen f und g auf W überein. Q.E.D. Wenn Y haussdorffsch ist, so ist die Menge (2) auch abgeschlossen. Wenn π eine Überlagerung ist, folgt die Abgeschlossenheit auch wenn Y nicht hausdorffsch ist. In der Tat: Wir zeigen, dass das Komplement von (2) offen ist. Es sei s S, so dass f(s) g(s). Wir finden eine Umgebung U von π(f(s)) mit der Eigenschaft 1. Dann gilt f(s) V i und g(s) V j, wo V i V j =. Also sind f und g auf der offenen Menge f 1 (V i ) g 1 (V j ) verschieden. 1

2 Satz: Es sei f : Y X eine stetige Abbildung von topologischen Räumen mit folgender Eigenschaft. Jeder Punkt von X besitzt eine Umgebung V, so daß f 1 (V ) eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen U i, i I in Y ist und so daß für jedes i I die Abbildung f einen Homöomorphismus U i V induziert. Es sei γ : [0, 1] X eine Kurve und y Y ein Punkt mit f(y) = γ(0). Dann existiert eine eindeutig bestimmte Kurve γ : [0, 1] Y, so daß γ(0) = y und f γ = γ. Beweis: Wir beginnen mit zwei Anmerkungen. Man ändert nichts an der Aussage des Satzes, wenn man [0, 1] durch ein beliebiges anderes endliches Intervall [a, b] ersetzt. Wir nennen eine Kurve γ mit f γ = γ eine Liftung von γ. Wenn wir noch eine zweite Liftung γ von γ haben, so dass γ (0) = y, so stimmen nach dem Lemma und der anschließenden Bemerkung beide Liftungen auf einer offenen und abgeschlossenen Teilmenge von [0, 1] überein und sind daher gleich. Das beweist die Eindeutigkeit von γ. Wir betrachten zunächst den Fall, wo man V = X wählen kann. Dann gilt Y = U i und y U j für genau ein j I. Da f einen Homöomorphismus f j : U j X induziert, ist γ = f 1 j γ eine Liftung. Wir behandeln jetzt den allgemeinen Fall. Wir betrachten das Supremum a aller reellen Zahlen s [0, 1], so daß eine Kurve γ : [0, s] Y existiert, mit den Eigenschaften γ(0) = y und f γ = γ auf dem Intervall [0, s]. Es sei V eine Umgebung von γ(a), deren Existenz in den Vorausetzungen des Satzes gefordert wird. Da γ stetig ist, gibt es eine reelle Zahl δ > 0, so daß γ([a δ, a + δ]) V (bzw. γ([1 δ, 1] V für a = 1). Wir zeigen, daß die Annahme a < 1 zum Widerspruch führt. Wir betrachten eine Kurve γ : [0, a δ] Y, deren Existenz in der Definition von a gefordert wird. Es sei γ(a δ) = y. Nach dem bereits behandelten Fall V = X, kann man die Kurve γ : [a δ, a + δ] V eindeutig zu einer Kurve ρ : [a δ, a + δ] f 1 (V ) liften, so daß ρ(a δ) = y. Die Existenz der folgenden Kurve ist ein Widerspruch zur Definition von a: { γ(t) für t [0, a δ] γ 1 (t) = ρ(t) für t [a δ, a + δ] Also gilt a = 1. Dann findet man genau wie eben γ : [0, 1 δ] Y und ρ : [1 δ, 1] Y und damit die im Satz behauptete Liftung. Q.E.D. 2

