4.4 Berechnung von Wirkungsquerschnitten

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1 . Berechnung von Wirkungsquerschnitten. Berechnung von Wirkungsquerschnitten Bei Streuprozessen ist der Wirkungsquerschnitt ein Mass für die Wahrscheinlichkeit einer Streuung je einlaufendem Teilchenpaar an. Der WQ charakterisiert also die Reaktion der Teilchen und ist gleichzeitig unabhängig von der Anzahl der einlaufenden Teilchen, also Experiment-unabhängig. Ein einzelnes Teilchen mit geometrischer Querschnittsfläche r befinde sich in einer Ebene der Fläche A. Trifft ein anderes, viel kleineres Teilchen an einem beliebigen Ort auf die Fläche, so ist in der klassischen Physik die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Teilchen treffen, gleich P A. Ist das eintreffende Teilchen ebenfalls ausgedehnt, so stellt die effektive Querschnittsfläche der Reaktion dar, eben den Wirkungsquerschnitt (WQ). In der quantenmechanischen Beschreibung sehr kleiner Elementarteilchen repräsentiert der WQ die effektive Querschnittsfläche oder (Reichweite) der Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Trifft anstelle eines einzelnen Teilchens ein Teilchenstrahl mit kleiner Anzahl-Dichte n und Geschwindigkeit v auf die Fläche, so werden in einer Zeit T insgesamt N n v TA Teilchen die Fläche treffen. Für den Teilchenstrahl ist die Anzahl der Streuprozesse pro Zeit ( Übergangsrate ) daher P S T P N n v TA n v. T AT Trifft der Teilchenstrahl nicht auf ein einzelnes Teilchen sondern auf N Teilchen in einem olumen (Teilchendichte n ), so ist die Anzahl der Streuprozesse um diesen Faktor N erhöht, P S T n v N n n v (.0) Für den allgemeinen Fall, dass sich auch die Teilchen N bewegen, ist die Differenz der Geschwindigkeiten v v maßgebend. Außerdem muss berücksichtigt werden, dass man experimentell bei einer Reaktion (p + p p 3 + p ) die Teilchen im Endzustand im Impulsintervall d 3 p 3 d 3 p beobachtet. Der Lorentz-invariante Phasenraumfaktor hierfür, d.h. die Anzahl der quantenmechanischen Zustände in diesem Bereich ist (siehe Abschnitt..) d 3 p 3 d 3 p (.) ( ) 3 E 3 ( ) 3 E Damit ergibt sich insgesamt für den Wirkungsquerschnitt: d P S (T) n n v v d 3 p 3 d 3 p (.) ( ) 3 E 3 ( ) 3 E 5

2 . Berechnung von Wirkungsquerschnitten oder symbolisch d Übergangsrate x Phasenraum Teilchenfluss (.3) Dies ist Fermi s Goldene Regel. Der Phasenraum beinhaltet die Kinematik und ist proportional zur Anzahl der möglichen quantenmechanischen Endzustände. Der Flussfaktor dient der Normierung auf den Fluss der einlaufenden Teilchen. Bezogen auf ein olumen findet man allgemein (siehe Anhang..) F n n v v (p p ) m m (.) Die Übergangsrate beinhaltet das Matrix-Element und damit die Dynamik der Wechselwirkung. Für quantenmechanische Prozesse ist die Wahrscheinlichkeit PS der Streuung in einen bestimmten Endzustand f S i Sf i (.5) Natürlich sollte diese Wahrscheinlichkeit null sein, wenn erimpulserhaltung verletzt ist. Sf i enthält also implizit eine Funktion, so dass man schreibt Sf i i ( ) () (p + p p3 p ) Mf i (.6) Später wird diese Form explizit abgeleitet. Dies ergibt0 (P ) Damit folgt Sf i Mf i ( ) 0 (P ) T. ( ) (p + p p3 p ) T (.7) Bei der Berechnung von Sf i wird demnach eine Funktion quadriert werden müssen. Hierfür gilt bei Integration (p) f (p) (p) f (0) und demnach auch (p) (p) (p) (0). Wegen folgt (p) lim T, inf 3 ipx dt d xe ( ) T (0) lim T, inf T. ( ) Der Grenzwert für alle Zeiten und den ganzen Raum muss natürlich noch durchgeführt werden. Da jedoch sowohl als auch T in der endgültigen Formel für den Wirkungsquerschnitt nicht mehr auftauchen ändert der Limes nichts am Endresultat für diese Berechnung und wird daher nicht weiter mitgeführt. 55

