Fallstudien der mathematischen Modellbildung Teil 3: Quanten-Operationen. 0 i = i 0

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1 Übungsblatt 1 Aufgabe 1: Pauli-Matrizen Die folgenden Matrizen sind die Pauli-Matrizen, gegeben in der Basis 0, 1. [ [ [ i 1 0 σ 1 = σ 1 0 = σ i 0 3 = Zeigen Sie, dass die Pauli-Matrizen hermitesch und unitär sind, ihr Quadrat die Identitätsmatrix ergibt und unterschiedliche Pauli-Matrizen antikommutieren (σ i σ j + σ j σ i = 0 für i j).. Schreiben Sie σ i, i {1,, 3} in Bra-Ket Notation in der Basis 0, Sei σ 0 = 1. Zeigen Sie, dass tr{σ i σ j } = δ ij gilt für alle i, j {1,, 3} (δ ij bezeichnet hier das Kronecker-Delta). 4. Finden Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte der Pauli-Matrizen und geben Sie für diese ihre jeweilige Spektralzerlegung an. 1. Die Aussagen folgen durch explizites Nachrechnen.. σ 1 = σ = i( ) σ 3 = σ 1, σ und σ 3 sind offensichtlich spurfrei und tr{1} =. Weiterhin gilt σ i σ j +σ j σ i = δ ij 1. Da tr{σ i σ j } = 1/(tr{σ i σ j } + tr{σ j σ i }) aufgrund der Zyklizität der Spur, folgt die Behauptung. 4. Sei ± = 1/ ( 0 ± 1 ) und φ ± = 1/ ( 0 ± i 1 ). Dann ergibt sich σ 1 = + + σ = φ + φ + φ φ σ 3 = Die Eigenwerte sind damit für alle σ i {±1} und die Eigenvektoren lassen sich in obiger Darstellung gut ablesen. Aufgabe : Bloch-Kugel 1. Zeigen Sie, dass sich jeder reine Qubit-Zustand ψ = α 0 + β 1, α + β = 1 schreiben lässt als ψ = e iγ [ cos (θ/) 0 + e iφ sin (θ/) 1, (1) wobei 0 θ π und 0 φ < π gilt und e iγ ein irrelevanter globaler Phasenfaktor ist. Die Winkel θ und φ können als Kugelkoordinaten auf der sogenannten Bloch-Kugel interpretiert werden.. Bestimmen Sie die Winkel θ und φ für die Eigenzustände der Pauli-Matrizen und zeichnen Sie die entsprechenden Punkte auf der Bloch-Kugel ein. 1

2 3. Zeigen Sie, dass (1) ψ ψ = 1 (1 + v σ) impliziert mit v R 3 und v = 1. Hier ist v σ = 3 v iσ i mit σ i wie in Aufgabe 1. Der Vektor v ist die Bloch-Kugel Darstellung des Zustands ψ. 4. Zeigen Sie, dass für die Erwartungswerte bezüglich der Pauli-Operatoren für alle i {1,, 3} ψ σ i ψ = v i gilt. Hinweis: Nutzen Sie die Ergebnisse der ersten Aufgabe. 5. Zeigen Sie, dass für jeden Zustand ψ mit Bloch-Vektor v der zu ihm orthogonale Zustand φ (also φ ψ = 0, überzeugen Sie sich, dass dieser Zustand eindeutig bestimmt ist bis auf einen Phasenfaktor) gegeben ist durch den Bloch-Vektor v. 6. Beweisen Sie, dass jede hermitesche Matrix ρ mit tr{ρ} = 1 geschrieben werden kann als ρ = 1 (1 + r σ), wobei wiederum r R Zeigen Sie, dass ρ genau dann ein Dichteoperator (tr{ρ} = 1, ρ hermitesch und ρ 0) ist, wenn r 1 ist. 8. Zeigen Sie, dass ρ genau dann ein reiner Zustand ist, wenn r = 1 gilt. 9. Geben Sie die Bloch-Vektoren für die folgenden Zustände an und zeichnen Sie diese in die Bloch-Kugel ein: [ [ [ 1/ / 1/ ρ a = ρ 0 1/ b = ρ 0 0 c = 1/ 1/ 1. Wir können α, β in Polarform schreiben als α = r 1 e iϕ 1, β = r e iϕ, wobei r 1, r 0 und ϕ 1, ϕ ( π, π. Aus α + β = 1 folgt r 1 + r = 1. Aus der Parametrisierung r 1 = cos (θ/) folgt daher r = sin (θ/) mit θ [0, π. Also ist ψ = e iϕ 1 [ cos (θ/) 0 + e i(ϕ ϕ 1 ) sin (θ/) 1. Mit γ = ϕ 1 und φ = ϕ ϕ 1 folgt die Behauptung, da wir φ aufgrund der Periodizität von e iφ aus dem Intervall [0, π) wählen können.. + :(θ, φ) = (π/, 0) :(θ, φ) = (π/, π) φ + :(θ, φ) = (π/, π/) φ :(θ, φ) = (π/, 3π/) 0 :(θ, φ) = (0, [0, π)) 1 :(θ, φ) = (π, [0, π)) Die Zustände liegen auf den Koordinatenachsen auf der Oberfläche der Blochkugel.