3 Satz: Es sei f : Y X eine Überlagerung. Es sei S ein topologischer Raum. Es seien H : S I X, und h : S Y stetige Abbildungen, so dass H(s, 0) = f h(s). Dann existiert eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung: H : S I Y, so dass H(s, 0) = h(s). Satz: Es sei f : Y X eine Überlagerung topologischer Räume. Es sei y 0 Y und x 0 = f(y 0 ). Wir haben die Abbildung f : π(y, y 0 ) π(x, x 0 ). Es sei Z ein topologischer Raum der wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend ist. Es sei z 0 Z. Es sei g : Z X eine stetige Abbildung, so dass g(z 0 ) = x 0. Es gibt genau dann eine stetige Abbildung h : Z Y mit h(z 0 ) = y 0, so dass f h = g, wenn das Bild der Abbildung g : π(z, z 0 ) π(x, x 0 ) im Bild von f liegt. Die Abbildung h ist eindeutig bestimmt. Operation der Fundamentalgruppe auf der Faser einer Überlagerung. Es sei f : Y X eine Überlagerung. Es sei x 0 X. Es sei σ : I X eine geschlossene Kurve, so dass σ(0) = σ(1) = x 0. Zu jedem Punkt y f 1 (x 0 ) gibt es genau eine Kurve σ : I Y, so dass f σ = σ und σ(0) = y. Wir definieren yσ := σ(1). (3) Die Fomel (3) definiert eine Rechtsoperation von π(x, x 0 ) auf der Faser f 1 (x 0 ). Satz 0.3 Es sei y 0 f 1 (x 0 ). Die Abbildung f : π(y, y 0 ) π(x, x 0 ). ist injektiv und ihr Bild ist der Stabilisator von y 0 bei der Rechtsoperation von π(x, x 0 ) auf f 1 (x 0 ). 3

4 Ein Morphismus von Überlagerungen r : (Y, f) (Z, g) ist eine stetige Abbildung r : Y Z, so dass g r = f. Wir schreiben r Hom X ((Y, f), (Z, g)). Die induzierte Abbildung r : f 1 (x 0 ) g 1 (x 0 ) ist eine Abbildung von π(x, x 0 )-Rechtsmengen. Satz 0.4 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Die Abbildung von Mengen Hom X ((Y, f), (Z, g)) Hom π(x,x0 )(f 1 (x 0 ), g 1 (x 0 )) ist bijektiv. (Rechts steht die Menge der Abbildungen von π(x, x 0 )- Rechtsmengen.) Wir setzen im folgenden stets X wegzusammenhängend voraus. Wir bemerken, dass Y genau dann wegzusammenhängend ist, wenn π(x, x 0 ) transitiv auf f 1 (x 0 ) operiert. Die Gruppe π(x, x 0 ) ist bezüglich der Multiplikation von rechts eine π(x, x 0 )-Rechtsmenge. Ein Überlagerung ( X, u) ist universell, wenn u 1 (x 0 ) als π(x, x 0 )-Rechtsmenge isomorph zu π(x, x 0 ) ist. Nach Satz 0.4 sind zwei universelle Überlagerung von X als Überlagerungen isomorph. Es sei f : Y X eine Überlagerung von X, so dass Y einfach zusammenhängend ist. Da Y wegzusammenhängend ist, operiert π(x, x 0 ) transit auf der Faser f 1 (x 0 ). Es sei y 0 f 1 (x 0 ). Nach Proposition 0.3 ist der Stabilisator von y 0 in π(x, x 0 ) trivial (d.h. = {1}). Also ist f 1 (x 0 ) als π(x, x 0 )-Rechtsmenge isomorph zu π(x, x 0 ). Also ist f : Y X eine universelle Überlagerung. Beispiel: Es sei X = S 1. Wir setzen Y = R. Weil Y kontrahierbar ist, ist es auch einfach zusammenhängend. Wir definieren f : Y X durch f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) S 1. Das ist eine Überlagerung und folglich eine universelle Überlagerung. Es sei x 0 = (1, 0) S 1. Es gilt f 1 (0) = Z R = Y. Es sei ω : I S 1 ein geschlossener Weg mit ω(0) = ω(1) = x 0. Es existiert genau eine Liftung ω : I Y, so dass ω(0) = 0 Y. Wir setzen ω i (t) = ω(t) + i Y für i Z. Dann ist ω i die eindeutig bestimmte Liftung von ω, so dass ω i (0) = i. Wir definieren eine Funktion W : π(s 1, x 0 ) Z: W(ω) = ω(1) Z. (4) 4