3 . Berechnung von Wirkungsquerschnitten Der Wirkungsquerschnitt setzt sich für Streuprozesse mit p + p p 3 + p also zusammen aus d P S (T) n n v v ( ) 3 d 3 p 3 E 3 ( ) 3 d 3 p E M fi ( ) d p 3 d p (p + p p 3 p ) (p p ) m m ( ) 3 E 3 ( ) 3 E Die Spinoren in M fi beinhalten noch die Normierung (E + m), so dass sich heraushebt. Es wird daher ab jetzt M fi M fi verwendet, was so verstanden werden soll, dass bei der Berechnung von Matrixelementen M ab jetzt als Normierung der Spinoren N E + m verwendet wird. Damit ist der Wirkungsquerschnitt oder explizit d M fi F dq (.8) M fi d ( ) d p 3 d p (p + p p 3 p ) (.9) (p p ) m m ( ) 3 E 3 ( ) 3 E einlaufender Teilchenfluss Lorentz-invarianter Phasenraum (dlips dq) Dies ist die explizite Form von Fermi s goldener Regel für Prozesse. Alle Teile sind explizit Lorentz-invariant... Phasenraumfaktor Der bereits in Gl.. verwendete Phasenraumfaktor soll im Folgenden begründet werden. Gesucht ist die Anzahl der quantenmechanisch erlaubten Zustände eines Teilchens in einem Würfel mit olumen L 3.DieAnzahlderTeilchenimWürfelbleibtkonstant, wenn periodische Randbedingungen für die Wellenfunktion und deren Ableitung vorliegen. In einer Dimension heist das e ipx x e ipx (x+l), so dass Lp x n, (mitn,..). Damit gilt für die Anzahl der Zustände dn im Bereich von p x bis p x + dp x oder in 3 Dimensionen dn dp x L, dn d 3 p ( ). 3 Bei E Teilchen im olumen ist damit die Anzahl der Zustände / Teilchen d 3 p ( ) 3 E (.30) 56

4 . Berechnung von Wirkungsquerschnitten Es soll nun noch gezeigt werden, dass der Ausdruck d 3 pe Lorentzinvariant ist. Bei einer Lorentz-Transformation z.b. in x-richtung gilt, p x p x E, E E p x, so dass dp x dp x de dp x de. Außerdem folgt aus p x E p y p z m bei festgehaltenem p y,p z, dass p x dp x EdE.Setztmandieseinsofolgt dp p x x ( E ) dp x und damit dp x ( px E ) dp x dp x E E p x E. erallgemeinert für alle drei Impulsrichtungen ist also der Ausdruck d 3 p (.3) E für den Phasenraum Lorentz-invariant. Differentielle Wirkungsquerschnitte werden daher oft angegeben in der Form E d d 3 p. (.3).. Teilchenfluss der einlaufenden Teilchen Der Fluss der einfallenden Teilchen hängt von ihrer Dichte sowie ihrer Differenzgeschwindigkeit v v ab, wobei angenommen ist, dass die Geschwindigkeiten entgegengesetzt gerichtet sind. Die Lösungen der Dirac-Gleichung werden so normiert (N (E + m), siehe.), dass die Teilchendichten n j 0 0 N ūu E (.33) betragen. Insgesamt ist damit der Fluss bezogen auf das Reaktionsvolumen F v v E E (v + v ) E E p + p E E E E (p E + p E ) oder F (p p ) m m (.3) wie man durch explizites Ausrechnen des -er Skalarprodukts p p in der letzten Zeile zeigen kann. Der letzte Ausdruck für den Fluss ist explizit-lorentz-invariant. Insbesondere gilt im CMS wegen p i p p auch F p i (E + E ) p i s (.35) Im Fixed-Target-System gilt wegen p 0 entsprechend F m p s (.36) 57

