Sind Lie Gruppen eine geeignete Therapie für Menschen mit Schlafstörungen? Are lie groups a suitable therapy for patients with sleeping disorders?
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- David Lothar Schuster
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1 1/12 Sind Lie Gruppen eine geeignete Therapie für Menschen mit Schlafstörungen? Are lie groups a suitable therapy for patients with sleeping disorders? Wolfgang Ring Institut für Mathematik, Universität Graz
2 Titel = Witz! 2/12
3 Titel = Witz! lie groups = Liegegruppen 3/12 Lie Gruppen = unbekannte Wesen Lie Gruppen = interessante Objekte It is impossible to overestimate the importance of Lie s contribution to modern science and mathematics [P. Olver]
4 Lie Gruppe = Gruppe & differenzierbare Mannigfaltigkeit 4/12
5 Lie Gruppe = Gruppe & differenzierbare Mannigfaltigkeit 5/12 Dimension von G = Anzahl der Parameter Tangentialvektoren = Geschwindigkeitsvektoren von Kurven Beispiel = kontinuierliche Matritzengruppen (Drehungen um nicht-diskrete Winkel)
6 Lie Algebra = Tangentialraum in e = Menge einparametriger Untergruppen 6/12
7 Lie Algebra = Tangentialraum in e = Menge einparametriger Untergruppen 6/12 Infinitesimaler Generator = Erzeugendes Vektorfeld der einparametrigen Untergruppe Exponentialabbildung = Korrespondenz zwischen Lie Algebra und Lie Gruppe Exponentialabbildung = lokal invertierbar
8 Lie Algebra = Tangentialraum in e = Menge einparametriger Untergruppen 6/12 Infinitesimaler Generator = Erzeugendes Vektorfeld der einparametrigen Untergruppe Exponentialabbildung = Korrespondenz zwischen Lie Algebra und Lie Gruppe Exponentialabbildung = lokal invertierbar
9 Lie Algebra = Tangentialraum in e = Menge einparametriger Untergruppen 6/12 Infinitesimaler Generator = Erzeugendes Vektorfeld der einparametrigen Untergruppe Exponentialabbildung = Korrespondenz zwischen Lie Algebra und Lie Gruppe Exponentialabbildung = lokal invertierbar
10 Lie Algebra = Tangentialraum in e = Menge einparametriger Untergruppen 6/12 Infinitesimaler Generator = Erzeugendes Vektorfeld der einparametrigen Untergruppe Exponentialabbildung = Korrespondenz zwischen Lie Algebra und Lie Gruppe Exponentialabbildung = lokal invertierbar
11 Gruppenaktion = Gruppe von Transformation + transformierte Objekte 7/12
12 Gruppenaktion = Gruppe von Transformation + transformierte Objekte 7/12 Transformation = verträglich mit Gruppenmultiplikation Multiplikation mit fixem Gruppenelement = Invertierbare Transformation auf M Einparametrige Untergruppe von G = Fluss auf M
13 Gruppenaktion = Gruppe von Transformation + transformierte Objekte 7/12 Transformation = verträglich mit Gruppenmultiplikation Multiplikation mit fixem Gruppenelement = Invertierbare Transformation auf M Einparametrige Untergruppe von G = Fluss auf M
14 Invarianz = infinitesimale Invarianz 8/12
15 Invarianz = infinitesimale Invarianz 8/12 Invariante Menge = Menge die durch Gruppenaktion nicht verändert wird Invarianz = Infinitesimale Generatoren sind tangential Invarianz = Durch Lie-Algebra überprüfbar
16 Invarianz = infinitesimale Invarianz 8/12 Invariante Menge = Menge die durch Gruppenaktion nicht verändert wird Invarianz = Infinitesimale Generatoren sind tangential Invarianz = Durch Lie-Algebra überprüfbar
17 Differenzialgleichung = Graph im jet space 9/12
18 Differenzialgleichung = Graph im jet space 9/12 Funktion = Graph der Funktion (Menge) Differenzialgleichung = implizit definierte Mannigfaltigkeit im jet space Lösung der Differenzialgleichung = Prolongation liegt auf der Mannigfaltigkeit
19 Differenzialgleichung = Graph im jet space 9/12 Funktion = Graph der Funktion (Menge) Differenzialgleichung = implizit definierte Mannigfaltigkeit im jet space Lösung der Differenzialgleichung = Prolongation liegt auf der Mannigfaltigkeit
20 Invarianz einer Dgl = infinitesimale Invarianz im jet space 10/12
21 Invarianz einer Dgl = infinitesimale Invarianz im jet space 10/12 Invarianz der Dgl = Invarianz des Graphen Inf. Gen. im jet space = Prolongation eines infinitesimalen Gen. Invarianz der Differenzialgleichung = Prolongierter Generator ist tangential zur Dgl im jet space
22 Invarianz einer Dgl = infinitesimale Invarianz im jet space 10/12 Invarianz der Dgl = Invarianz des Graphen Inf. Gen. im jet space = Prolongation eines inf. Generators Invarianz der Dgl = Prolongierter Generator ist tangential zur Dgl im jet space
23 Weiteres Wissenswertes: 11/12
24 Weiteres Wissenswertes: Symmetriegruppe einer Differenzialgleichung = Konstruktionsprinzip für Lösungen 12/12 Für gewöhnliche Differenzialgleichungen: Symmetrie = Lösung durch Integration Darstellungstheorie = Konstruktion aller Lösungen einer linearen Differenzialgleichung Erhaltungsgrößen und Symmetrien = Satz von Noether
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