5 Satz 0.5 W : π(s 1, x 0 ) Z (5) ist eine Isomorphismus von Gruppen. Man nennt W(ω) die Windungszahl des Weges ω : I S 1. Beweis: π(s 1, x 0 ) operiert von rechts auf f 1 (x 0 ) = Z. diese Operation hier mit. Wir bezeichnen In der Tat, nach Definition ist i ω = i + W(ω), für alle Z. i ω = ω i (1) = i + ω(1) = i + W(ω). Aus der Gleichung i (ω τ) = (i ω) τ folgt, dass W ein Homomorphismus ist. Nach Proposition 0.3 ist der Sabilisator von i f 1 (x 0 ) = Z in π(s 1, x 0 ) trivial. Daher impliziert W(ω) = 0, dass die Klasse von ω in π(s 1, x 0 ) trivial ist. Daher ist 5 injektiv. Weil Y wegzusammenhängend ist, gibt für beliebige i, j Z Y einen Verbindungsweg. Daher ist (5) auch surjektiv. Q.E.D. Der topologische Raum R 2 \ {0} ist homotopieäquivalent zu S 1 und hat daher ebenfalls die Fundamentalgruppe Z. Wir können eine universelle Überlagerung hinschreiben: R >o R R 2 \ {0} (r, t) (r cos 2πt, r sin 2πt) Es sei γ : I R 2 \ {0}. Wir wählen eine Liftung (γ) : I R >0 R. Es sei (γ)(0) = (r0, t 0 ) und (γ)(1) = (r 1, t 1 ). Dann definieren wir die Windungszahl: W(γ) = t 1 t 0. Das ist eine ganze Zahl, wenn γ eine geschlossene Kurve ist. Es sei σ eine weitere geschlossene Kurve, aber evtl. mit einem anderen Anfangspunkt. Satz 0.6 Es sei H : I I R 2 \ {0} eine stetige Abbildung, so dass für alle s, t I: H(0, t) = γ(t), H(1, t) = σ(t), H(s, 0) = H(s, 1). Dann haben γ und σ die gleiche Windungszahl. 5

6 Satz 0.7 ( Satz über den Hund an der Leine) Es seien γ und σ zwei geschlossene Kurven in R 2 \ {0}. Die Verbindungsstrecke der Punkte γ(t) und σ(t) möge den 0-Punkt für kein t I treffen. Dann ist W(γ) = W(σ). Corollary 0.8 Es sei n > 0 eine natürliche Zahl. Es seien a 0, a 1,..., a n 1 C komplexe Zahlen. Dann gibt es eine Zahl z C, so dass a 0 + a 1 z + a 2 z a n 1 z n 1 + z n = 0. eine ste Es sei x 0 R 2 \ {0}. Wir bezeichenen mit ɛ x0 : I R 2 \ {0} den Kreis mit dem Mittelpunkt x 0 und dem Anfangs und Endpunkt Satz 0.9 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Wir nehmen an, dass X die folgende Eigenschaft E besitzt: (E) Jeder Punkt x X hat eine Umgebung N, so dass die Abbildung trivial ist. π(n, x) π(x, x) Dann besitzt X eine universelle Überlagerung. Es sei Y ein topologischer Raum und es sei G eine Gruppe. Wir sagen, dass G auf Y operiert (von links), wenn für jedes g G eine stetige Abbildung g : Y Y, y gy existiert, so dass 1 G y = y, und g(hy) = (gh)y, für y Y, g, h G. Hier ist 1 G G das neutrale Element von G. Definition Die Operation heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn jeder Punkt y Y eine Umgebung U besitzt, so dass gu U =, für alle g G, g 1 G. Es seien Y 1 und Y 2 zwei topologische Räume auf denen G operiert. Eine stetige Abbildung ρ : Y 1 Y 2 heißt G-äquivariant, wenn ρ(gy 1 ) = gρ(y 1 ). 6