5 .5 Wirkungsquerschnitt im CMS.5 Wirkungsquerschnitt im CMS Der Wirkungsquerschnitt ist augenscheinlich vielfach differentiell in d 3 p 3 und d 3 p. Er sollte aber nur von zwei dieser sechs ariablen abhängen, denn es gilt -er Impulserhaltung. Da die Energien der Teilchen durch die Anfangsbedingungen und die Massen festliegen, müssen die verbleibenden ariablen der Streuwinkel und der Azimuthalwinkel eines der Teilchen sein. Die Richtung des anderen Teilchens ergibt sich dann aus der Impulserhaltung. Das Matrixelement kann aus Symmetriegründen nicht vom Azimuthalwinkel um die Kollisionsachse abhängen. Es ist also M fi M fi ( ).Da der Flussfaktor nicht von den auslaufenden Teilchen abhängt kann demnach der Phasenraum getrennt integriert werden, bis auf die Winkelvariablen. Dies ist besonders einfach im CMS System, da die - Funktion die -er Impulserhaltung garantiert. Man findet (siehe.5.) dq ( ) Hierbei ist das Raumwinkelelement p f d (.37) s d d cos d (.38) und p f der Impuls der beiden Teilchen im Endzustand, so dass Energieerhaltung erfüllt ist, s E 3 (p f ) + E (p f ). Im Schwerpunktsystem ergibt sich aus der goldenen Regel mit dem Flussfaktor (Gleichung.35) für den Wirkungsquerschnitt d d 6 s F p i s (.39) p f p i M fi( ) (.0) Aus dem Phasenraum folgt, dass proportional zum Impuls p f der Teilchen im Endzustand ist. Die Produktion schwerer Teilchen ist also durch den Phasenraum unterdrückt. Bei hohen Energien werden die Massen der Teilchen zunehmend unwichtiger. In diesem Limes (oder bei gleichen Massen m i m f )ist p f p i (.) so dass der Wirkungsquerschnitt quadratisch mit der Schwerpunktsenergie fällt, s (.) Da außer den Massen nur s die Dimension einer Energie trägt ist dies auch aus Dimensionsgründen erforderlich. Der Wirkungsquerschnitt hängt nur durch das Matrixelement vom Streuwinkel ab. 58

6 .5 Wirkungsquerschnitt im CMS.5. Integration des Phasenraums Der Wirkungsquerschnitt ist augenscheinlich vielfach differentiell in d 3 p 3 und d 3 p. Er sollte aber nur von zwei dieser sechs ariablen abhängen, denn es gilt -er Impulserhaltung. Da die Energien der Teilchen durch die Anfangsbedingungen und die Massen festliegen, müssen die verbleibenden ariablen der Streuwinkel und der Azimuthalwinkel eines der Teilchen sein. Die Richtung des anderen Teilchens ergibt sich dann aus der Impulserhaltung. Das Matrixelement kann aus Symmetriegründen nicht vom Azimuthalwinkel um die Kollisionsachse abhängen. Es ist also M fi M fi ( ). Da der Flussfaktor nicht von den auslaufenden Teilchen abhängt kann demnach der Phasenraum getrennt integriert werden, bis auf die Winkelvariablen. Dies ist besonders einfach im CMS System, da die -Funktiondie-erImpulserhaltunggarantiert.ImSchwerpunktssystem (CMS) gilt p + p 0, ; s E + E und (p + p p 3 p ) ( s E 3 (p 3 ) E (p )) 3 ( p 3 p ), wobei explizit die Energien von den Impulsen abhängen, E 3 (p 3 ) p 3 + m 3, E (p ) p + m. Integriert man zunächst über d 3 p so gilt für den Phasenraum dq ( s E ( ) 3 (p 3 ) E (p )) 3 d ( p 3 p ) 3 p 3 d 3 p E 3 (p 3 ) E (p ) ( ) ( d s E 3 (p 3 ) E (p 3 )) 3 p 3 E 3 (p 3 ) E (p 3 ) Führt man die verbleibende Integration in Kugelkordinaten aus, d 3 p 3 p 3 dp 3 d, sokannmandie -FunktionnachihrerPolstelle entwickeln und erhält dq dq ( s E ( ) 3 (p 3 ) E (p 3 )) (p 3 p f ) ( ) d(e 3 (p 3 ) + E (p 3 )) dp 3 ( ) ( ) p f E 3 (p f ) + p f E (p f ) p f d s p 3 dp 3 d E 3 (p 3 ) E (p 3 ) p 3 dp 3 d E 3 (p 3 ) E (p 3 ) p f d E 3 (p f ) E (p f ) Hierbei ist p f der Impuls der beiden Teilchen im Endzustand, so dass Energieerhaltung erfüllt ist, s E 3 (p f ) + E (p f ). Für die -Funktiongiltallgemein (f(x)) i,n (x x i ) f (x i ) wobei f (x i ) die Ableitung der Funktion f(x) an den Nullstellen x i (f(x i ) 0). ist 59