Rotationssymmetrie und Drehimpuls in der Quantenmechanik

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1 Theoretische Physik V QM II Projekt 13 Rotationssymmetrie und Drehimpuls in der Quantenmechanik Präsentation von Nikolas Rixen, Pawel Mollenhauer und Madeleine Nuck

2 Einleitung Download: Einleitung

3 Inhalt Einleitung Lie-Gruppen und der Drehimpulsoperator Irreduzible Darstellung einer Drehgruppe Matrixdarstellung der Drehimpulsoperatoren 3

4 LIE-GRUPPEN UND DREHIMPULSOPERATOR

5 Drehung Winkelabhängige Transformation Drehung entspricht einer Operation Trifolium repens 07ies von Frank Vincentz Eigenes Werk 5

6 Gruppen Menge von Operationen Die Multiplikation der Operatoren (A,B) erfüllt folgende Bedingungen: 1. Produkt zweier Elemente der Gruppe ist wieder Element der Gruppe 2. Existenz eines neutralen Elements 3. Existenz eines inversen Elements 4. Multiplikation ist assoziativ Lie-Gruppe: glatte reelle Mannigfaltigkeit, die Gruppeneigenschaften erfüllt (Drehgruppen) 6

7 Symmetrie System ist invariant bzgl. einer Transformation Bsp: Rotationssymmetrie in Kristallen Symmetrische Größen sind Erhaltungsgrößen. Trifolium repens 07ies von Frank Vincentz Eigenes Werk 7

8 Drehimpuls Definition: Drehimpuls ist Generator von Drehgruppe Drehimpulserhaltung gilt, wenn System bzgl. Drehung im Raum symmetrisch (invariant) ist. (Noether-Theorem) Eigenschaften bestimmt durch Algebra der Komponenten 8

9 IRREDUZIBLE DARSTELLUNG EINER DREHGRUPPE 9

10 Kommutatorrelationen Es gelten die Kommutatorrelationen: [L i m, L j (n) ] = iħ εijk L j (n) δnm [L x, L y ] = iħl z ; [L, L 2 ] = 0 Einführung von J Vektoroperator, Kommutatorrelationen erfüllt, Komponenten sind Observablen 10

11 Stufenoperatoren Führt man ein um Spektrum der Operatoren zu erhalten J + = J x + ij y & J = J x ij y Nicht hermitesch, aber hermitesch konjugiert: J = J + Kommutatorrelationen: [J z, J + ] = ħ J +, [J z, J ] = - ħ J, [J +, J ] = 2 ħ J z J ist so vollständig durch J +, J, J z gegeben 11

12 Eigenwertproblem Satz gemeinsamer Eigenfunktionen: J 2 ψ jm = j j + 1 ψ jm, J z ψ jm = m ψ jm Anwendung von Stufenoperatoren Eigenwertgleichung für J z : J z J + ψ jm = m + 1 J + ψ jm Man sieht: Stufenoperatoren = Leiteroperatoren Erhöhen bzw. verringern Wert der QZ m um eine Einheit 12

13 Wirkung der Stufenoperatoren auf Eigenfunktionen Durch anwenden von J + & J auf ψ jm erhält man Eigenfunktionen zu allen m ψ jm, J + ψ jm, J + 2 ψ jm,, J + p ψ jm ψ jm, J ψ jm, J 2 ψ jm,, J q ψ jm mit den dazugehörigen EW s von m, m + 1,, m + p = j m, m 1,, m q = j ergibt sich die Abbruchbedingung: p + q = 2j 13

14 Die QZ j kann die Werte j= 0, 1, 1, 3, annehmen 2 2 m = 0, ±1/2, ±1, ±3/2, ± j Zu jedem j existieren 2j+1 verschiedene EW s m von J z Wirkung der Stufenoperatoren auf Eigenfunktionen Alle 2j+1 Eigenfunktionen erzeugbar durch Stufenoperatoren 14

15 Irreduzible Darstellung 2j+1-dim Untervektorraum wird durch die Eigenfunktionen ψ jm aufgespannt bleibt unter Einwirkung von Drehimpulsoperatoren invariant Invarianter Unterraum des Hilbertraums Vektoren können lassen sich durch Stufenoperatoren in jeden beliebigen Vektor überführen Irrezudible Darstellung einer Drehgruppe 15

16 MATRIXDARSTELLUNG DER DREHIMPULSOPERATOREN

17 Matrixdarstellung der Drehimpulsoperatoren Vereinfacht häufig das Rechnen Die Matrixelemente sind gegeben durch

18 Matrixdarstellung der Drehimpulsoperatoren Die Matrixelemente werden bestimmt durch die Bedingungen

19 Beispiel: 2x2 Matrix für J z bei Spin j=1/2 19

20 Berechnung von J 2 für j=1/2 Forderung muss erfüllt werden, bei Anwendung von J 2 auf die Spinoren zu den Spinzuständen Für j=1/2, m=1/2,-1/2 ist Also ist 20

21 Berechnung von J z für j=1/2 Bedingung: Mit m=+1/2, -1/2 ist Und somit die Matrix, 21

22 Berechnung von J x und J y für j=1/2 Zur Bestimmung von J x, J y werden zunächst analog zu J z die Matrixdarstellungen der Leiteroperatoren J +, J bestimmt Dabei gelten Daraus folgt 22

23 Berechnung von J x und J y für j=1/2 Mit erhält man 23

24 Zusammenfassung der Drehimpulsoperatoren für j=1/2 24

25 Matrixdarstellungen für j=1 Hier ist M= -1,0,1 Als Spinoren wählen wir Mit den Bedingungen an die Operatoren folgt 25

26 26 NOCH FRAGEN?