7 Es sei X ein topologischer Raum und G eine Gruppe, die wir mit der diskreten Topologie versehen. Man definiert auf G X die folgende Operation: g(h, x) := (gh, x) g, h G, x X. Diese Operation ist eigentlich diskontinuierlich. Es sei p : G X X die Projektion. Wenn y G X, so gilt p(gy) = p(y). Definition Es sei X ein topologischer Raum und es sei G eine Gruppe. Ein G-Torseur auf X ist ein topologischer Raum Y mit einer Abbildung f : Y X und einer Linksoperation von G auf Y, so dass 1. f(gy) = f(y), g G, y Y. 2. Für jeden Punkt x X gibt es eine offene Umgebung U und einen Homöomorphismus ρ : G U f 1 (U). (6) so dass f(ρ((h, x))) = x, und ρ(g(h, x)) = gρ((h, x)). Aus dieser Definition folgt, dass f : Y X eine Überlagerung ist und G auf Y eigentlich diskontinuierlich operiert. Die Abbildung ρ ist eine G- äquivariante Abbildung von Überlagerungen von X. Ein Morphismus von Torseuren ρ : (Y 1, f 1 ) (Y 2, f 2 ) ist eine stetige Abbildung ρ : Y 1 Y 2 von Überlagerungen, die G-äquivariant ist. (G X, p) ist ein G-Torseur auf X. Das nennt man den trivialen G- Torseur. Die Bedingung (6) besagt, dass lokal auf X ist jeder Torseur isomorph zum trivialen Torseur ist. Beispiel: Unter den Vorausetzungen von Satz 0.9 ist die universelle Überlagerung ( X, u)) ein π(x, x 0 )-Torseur. Die Operation von π(x, x 0 ) auf X erhält man aus Satz 0.4, weil π(x, x0 ) von links auf der π(x, x 0 )- Rechtsmenge π(x, x 0 ) operiert. Es sei (Y, f) ein G-Torseur über X (wegzusammenhängend) und x 0 X. Es sei y 0 f 1 (x 0 ). Dann gibt es zu jedem σ π(x, x 0 ) gibt es genau ein α(σ) G, so dass α(σ)y 0 = y 0 σ Hier steht links die Operation von G auf X und rechts steht die Rechtsoperation der Fundamentalgruppe π(x, x 0 ) auf der Faser f 1 (x 0 ). Man erhält 7