3 3. ψ ψ = ( e iγ [ cos (θ/) 0 + e iφ sin (θ/) 1 ) ( e iγ [ cos (θ/) 0 + e iφ sin (θ/) 1 ) = cos (θ/) sin (θ/) sin (θ/) cos (θ/)e iφ sin (θ/) cos (θ/)e iφ 0 1 [ cos (θ/) sin (θ/) cos (θ/)e = iφ sin (θ/) cos (θ/)e iφ sin (θ/) = 1 [ 1 + cos (θ) sin (θ)(cos (φ) i sin (φ)) sin (θ)(cos (φ) + i sin (φ)) 1 cos (θ) = 1 [1 + sin (θ) cos (φ)σ 1 + sin (θ) sin (φ)σ + cos (θ)σ 3. Dies ist die gesuchte Form mit v = (sin (θ) cos (φ), sin (θ) sin (φ), cos (θ)). 4. Da tr{σ i σ j } = δ ij ist, folgt unmittelbar 5. ψ σ i ψ = tr{ ψ ψ σ i } = 1/ 0 = φ ψ = tr{ φ φ ψ ψ } 3 v j tr{σ j σ i } = v i. j=1 = 1 4 tr{(1 + v φ σ)(1 + v ψ σ)} = 1 4 tr{1 + v φ σ + v ψ σ + v φ v ψ 1} = 1 (1 + v φ v ψ ) Aus dieser Rechnung folgt v φ = v ψ, da es sich bei beiden um reelle Einheitsvektoren handelt. Wir haben benutzt, dass die Paulimatrizen sowie ihre paarweise verschiedenen Produkte spurfrei sind und ihr Quadrat die Identitätsmatrix ist. 6. Jede hermitesche Matrix ρ hat die Form [ a b ic ρ =, b + ic d da die Diagonaleinträge gleich ihren komplex konjugierten und daher reell sein müssen. Die Bedingung tr{ρ} = 1 impliziert weiterhin d = 1 a. Außerdem gilt 1 [1 + r σ = 1 [ 1 + r3 r 1 ir r 1 + ir 1 r 3 Ein Vergleich der beiden Ausdrücke liefert r 3 = a 1, r 1 = b und r = c.. () Ein alternativer Beweis ist möglich mit Hilfe der Spektralzerlegung und der Bloch-Kugel Darstellung für reine Zustände. 3