8 einen Homomorphismus von Gruppen α : π(x, x 0 ) G. (7) Wir haben also zu jedem punktierten G-Torseur (Y, f, y 0 ) einen Homomorphismus α assoziiert. Es sei ( X, u) eine universelle Überlagerung von X. Es sei x 0 X. Wir fixieren einen Punkt c 0 u 1 (x 0 ). Dann haben wir eine Bijektion von Rechtsmengen π(x, x 0 ) u 1 (x 0 ), die durch die Bedigung 1 c 0 bestimmt ist. Die fixieren wir und schreiben π(x, x 0 ) = u 1 (x 0 ). Dann ist c 0 das neutrale Elemnten von π(x, x 0 ), d.h. die Homotopieklasse der Kurve c 0 (t) = x 0. Der zur der punktierten universellen Überlagerung ( X, u, c 0 ) assoziierte Homomorphimus (7) ist die identische Abbildung id : π(x, x 0 ) π(x, x 0 ). Corollary 0.10 Die Vorraustzungen von Satz 0.9 mögen gelten. Es sei x 0 X. Es sei F eine π(x, x 0 )-Rechtsmenge. Dann ist f : F G X X eine Überlagerung von X, wo f(a, y) = u(y). Die Abbildung F f 1 (x 0 ), a F a (a, c 0 ) eine Bijektion von π(x, x 0 )-Rechtsmengen. Corollary 0.11 Die Vorraustzungen von Satz 0.9 mögen gelten. Es sei x 0 X. Es sei ξ : π(x, x 0 ) G ein beliebiger Gruppenhomomorphismus. Dann existiert ein punktierter G-Torseur (Y, f, y 0 ), wo f(y 0 ) = x 0, so dass der assoziierte Homomorphismus (7) gleich ξ ist. Wenn (Y, f, y 0) ein weiterer punktierter G-Torseur mit dieser Eigenschaft ist, so gibt es genau einen Morphismus von Torseuren so dass ρ(y 0 ) = y 0. ρ : (Y, f, y 0 ) (Y, f, y 0), (8) Die Eindeutigkeit sieht man so: Es sei τ eine weiterer Morphismus mit den Eigenschaften (8). Dann gilt für alle g G: ρ(gy 0 ) = gρ(y 0 ) = gy 0 = gτ(y 0 ) = τ(gy 0 ). 8

9 Da G transitiv auf der Faser f 1 (x 0 ) operiert, folgt dass ρ und τ eingeschränkt auf f 1 (x 0 ) übereinstimmen. Aber dann stimmen nach Proposition 0.4 auch ρ und τ überein. Theorem 0.12 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Es seien U und V wegzusammenhängende offene Teilmegen von X, so dass U V wegzusammenhängend ist. Wir setzen voraus, dass X, U, V, U V die der Bedingung (E) erfüllt ist. Es sei x 0 U V. Wir betrachten folgendes kommutative Diagramm von Gruppenhomomorphismen: π(u V, x 0 ) ι V ι U π(u, x0 ) κ U π(v, x 0 ) κv π(x, x 0 ). Es sei G eine Gruppe und es seien α : π(u, x 0 ) G und β : π(v, x 0 ) zwei Gruppenhomomorphismen, so dass α ι U = β ι V. Dann existiert genau eine Gruppenhomomorphismus γ : π(x, x 0 ) so dass γ κ U = α und γ κ V = β. α α G α G, Durch diese Eigenschaft ist die Gruppe π(x, x 0 ) aus den beiden Gruppenhomomorphismen ι U und ι V eindeutig bestimmt. Corollary 0.13 Es sei Ω R 2 eine offenen konvexe Menge. Es seien P 1,..., P m verschiedene Punkte von Ω. Es sei x 0 Ω ein weiterer Punkt. Wir wählen eine Zahl ɛ > 0. Wir legen um jeden der Punkte P i eine Kreis K i mit dem Radius ɛ. Wir wählen ɛ so klein, dass die Kreise ganz in Ω \ {x 0 } liegen und paarweise disjunkt sind. Wir wählen eine Punkt F i auf dem Kreisumfang von K i. Wenn wir den Kreis K i von F i einmal auf dem Umfang (z.b. im positiven Drehsinn) umrunden, so erhalten wie eine geschlossene Kurve γ i in Ω \ {P 1,..., P m }. Wir wählen beliebige Kurven α i in Ω\{P 1,..., P m } die den Punkt x 0 mit dem Punkt F i verbinden und setzen τ i = α i γ α 1 i. Dann ist π(ω \ {P 1,..., P m }, x 0 ) die freie Gruppe mit den Erzeugenden τ 1,..., τ m. 9

10 Satz: Es sei P R 2 ein Punkt der Ebene mit den Koordinaten (x 0, y 0 ). Es sei γ : I R 2 \ {P } eine stetig differenzierbare Kurve und W P (γ) ihre Windungszahl bezüglich P. Dann gilt: W P (γ) = 1 (y y 0 )dx + (x x 0 )dy. 2π γ (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 10