4 7. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass für eine hermitesche Matrix [ a b 0 a 0, c 0, ac b 0. b c Angewendet auf Gleichung () folgt daraus, dass ρ 0 genau dann, wenn r 3 1 und r 1. Die erste der beiden Aussagen folgt aus der zweiten und ist daher redundant. 8. In Aufgabenteil 3 haben wir bereits gesehen, dass die Hinrichtung der Implikation gilt. Sei also r = 1. Dann kann aber r in Kugelkoordinaten geschrieben werden als r = (sin (θ) cos (φ), sin (θ) sin (φ), cos (θ)). Damit zeigt aber Aufgabenteil 3 wiederum, dass das zu r gehörende ρ ein reiner Zustand ist. 9. r a = (0, 0, 0) (Mittelpunkt der Kugel), r b = (0, 0, 1) (auf der Kugeloberfläche), r c = (1, 0, 0) (auf der Kugeloberfläche). Aufgabe 3: Reine Zustände Sei ρ eine n n Dichtematrix. Zeigen Sie, dass tr{ρ } = 1 genau dann gilt, wenn ρ ein reiner Zustand ist (also ρ den Rang 1 hat). Sei ρ = λ i ρ i ρ i eine Spektralzerlegung von ρ. Dann gilt n λ i = 1. Für das Quadrat der Dichtematrix gilt damit tr { ρ } = λ i (max i λ i ) λ i = (max i λ i ). Also folgt aus tr{ρ } = 1, dass (max i λ i ) = 1 und damit ρ = ρ i ρ i für ein i {1,..., n}. Die Rückrichtung ist offensichtlich, da reine Zustände Projektionen sind. Aufgabe 4: Singulärwertzerlegung Wir bezeichnen mit M d die komplexen d d Matrizen. 1. Polarzerlegung: Beweisen Sie die folgende Aussage: Sei A M d, dann existiert eine positive Matrix J und eine unitäre Matrix U, so dass A = UJ ist. Hinweis: A A ist positiv. Benutzen Sie die Spektralzerlegung dieser Matrix und definieren Sie deren Wurzel darüber. Wählen Sie dann J = A A.. Singulärwertzerlegung: Beweisen Sie: Sei A M d, dann existieren unitäre Matrizen U, V und eine diagonale Matrix Σ mit positiven Einträgen, so dass A = UΣV gilt. Hinweis: Verwenden Sie die Polarzerlegung. 4

5 1. Da A A positiv ist, ist diese Matrix insbesondere diagonalisierbar. Sei also A A = d λ i e i e i eine Spektralzerlegung. Beachten Sie, dass die Menge { e i } d eine Orthonormalbasis ist. Aus Positivität folgt, dass λ i 0 für alle i {1,..., d}. Daher können wir die Wurzel als A A = d λi e i e i definieren und es gelten A A 0 und ( A A) = A A. Sei nun J = A A. Definiere ψ i = A e i. Aus der Definition folgt, dass ψ i ψ i = λ i. Sei I {1,..., d} die Menge aller Indizes, für die λ i > 0, und definiere Diese Vektoren sind orthonormal, da f i = 1 λi ψ i. f i f j = e i A A e j /( λ i λ j ) = δ ij, wobei wir die Spektralzerlegung von A A verwendet haben. Bislang haben wir zwar eine Menge orthonormaler Vektoren, aber noch keine Basis. Wir können aber durch das Gram-Schmidt Verfahren die Menge { f i } i I zu einer Orthonormalbasis { f i } d ergänzen. Sei d U = f i e i. Wie man einfach überprüfen kann, ist U unitär und weiterhin gilt für i I UJ e i = λ i f i = ψ i = A e i. Für i I folgt UJ e i = 0 = A e i. Da UJ und A also auf einer Orthonormalbasis übereinstimmen, sind die Operatoren gleich.. Aus der Polarzerlegung folgt A = W J für ein unitäres W und ein positives J. Eine Spektralzerlegung von J erlaubt es, J = V ΣV zu schreiben, wobei V eine unitäre Matrix ist und Σ diagonal mit positiven Einträgen (da J positiv). Die Behauptung folgt mit der Wahl U = W V. 5